Oleh Ir. Hsth Sunrdi, MT
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor.. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn jjrn genjng, dn turn poligon. 4. Menghitung pengurngn vektor. 5. Menghitung pnjng vektor dlm rung. II. MATERI A. PENGERTIAN Vektor dlh sutu kuntit/esrn yng mempunyi esr dn rh. Secr grfis sutu vektor ditunjukkn segi potongn gris yng mempunyi rh. Besr tu kecilny vektor ditentukn oleh pnjng tu pendekny potongn gris. Sedngkn rh vektor ditunjukkn dengn tnd nk pnh. A B AB Dlm gmr vektor di smping, titik A diseut titik wl (initil point) dn titik P diseut titik terminl (terminl point). Pd gmr terseut vektor dpt ditulis dengn ergi cr seperti, AB r, tu. Pnjng vektor jug dpt ditulis dengn ergi cr seperti AB, AB, r,, tu. Disini kit kn memki simul AB tu untuk menytkn vektor dn AB tu untuk menytkn esrn (modulus) dri vektor terseut. Contoh vektor mislny lintsn, keceptn, perceptn, dn gy. Sklr dlh sutu kuntit yng mempunyi esrn tetpi tidk mempunyi rh. Sutu sklr dlh ilngn nyt dn secr simolik dpt ditulis dengn huruf kecil. Opersi sklr mengikuti turn yng sm dengn turn opersi ljr elementer. Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perencnn Hlmn
B. VEKTOR SATUAN Y Q j Untuk menggmrkn sutu vektor pd sistem koordint krtesen diperlukn vektor stun. Vektor (,) j P i dri titik (,) smpi titik (,) dlh vektor stun i. Vektor dri (,) i (,) X titik (,) smpi titik (,) dlh vektor stun j. Arh vektor i positif sesui dengn rh sumu X positif. Arh vektor j positif sesui dengn rh sumu Y positif. Pd gmr diseelh ini vektor dengn titik wl P dn titik khir Q diurikn menjdi du vektor yitu vektor i dn j. Vektor dn diseut komponen vektor. Besrn dn diseut komponen sklr. Secr simolis vektor dn komponenny ditulis i + j C. ALJABAR VEKTOR Aljr vektor dlh opersi pd du tu leih dri vektor yng meliputi penmhn, pengurngn dn perklin. Opersi vektor dpt dilkukn mellui komponen-komponen sklrny.. Kesmn Du vektor Du vektor diktkn sm pil pnjng sert rhny sm. jik dn rh rh Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perencnn Hlmn
. Vektor Negtif Vektor mempunyi ukurn sm dengn vektor tetpi rhny erlwnn. Jik vektor - mk -. Vektor negtif sering diseut segi vektor invers.. Perklin Vektor dengn Sklr Jik k ilngn rel yng positif, mk k u dlh vektor yng pnjngny k u dn mempunyi rh yng sm dengn u. Sedngkn k u dlh vektor yng pnjngny k u tetpi rh erlwnn dengn u. u k u 4. Penjumlhn Vektor ) Aturn Segitig Perhtikn gmr di smping. Jik AB dn BC mewkili dn mk AC diktkn penjumlhn vektor +. + ) Aturn Jjrn Genjng AB dn DC mewkili vektor BC dn AD mewkili vektor, mk AC + tu AC +. + + Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perencnn Hlmn
c) Aturn Polygon Penjumlhn tig vektor tu leih dpt dilkukn dengn menggunkn turn poligon. c c + + c + 5. Selisih Du Vektor Selisih du rh vektor dn, dinytkn segi, dpt dipndng segi penjumlhn vektor dengn invers vektor yitu vektor. Mislkn c mk c +( ) Secr digrm selisih du vektor terseut seperti gmr erikut. c 6. Vektor Nol Jik vektor mk. diseut vektor nol. Vektor nol tidk mempunyi esr dn rhny tk tentu. Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perencnn Hlmn 4
Dlm ljr vektor, mislkn vektor mk erlku turn : ). jik dn hny jik ). m. m. i i dn j j i + m. j untuk m sutu sklr c). + ( + ) i + ( + ) j d). - ( - ) i + ( - ) j i + j dn vektor i + j e).. jik tu tu tegk lurus dengn f). i. i j. j dn i. j g).. ( i + j ). ( i + j ) h). + i). rc tn ( / ) j).. cos γ. +. D. VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI Z c r P Vektor OP disefinisikn oleh komponenkomponeny : sepnjng OX X O L Y sepnjng OY c sepnjng OZ Mislkn mk : i vektor stun dlm rh OX j vektor stun dlm rh OY k vektor stun dlm rh OZ OP i + j + ck OL + dn OP OL + c Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perencnn Hlmn 5
OP + + c jdi r i + j + ck Contoh penyelesin sol :. Dikethui vektor i + 4j dn vektor i + j. Hitunglh hrg-hrg : + ; + ; ; ;. ; sudut ; sudut ;. dn.. Jw : Dri vektor dn terseut dpt dikethui hw ; 4 ; dn, sehingg diperoleh : ). + ( + ) i + ( + ) j ( + ) i + ( 4 + ) j 5i + 5j ). + ( + ) i + ( + ) j ( + ) i + ( + 4 ) j 5i + 5j c). ( ) i + ( ) j ( ) i + ( 4 ) j i + j d). ( ) i + ( ) j ( ) i + ( 4 ) j -i j e). + + 4 9 6 5 + 5 + f). + + 4 5 g). Sudut dlh rc tn ( / ) rc tn ( 4/ ) 5, tu 5 7 48.6 h). Sudut dlh ß rc tn ( / ) rc tn ( ½ ) 6,5655 tu ß 6 54,8 i)... +.. + 4. 6 + 4 j)... +.. +. 4 6 + 4 Jwn i). dn j). dpt jug menggunkn turn.. cos γ. dlm hl ini γ dlh sudut ntr dn. Dengn turn terseut diperoleh :.. cos γ 5 5 cos ( - ß) 5. 5 cos (5, 6,56) 5. 5 cos 6,57 5. 5.,894479 Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perencnn Hlmn 6
.. cos γ 5. 5 cos (ß - ) 5. 5 cos (-6,57). Dikethui vektor-vektor, dn c seperti di wh ini. Lukislh secr grfis opersi vektor : - +. c dn c -,5( - ). Jw : - +. c + (- ) +. c c c + c c -,5( - ) c + [-,5{ + (- )}] c c c + [-,5{ + (- )}] /( +(- ) Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perencnn Hlmn 7
Sol-sol vektor :. Gmrlh vektor-vektor diwh ini pd koordint krtesen. ). 4i+5j ). -4i+5j c). c -4i 5j d). d 4i 5j. Gmrlh dn tuliskn dlm entuk vektor i +j yng memiliki ketentun segi erikut :. Dri titik sumu (, ) ke titik ( ; - ). Dri titik ( ; ) ke titik ( 4 ; ) c. Mempunyi esr 6 dengn rh 5. Dikethui vektor,5 i + j dn vektor - 5j Hitunglh :. +. c.. 4. Vektor i + 4j ; vektor i + 5j dn vektor c -5i + j. Hitunglh :. +. + + c c... c 5. Hitunglh kerj yng dilkukn vektor 6i + 8j pd vektor i + j. 6. tentukn esrny sudut pd vektor-vektor i + j ; i j dn 5j. 7. Vektor i + 5j, vektor -5i 7j dn vektor c i 7j. Gmrlh :.. + c..5 (. c ) c. + + c Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perencnn Hlmn 8
MATERI II MATRIKS & JENISNYA.. Definisi Mtriks Mtriks dlh himpunn sklr yng disusun menurut ris dn kolom. Untuk tsny dlh : Notsi Mtriks : A ij, dimn ij dlh elemen pd ris ke i kolom ke j Kesmn Mtriks uh mtriks A ij dn B ij n ) dn ij ij untuk setip i dn j ( i,,.,m ;j,,.,n ) diktkn sm A B jik ukurn ny sm yitu ( m.. Opersi Pd Mtriks. Penjumlhn pd Mtriks ( erlku untuk mtriks mtriks yng erukurn sm ). Jik A ij dn B ij, mtriks yng erukurn sm, mk A + B dlh sutu mtriks C c, di mn c ij ij + ij untuk setip i dn j. ij Contoh : A A + B dn B mk 4 + 4 4 ALIN SI@UIGM Pertemun-
