PENGGUNAAN METODE ANALISIS HOMOTOPI PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRODINGER-KdV DINI FITRI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode Analisis Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Schrodinger-KdV adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor Bogor Januari 015 Dini Fitri G5410004
ABSTRAK DINI FITRI Penggunaan Metode Analisis Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Schrodinger-KdV Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI Persamaan Schrodinger-KdV adalah model matematika yang dapat diterapkan dalam menentukan tinggi maksimum selubung paket gelombang bikromatik Persamaan ini berbentuk persamaan diferensial parsial yang taklinear Penyelesaian dari persamaan Schrodinger-KdV dilakukan dengan menggunakan metode analisis homotopi Penggunaan metode analisis homotopi dilakukan dengan mendefinisikan suatu fungsi homotopi Fungsi homotopi memerlukan parameter bantu yang dapat digunakan untuk mengontrol daerah kekonvergenan dari penyelesaian persamaan Schrodinger-KdV Penyelesaian yang diperoleh berbentuk rumus rekursif dengan pendekatan awal yang diberikan berbentuk fungsi hiperbolik Penggunaan metode analisis homotopi sangat efisien dan efektif untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger-KdV dan galat yang dihasilkan sangat kecil Kata kunci: gelombang bikromatik metode analisis homotopi persamaan diferensial parsial persamaan Schrodinger-KdV ABSTRACT DINI FITRI The Use of Homotopy Analysis Method on Solution of Schrodinger- KdV Equations Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI Schrodinger-KdV equations are mathematical model that can be applied in determining the maimum height of the bichromatic wave packet wrapper These equations form nonlinear partial differential equations Solution of Schrodinger- KdV equations are done by using homotopy analysis method The use of homotopy analysis method is done by defining a homotopy function Homotopy function requires auiliary parameter that can be used to control the convergence area of the solution of Schrodinger-KdV equations The obtained solution is in the form of recursive formula with given initial approach in the form of hyperbolic function The use of homotopy analysis method is highly efficient and effective to solve Schrodinger-KdV equations and the resulting error is very small Keywords: bichromatic wave homotopy analysis method partial differential equation Schrodinger-KdV equations
PENGGUNAAN METODE ANALISIS HOMOTOPI PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRODINGER-KdV DINI FITRI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 015
PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini bisa diselesaikan Tema yang dipilih adalah Persamaan Schrodinger-KdV pada masalah gelombang dengan judul Penggunaan Metode Analisis Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Schrodinger-KdV Penulis mengucapkan terima kasih kepada 1 Ayah Ibu Rafiq sanak saudara dan seluruh keluarga yang senantiasa memberikan doa kasih sayang serta dukungan Bapak Dr Jaharuddin MS selaku Pembimbing I dan Bapak Drs Siswandi MSi selaku Pembimbing II atas semua ilmu dukungan motivasi serta bimbingannya selama penulisan karya ilmiah ini 3 Bapak Drs Ali Kusnanto MSi selaku dosen penguji atas kritik dan sarannya selama penyelesaian karya ilmiah ini 4 Seluruh staf pengajar Departemen Matematika yang telah memberikan ilmunya 5 Seluruh staf tata usaha Departemen Matematika atas bantuannya 6 Direktorat Pendidikan Tinggi (Dikti) yang telah memberikan bantuan biaya kuliah selama empat tahun melalui pemberian Beasiswa Bidik Misi 7 Teman-teman departemen Matematika teman-teman kost dan semua pihak yang telah terlibat dalam penyelesaian karya ilmiah ini Semoga karya ilmiah ini bermanfaat Bogor Januari 015 Dini Fitri
