urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Teorema-Teorema Utama somorphisma pada ear-ring Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia urusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan Alam, Universitas Bengkulu, ndonesia Diterima 3 April; Disetujui 15 uni 2015 Abstrak ear-ring merupakan pengembangan dari teori ring Suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan duaoperasi biner + dan dan ditulis sebagai (, +, ) dikatakan near-ring jika memenuhi (i) (, +) grup (ii) (, ) semigrup dan (iii) terhadap kedua operasi tersebut bersifat distributif kiri atau distributif kanan ika ( 1, +, ) dan ( 2, +, ) near-ring dan terdapat fungsi bijektif f dari 1 ke 2 yang memenuhi (i) f(a + b) = f(a)+ f(b) dan f(a b) = f(a) f(b) ( a, b 1 ) maka f dikatakan isomorphisma near-ring Tulisan ini membahas teorema-teorema utama isomorphisma ring yang berlaku pada near-ring Metode yang digunakan dalam pembuktian adalah metode pembuktian langsung Hasil penelitian menunjukkan teorema utama isomorphisma ring juga berlaku pada near-ring Kata Kunci: near-ring, ring, homomorphisma, bijektif 1 Pendahuluan Seiring dengan perkembangan zaman, teori-teori dalam struktur aljabar juga mengalami perkembangan yang cukup berarti Pengembangan teori ini dapat dilakukan dengan berbagai cara misalnya dengan menambahkan aksioma-aksioma tertentu atau pun menghilangkan aksioma-aksioma yang sudah ada sehingga terbentuk struktur yang baru Salah satu pengembangan yang terdapat dalam struktur aljabar adalah teori mengenai near-ring ear-ring merupakan pengembangan dari teori ring dengan mengurangi beberapa aksioma yang ada pada ring Suatu himpunan dengan dua operasi biner + dan yang masing-masing disebut sebagai operasi pertama dan operasi kedua dikatakan near-ring jika memenuhi (, +) grup, (, ) Semigrup dan (, +, ) berlaku salah satu sifat distributif kanan atau distributif kiri Himpunan yang membentuk near-ring terhadap dua operasi + dan dinotasikan sebagai (, +, ) Dalam teori ring dikenal istilah isomorphisma ring yaitu homomorphisma ring yang bijektif Sama halnya dalam teori ring, dalam near-ring juga dikenal istilah isomorphisma near-ring somorphisma near-ring merupakan suatu pemetaan dari suatu near-ring 1 ke near-ring 2 yang bersifat mengawetkan kedua operasi biner dari near-ring tersebut dan bersifat bijektif Terdapat tiga Teorema Utama somorphisma dalam teori ring yaitu Teorema Utama somorphisma, Teorema Utama somorphisma dan Teorema Utama somorphisma Terdapat banyak kasus telah dibahas secara mendalam pada teori ring namun belum dibahas dalam near-ring, sehingga near-ring masih menarik perhatian peneliti Beberapa peneliti telah melakukan penelitian mengenai near-ring diantaranya [1] yang meneliti tentang hubungan antara ideal near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring, [7] yang meneliti tentang unit pada near-ring, [6] yang meneliti tentang sifatsifat ideal dan homomorphisma pada ring yang berlaku pada near-ring, [8] yang meneliti tentang TL-deal near ring Tulisan ini membahas mengenai Teorema Utama somorphisma dan Teorema Utama somorphisma pada teori