5 7. Perklin sklr terhdp mtriks Jik sutu sclr ( ilngn ) dn A mk mtriks A ( ij ) Contoh : A. mk A. c. Perklin Mtriks ij. 4. 6 6 Pd umumny perklin Mtriks tidk komuttif terhdp opersi perklin : AB BA. Syrt Perklin Mtriks : Bnykny kolom mtriks pertm nykny ris mtriks kedu. Definisi : Misl A ij erukurn ( m n ) dn B ij erukurn ( n p ). Mk perklin AB dlh sutu mtriks C c erukurn ( m p) di mn c ij i j + i j +.. + in nj untuk setip I,,,,,,,m dn j,,.,p ij Contoh : A dn B mk AB... (5) A () dn B () mk C ( ).. Trnspose dri sutu Mtriks Misl A erukurn ( m n ) mk trnspose dri A dlh mtriks A T ij erukurn ( nm) mk A T. ji Beerp Sift mtriks trnspose : ALIN SI@UIGM Pertemun-
(i) (ii) (iii) (iv) ( A + B ) T A T + B T (A T ) T A ( A T ) ( A) T ( AB ) T B T A T Cttn : ij Bil Mtriks A dlh sutu mtriks kompleks, Mk Trnspose Hermitin ( T Conjugte Trnspose) yitu A H ij _ ji, jik z yi mk z + yi Contoh : i A i i i mk A H i i.4. Beerp Jenis Mtriks Khusus () Mtriks Bujur Sngkr Adlh sutu mtriks dengn nykny ris nykny kolom n diseut erordo n Contoh : A dlh mtriks ujur sngkr ordo 4 () Mtriks Nol dlh mtriks yng semu elemenny nol ( ) () Mtriks Digonl dlh mtriks ujur sngkr yng semu elemen di lur digonl utm dlh nol Contoh : (4) Mtriks Identity ( Stun ) dlh mtriks digonl yng elemen elemen digonl utmny semu sm dengn Contoh : ALIN SI@UIGM Pertemun-
ALIN SI@UIGM Pertemun- 4 (5) Mtriks Sklr dlh mtriks digonl utmny sm dengn k Mtriks Identits dlh entuk khusus dri mtriks sklr dengn k Contoh : (6) Mtriks Segitig Bwh ( Lower Tringulr ) dlh mtriks ujur sngkr yng semu elemen di ts digonl utm sm dengn nol. Contoh : 4 (7) Mtriks Segitig Ats ( Upper Tringulr ) dlh mtriks ujur sngkr yng semu elemen di wh digonl utm sm dengn nol. Contoh : 5 (8) Mtriks Simetris dlh mtriks yng trnsposeny sm dengn diriny sendiri, Dengn perktn lin A A T dn mtriks simetris merupkn mtriks ujur sngkr. Contoh : A dn A T
(9) Mtriks Antisimetris dlh mtriks yng trnsposeny dlh negtifny, Dengn perktn lin A T - A Contoh : A 4 4, A T 4 4 () Mtriks Hermitin Contoh A dlh mtriks dengn trnspose hermitinny perktn lin A H - A i i dn A H 4 i i 4 diriny sendiri. Dengn () Mtriks Invers ( Kelikn ) : Jik A dn B dlh mtriks ujur sngkr ordo n dn erlku AB BA + I mk diktkn B invers dri A dn ditulis B A - selikny A dlh invers dri B dn ditulis A B - () Mtriks Komuttif. dlh Jik A dn B mtriks yng ujur sngkr dn erlku AB BA. dn Anti Komuttif Jik AB -BA () Mtriks Idempoten, Periodik, Nilpoten Mtriks Idempoten Jik A Mtriks Bujur Sngkr dn erlku AA A A Mtriks Periodik ALIN SI@UIGM Pertemun- 5
Jik A Mtriks Bujur Sngkr dn erlku AAA A A p A diktkn periodik dengn periode p- Mtriks Nilpoten Jik A Mtriks Bujur Sngkr dn erlku A r, diktkn Nilpoten dengn indeks r dn r ilngn ult positip. dlh mtriks Nol. ALIN SI@UIGM Pertemun- 6
MATERI III OPERASI MATRIKS I. Pendhulun Definisi : Mtriks dlh susunn segi empt siku siku dri ilngn yng ditsi dengn tnd kurung. Sutu mtriks tersusun ts ris dn kolom, jik mtriks tersusun ts m ris dn n kolom mk diktkn mtriks terseut erukurn ( erordo ) m n. Penulisn mtriks isny menggunkn huruf esr A, B, C dn seterusny, sedngkn penulisn mtriks esert ukurnny (mtriks dengn m ris dn n kolom ) dlh A mn, B mn dn seterusny. Bentuk umum Bentuk umum dri A mn dlh : A mn... n... n, : : ::: : m m... mn ij diseut elemen dri A yng terletk pd ris i dn kolom j. I. Jenis jenis mtriks Ad eerp jenis mtriks yng perlu dikethui dn sering digunkn pd pemhsn selnjutny, yitu :. Mtriks Bujur sngkr Mtriks ujur sngkr dlh mtriks yng jumlh risny sm dengn jumlh kolomny. Kren siftny yng demikin ini, dlm mtriks ujur sngkr dikenl istilh elemen digonl yng erjumlh n untuk mtriks ujur sngkr yng erukurn nn, yitu :,,, nn. Contoh.. dengn elemen digonl dn A A dengn elemen digonl, dn ALIN SI@UIGM Pertemun- Pge
. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks yng elemen ukn digonlny ernili nol. Dlm hl ini tidk disyrtkn hw elemen digonl hrus tk nol. Contoh..5 E D, Mtriks D ukn dlm entuk eselon ris tereduksi kren elemen d ernili sehingg tidk memenuhi syrt ke 4 ( hrusny ), sedngkn mtriks E tidk memenuhi kren ris kedu yng merupkn ris nol letkny mendhului ris ketig yng merupkn ris tk nol, sehingg syrt ketig tidk terpenuhi. Jik sutu mtriks hny memenuhi syrt sj, mk diktkn mtriks terseut memiliki entuk eselon ris. I. Opersi opersi mtriks. Penjumlhn mtriks Opersi penjumlhn dpt dilkukn pd du uh mtriks yng memiliki ukurn yng sm. Aturn penjumlhn Dengn menjumlhkn elemen elemen yng ersesuin pd kedu mtriks Contoh: e f e f c d g h c g d h. Perklin mtriks dengn mtriks Opersi perklin mtriks dpt dilkukn pd du uh mtriks ( A dn B) jik jumlh kolom mtriks A jumlh ris mtriks B. Aturn perklin Mislkn A mn dn B nk mk A mn B nk C mk dimn elemen elemen dri C( c ij ) merupkn penjumlhn dri perklin elemen elemen A ris i dengn elemen elemen B kolom j Contoh : A d e c, B f k n l o mk A B C k l cm p dk el fm m n o cp dn eo fp ALIN SI@UIGM Pertemun- Pge
c. Perklin mtriks dengn sklr Sutu mtriks dpt diklikn sutu sklr k dengn turn tip tip elemen pd A diklikn dengn k.
MATERI IV TRANSFORMASI ELEMENTER BARIS/KOLOM Pokok Bhsn : Trnsformsi Elementer Su Pokok Bhsn :. Trnsformsi Elementer Bris. Trnsformsi Elementer Kolom. Mtriks Ekivlen Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Agr mhsisw dpt memhmi p yng dimksud dengn inverse mtriks. : Agr mhsisw mmpu menjelskn dn dpt menyelesikn mslh yng terkit dengn :. Trnsformsi Elementer Bris / Kolom. Mtriks Ekivlen Jumlh Pertemun : (stu)
I. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd Bris dn Kolom Mtriks Terhdp elemen-elemen sutu mtriks dpt dilkukn trnsformsi tu penukrn tu perpindhn menurut ris dn kolom mtriks. Kidh-kidh trnsformsi elementer : i. Apil d mtriks A ( ij ), mk trnsformsi elemenelemen pd ris ke-i dengn ris ke-j ditulis H ij (A), yng merupkn penukrn semu elemen ris ke-i dengn ris ke-j tu ris ke-i dijdikn ris ke-j dn ris ke-j dijdikn ris ke-i. Contoh : 4 A mk H (A) 4 dn 4 H (A) ii. Trnsformsi elemen-elemen pd kolom ke-i dengn kolom ke-j, ditulis K ij (A), dlh penukrn semu elemen kolom ke-i dengn kolom ke-j tu kolom ke-i dijdikn kolom ke-j.
Contoh : A 4 4 K (A) 4, K (A) iii. Menglikn ris ke-i dengn ( ), ditulis H ( menglikn kolom ke-i dengn Contoh : ditulis K i i (A) dn ) ( ) (A). 4. A, mk H (-) (A) 4 4 4 dn H (/) (A) 8. Sedngkn K () (A), dn K (-) (A) 4 iv. Menmh ris ke-i dengn Hi + Hj Contoh : kli ris ke-j, ditulis H ij ( ) (A).