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Perumusan Masalah 1 Tujuan Penelitian TINJAUAN PUSTAKA Persamaan Schrodinger Persamaan KdV 3 Model Persamaan Schrodinger-KdV 5 Metode Analisis Homotopi 6 HASIL DAN PEMBAHASAN 9 Aplikasi 9 SIMPULAN DAN SARAN 14 Simpulan 14 Saran 15 DAFTAR PUSTAKA 15 LAMPIRAN 16 RIWAYAT HIDUP 8
DAFTAR TABEL 1 Galat dan dengan penyelesaian eksak 9 Galat dan dengan penyelesaian eksak 13 DAFTAR GAMBAR 1 Kurva dan terhadap 8 (a) Kurva dan (b) kurva 8 3 (a) Kurva terhadap dan (b) kurva terhadap 1 4 (a) Kurva terhadap dan (b) kurva terhadap 1 5 (a) Penyelesaian eksak ( ) dan (b) penyelesaian eksak ( ) 14 DAFTAR LAMPIRAN 1 Penurunan persamaan (0) 16 Penurunan persamaan () dan (3) 17 3 Penurunan persamaan (4) 18 4 Penurunan persamaan (5) 0 5 Penurunan persamaan (36) 1 6 Penentuan persamaan deformasi orde ke- 7 Penyelesaian persamaan deformasi orde ke- 5 8 Penentuan nilai hampiran ( ) dan ( ) 6
PENDAHULUAN Latar Belakang Banyak fenomena yang ada di alam semesta seperti masalah getaran dan gerak gelombang dapat dideskripsikan ke dalam bentuk model matematika Salah satu model matematika yang sering muncul untuk menjelaskan masalah tersebut adalah persamaan Schrodinger-Korteweg de Vries (Schrodinger-KdV) Persamaan Schrodinger-KdV merupakan persamaan diferensial yang dapat diterapkan dalam menentukan tinggi maksimum selubung paket gelombang bikromatik (Kusumawinahyu dan Andonowati 003) model dinamika taklinear Langmuir satu dimensi dan gelombang ion-akustik dalam suatu sistem atau koordinat bergerak dengan kecepatan ion-akustik (Golbabai dan Vaighani 011) Persamaan Schrodinger-KdV berbentuk persamaan diferensial parsial yang taklinear Modelmodel taklinear dari masalah nyata biasanya sulit diselesaikan secara analitik Fan dan Hon (003) menentukan penyelesaian eksplisit dari persamaan Schrodinger-KdV menggunakan metode etended tanh Abdou dan Soliman (005) menggunakan metode iterasi variasional untuk mendapatkan hampiran penyelesaian dari persamaan tersebut Metode dekomposisi telah digunakan oleh Ray (008) untuk menyelesaikan persamaan Klein-Gordon-Schrodinger Khuri (1998) menggunakan teknik dekomposisi untuk mendapatkan penyelesaian persamaan taklinear Schrodinger orde tiga Persamaan Schrodinger-KdV dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode Metode-metode yang digunakan antara lain metode dekomposisi Adomian metode Perturbasi dan metode analisis homotopi Metode dekomposisi Adomian adalah metode untuk menyelesaikan masalah taklinear yang dinyatakan dalam suatu deret pangkat yang hanya terdefinisi pada daerah kekonvergenannya Metode Perturbasi adalah metode yang mengandung parameter ketaklinearan yang kecil Metode analisis homotopi adalah suatu pendekatan analitik yang memanfaatkan suatu fungsi homotopi dan parameter bantu Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai penyelesaian dari persamaan Schrodinger-KdV dengan menggunakan metode analisis homotopi Metode analisis homotopi diperkenalkan pertama kali oleh Liao (199) Metode ini telah digunakan untuk menyelesaikan beberapa persamaan seperti persamaan Blasius takhomogen (Allan dan Syam 005) gabungan persamaan KdV dan persamaan Hirota-Satsuma (Abbasbandy 007) dan beberapa sistem persamaan diferensial biasa (Bataineh et al 008) Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas maka beberapa masalah yang akan ditinjau adalah sebagai berikut: 1 Bagaimana aplikasi metode analisis homotopi untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger-KdV Bagaimana akurasi penyelesaian persamaan Schrodinger-KdV dengan metode analisis homotopi dan penyelesaian eksaknya
Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: 1 Menggunakan metode analisis homotopi untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger-KdV Mengkaji akurasi penyelesaian persamaan Schrodinger-KdV dengan menggunakan metode analisis homotopi terhadap penyelesaian eksaknya TINJAUAN PUSTAKA Persamaan Schrodinger Dalam penurunan persamaan Schrodinger (Cresser 009) diperiksa suatu gelombang monokromatik yang dinyatakan dalam bentuk (1) yang merepresentasikan gelombang yang bergerak dalam arah positif dan waktu Misalkan momentum dan energi kinetik dengan J s sebagai konstanta Planck bilangan gelombang serta frekuensi gelombang Jika persamaan (1) diturunkan dua kali terhadap maka diperoleh () Jika digunakan dengan sebagai massa maka persamaaan () menjadi (3) Hal yang sama jika persamaan (1) diturunkan terhadap maka diperoleh (4) Jika kedua ruas pada persamaan (4) dikalikan dengan maka diperoleh (5) Karena energi total merupakan penjumlahan dari energi kinetik dan energi potensial maka energi total yang diperoleh sehingga ( ) (6) Berdasarkan persamaan (3) dan (5) maka persamaan (6) menjadi atau yang merupakan bentuk persamaan Schrodinger
3 Persamaan KdV Tinjau persamaan dasar fluida ideal sebagai berikut di di di di dengan sebagai suatu fungsi yang disebut sebagai kecepatan potensial berturut-turut menyatakan koordinat horizontal vertikal dan waktu dengan { } sebagai gaya gravitasi menyatakan kurva yang membatasi air dan udara serta sebagai kedalaman air (Ramayanti 1999) Untuk mendapatkan persamaan KdV terlebih dahulu dilakukan penskalaan peubah sebagai berikut (8) Jika persamaan (8) disubstitusikan ke dalam persamaan-persamaan (7) dengan maka diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut pada (9) di ( ) ( ) di (10) di (11) Untuk penyederhanaan tanda topi dapat dihilangkan Misalkan penyelesaian dari persamaan-persamaan (9) (10) dan (11) berbentuk (1) Jika persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (9) maka diperoleh persamaanpersamaan sebagai berikut Berdasarkan persamaan (13) diperoleh Kemudian berdasarkan persamaan (14) karena (13) di (14) maka diperoleh di (15) di (16) di (17) Untuk memperoleh persamaan diintegralkan dari ke maka didapat Berdasarkan persamaan (15) maka (7)
4 sehingga fungsi tidak bergantung pada Jadi dapat dimisalkan (18) Untuk memperoleh digunakan persamaan dan persamaan (18) sehingga diperoleh Jika persamaan diintegralkan dari ke maka diperoleh Berdasarkan persamaan (16) maka Selanjutnya persamaan diintegralkan lagi dari ke maka diperoleh (19) Sedangkan untuk memperoleh sehingga diperoleh dilakukan dengan cara yang sama (0) (lihat Lampiran 1) Jadi bila persamaan (18) (19) dan (0) disubstitusikan ke dalam persamaan (1) maka diperoleh Kemudian dengan memisalkan (10) dan (11) berturut-turut menjadi dan (lihat Lampiran ) Selanjutnya perhatikan peubah berikut dengan ( (1) pada persamaan (1) sehingga persamaan ( ) () ( ) (3) dan Lalu fungsi dinyatakan dalam peubah dan sebagai berikut Jika fungsi disubstitusikan ke persamaan () dan (3) maka diperoleh (4) (lihat Lampiran 3) Kemudian dengan mengambil transformasi
diperoleh persamaan (lihat Lampiran 4) Persamaan () dan (3) untuk Persamaan Jika persamaan sehingga persamaan (5) menjadi Jika dan memberikan dapat diubah menjadi maka diperoleh persamaan yang merupakan bentuk persamaan KdV dan diintegralkan terhadap maka atau atau 5 (5) Model Persamaan Schrodinger-KdV Dalam penelitian ini akan ditinjau persamaan Schrodinger-KdV sebagai berikut (6) dengan syarat awal Penyelesaian eksak dari model persamaan (6) dengan syarat awal berbentuk i 0 6 sech u g e k k 1 16k v0 g 6k tanh k 3 u t 6 ep i t / 3 t 10 k t / 3 k sech k t 16k v t 16k tanh k t 3 (Alomari et al 009)