ring yang juga berlaku pada near-ring 2 Landasan Teori Definisi 21 [2],[3],[4] Diberikan himpunan G Pada G diberikan operasi biner + G terhadap operasi + dikatakan grup dan ditulis (G, +) jika memenuhi: i Tertutup yaitu ( a, b G) a + b G ii Assosiatif yaitu ( a, b, c G) (a + b) + c = a + (b + c) iii Mempunyai elemen identitas yaitu ( e G)( a G) a + e = e + a = a iv Setiap elemen G mempunyai invers yaitu ( a G)( x G) a + x = x + a = a x dikatakan invers dari a dan ditulis x = a 1 1112
Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia / urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 ika (G, +) bersifat komutatif yaitu ( a, b G) a + b = b + a maka G disebut grup abelian Definisi 22 [2],[3],[4] Diberikan himpunan S Pada S diberikan operasi biner + S terhadap operasi + dikatakan semigrup jika memenuhi sifat assosiatif yaitu ( a, b, c S) (a + b) + c = a + (b + c) Definisi 23 [2],[3],[4] Misalkan G grup H G dikatakan subgrup G jika H terhadap operasi yang sama dengan G juga merupakan grup dan dinotasikan dengan H G Definisi 24 [2],[3],[4] Misalkan H subgrup G H dikatakan subgrup normal G jika ghg 1 H ( g G dan h H Definisi 25 [2],[3],[4] Diberikan himpunan R Pada R diberikan dua operasi yaitu + dan yang masing-masing disebut sebagai operasi pertama dan operasi kedua R terhadap dua operasi ini dikatakan ring jika memenuhi: (R, +) grup abelian (R, ) Semigrup (R, +, ) distributif i Distributif kanan yaitu ( a, b, c R) (a + b) c = (a c) + (b c) ii Distributif kiri yaitu ( a, b, c R) a (b + c) = (a b) + (a c) Himpunan R yang membentuk ring terhadap dua operasi + dan dinotasikan sebagai (R, +, ) Definisi 26 [2],[3],[4] Misalkan R ring S R dikatakan subring R jika S terhadap operasi yang sama dengan R juga merupakan ring Definisi 27 [2],[3],[4] Misalkan R ring R dikatakan ideal pada R jika memenuhi: i a b ( a, b ) ii ar dan ra ( a dan r R) Definisi 28[6] Diberikan himpunan Pada diberikan dua operasi yaitu + dan yang masing-masing disebut sebagai operasi pertama dan operasi kedua terhadap dua operasi ini dikatakan near-ring jika memenuhi: (, +) grup (, ) Semigrup (, +, ) berlaku salah satu sifat distributif kanan atau distributif kiri yaitu i Distributif kanan yaitu ( a, b, c ) (a + b) c = (a c) + (b c) atau iidistributif kiri yaitu ( a, b, c ) a (b + c) = (a b) + (a c) Himpunan yang membentuk near-ring terhadap dua operasi + dan dinotasikan sebagai (, +, ) Definisi 29 [6] Misalkan near-ring S dikatakan subnear-ring jika S terhadap operasi yang sama dengan juga merupakan near-ring Definisi 210 (Lihat [1], [5], [7]) Misalkan near-ring dikatakan ideal jika memenuhi: i (, +) subgrup normal (, +) ii iii(n + i)m nm, ( i dan m, n ) Sifat 211 [6] Misalkan ideal pada near-ring dan = { + n n } maka merupakan near-ring (dinamakan near-ring faktor) Definisi 212 (Lihat [1], [5], [6]) Diberikan dua near-ring ( 1, +, ) dan ( 2, +, ) Pemetaan f: 1 2 dikatakan homomorphisma nearring jika memenuhi ( a, b 1 ): i f(a + b) = f(a)+ f(b) ii f(a b) = f(a) f(b) Definisi 213 (Lihat [1], [5]) Suatu homomorphisma f dari near-ring 1 ke ring 2 disebut: i Monomorphisma jika f merupakan pemetaan