A 4, mk H () (A) 4 6 5 dn 4 H (-) (A) v. Menmh kolom ke-i dengn kli kolom ke-j ditulis Contoh : K ij ( ) (A). A 4, mk K (-) (A) 7 4 dn 7 4 K () (A) 5 6 vi. Bil dikethui B dlh mtriks trnsformsi elementer dri A mk mtriks A dicri dengn mengmil invers dri mtriks B. Contoh : () B H (A) 4, mk A 4 H ()- (B) H (-) (B) H H 4
II. Mtriks Ekivlen Du mtriks A dn B diseut ekivlen, ditulis A B, jik B diperoleh dri A dengn melkukn trnsformsi elementer, dn selikny A diperoleh dri B dengn melkukn invers trnsformsi elementer. Contoh : A 4 dn B 4, dlh ekivlen se B H (A)
Opersi Bris Elementer (OBE) Mislny pd sutu mtriks dilkukn opersi-opersi segi erikut :. Sling menukr du ris Mislny menukr ris ke-i dengn ris ke- j. Menglikn ris dengn ilngn rel tk Nol Mislny menglikn ris ke- I dengn sclr k, k. Menmhkn sutu ris di ts diseut opersi ris Elementer (OBE) dn erturutturut dinytkn dengn :. R ij. R j (k) c. R ij (k) Contoh : R R (-) R (-) R () R (-) R (4) ~ ~ ~ ~ ~ Contoh : Uhlh mtriks erikut menjdi mtriks eselon tereduksi : A Penyelesin : R (5) R (-5) R (-) R (-) R (-/4) R () ~ ~ ~ ~ R (4/7) R (7/7) R (/7) ~ ~
Sol :. Uhlh mtriks erikut menjdi mtriks eselon :. A. B c. C. Uhlh mtriks erikut menjdi mtriks. D. E c. F Penyelesin : R (-).. A ~ R (/). B ~ R (-) R (-7) R (/4) R () c. C ~ ~ ~ R (-4/6) ~
R (/) R (-4)- R (/9) R (-7/).. D ~ ~ ~ ~ R (-) R (-) R () R (-). E ~ ~ ~ R R (-5) R (-) R () R (/) c. F ~ ~ ~ ~ R (9) R (-) ~
MATERI V RANK MATRIKS A. Kidh Dsr Rnk Mtriks Rnk dri sutu mtriks dlh sutu nili yng menunjukkn jumlh vektor-vektor yng es linier pd sutu mtriks. Kidh-kidh trnsformsi elementer : i. Apil d mtriks A ( ij ), mk trnsformsi elemenelemen pd ris ke-i dengn ris ke-j ditulis H ij (A), yng merupkn penukrn semu elemen ris ke-i dengn ris ke-j tu ris ke-i dijdikn ris ke-j dn ris ke-j dijdikn ris ke-i. Contoh : 4 A mk H (A) 4 dn 4 H (A) ii. Trnsformsi elemen-elemen pd kolom ke-i dengn kolom ke-j, ditulis K ij (A), dlh penukrn semu elemen kolom ke-i dengn kolom ke-j tu kolom ke-i dijdikn kolom ke-j.
Contoh : A 4 4 K (A) 4, K (A) iii. Menglikn ris ke-i dengn ( ), ditulis H ( menglikn kolom ke-i dengn Contoh : ditulis K i i (A) dn ) ( ) (A). 4. A, mk H (-) (A) 4 4 4 dn H (/) (A) 8. Sedngkn K () (A), dn K (-) (A) 4 iv. Menmh ris ke-i dengn Hi + Hj Contoh : kli ris ke-j, ditulis H ij ( ) (A).
A 4, mk H () (A) 4 6 5 dn 4 H (-) (A) v. Menmh kolom ke-i dengn kli kolom ke-j ditulis Contoh : K ij ( ) (A). A 4, mk K (-) (A) 7 4 dn 7 4 K () (A) 5 6 vi. Bil dikethui B dlh mtriks trnsformsi elementer dri A mk mtriks A dicri dengn mengmil invers dri mtriks B. Contoh : () B H (A) 4, mk A 4 H ()- (B) H (-) (B) H H 4
. Mtriks Ekivlen Du mtriks A dn B diseut ekivlen, ditulis A B, jik B diperoleh dri A dengn melkukn trnsformsi elementer, dn selikny A diperoleh dri B dengn melkukn invers trnsformsi elementer. Contoh : A 4 dn B 4, dlh ekivlen se B H (A). Rnk Mtriks Rnk ris dri mtriks A dlh dimensi dri rung ris mtriks A. Rnk kolom dri mtriks A dlh dimensi dri rung kolom mtriks A. Bil rnk ris rnk kolom mk rnk mtriks A yitu r (A) dlh hrg tu nili dri rnk ris/ rnk kolom mtriks A terseut. Dengn kt lin rnk dri mtriks menytkn jumlh mksimum vektor-vektor ris/kolom yng es liner. Untuk mencri rnk mtriks dpt dilkukn dengn trnsformsi elementer, yitu dengn cr senyk mungkin menguh ris kolom menjdi vektor nol. Contoh : Tentukn rnk dri mtriks A elementer ris: 4 4, Lkuknlh trnformsi 5
H (-) 4 4 4 5, 4 H (-) 4 5 5 4 5 H (-) 5 5 5 Bris ke dlh vector nol ; rnk (A) Petunjuk menentukn rnk mtriks : i. Bil mtriks hny mempunyi du ris, mk cukup diperiks pkh elemen-elemen pd ris ke- dn ris ke- sling erkeliptn. Contoh : Jik A erkeliptn. Rnk (A) 4, ris - dn ris- tidk 4 Jik A 4, ris- dn ris- erkeliptn, rnk (A) ii. Secr umum :. Pilih ris / kolom yng ukn vektor nol, dn pilih elemen pd ris/kolom terseut yng tidk sm 6
dengn nol segi elemen pivot. Pd contoh trnsformsi ris ( ), kemudin pilih ris yng mengndung elemen tu segi elemen pivot.. Jdikn nol semu elemen yng sekolom dengn elemen pivot mellui trnsformsi ris oleh elemen pivot terseut. Pd contoh dits, dn 4 dijdikn nol.. Selnjutny tidk perlu lgi memeperhtikn ris pivot dits. Perhtikn ris-ris yng tinggl. Pd contoh dits dlh ris. Kerjkn lngkh () terhdp merek. Pd contoh dits pilih ris 4 dengn elemen pivot 4. Seterusny kemli lgi pd lngkh dn. 4. Proses ini kn erkhir il lngkh tidk dpt dikerjkn lgi, yitu il telh menjdi ris nol. 7
MATERI VII DETERMINAN SARRUS Pokok Bhsn : Determinn Su Pokok Bhsn : I. Determinn. Pengertin Determinn. D e t e r m i n n C r S r r u s. Sift-sift Determinn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Agr mhsisw dpt memhmi p yng dimksud dengn determinn mtriks. : Agr mhsisw mmpu menjelskn dn dpt menyelesikn mslh yng terkit dengn : I. Determinn. Pengertin Determinn. Determinn Srrus. Sift-sift Determinn Jumlh Pertemun : (stu)
I. Determinn. Pengertin determinn : Determinn merupkn seuh ilngn tunggl tu sclr, dn hny dijumpi dlm mtriks ujur sngkr. Jik determinn sutu mtriks ujur sngkr dlh nol, mk mtriks terseut diktkn segi mtriks singulr. Dn jik determinn mtriks terseut ukn nol, mk mtriks terseut diktkn segi mtriks non singulr. Mtriks nonsingulr, secr liner tidk tergntung (sling independent) Mislny, A mtriks erukurn, A, mk determinn mtriks A, A Untuk mtriks yng erordo leih tinggi (mtriks ), cr untuk mendptkn determinnny dlh dengn cr :. Metode Srrus. A - - - + + + ( ( ( ( ) ) ) ) ( ) ( )
Contoh : A 4 5 7 6 4 5.5. + (-).6. + 7.4.(-) 7.5..6.(-) (-).4. + -56 + 4 + - C ij M ij, kren. Sift-sift Determinn Sift-sift determinn d enm, yitu :. Determinn sutu mtriks sm dengn determinn dri trnsposeny, det (A) det (A t ).. Penmhn tu pengurngn sutu keliptn ukn nol dri sutu ris/kolom dri ris/kolom linny tidk kn mempunyi pengruh pd determinn. c. Penukrn tempt ntr du ris tu kolom semrng dri sutu mtriks kn meruh tnd, tetpi tidk meruh hrg solut dri determinn. d. Determinn dri sutu mtriks segitig (tringulr mtriks), yitu mtriks dengn elemen-elemen nol dits tu di wh digonl utm, dlh sm dengn hsil kli dri elemenelemen dri digonl utm. e. Jik semu elemen dri sutu ris tu kolom dlh nol, determinn dlh nol. f. Jik du ris tu kolom identik, tu proporsionl, yitu secr liner tergntung, mk determinn dlh nol.