6 Metode Analisis Homotopi Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode analisis homotopi yang disajikan dari Liao (004) Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut: [ ] (7) dengan suatu operator taklinear dan fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah Misalkan merupakan hampiran awal dari dan suatu parameter bantu dengan Didefinisikan suatu operator linear yang memenuhi [ ] sehingga (8) Kemudian dengan menambahkan parameter dengan [ ] didefinisikan suatu fungsi dan suatu fungsi homotopi yaitu Jika [ ] [ ] maka diperoleh persamaan deformasi orde nol [ ] [ ] (9) Untuk persamaan (9) menjadi [ ] sehingga berdasarkan persamaan (8) diperoleh (30) Sedangkan untuk persamaan (9) menjadi [ ] sehingga berdasarkan persamaan (7) diperoleh (31) Persamaan deformasi orde nol merupakan persamaan yang mengalami deformasi atau perubahan bentuk di mana berdasarkan persamaan (30) dan (31) ketika nilai parameter meningkat dari 0 sampai 1 maka berubah bentuk secara kontinu dari penduga awal ke penyelesaian eksak Perubahan kontinu itulah yang disebut sebagai deformasi dalam homotopi Oleh karena itu persamaan (9) disebut dengan persamaan deformasi orde nol Penyelesaian eksak ditentukan dengan menggunakan deret Taylor Deret Taylor dari fungsi di sekitar diperoleh Jika persamaan (30) digunakan maka dengan Jika maka sehingga diperoleh penyelesaian berbentuk Selanjutnya metode analisis homotopi akan diterapkan pada masalah nilai awal sebagai berikut ut u (3) v u t
dengan nilai awal Penyelesaian eksak dari persamaan (3) adalah sebagai berikut Untuk menentukan penyelesaian persamaan (3) dengan metode analisis homotopi terlebih dahulu ditentukan hampiran awal sebagai berikut Berdasarkan persamaan (9) diperoleh persamaan sebagai berikut [ ] * + [ ] * + Jika metode analisis homotopi digunakan maka diperoleh penyelesaian dari persamaan (3) sebagai berikut dengan dan [ ] [ ] 7 dengan nilai awal Jika nilai awal tersebut digunakan maka diperoleh penyelesaian hampiran dan sebagai berikut dengan * + (33) Gambar 1 menunjukkan pemilihan nilai untuk mendapatkan penyelesaian hampiran dengan daerah kekonvergenan yang luas artinya penyelesaian hampiran yang diperoleh menggunakan metode analisis homotopi akan tepat pada daerah yang lebih luas
8 Gambar 1 Kurva dan terhadap Gambar 1 menunjukkan grafik turunan pertama untuk fungsi dan di (1) Nilai yang akan dipilih ialah nilai yang berada di sekitar atau dekat dengan titik belok dari setiap gambar Berdasarkan Gambar 1 nilai yang dipilih yaitu di Selanjutnya pada Gambar terlihat perbedaan kurva antara penyelesaian eksak dan kurva dengan penyelesaian metode homotopi dengan parameter h yang dipilih yaitu Hal ini terjadi karena penyelesaian hampiran (33) akan tepat mendekati penyelesaian eksaknya sehingga kurva penyelesaian hampiran yang dihasilkan terlihat hampir sama dengan kurva penyelesaian eksaknya Perbedaan antara kedua kurva inilah kemudian menimbulkan galat (a) t : penyelesaian eksak --- : penyelesaian homotopi (b) t Gambar (a) Kurva dan (b) kurva