injektif ii Epimorphisma jika f merupakan pemetaan iii somorphisma jika f merupakan pemetaan bijektif Dua ear-ring 1 dan 2 dikatakan isomorfis, dinotasikan dengan 1 2 jika terdapat suatu isomorphisma dari 1 ke 2 Definisi 214 (Lihat [1], [6]) Diberikan homomorphisma ear-ring f: 1 2 Kernel dari f dinotasikan sebagai ker (f) dan didefinisikan sebagai himpunan semua elemen 1 yang dipetakan oleh f ke elemen nol (elemen identitas) 2 yaitu ker(f) = {x 1 f(x) = 0 2 } Sifat 215 [6] ika f: 1 2 homomorphisma near-ring maka ker (f) merupakan ideal di 1 Sifat 216 [6] ika 1, 2 ideal-ideal pada ear-ring maka: i 1 2 ideal ii 1 + 2 ideal Sifat 217 [5] 1113
Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia / urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 ika 1 near-ring dan ideal 1 maka f: 1 1 dengan definisi f(n) = + n ( n 1 ) merupakan epimorphisma near-ring Teorema 218 (Teorema Utama somorphisma Ring ) [2], [3] ika f: R 1 R 2 homomorphisma ring maka R 1 Ker (f) m (f) Teorema 219 (Teorema Utama somorphisma Ring ) [2], [3] ika R ring, S subring R dan ideal R maka S + subring R, ideal S +, S ideal S dan (S + )/ S/(S ) Teorema 220 (Teorema Utama somorphisma Ring ) [2], [3] ika R ring,, ideal R dan maka / ideal R/ dan R R Sifat 221 [5] ika f: 1 2 homomorphisma near-ring maka 1 Ker (f) m (f) 3 Hasil dan Pembahasan Pada bagian ini diberikan hasil dan pembahasan mengenai Teorema Utama somorphisma dan Teorema Utama somorphisma dalam teori Ring yang juga berlaku dalam ear-ring Hasil 1 ika near-ring, S, ideal maka S + subnear-ring, ideal S +, S ideal S dan (S + )/ S/(S ) Bukti: 1 Akan dibuktikan S + subnear-ring Ambil sebarang s 1, s 2 S dan i 1, i 2 maka (s 1 + i 1 )(s 2 + i 2 ) = s 1 s 2 + (i 1 s 2 + s 1 i 2 + i 1 i 2 ) S + adi terbukti bahwa S + subnear-ring (31) 2 Akan dibuktikan ideal S + Karena ideal, S + ideal dan S + jelas bahwa ideal S + adi terbukti bahwa ideal S + (32) 3 Akan dibuktikan S ideal S Berdasarkan Sifat 216 dan karena S maka S ideal S adi terbukti bahwa S ideal S (33) 4 Selanjutnya untuk menunjukkan (S + )/ S/(S ) berdasarkan Sifat 221 cukup dengan membuktikan terdapat epimorphisma f S dengan ker(f) = S adi berdasarkan Sifat 221 S S = S ker(f) im(f) Karena im(f) merupakan himpunan semua koset dalam S sehingga im(f) = (S + )/ Terbukti bahwa: (S + )/ S/(S ) (34) Dari (31)-(34) terbukti bahwa ika near-ring, S, ideal maka S + subnear-ring, ideal S +, S ideal S dan (S + )/ S/(S ) Hasil 2 ika near-ring,, ideal dan maka / ideal / dan Bukti: 1 Akan dibuktikan, ideal berdasarkan Sifat 211 maka dan near-ring Karena, ideal dan maka berdasarkan Sifat 211 jelas near-ring Untuk menunjukkan subgrup normal cukup ditunjukkan dan n ( i ) nin 1 Ambil sebarang x misalkan x = j 1, j 1 Karena maka j 1 sehingga x = j 1 adi (35) Selanjutnya ambil sebarang n dan i Akan ditunjukkan nin 1 n misalkan n = n 1, n 1 i misalkan i = j 1, j 1 Maka nin 1 = n 1 j 1 (n 1 ) 1 = n 1 j 1 n 1 1 Karena n 1, j 1 dan subgrup normal maka n 1 j 1 n 1 1 sehingga n 1 j 1 n 1 1 adi nin 1 (36) Dari (35) dan (36) terbukti bahwa: subgrup normal (37) Selanjutnya akan ditunjukkan: Ambil sebarang x misalkan x = (n 1 )(j 1 ), n 1 dan j 1 x = n 1 j 1 Karena n 1, j 1 dan subgrup normal maka n 1 j 1 adi x Terbukti bahwa (38) Selanjutnya akan ditunjukkan: (n + i)m nm ( n, m, i ) 1114
Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia / urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Ambil sebarang n, m dan i n = n 1, m = n 2, n 1, n 2 dan i = j 1 (n + i)m nm = ( n 1 + j 1 )n 2 n 1 n 2 = (n 1 + j 1 )n 2 n 1 n 2 = (n 1 n 2 + j 1 n 2 ) n 1 n 2 = j 1 n 2 dengan j 1 n 2 Misalkan Terbukti bahwa (n + i)m nm (39) Dari (37), (3,8) dan (39) terbukti bahwa: (310) 2 Akan dibuktikan Karena telah terbukti bahwa berdasarkan Sifat 211 maka terbentuk near-ring Selanjutnya untuk menunjukkan y = n 1, n 1 y = n 1 y = f(n 1 ) dengan n 1 adi y x = n 1 sehingga f(x) = y Terbukti bahwa fsurjektif (313) iv Akan dibuktikan ker(f) = Ambil sebarang j 1, j 1 maka j 1 = f(j 1 ) = Karena elemen identitas di maka j 1 ker(f) j 1 Terbukti bahwa ker(f) = (314) Dari (311)-(314) terbukti bahwa: (315) Berdasarkan (310) dan (315) Terbukti bahwa ika near-ring,, ideal dan maka / ideal / dan berdasarkan Sifat 221 cukup dengan membuktikan terdapat epimorphisma f dengan ker(f) = Didefinisikan f(n) = n ( n ) i Akan dibuktikan f fungsi yaitu ( a, b ) dengan a = b maka f(a) = f(b) Ambil sebarang a, b dengan a = b Misalkan a = n 1 dan b = n 2, n 1, n 2 a = b n 1 = n 2 n 1 (n 2 ) 1 Karena maka n 1 (n 2 ) 1 n 1 (n 2 ) 1 n 1 = n 2 f(n 1 ) = f(n 2 ) f(a) = f(b) adi a = b f(a) = f(b) Terbukti bahwa f fungsi (311) ii Akan dibuktikan f homomorphisma yaitu ( a, b ) f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a b) = f(a) f(b) f(a + b) = f(n 1 + n 2 ) = f((n 1 + n 2 )) = (n 1 + n 2 ) = (n 1 + n 2 ) = f(n 1 ) + f(n 2 ) = f(a) + f(b) Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan f(a b) = f(a) f(b) Terbukti bahwa f homomorphisma (312) iii Akan dibuktikan f surjektif yaitu y x sehingga f(x) = y Ambil sebarang y misalkan 4 Kesimpulan Dari hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa Teorema Utama somorphisma dan Teorema Utama somorphisma dalam teori Ring yang juga berlaku dalam ear-ring sebagaimana dinyatakan dalam Hasil 1 dan Hasil 2 Daftar Pustaka [1] Abdurrahman, S Thresye dan Hijriati, 2013 deal Prima Fuzzy ear-ring urnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon Vol 7 o01 Hal21-32 [2] Adkinds, WA dan Weintraub, SH 1992 Algebra: An Approach via Module Theory Springer Verlag ew York [3] Dummit, DS and Foote, RM 1999 Abstract Algebra Second Edition ohn Wiley and Sons nc ew York [4] Fraleigh, B 1999 A First Course in Abstract Algebra Addison Wesley Publishing Company nc [5] Pilz, G 1983 ear-rings orth-holland ew York 1115
Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia / urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 [6] Sahputri, A 2016 Sifat-Sifat deal dan Homomorphisma pada Ring yang Berlaku pada ear-ring Skripsi urusan Matematika FMPA Unib Bengkulu [7] Tomasouw, BP dan Persulessy, ER 2010 Unit pada ear-ring Proseding SB: 978-602- 97522-0-5 Hal101-110 [8] Yadav, D dan Pawar,YS 2012 TL-deals of ear-rings nternational ournal of Fuzzy Logle System (FLS) 2 o04 Hal11-30 1116