MATERI VII DETERMINAN LAPLACE I. Minor dn Kofktor Dpt dientuk sutu su determinn dri mtriks yng diseut segi minor. Sehingg Minor M ij dlh determinn dri sumtriks yng dientuk dengn menghpus ris ke-i dn kolom ke-j dri mtriks terseut. Dimn M dlh minor dri ; M dlh minor dri dn M dlh minor dri, dn seterusny. M M M Apil sutu minor dieri tmhn tnd (-) i+j, mk diseut kofktor C ij. j Mk C ij ( ) i M ij ; jik jumlh i+j genp mk C ij M ij, kren (-) dipngktkn dengn ilngn genp kn sm dengn. Sedngkn jik jumlh i+j dlh gnjil mk C ij M ij, kren jik (-) dipngktkn dengn ilngn negtif mk hsilny kn sm dengn (-).
II. Sift-sift Determinn Sift-sift determinn d enm, yitu :. Determinn sutu mtriks sm dengn determinn dri trnsposeny, det (A) det (A t ).. Penmhn tu pengurngn sutu keliptn ukn nol dri sutu ris/kolom dri ris/kolom linny tidk kn mempunyi pengruh pd determinn. c. Penukrn tempt ntr du ris tu kolom semrng dri sutu mtriks kn meruh tnd, tetpi tidk meruh hrg solut dri determinn. d. Determinn dri sutu mtriks segitig (tringulr mtriks), yitu mtriks dengn elemen-elemen nol dits tu di wh digonl utm, dlh sm dengn hsil kli dri elemenelemen dri digonl utm. e. Jik semu elemen dri sutu ris tu kolom dlh nol, determinn dlh nol. f. Jik du ris tu kolom identik, tu proporsionl, yitu secr liner tergntung, mk determinn dlh nol. III. Ekspnsi Lplce Metode tu ekspnsi Lplce dlh sutu cr untuk menghitung determinn dengn menggunkn kofktor. Determinn dri sutu mtriks jumlh perklin elemen-elemen dri semrng ris/kolom dengn kofktor-kofktorny. Ekspnsi Lplce dpt ditulis dengn cr : 4
A C C C menggunkn ris Dengn pol yng sm dpt jug dihitung dengn menggunkn ris ke du dn ketig, dengn memerikn hsil determinn yng sm. Tnd-tnd kofktor secr erurutn dlh : contoh : 4 A 5 4 C ( ) M ( ) ( )() C ( ) M ( ) 5 ( )( 6 ) 6 4 C ( ) M ( ) ( )() 5 A C C C A ( )( ) ( )( 6 ) ( )( ) 54 IV. Mtriks Kofktor dn Mtriks Adjoint 5
Mtriks kofktor dlh sutu mtriks dimn setip elemen ij dignti dengn kofktorny C ij, sehingg diseut mtriks kofktor. Mtriks djoint dlh trnspose dri sutu mtriks kofktor. Mislny seuh mtriks kofktor dri mtriks A; C C C C C C C C C C, dj C C C C C C C C Contoh : A 4 5, untuk menentukn Adj (A) mk dientuk mtriks 4 kofktorny terleih dhulu. C 4 4 4 4 5 4 5 5 4 5 4 4 6 7 C 9 9 5 9 5 Adj A C 6 7 9 ~. Mtriks Blikn (invers) Bhn Mteri VII (erikutny!) 6
Inverse Mtriks (mtriks likn) A - hny dpt ditemukn pd sutu mtriks ujur sngkr, dn non singulr. Dimn hrus memenuhi sutu huungn segi erikut : AA - I A - A Dimn rumus untuk memperolh likn dri mtriks dlh : A AdjA A Contoh :. A, det (A) 4 4, A - 4.A 4 4, 5 det(a) 4 4 5 5 6 54 A - 8 4 9 9 4 4 54 54 5 8 7 54 7 7 7 5 4 7 54 7. 7
UJIAN TENGAH SEMESTER Pertemun 9 //6
MATERI VIII DETERMINAN LAPLACE LANJUT I. Minor dn Kofktor Dpt dientuk sutu su determinn dri mtriks yng diseut segi minor. Sehingg Minor M ij dlh determinn dri sumtriks yng dientuk dengn menghpus ris ke-i dn kolom ke-j dri mtriks terseut. Dimn M dlh minor dri ; M dlh minor dri dn M dlh minor dri, dn seterusny. M M M Apil sutu minor dieri tmhn tnd (-) i+j, mk diseut kofktor C ij. Mk C ij ( ) i M ij ; jik jumlh i+j genp mk C ij M ij, kren (-) dipngktkn dengn ilngn genp kn sm dengn. Sedngkn jik jumlh i+j dlh gnjil mk C ij M ij, kren jik (-) dipngktkn dengn ilngn negtif mk hsilny kn sm dengn (-).
II. Sift-sift Determinn Sift-sift determinn d enm, yitu :. Determinn sutu mtriks sm dengn determinn dri trnsposeny, det (A) det (A t ).. Penmhn tu pengurngn sutu keliptn ukn nol dri sutu ris/kolom dri ris/kolom linny tidk kn mempunyi pengruh pd determinn. c. Penukrn tempt ntr du ris tu kolom semrng dri sutu mtriks kn meruh tnd, tetpi tidk meruh hrg solut dri determinn. d. Determinn dri sutu mtriks segitig (tringulr mtriks), yitu mtriks dengn elemen-elemen nol dits tu di wh digonl utm, dlh sm dengn hsil kli dri elemenelemen dri digonl utm. e. Jik semu elemen dri sutu ris tu kolom dlh nol, determinn dlh nol. f. Jik du ris tu kolom identik, tu proporsionl, yitu secr liner tergntung, mk determinn dlh nol. III. Ekspnsi Lplce Metode tu ekspnsi Lplce dlh sutu cr untuk menghitung determinn dengn menggunkn kofktor. Determinn dri sutu mtriks jumlh perklin elemen-elemen dri semrng ris/kolom dengn kofktor-kofktorny. Ekspnsi Lplce dpt ditulis dengn cr : 4
A C C C menggunkn ris Dengn pol yng sm dpt jug dihitung dengn menggunkn ris ke du dn ketig, dengn memerikn hsil determinn yng sm. Tnd-tnd kofktor secr erurutn dlh : contoh : 4 A 5 C ) M ) )() C ) M ) 5 )( ) C ) M ) 5 )() A C C C A )( ) )( ) )( ) 4 IV. Mtriks Kofktor dn Mtriks Adjoint 5
Mtriks kofktor dlh sutu mtriks dimn setip elemen ij dignti dengn kofktorny C ij, sehingg diseut mtriks kofktor. Mtriks djoint dlh trnspose dri sutu mtriks kofktor. Mislny seuh mtriks kofktor dri mtriks A; C C C C C C C C C C, dj C C C C C C C Contoh : A 4 5, untuk menentukn Adj (A) mk dientuk mtriks 4 kofktorny terleih dhulu. C 4 4 4 4 5 4 5 5 4 5 4 4 6 7 C 9 9 5 9 5 Adj A C 6 7 9 ~. Mtriks Blikn (invers) Bhn Mteri VII (erikutny!) 6
Inverse Mtriks (mtriks likn) A - hny dpt ditemukn pd sutu mtriks ujur sngkr, dn non singulr. Dimn hrus memenuhi sutu huungn segi erikut : AA - I A - A Dimn rumus untuk memperolh likn dri mtriks dlh : A AdjA A Contoh :. A, det (A) 4 4, A - 4.A 4 4, 5 det(a) 5 6 4 A - 4 8 9 9 4 54 54 5 7 4 7 7 7 5 4 7 54 7. 7
i Aljr Liner Buku Ajr Aljr Liner Oleh Yulint Sironi S.Si PROGRAM PERKULIAHAN DASAR UMUM SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM BANDUNG Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
ii Aljr Liner Kt Pengntr Dengn mengucpkn syukur lhmdulillh,khirny uku jr ljr liner dpt diselesikn. Buku jr ini merupkn cttn kulih dri penulis selm penulis memerikn perkulin ljr liner di STT Telkom. Pemutn uku jr ini dimksudkn untuk memntu mhsisw STT Telkom dlm memhmi perkulihn ljr liner mupun kulih- kulih lin yng menggunkn ljr liner segi dsrny. Penulis menydri hw dlm penulisn uku jr ini msih nyk kekurngn yng terjdi. Untuk itu dny srn dn kritik dri pemc sngt diperlukn penulis untuk perikn diktt ini dims mendtng. Penulis jug mengucpkn terim ksih terhdp semu pihk yng telh memntu dlm pemutn uku jr ini. Bndung, Agustus Penulis Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