9 Tabel 1 Galat u( t ) dan v( t ) dengan penyelesaian eksak 0 0 0 01 0 03 04 05 06 07 08 09 1 Tabel 1 menunjukkan galat untuk h 1 dengan Berdasarkan Tabel 1 galat yang dihasilkan pada fungsi sama dengan galat yang dihasilkan pada fungsi Rata-rata galat yang dihasilkan pada selang yang diberikan pada Tabel 1 sebesar Dengan demikian metode analisis homotopi dapat digunakan untuk menentukan hampiran penyelesaian eksak dari persamaan diferensial parsial dengan nilai awal yang diberikan HASIL DAN PEMBAHASAN Aplikasi Dalam menemukan penyelesaian persamaan (6) terlebih dahulu dimisalkan hampiran awalnya yaitu Berdasarkan persamaaan (6) didefinisikan operator taklinear sebagai berikut [ ] [ ] Fungsi dan yang bergantung pada dan merupakan fungsi yang akan ditentukan sekaligus sebagai penyelesaian dari persamaan (6) Kemudian didefinisikan operator linear Misal dan masing-masing merupakan hampiran awal dari dan Dengan menambahkan parameter dengan [ ] dan parameter bantu dengan kemudian didefinisikan fungsi dan yang memenuhi persamaan deformasi orde nol yang memenuhi persamaan dan dengan [ ] [ ]
10 Jadi diperoleh persamaan deformasi orde nol dengan syarat awal [ ] [ ] [ ] [ ] (34) [ ] [ ] (35) Untuk dan diperoleh (lihat Lampiran 5) Karena nilai parameter meningkat dari 0 sampai 1 maka nilai dan bervariasi dari penduga awal dan hingga ke penyelesaian eksak dan Dengan menggunakan teorema Taylor dan persamaan (36) fungsi dan dapat diuraikan seperti berikut dengan Jika maka dan sehingga fungsi dan menjadi Persamaan (37) merupakan penyelesaian dari persamaan taklinear (6) Selanjutnya akan ditentukan persamaan deformasi orde ke- Persamaan deformasi orde ke- merupakan persamaan deformasi yang diturunkan dari persamaan deformasi orde nol Persamaan deformasi orde ke- digunakan untuk menentukan dan yang merupakan bagian dari fungsi (37) Untuk mendapatkan persamaan deformasi orde ke turunkan persamaan deformasi orde nol pada persamaan (34) dan (35) terhadap sebanyak kali kemudian dibagi dengan dan masukkan nilai parameter sehingga didapat persamaan sebagai berikut dengan (37) [ ] (38) [ ] (39) (36) ( ) dan
11 (lihat Lampiran 6) Selanjutnya dengan menggunakan operator linear dan diperoleh penyelesaian dari persamaan deformasi orde ke- (38) dan (39) sebagai berikut (lihat Lampiran 7) Jika diketahui nilai awal sebagai berikut [ ] [ ] (40) maka dapat ditentukan nilai hampiran untuk dan sebagai berikut (( ) ) ( ( ) ( ) ) 4 u t 1 ht i h g g g h (1 ) t g 1 1 4 1 ht g g g g htg g 1 1 1 3 6ihtg g ihtg g ihtg htg g g 1 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1 1 v t ht (1 h) 6g g g 41 h g g 1 1 1 1 g g 1 36htg g g 1htg g 3 4 g 4 g1 iht g1 g1 g g 1 3 6ht g 3 1 g 3 g 1 g 3 6 3 g 3 g1 ht g 6 6 g 1 3 4 3 8 g1 g 3 1 g1 g 4 1 ihtg1 g 3 1 1 1 1 iht g 3g g g 3 g
1 dan seterusnya sehingga diperoleh (lihat Lampiran 8) Diberikan syarat awal sebagai berikut i u 0 g 6 e k sech k 1 16k v 0 g 6k tanh k 3 Jika syarat awal (4) disubstitusikan ke dalam persamaan (41) dengan dan maka diperoleh penyelesaian untuk dan Gambar 3 dan Gambar 4 menunjukkan pemilihan nilai untuk mendapatkan penyelesaian hampiran dengan daerah kekonvergenan yang luas (41) (4) Re Im --- (a) (b) Gambar 3 (a) Kurva terhadap dan (b) kurva terhadap Re Im --- (a) (b) Gambar 4 (a) Kurva terhadap dan (b) kurva terhadap
Gambar 3 dan Gambar 4 menampilkan turunan pertama dan turunan kedua untuk dan dengan memisahkan bagian real dan imajiner dari setiap persamaannya Nilai yang dipilih ialah nilai yang berada di sekitar atau dekat dengan titik belok dari setiap gambar Jika masing-masing gambar ditampilkan dengan sumbu yang semakin panjang maka semakin terlihat bahwa pergantian kecekungan berada pada sekitar Selanjutnya pada Tabel akan ditunjukkan galat penyelesaian antara penyelesaian eksak dan penyelesaian homotopinya untuk fungsi dan Parameter h yang dipilih yaitu dan Tabel menunjukkan galat untuk dan dengan Tabel Galat u( t ) dan v( t ) dengan penyelesaian eksak 13 0 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Ketika nilai galat yang dihasilkan fungsi pada kasus lebih kecil dibandingkan dengan galat yang dihasilkan fungsi pada kasus Sedangkan untuk galat yang dihasilkan fungsi pada kasus lebih besar dibanding galat fungsi pada kasus Pada fungsi galat yang dihasilkan pada kasus lebih kecil dibanding galat yang dihasilkan pada kasus untuk setiap Untuk jangka waktu panjang penyelesaian lebih baik menggunakan nilai Sedangkan penyelesaian lebih baik menggunakan nilai untuk jangka waktu panjang Baik nilai maupun galat yang dihasilkan cukup kecil dengan rata-rata sehingga perubahan nilai
14 yang tidak terlalu besar tidak berpengaruh terhadap penyelesaian yang diperoleh Berdasarkan Tabel galat yang dihasilkan akan semakin bertambah ketika nilai meningkat u t v t (a) Gambar 5 (a) Penyelesaian eksak (b) dan (b) penyelesaian eksak Pada Gambar 5 menunjukkan penyelesaian eksak persamaan dan dengan nilai dan Gambar 5 (a) menjelaskan bahwa nilai maksimum yang diperoleh sebesar 00 satuan ketika untuk Sedangkan pada Gambar 5 (b) nilai maksimum yang diperoleh sebesar 003 satuan saat untuk SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Metode analisis homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger-KdV Persamaan Schrodinger dan KdV merupakan persamaan yang menggambarkan gerak gelombang yang bergantung pada posisi horizontal dan waktu Penggunaan metode analisis homotopi memerlukan operator linear dan taklinear Operator taklinear ditentukan berdasarkan bentuk fungsi yang dimiliki persamaan Schrodinger dan KdV Dengan operator yang telah didefinisikan sebelumnya diperoleh rumus rekursif untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan Schrodinger-KdV Metode ini sangat efisien dalam penyelesaian persamaan Schrodinger-KdV Nilai galat diperoleh dari selisih antara penyelesaian analitik dengan penyelesaian eksak Penyelesaian analitik yang diperoleh menggunakan metode analisis homotopi hampir akurat mendekati penyelesaian eksaknya dengan ratarata galat yang cukup kecil yaitu Galat yang diperoleh akan semakin bertambah ketika nilai meningkat sehingga metode analisis homotopi lebih bagus digunakan untuk selang waktu yang kecil
15 Saran Penyelesaian dari persamaan Schrodinger-KdV memerlukan beberapa orde penyelesaian Dalam karya ilmiah ini orde yang digunakan sampai orde tiga Perlu adanya kajian lebih lanjut dengan menggunakan orde yang lebih tinggi DAFTAR PUSTAKA Abbasbandy S 007 The application of homotopy analysis method to solve a generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation Phys Lett A 361: 478-483doi:101016/jphysleta00609105 Abdou MA Soliman AA 005 New application of variational iteration method Physica D 11:1-8doi:101016/jphysd0050800 Allan FM Syam MI 005 On the analytic solution of non-homogeneous Blasius problem J Comput Appl Math 18:36-371doi:101016/jcam0041 017 Alomari AK Noorani MSM Nazar R 009 Comparison between the homotopy analysis method and homotopy perturbation method to solve coupled Schrodinger-KdV equation J Appl Math Comput 31:1-1doi:101007/ s1190-008-0187-4 Bataineh AS Noorani MSM Hashim I 008 Solving system of ODEs by homotopy analysis method Commun Nonlinear Sci Numer Simul 13: 060-070doi:101016/jcnsns0070506 Cresser JD 009 PHYS01: Wave Mechanics Sydney (AU): Macquarie University Fan E Hon YC 003 Applications of etended tanh method to special types of nonlinear equations Appl Math Comput 141:351-358doi:101016/ S0096-3003(0)0060-6 Golbabai A Vaighani AS 011 A meshless method for numerical solution of the coupled Schrodinger-KdV equations Computing 