iii Aljr Liner DAFTAR ISI. Mtriks dn Opersi Opersiny. I. Pendhulun... I. Jenis jenis mtriks. I. Opersi opersi mtriks. I.4 Mtriks Invers. Sistem Persmn Liner... II. Pendhulun.. II. II. II.4 Opersi ris elementer. Sistem persmn liner Homogen... Menentukn invers mtriks... Determinn mtriks... III. Pendhulun.. III. Metode perhitungn determinn... III. III.4 Menentukn himpunn penyelesin sistem persmn linier dengn metode Crmmer.. Huungn determinn, invers mtriks dn penyelesin untuk sistem persmn linier 4. Vektor Vektor di idng dn di rung IV. Pendhulun. IV. Opersi opersi pd vektor. IV. Hsil kli titik, pnjng vektor dn jrk ntr du vektor IV.4 IV.5 Proyeksi orthogonl Perklin silng vektor 4 6 6 7 5 5 6 8 9 5 7 4 7 8 9 Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
iv Aljr Liner 5. Rung Rung Vektor.... V. Rung n Euclides. V. Rung vektor umum V. Su rung vektor. V.4 Memngun dn es linier... V.5 Bsis dn Dimensi V.6 Bsis rung ris dn sis rung kolom. V.7 Bsis rung solusi 6. Rung Hsil Kli Dlm.. VI. Hsil kli dlm VI. Pnjng vektor, jrk ntr vektor,dn esr sudut dlm RHD VI. Bsis orthonorml VI.4 Peruhn Bsis 7. Rung Eigen... VII. Nili Eigen sutu mtriks 44 44 45 46 5 54 54 56 6 6 6 64 65 Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
v Aljr Liner VII. VII. Digonlissi Digonlissi orthogonl 8. Trnsformsi Liner... VIII. Pendhulun VIII. Kernel ( inti ) dn Jngkun VIII. Mtriks trnsformsi Dftr Pustk. Anton, H.( 99) Elementry Liner Alger.John Wiley nd Sons. Leon, S.J.( ). Aljr Liner Dn Apliksiny edisi 5. Penerit Erlngg. Mursit D. ( ). Diktt Kulih Aljr Liner Elementer. STT Telkom Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
vi Aljr Liner Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
Mtriks dn opersi opersiny BAB I Mtriks dn Opersi Opersiny I. Pendhulun Definisi : Mtriks dlh susunn segi empt siku siku dri ilngn yng ditsi dengn tnd kurung. Sutu mtriks tersusun ts ris dn kolom, jik mtriks tersusun ts m ris dn n kolom mk diktkn mtriks terseut erukurn ( erordo ) m n. Penulisn mtriks isny menggunkn huruf esr A, B, C dn seterusny, sedngkn penulisn mtriks esert ukurnny (mtriks dengn m ris dn n kolom ) dlh A mn, B mn dn seterusny. Bentuk umum Bentuk umum dri A mn dlh : A mn : m : m...... :::... n n : mn, ij diseut elemen dri A yng terletk pd ris i dn kolom j. I. Jenis jenis mtriks Ad eerp jenis mtriks yng perlu dikethui dn sering digunkn pd pemhsn selnjutny, yitu :. Mtriks Bujur sngkr Mtriks ujur sngkr dlh mtriks yng jumlh risny sm dengn jumlh kolomny. Kren siftny yng demikin ini, dlm mtriks ujur sngkr dikenl istilh elemen digonl yng erjumlh n untuk mtriks ujur sngkr yng erukurn nn, yitu :,,, nn. Contoh.. A A dengn elemen digonl dn dengn elemen digonl, dn. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks yng elemen ukn digonlny ernili nol. Dlm hl ini tidk disyrtkn hw elemen digonl hrus tk nol. Contoh.. A B, C Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
Mtriks dn opersi opersiny c. Mtriks Nol Mriks Nol merupkn mtriks yng semu elemenny ernili nol. d. Mtriks Segitig Mtriks segitig dlh mtriks ujur sngkr yng elemen elemen diwh tu dits elemen digonl ernili nol. Jik yng ernili nol dlh elemen elemen diwh elemen digonl mk diseut mtriks segitig ts, selikny diseut mtriks segitig wh. Dlm hl ini, jug tidk disyrtkn hw elemen digonl hrus ernili tk nol. Contoh.. A, B, C Mtriks A dlh mtriks segitig wh, mtriks B dlh mtriks segitig ts sedngkn mtriks C merupkn mtriks segitig wh dn jug mtriks segitig ts. e. Mtriks Identits Mtriks identits dlh mtriks digonl yng elemen digonlny ernili f. Mtriks dlm entuk eselon ris tereduksi Sutu mtriks diktkn memiliki entuk eselon ris tereduksi jik memenuhi syrt syrt erikut :. Untuk semu ris yng elemen elemenny tk nol, mk ilngn pertm pd ris terseut hruslh ( diseut stu utm ).. Untuk semrng du ris yng erurutn, mk stu utm yng terletk pd ris yng leih wh hrus terletk leih ke knn dripd stu utm pd ris yng leih ts.. Jik sutu ris semu elemenny dlh nol, mk ris terseut diletkkn pd gin wh mtriks. 4. Kolom yng memiliki stu utm hrus memiliki elemen nol ditempt linny. Contoh..4 A, B, C Mtriks A, B dn C dlh mtriks mtriks dlm entuk eselon ris tereduksi dn notsi menytkn stu utmny. Contoh erikut menytkn mtriks mtriks yng ukn dlm entuk eselon ris tereduksi. Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
Mtriks dn opersi opersiny Contoh..5 D, E Mtriks D ukn dlm entuk eselon ris tereduksi kren elemen d ernili sehingg tidk memenuhi syrt ke 4 ( hrusny ), sedngkn mtriks E tidk memenuhi kren ris kedu yng merupkn ris nol letkny mendhului ris ketig yng merupkn ris tk nol, sehingg syrt ketig tidk terpenuhi. Jik sutu mtriks hny memenuhi syrt sj, mk diktkn mtriks terseut memiliki entuk eselon ris. I. Opersi opersi mtriks. Penjumlhn mtriks Opersi penjumlhn dpt dilkukn pd du uh mtriks yng memiliki ukurn yng sm. Aturn penjumlhn Dengn menjumlhkn elemen elemen yng ersesuin pd kedu mtriks Contoh: c e + d g f + e h c + g + f d + h. Perklin mtriks dengn mtriks Opersi perklin mtriks dpt dilkukn pd du uh mtriks ( A dn B) jik jumlh kolom mtriks A jumlh ris mtriks B. Aturn perklin Mislkn A mn dn B nk mk A mn B nk C mk dimn elemen elemen dri C( c ij ) merupkn penjumlhn dri perklin elemen elemen A ris i dengn elemen elemen B kolom j Contoh : A d e c f, B k l m n o p mk A B C k + l + cm dk + el + fm n + o + cp dn + eo + fp c. Perklin mtriks dengn sklr Sutu mtriks dpt diklikn sutu sklr k dengn turn tip tip elemen pd A diklikn dengn k. Contoh.. c c d e f d e f Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
4 Mtriks dn opersi opersiny d. Trnspose mtriks Trnspose mtriks A ( dinotsikn A t ) didefinisikn segi mtriks yng ris risny merupkn kolom dri A. Contoh : A 4 5 6 A t Sift sift dri opersi mtriks - A+B B+A - A+ ( B+C ) ( A+B) + C - AB BA - A ( BC ) ( AB ) C - ( A t ) t A - ( AB ) t B t A t 4 5 6 I.4 Mtriks Invers Definisi Jik A, B mtriks ujur sngkr dn erlku AB BA I ( I mtriks identits ), mk diktkn hw A dpt dilik dn B dlh mtriks invers dri A ( notsi A ). 5 5 Contoh : A, B AB BA Mk B A dn A B Sift yng erlku : - ( A ) A - ( AB ) B A Ltihn I. Tentukn jenis dri mtriks mtriks diwh ini ( jik memenuhi leih dri stu, tuliskn semu )! A, B, C, D. Dikethui A, B dn C. Hitung B + C!. Hitung AB dn AC, kemudin tentukn AB + AC c. Dri perhitungn B + C seelumy, hitung A ( B + C ) kemudin ndingkn hsilny dengn jwn dri! Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
5 Mtriks dn opersi opersiny. Dri sol nomor, tentukn. ( AB ) t dn ( AC ) t!. Hitung B t A t dn C t A t, kemudin ndingkn hsilny dengn jwn! 4. Tunjukkn pkh mtriks B merupkn invers A! 4 4. A dn B. A dn B 8 Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
6 Sistem persmn liner BAB II Sistem Persmn Liner II. Pendhulun Bentuk umum Sutu persmn liner yng mengndung n peuh,,, n dinytkn dlm entuk + + + n n dengn,,, n, dlh konstnt riil. Dlm hl ini, peuh yng dimksud ukn merupkn fungsi trigonometri, fungsi logritm tupun fungsi eponensil. Contoh.. :. + y 4 persmn liner dengn peuh. y z + persmn liner dengn peuh c. log + log y ukn persmn liner d. e + ukn persmn liner Sistem persmn liner ( SPL ) Definisi Sistem persmn liner dlh himpunn erhingg dri persmn liner Contoh..:. + y. y + z 4 + y 6 + y Tidk semu sistem persmn liner memiliki penyelesin( solusi ), sistem persmn liner yng memiliki penyelesin memiliki du kemungkinn yitu penyelesin tunggl dn penyelesin nyk. Secr leih jels dpt diliht pd digrm erikut : Tidk memiliki penyelesin ( tidk konsisten ) SPL solusi tunggl memiliki penyelesin ( konsisten ) solusi nyk Pd sistem persmn liner dengn du peuh, secr geometris jik SPL tidk mempunyi penyelesin mk grfikny erup du gris yng sling sejjr, jik penyelesinny tunggl mk himpunn penyelesinny erup seuh titik hsil perpotongn du gris sedngkn jik penyelesinny nyk mk himpunn penyelesinny erup du gris lurus yng sling erhimpit. Secr leih jels dpt diliht pd contoh.. erikut :. + y, Grfikny : + y 6 + y 6 + y Grfik terseut menunjukkn hw kedu gris sejjr sehingg tidk penyelesin yng memenuhi sehingg disimpulkn hw SPL tidk konsisten. Yulint Sironi Sekolh Tinggi TeknologiTelkom
7 Sistem persmn liner. y, Grfikny : + y + y y Grfik terseut menunjukkn hw himpunn penyelesin dri SPL dlh titik potong ntr y dn + y yitu titik (, ). Jdi penyelesin dri SPL dlh tunggl yitu dn y. c. + y, Grfikny : + y 4 + y + y 4 Grfik dits hw + y dn + y 4 sling erhimpit sehingg hny terliht seperti stu gris sj. Himpunn penyelesin dri SPL semu titik yng terletk disepnjng gris terseut. Mislkn dimil mk didptkn y yng memenuhi persmn, jik mk nili y dlh nili yng memenuhi. Secr mtemtis dpt dituliskn segi : { (,y) y, R,y R } Untuk ksus sistem persmn liner dengn menggunkn du peuh, pemutn grfik untuk menentukn himpunn penyelein seperti ini msih memungkinkn, hny sj untuk jumlh peuh yng leih nyk hl ini sulit dilkukn. II. Opersi ris elementer Ketik dihdpi mslh yng erkitn dengn sistem persmn liner terutm yng menggunkn nyk peuh, mk hl pertm yng dpt digunkn untuk menyederhnkn permslhn dlh dengn menguh sistem persmn liner yng d ke dlm entuk mtriks. Sutu persmn liner isny jug tidk didptkn secr lngsung tetpi mellui penyederhnn dri permslhn yng terjdi dlm kehidupn sehri hri. Setelh diuh ke entuk mtriks, mk mtriks terseut diuh ke entuk mtriks dlm entuk eselon ris tereduksi untuk mendptkn penyelesin dri SPL. Prosedur untuk mendptkn mtriks eselon ris tereduksi is diseut segi eliminsi Guss Jordn. Pd proses eliminsi terseut opersi opersi yng digunkn diseut opersi ris elementer. Dlm opersi ris elementer ini d eerp opersi yng dpt digunkn, yitu :. Menglikn sutu ris dengn konstnt tk nol. Mempertukrkn du uh ris c. Menmhkn keliptn sutu ris ke ris linny. Yulint Sironi Sekolh Tinggi TeknologiTelkom
8 Sistem persmn liner Dengn menggunkn opersi ris elementer, mk mtriks eselon ris tereduksi yng didptkn kn ekuivlen dengn mtriks wlny sehingg penyelesin untuk mtriks eselon ris tereduksi jug merupkn penyelesin untuk mtriks wlny. Mtriks wl yng dimksud dlh mtriks diperesr. Untuk meliht secr leih mudh definisi dri mtriks diperesr kn ditunjukkn erikut ini : Dikethui SPL dengn m uh persmn liner dn n peuh + + + n n + + + n n : m + m + + mn n m Sistem persmn liner dits dpt ditulis dlm entuk mtriks AX B dengn A Μ m Μ m...... Μ... n n Μ mn, X Μ m dn B Μ m Mtriks yng memiliki erukurn n tu n is diseut vektor. Penulisn vektor sedikit ered dengn penulisn mtriks, yitu menggunkn huruf kecil dengn cetk tel tu digris tsny. Jdi mtriks X dn B dits is dituliskn segi dn tu dn sehingg SPL dpt dituliskn segi A. Pd SPL yng erentuk seperti ini, mtriks A jug is diseut segi mtriks konstnt. Untuk menyelesikn persmn liner dits mk diut mtriks diperesr dri A dn yng elemen elemenny merupkn gungn elemen mtriks A dn vektor A, yitu : yng dinotsikn [ ] [ A ] Μ m Μ m...... Μ... n n Μ mn Μ m Untuk menyelesikn persmn liner terseut dilkukn eliminsi Guss Jordn seperti ditunjukkn dlm contoh erikut : Contoh... + y + z + 5y + z 6 + 8z 6 Mtriks diperesr [ A ] 5 8 6 6 Opersi ris elementer pd [A ] menghsilkn : Yulint Sironi Sekolh Tinggi TeknologiTelkom
Sistem persmn liner Yulint Sironi Sekolh Tinggi TeknologiTelkom 9 [ ] A 6 6 8 5 ~ 7 4 5 ~ + 4 7 9 ~ 4 7 9 ~ + 9 entuk eselon ris tereduksi Dri entuk eselon ris tereduksi mk dpt diut persmnny, yitu : Dri ris () + y + z Dri ris () + y + z y Dri ris () + y + z z Jdi penyelesin SPL dits dlh tunggl, yitu : z y Untuk meliht pkh jwn terseut enr tukh tidk, kit dpt memsukkn nili nili terseut pd persmn wl. Keterngn Penulisn, dn seginy pd proses dits siftny tidk mutlk dn hny digunkn segi lt pemntu dlm proses opersi ris elementer. Dlm perhitungn selnjutny penulisn ini mungkin tidk perlu dilkukn.. + z + y z + y + 5z Mtriks diperesr [ ] A 5 [ ] A 5 ~ ~ Persmnny : Dri ris + z z Dri ris y + z y z Kren ris dlh ris nol dn kolom yng tidk memiliki stu utm dlh kolom mk dpt dimil nili z semrng mislkn z s, sehingg nili s dn y s. Bris nol pd ksus dits jug menunjukkn hw penyelesin dri SPL dlh tk hingg nyk. Bnykny ris nol pd mtriks dits ( dengn A merupkn mtriks ujursngkr ) jug menunjukkn nykny prmeter (s) pd penyelesin SPL. Jdi penyelesin dri SPL dlh s s s z y Untuk menguji pkh nili yng didptkn enr tu tidk, mil semrng ilngn untuk s mislny s didptkn, y dn z msukkn nili nili ke
Sistem persmn liner persmn kemudin ndingkn rus kiri dn rus knn. Co lgi untuk nili s yng lin. c. + z 4 + y + y + 5z 6 Mtriks diperesr [ A ] [ A ] 5 4 6 ~ 5 4 Pd ris ketig mtriks eselon ris tereduksi didptkn persmn: + y + z hl ini jels menunjukkn hw tidk d nili untuk, y dn z yng memenuhi persmn kren ppun nili, y dn z ny, rus kiri kn sellu ernili nol jdi nili tidk kn tercpi. Jdi klu d entuk mtriks eselon ris tereduksi yng seperti dits, psti dpt disimpulkn hw SPL tidk memiliki penyelesin tu SPL tidk konsisten. 4 6 4 ~ II. Sistem persmn liner Homogen Sistem persmn liner Homogen merupkn ksus khusus dri Sistem persmn liner is A untuk ksus. Kren entukny yng demikin mk pstilh pd mtriks diperesr [ A ] setelh dilkukn eliminsi Guss Jordn kolom terkhirny kn sellu nol sehingg penyelesin dri SPL kn sellu d. Ad du mcm penyelesin dlm SPL homogen ini yitu trivil ( tk sejti ) dn tk trivil ( sejti ). Penyelesin trivil terjdi jik stu stuny penyelesin untuk SPL dlh hl ini terjdi jik semu kolom pd mtriks diperesr [ A ] ( setelh dilkukn eliminsi Guss Jordn ) memiliki stu utm keculi untuk kolom yng terkhir tu dengn kt lin semu kolom pd mtriks A memiliki stu utm. Jik hl yng selikny terjdi yitu tidk semu kolom pd mtriks A ( setelh dilkukn eliminsi Guss Jordn ) memilki stu utm tu jik terdpt ris nol mk penyelesin untuk SPL dlh penyelesin tk trivil yitu penyelesin tk hingg nyk. Contoh.. Dikethui sistem persmn liner homogen y z Yulint Sironi Sekolh Tinggi TeknologiTelkom