9:5-4doi:101007/ s00607-010-0138-4 Khuri SA 1998 A new approach to the Cubic Schrodinger equation: An application of the decomposition technique Appl Math Comput 97: 51-54doi:101016/S0096-3003(97)10147-3 Kusumawinahyu WM Andonowati 003 Tinggi maksimum selubung paket gelombang bikromatik [catatan penelitian] Sains 35A(1):51-63 Liao SJ 199 Homotopy Analysis Method and its Application [disertasi] Shanghai (CN): Shanghai Jiao Tong University Liao SJ 004 Beyond Perturbation : Introduction to the Homotopy Analysis Method New York (US) : Boca Raton Ramayanti T 1999 Data Hamburan pada Persamaan Korteweg-de Vries (KdV) dengan Perturbasi [Skripsi] Bogor (ID): Fakultas MIPA Institut Pertanian Bogor Ray SS 008 An application of the modified decomposition method for the solution of the coupled Klein-Gordon-Schrodinger equation Commun Nonlinear Sci Numer Simul 13:1311-1317doi:101016/jcnsns0061 010
16 Lampiran 1 Penurunan persamaan (0) Karena maka 0 dan 0 sehingga (43) Jika persamaan (43) disubstitusikan ke dalam persamaan maka diperoleh (44) Persamaan (44) diintegralkan dari ke sehingga didapat Berdasarkan persamaan (17) dan (18) maka sehingga (45) Kemudian persamaan (45) diintegralkan lagi dari ke sehingga diperoleh
17 Lampiran Penurunan persamaan () dan (3) Persamaan (10) diturunkan terhadap menghasilkan Karena di (46) ( ) (47) dan maka ( ) sehingga (48) ( ) atau ( ) Bila persamaan-persamaan pada (48) disubstitusikan ke dalam persamaan (46) maka diperoleh ( ) atau Sedangkan jika persamaan-persamaan pada (48) disubstitusikan ke persamaan (11) diperoleh ( ) Karena berorde maka sehingga ( )
18 Lampiran 3 Penurunan persamaan (4) Diketahui dengan dengan maka dihasilkan sehingga ( ) ( ) Karena dan maka ( ) ( ) ( )
19 ( ) Persamaan () diturunkan terhadap sedangkan persamaan (3) diturunkan terhadap Selanjutnya kedua persamaan digabung dengan cara eliminasi sehingga diperoleh 1 1 1 3 tt ( h) tt h t t h h h ( ) 6 (49) Ruas kiri dari persamaan (49) berupa ( ) ( ) (50) Sedangkan ruas kanan dari persamaan (49) yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (51) Kemudian penyetaraan persamaan (50) dan (51) menghasilkan atau
0 Lampiran 4 Penurunan persamaan (5) Dengan mengambil peubah dan maka (5) sehingga (53) Jika persamaan (5) dan (53) disubstitusikan ke dalam persamaan (4) maka diperoleh ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) atau ( ) ( ) ( ) (54) Kedua ruas persamaan (54) dibagi dengan ( ) ( )
1 Lampiran 5 Penurunan persamaan (36) Untuk dari persamaan (34) diperoleh [ ] sehingga menurut persamaan (8) diperoleh Dengan cara yang sama persamaan (35) menghasilkan sehingga Untuk [ ] dari persamaan (34) diperoleh [ ] sehingga menurut persamaan [ ] diperoleh Dengan cara yang sama persamaan (35) menghasilkan [ ] Karena [ ] maka diperoleh
Lampiran 6 Penentuan persamaan deformasi orde ke- Untuk mendapatkan persamaan deformasi orde ke- kedua ruas pada persamaan deformasi orde nol (34) dan (35) diturunkan terhadap sebanyak kali kemudian dibagi dengan dan masukkan nilai a [ ] [ ] Turunan pertama Lu t; q u0 t 1 ql u t; q q hn1 t; q qh N 1 t; q q Untuk maka [ ] [ ] Turunan kedua q q h N1 t; q qh 1 t; q q N q Lu t; q 1 ql u t; q Untuk maka [ ] [ ] atau [ ] [ ] Turunan ketiga 3 u t q q u 3 t q 3 L ; 1 L ; q q 3 3 h N 1 t; q qh 3 1 t; q q N q Untuk maka [ ] [ ] atau [ ] [ ] Turunan keempat 3 4 u t q 3 q u 4 t q 4 L ; 1 L ; q q 3 4 4 h N 3 1 t; q qh 4 1 t; q q N q