Sistem persmn liner Yulint Sironi Sekolh Tinggi TeknologiTelkom Penyelesin dri SPL homogen dits dlh [ ] A ~ ~ Pd mtriks yng terkhir terliht hw semu kolom mtriks A memiliki stu utm sehingg penyelesinny dlh trivil yitu z y Contoh.. Dikethui sistem persmn liner homogen 4 w z y Penyelesin dri SPL homogen dits dlh : [ ] A 4 ~ 6 6 ~ Pd mtriks yng terkhir terliht hw hny du kolom dri mtriks A yng memiliki stu utm tu terdpt du ris nol, ini errti hw penyelesin SPL dlh tk trivil yitu penyelesin nyk dengn du prmeter yitu : w z z w w z y, jik dimil z s dn w t, s,t R mk t s s t w z y Eliminsi Gus Jordn untuk mendptkn penyelesin SPL homogen sering jug dilkukn pd mtriks A sj kren pd ksus ini jdi tidk kn mempengruhi hsil perhitungn. II.4 Menentukn invers mtriks Pd seelumny sudh dihs tentng invers sutu mtriks. Invers sutu mtriks ( mislkn invers A ) dpt dihitung dengn menggunkn eliminsi Guss Jordn terhdp mtriks diperesr [ ] I A dimn ukurn I sm dengn ukurn A. Cr perhitungn seperti ini didsrkn dri sift A A I. Untuk menentukn solusi dri SPL terseut mk erdsrkn prosedur yng telh dipeljri seelumny, mk dpt dilkukn eliminsi Guss Jordn terhdp mtriks [ ] I A. Jik A memng memilki
Sistem persmn liner Yulint Sironi Sekolh Tinggi TeknologiTelkom invers mk mtriks eselon ris tereduksiny kn erentuk [ ] A I. Jik setelh melkukn eliminsi Guss Jordn tidk diperoleh entuk [ ] A I mk disimpulkn hw mtriks terseut tidk memiliki invers. Contoh.4. Dikethui A 4 5 5, tentukn A jik d! Jw: [ ] I A 4 5 5 ~ 5 ~ ~ ~ 5 4 5 5 [ ] A I Jdi A 5 4 5 5 Untuk meliht pkh jwn terseut enr tu tidk, mk hitunglh A hsil perhitungn dengn A, jik hsilny I mk jwn terseut enr. Contoh.4. Dikethui mtriks A 5 4 4 6 Tentukn invers mtriks A jik d! Jw: [ ] I A 5 4 4 6 ~ 9 8 9 8 4 6 ~ 9 8 4 6 Wlupun mtriks elum dlm entuk eselon ris tereduksi, tpi perhitungn sudh dpt dihentikn pd thp ini sudh terliht hw entuk [ ] A I tidk kn is didptkn sehingg dpt disimpulkn mtriks A tidk memiliki invers. Sutu mtriks konstn (A) yng memiliki invers, mk SPL A yng erkitn kn memiliki solusi tunggl yitu : A, jik erup SPL Homogen mk
Sistem persmn liner Yulint Sironi Sekolh Tinggi TeknologiTelkom Ltihn II. Gunkn eliminsi Guss Jordn untuk mendptkn entuk eselon ris tereduksi dri mtriks mtriks erikut :. A. B. Tuliskn sistem persmn liner erikut dlm entuk mtriks kemudin tentukn penyelesinny ( jik d )!. + y + z 6. + y y z y + z 5 + y + z 5 + y + z c. + y z + d. 6 + y y + + 5y 4y. Tentukn invers mtriks dri mtriks erikut ( jik d )!. A. B c. C d. C 8 5 4. Dikethui persmn R dengn R mtriks konstnt pd nomor, dn. Tentukn solusi SPL ( jik d )! 5. Dikethui persmn R dengn R mtriks konstnt pd nomor, Tentukn jenis solusi dri SPL dn tuliskn solusiny! 6. Dikethui SPL erentuk : y. Tentukn nili dn gr SPL memiliki solusi tunggl, kemudin tulis solusi SPL ny!. Tentukn nili dn gr SPL memiliki solusi nyk, kemudin tulis solusi SPL ny! 7. Dikethui SPL y
4 Sistem persmn liner Tentukn nili untuk dn gr SPL memiliki solusi nyk dn tulis solusi SPL terseut! 8. Dikethui SPL erikut : + y z + y z y + z Tentukn semu nili untuk dn gr SPL memiliki solusi nyk, kemudin untuk setip psngn nili dn terseut tuliskn solusi SPL! Yulint Sironi Sekolh Tinggi TeknologiTelkom
5 Determinn mtriks BAB III Determinn mtriks III. Pendhulun Definisi determinn Mislkn A mtriks ujur sngkr, fungsi determinn A sering dituliskn segi determinn ( disingkt det(a) tu A ) didefinisikn segi jumlh semu hsil kli elementer ertnd dri A. Jik A erukurn nn, mk hsil kli elementer dri mtriks A kn erentuk : p. p npn dimn p p p n merupkn permutsi dri ilngn ilngn,,, n. Tnd dri p. p npn sendiri ditentukn dri nykny ilngn ult esr yng mendhului ilngn yng leih kecil ( nykny invers ) pd ilngn p p p n, jik nykny invers dlh gnjil mk tndny negtif ( ) dn jik selikny tndny positif ( + ). Contoh.. Dikethui A c Tentukn det(a)! d Jw Bnykny permutsi, ( kren A erukurn ) yitu dn Pd ilngn kn didptkn nykny invers sehingg tnd untuk hsil kli elementer. dlh (+), sedngkn untuk hsil kli elementer. kn ertnd ( ) kren pd ilngn terdpt stu ngk ult yng mendhului ngk yng leih kecil. Jdi det(a) +.. d c Contoh.. Dikethui B,Tentukn det B! Jw Untuk memudhknny kn diut tel segi erikut : permutsi Hsil kli elementer Bnyk invers Hsil kli elementer ertnd.. +............ +.... +...... Jdi det B +.... +.... +.... Untuk ksus mtriks yng erukurn leih dri, tentuny penentun nili determinn dengn menggunkn definisi terseut menjdi kurng efektif dn leih Yulint sironi STT Telkom
6 Determinn mtriks rumit. Berdsrkn definisi dri determinn terseut mk dikemngkn metode perhitungn determinn yng leih cept yng kn dihs digin selnjutny. III. Metode perhitungn determinn. Ekspnsi kofktor Pd metode ini dikenl eerp istilh, ntr lin : Minor elemen ij ( M ij ) yitu determinn yng didptkn dengn menghilngkn ris i dn kolom j mtriks wlny. Kofktor elemen ij ( C ij ) ( ) i+j M ij Jik A mtriks ujur sngkr erukurn nn, mk dengn menggunkn metode ini perhitungn determinn dpt dilkukn dengn du cr yng semuny menghsilkn hsil yng sm yitu : ekspnsi sepnjng ris i det(a) i C i + i C i + + in C in ekspnsi sepnjng kolom j det(a) j C j + j C j + + nj C nj Contoh.. Dikethui A 4, Tentukn det (A) dengn menggunkn ekspnsi kofktor! Jw Akn dico menggunkn ekspnsi ris untuk menghitung det (A) Det (A) C + C + C C ( ) + M M C ( ) + M M C ( ) + M M 4 4 ( 4) 6 8 Jdi det (A) (. ) + (. ) + (. ) Contoh.. Dikethui B Hitung det (B)! Jw Jik meliht sift dri metode ini, mk perhitungn kn leih cept jik d elemen ij yng ernili. Jdi pemilihn ris / kolom kn sngt menetukn keceptn perrhitungn. Dlm contoh ini terliht hw ris/kolom yng mengndung nyk nili dlh kolom. Jdi det (B) kn dpt dihitung secr cept menggunkn ekspnsi terhdp kolom. Yulint sironi STT Telkom
7 Determinn mtriks det(b) C + C + C C ( kren dn ernili ) C ( ) + M M Jdi det(b). 4. Reduksi ris menggunkn opersi ris elementer Penggunn metode ini seenrny tidk leps dri metode ekspnsi kofktor yitu pd ksus sutu kolom nyk mengndung elemen yng ernili. Berdsrkn sift ini mk mtriks yng erentuk eselon ris tu mtriks segitig kn leih mudh untuk dihitung nili determinnny kren hny merupkn perklin dri elemen digonlny. Reduksi ris dilkukn dengn menguh kolom kolom sehingg nyk memut elemen. Bisny entuk metriks khir yng ingin dicpi dlh entuk eselon ris tu entuk segitig tetpi ini tidk mutlk. Jik entuk eselon tu segitig elum tercpi tetpi dinggp perhitungnny sudh cukup sederhn mk determinn is lngsung dihitung. Dlm melkukn reduksi ris opersi yng digunkn dlh opersi ris elementer. Pd opersi ris elementer d eerp opersi yng erpengruh terhdp nili determinn wl, yitu : - Jik mtriks B diperoleh dengn mempertukrkn du ris pd mtriks A mk det (B) det (A) - Jik mtriks B diperoleh dengn menglikn konstnt k ke slh stu ris mtriks A mk det (B) k det (A) - Jik mtriks B didptkn dengn menmhkn keliptn sutu ris ke ris linny, mk det (B) det (A) Contoh.. Dikethui A d g e h c f i dn det (A) r Tentukn determinn dri mtriks mtriks erikut ;. X d g e h f c i. Y c d e f c. Z g h i c d e f + g + h c + i Jw. Mtriks X didptkn dengn mempertukrkn ris dn mtriks A, mk det ( X) det ( X) r. Mtriks Y didptkn dengn menglikn ris ke mtriks A dengn, mk det ( Y).det ( Y) r c. Mtriks Z didptkn dengn menmhkn ris ke ris mtriks A, mk det (Z) det (Z) r Yulint sironi STT Telkom
8 Determinn mtriks Contoh..4 Hitunglh determinn mtriks A dlm contoh.. dengn menggunkn reduksi ris! Jw Dikethui A Eliminsi Guss 4 A 4 ()... 5 5 ( ). 5 5 ( ). 5 III. Menentukn himpunn penyelesin sistem persmn linier dengn metode Crmmer Metode Crmmer didsrkn ts perhitungn determinn mtriks. Sutu SPL yng erentuk A dengn A dlh mtriks ujur sngkr dpt dikerjkn dengn metode Crmmer jik hsil perhitugn menunjukkn hw det (A). Penyelesin yng didptkn dengn metode ini dlh penyelesin tunggl. Dikethui sutu sistem persmn linier erentuk A dengn A dlh mtriks ujur sngkr erukurn nn dn det (A) sedngkn nili dn dlh : : n, : n mk penyelesin untuk dlh : A, A A A A,, n n A A i dlh mtriks A yng kolom ke i ny dignti dengn vektor. Contoh.. Dikethui sistem persmn linier erentuk A 5 4 5 y z. Periks pkh metode Crmmer dpt digunkn untuk mendptkn penyelesin SPL?. Jik is, tentukn penyelesin untuk! Yulint sironi STT Telkom
9 Determinn mtriks Jw. Det (A) 5 5 ().( ) 4 5 5 4 + (). 5 Kren det (A) mk metode Crmmer dpt digunkn. ( 5 ) (6 ). Det (A ) 5 4 5 ().. 5 4 5 + ( ). 5 (5 ) ( + 5) Det (A ) Det (A ) 5 ().( ) 5 4 9 4 4 5 + ( ). 5 4 9 ( +5) + (6 ) 4 Jdi nili untuk, y dn z dlh : A A, 4 y 4 A A dn z A A Menentukn invers sutu mtriks dpt jug menggunkn rumus erikut : A dj ( A) A dimn dj (A) C t dn C { c ij }, c ij kofktor elemen ij III.4 Huungn determinn, invers mtriks dn penyelesin untuk sistem persmn linier Jik sutu SPL erentuk A dn A mtriks ujur sngkr, mk sift dri penyelesin SPL dpt dikethui dri nili determinn A tu invers mtriks A. Berikut ini dlh huungn yng erlku : Det (A) A terdefinisi (d) penyelesin tunggl untuk SPL Det (A) A tidk memiliki invers Det (A) SPL memiliki penyelesin nyk SPL tidk memiliki penyelesin Yulint sironi STT Telkom
Yulint sironi STT Telkom Determinn mtriks Pd ksus det (A) untuk menentukn penyelesinny dpt digunkn invers mtriks untuk menghitungny, yitu A. Sedngkn pd ksus det (A), untuk menentukn penyelesin SPL hrus digunkn eliminsi Guss Jordn pd mtriks diperesr [ ] A. Ltihn III. Gunkn ekspnsi kofktor untuk menghitung determinn dri mtriks mtriks erikut :. A 4. B 4. Gunkn reduksi ris untuk menghitung determinn dri mtriks mtriks erikut. A 5. B 5 5. Dikethui sistem persmn linier z y. Periks pkh metode Crmmer dpt digunkn untuk menentukn penyelesin SPL?. Jik y, tentukn nili untuk! 4. Dri sol nomor,. Tentukn invers A dengn menggunkn rumus A A A dj ) (!. Tentukn nili dengn menggunkn hsil dri 4.! 5. Dikethui SPL A dengn mtriks diperesr [ A l ] segi erikkut : [ ] A + 4 ) ( Tentukn nili gr. SPL memiliki penyelesin tunggl!.spl memiliki penyelesin nyk! c. SPL tidk memiliki penyelesin!
Determinn mtriks 6. Dri sift sift determinn erikut ; Det ( AB ) Det A. Det B Det ( A t ) Det A Jik Hitung e f Det R c d, Det L g h + c + d h f c + d c + d g e Det! eh fg 7. Jik det A X dn det B Y, Tentukn Det ( A t BA )! 8. Jik A dn B mtriks dengn det A R dn det B S, Tentukn det ( A B )! Yulint sironi STT Telkom
Vektor vektor di idng dn di rung BAB IV Vektor Vektor di idng dn di rung IV. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keceptn, gy dn pergesern merupkn contoh contoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keceptn rhny hny positif dn negtif. Vektor diktkn erd di rung n ( R n ) jik vektor terseut mengndung n komponen. Jik vektor erd di R mk diktkn vektor erd di idng, sedngkn jik vektor erd di R mk diktkn vektor erd di rung. Secr geometris, di idng dn di rung vektor merupkn segmen gris errh yng memiliki titik wl dn titik khir. Vektor is dinotsikn dengn huruf kecil tel tu huruf kecil dengn rus gris Contoh 4.. D C A B Dri gmr dits terliht eerp segmen gris errh ( vektor ) seperti AB, AC dn AD dengn A diseut segi titik wl, sedngkn titik B, C dn D diseut titik khir. Vektor posisi didefinisikn segi vektor yng memiliki titik wl O ( untuk vektor di idng, titik O dlh (, )). IV. Opersi opersi pd vektor A. Penjumlhn du vektor Mislkn u dn v dlh vektor vektor yng erd di rung yng sm, mk vektor ( u +v ) didefinisikn segi vektor yng titik wlny titik wl u dn titik khirny titik khir v. Contoh 4.. Perhtikn gmr pd contoh 4... Mislkn u AB dn v BC, jik vektor w didefinisikn segi w u + v, mk w kn memiliki titik wl A dn titik khir C, jdi w merupkn segmen gris errh AC. B. Perklin vektor dengn sklr Vektor nol didefinisikn segi vektor yng memiliki pnjng. Mislkn u vektor tk nol dn k dlh sklr, k R. Perklin vektor u dengn sklr Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom
Vektor vektor di idng dn di rung k, k u didefinisikn segi vektor yng pnjngny dengn rh : Jik k > serh dengn u Jik k < erlwnn rh dengn u Contoh 4.. Y u kli pnjng u u u X u C. Perhitungn vektor Dikethui dn vektor vektor di rung yng komponen komponenny dlh (,, ) dn (,, ) Mk + ( +, +, + ) (,, ) k. ( k, k, k ) Jik c AB kemudin titik koordint A (,, ) dn B (,, ) mk c (,, ) IV. Hsil kli titik, pnjng vektor dn jrk ntr du vektor Hsil kli titik du vektor jik dikethui komponenny Dikethui (,, ) dn (,, ), Hsil kli titik ntr vektor dn didefinisikn segi :. (. )+ (. ) +(. ) Hsil kli titik du vektor jik dikethui pnjng vektor dn sudut ntr du vektor Dikethui dn du uh vektor yng memiliki pnjng erturut turut dn sedngkn sudut yng dientuk oleh kedu vektor dlh φ, sudut φ ini terentuk dengn cr menggmrkn kedu vektor pd titik wl yng sm. Hsil kli titik ntr vektor dn didefinisikn segi :. cos φ, φ [,π ] Yulint Sironi Sekolh Tinggi Teknologi Telkom