3 Untuk maka [ ] [ ] atau [ ] [ ] Untuk turunan ke- dengan diperoleh m1 m u 1 ; (1 ) u ; m m m L t q q q L q t q m1 m mh 1 1 t ; q qh 1 t ; q m m q N q N Untuk maka [ ] [ ] atau dengan dan [ ] [ ] (55) b [ ] [ ] Dengan cara yang sama untuk persamaan deformasi orde kepersamaan di atas diperoleh seperti berikut [ ] dengan dan dari [ ] (56) Kemudian didefinisikan operator taklinear sebagai berikut [ ] [ ] Subtitusikan operator taklinear dan masing-masing ke dalam persamaan (55) dan (56) t; q t; q m1 1 R1 mum1 i 1 t; q t; q m m1! q t R v q0 3 m1 1 t; q t; q t; q 6 t; q m1! q t m m1 m1 3
4 t; q 0 0 0 u0 0 0 0 0 t 0 0 1 R u iu u v 11 t 0 ; t q R v v 6u v v u u q0 1 t 0 0 0 R u iu u u v u v 1 1 1 1 1 0 0 1 R v v 6u v 6u v v u u u u 1 1t 1 1 0 1 1 0 1 R13 u iut u uv0 u1v1 u0v iut u uv0 u1v1 u0v 1 R3 v vt 1u v 1u v 1u v v 4u u 4u1u1 4u u vt 6uv0 6u1v 1 6u0v v u0u u1u 1 uu0 1 R14 u3 3! iu3 t 3! u3 3! u3v0 6uv1 6u1v 3! u0v3 3! iu3 t u3 u3v0 uv1 u1v u0v3 1 R 4 v3 3! v3 t (3!)6u3v0 36uv1 36 u1v ( 3!)6u0v3 3! v3 3! (3!)u u 1u u 1 u u (3!)u u 0 0 1 1 0 0 0 3 1 1 3 0 v3t 6u3v0 6uv1 6u1v 6u0v3 v3 u0u3 u1u uu1 3 0 uu Maka untuk diperoleh m1 R u i u u u v 1m m1 m1 t m1 i m1i i0 m1 m1 R v v 6 u ( v ) v u ( u ) m m1 m1 t i m1i m1 i m1i i0 i0
5 Lampiran 7 Penyelesaian persamaan deformasi orde ke- Didefinisikan operator linear yaitu dan Subtitusikan operator dan ke dalam persamaan (38) dan (39) sehingga untuk persamaan (38) didapat sehingga [ ] Sedangkan untuk persamaan (39) menjadi sehingga diperoleh [ ] [ ] [ ]
6 Lampiran 8 Penentuan nilai hampiran dan dan sebagai hampiran inisial Orde 1 [ ] (( ) ) Berdasarkan nilai awal (40) diperoleh sehingga (( ) ) t 6 v t h v u v v u u dt C 1 0 0 0 0 0 0 ht 6g g g g g 3 1 3 1 1 C Dengan cara yang sama diperoleh sehingga 3 v 1 t ht 6g 1 g g 3 g1 g1 Orde [ ] u t iht g 1 g1 g ih iu1 t u1 u0v1 u1v0 dt C1 4 1 u ) t ht i(1 h g g g ht g 1 1 4 1 ht g 1 g g1 g htg1 g 3 6ihtg1 g ihtg1 g 3 ihtg1 g1 htg g C 1 1 Karena maka sehingga 4 1 u ) t ht i(1 h g g g ht g 1 1 4 1 ht g 1 g g1 g htg1 g
7 3 6ihtg1 g ihtg1 g 3 ihtg1 g1 htg g 1 [ ] 3 v t ht 6g1 g g 3 g1 g1 h v 6u v 6u v v u u u u dt C 1t 0 1 1 0 1 0 1 1 0 Berdasarkan nilai awal (40) diperoleh sehingga 3 1 1 3 1 1 v t ht (1 h) 6g g g 41 h g g 36htg1 g1 g 1htg1 g1 3 g g 1 4 g 4 g1 iht g1 g1 g g 1 3 6ht g 3 1 g 3 g 1 g 3 6 3 g 3 g1 ht g 6 6 g 1 3 4 3 8 g1 g 3 1 g1 g 4 1 ihtg1 g 3 1 1 1 1 iht g 3g g g 3 g Orde 3 [ ] u ih iu u u v u v u v dt C t 0 1 1 0 1 [ ] v h vt 6u0v 6u1v 1 6uv0 v u0u u1 dt C Dengan menggunakan nilai awal (40) maka diperoleh dan sehingga t 0 1 1 u t u ih iu u u v u v u v dt 3 0 v h vt u0v u1v1 uv0 v u0u u v3 t 6 6 6 1 dt
8
9 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 4 September 199 dari pasangan Bapak Netrazan dan Ibu Sarinah Penulis adalah putri pertama dari dua bersaudara Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SMAN 99 Jakarta lulus pada tahun 010 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Selama menuntut ilmu di IPB penulis pernah berkecimpung dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai bendahara divisi keilmuan pada periode 011-01 dan sebagai staf keilmuan periode 01-013 Penulis juga aktif dalam kepanitiaan berbagai acara di antaranya adalah Try Out Gumatika 01 sebagai staf divisi konsumsi Try Out Gumatika 013 sebagai staf divisi konsumsi Gumatika Calculus Competition 01 sebagai staf desain dekorasi dan dokumentasi Masa Perkenalan Fakultas 01 sebagai staf Logistik dan Transportasi Masa Perkenalan Departemen 01 sebagai staf Medis IPB Mathematics Challenge 01 sebagai staf Logistik dan Transportasi IPB Mathematics Challenge 013 sebagai staf Tim Khusus Matematika Ria 01 sebagai bendahara umum dan Matematika Ria 013 sebagai ketua divisi konsumsi Penulis pernah mendapat beasiswa Bidik Misi periode 010-014 Selain itu penulis pernah menjadi pengajar bimbel GUMATIKA