PENENTUAN NILAI BARRIER OPTION TIPE EROPA DAN AMERIKA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Matematika ITB oleh : Aditya Rachman 10103008 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008
PENENTUAN NILAI BARRIER OPTION TIPE EROPA DAN AMERIKA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Matematika ITB oleh : Aditya Rachman 10103008 Bandung, Februari 2008 Telah diperiksa dan disetujui oleh : Pembimbing Dr. Kuntjoro Adji Sidarto NIP : 130672114 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008
iii Daftar Isi Daftar Isi Abstrak Abstract Prakata iii v vi vii 1 Pendahuluan 1 1.1 Latar Belakang.. 1 1.2 Rumusan Masalah. 2 1.3 Tujuan Studi.. 2 1.4 Ruang Lingkup.. 2 1.5 Asumsi Dasar. 2 1.6 Sistematika Penulisan 3 2 Materi Penunjang 4 2.1 Vanilla Option 4 2.1.1 Lemma Ito.. 5 2.1.2 Gerak Brown Geometrik 7 2.1.3 Rumus Black Scholes 7 2.1.4 Masalah Cauchy. 10 2.1.5 Penentuan Nilai Option.. 14 2.2 Barrier Option 20 2.3 Metode Beda Hingga. 23 3 Penentuan Nilai Barrier Option 25 3.1 European Barrier Option 25
iv 3.1.1 European Down-and-out Call... 25 3.1.2 European Down-and-in Call.. 32 3.1.3 European Up-and-out Put.. 32 3.1.4 European Up-and-in Put 38 3.2 Transition Density Function.. 39 3.2.1 European Option 39 3.2.2 European Barrier Option 39 3.3 American Barrier Option... 41 3.3.1 Persamaan Black Scholes Non-homogen.. 41 3.3.2 American Call 42 3.3.2 American Down-and-out Call 45 4 Metode Crank-Nicolson Untuk European Barrier Option 50 4.1 Persamaan Diferensial Parsial European Barrier Option 50 4.1.1 Syarat Batas 51 4.1.2 Syarat Awal 51 4.2 Metode Crank-Nicolson. 52 4.2.1 Penerepan Metode Crank-Nicolson pada PDP European Barrier Option 52 4.2.2 Hasil Numerik dan Analisis 55 5 Kesimpulan 63 Lampiran A (Rincian Perhitungan) 64 Lampiran B (Program) 78 Daftar Pustaka 85
v Abstrak Penentuan nilai European barrier option dapat dilakukan secara analitik dan numerik. Pertama-tama akan diturunkan suatu model yang digunakan untuk menentukan nilai dari suatu European barrier option dengan menggunakan persamaan diferensial parsial. Dengan menggunakan metode penyelesaian masalah Cauchy, persamaan diferensial parsial untuk European barrier option dapat diselesaikan secara analitik. Dalam menentukan nilai American barrier option, dapat dibangun suatu persamaan diferensial parsial non-homogen yang merepresentasikan suatu American barrier option. Dengan menyelesaikan PDP non-homogen untuk American barrier option tersebut maka dapat diperoleh nilai American barrier option. Selanjutnya, dengan menggunakan metode Crank- Nicolson, model persamaan diferensial parsial untuk European barrier option dapat diselesaikan secara numerik sehingga diperoleh nilai hampiran European barrier option. Kata kunci : European barrier option, American barrier option, masalah Cauchy, metode Crank-Nicolson.
vi Abstract Value determination of European barrier option can be done analytically and numerically. First of all, a model which is used to determine value of European barrier option will be derived in partial differential equation form. By using solving method for Cauchy problem, partial differential equation for European barrier option can be solved analytically. In determining value of American barrier option, it can be built a non-homogen partial differential equation which represent an American barrier option. By solving that equation, value of American barrier option can be determined. Furthermore, by using Crank-Nicolson method, partial differential equation model for European barrier option can be solved numerically, so an approach value of European barrier option can be determined. Keywords : European barrier option, American barrier option, Cauchy problem, Crank-Nicolson method.
vii Prakata Segala puji hanya bagi Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan pertolongan sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini. Segala keagungan hanya untuk Allah SWT yang maha menguasai segala sesuatu, maha perkasa lagi maha penyayang, hanya kepada-mu penulis berserah diri. Tugas akhir ini disusun untuk memenuhi persyaratan sidang sarjana di Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung. Besar harapan penulis, Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi setiap pembaca terutama yang mendalami bidang matematika keuangan. Penulis menyadari bahwa penyusunan Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis memohon maaf apabila ada kesalahan atau kekeliruan dalam penulisan Tugas Akhir ini. Penulis juga mengharapkan saran-saran maupun masukan-masukan dalam rangka memperbaiki dan menyempurnakan Tugas Akhir ini. Dalam dunia keuangan, option memiliki peranan yang sangat penting dalam perdagangan saham. Seiring dengan berkembangnya produk-produk keuangan, maka jenis option yang diperdagangkan juga semakin beragam. Salah satu jenis option yang banyak diperdagangkan adalah barrier option. Dalam Tugas Akhir ini, penulis akan membahas penentuan nilai barrier option tipe Eropa dan Amerika. Penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan rasa hormat kepada Bapak Dr. Kuntjoro Adji Sidarto atas bahan yang diberikan sebagai Tugas Akhir ini, atas bahan-bahan penunjang lainnya, atas perhatian, bimbingan, serta kesabarannya dalam membimbing penulis dalam mengerjakan Tugas Akhir ini, serta atas pengajarannya selama penulis duduk di bangku kuliah. Penulis juga memohon maaf kepada Bapak Dr. Kuntjoro Adji Sidarto atas kesalahan-kesalahan maupun kelalaian-kelalaian yang telah penulis perbuat.
viii Akhir kata, penulis juga hendak mengucapkan terima kasih kepada : 1. Keluarga yang tercinta : Papa, Mama, Mas Kiki dan Ica yang selalu mendoakan dan mendukung penulis. 2. Ibu Dr. Novriana Sumarti dan Ibu Dr. Jalina Widjaja, sebagai dosen penguji dalam seminar Tugas Akhir. Terima kasih atas semua saran dan kritiknya. 3. Ibu Dr. Hilda Assiyatun yang telah memberikan banyak saran, arahan dan bimbingan selama penulis berkuliah di Matematika ITB. 4. Semua dosen dan staf di Prodi Matematika ITB, atas pengajaran serta bantuannya selama penulis berkuliah di Prodi Matematika. 5. Ibu Diah yang telah membantu kelancaran administrasi selama penulis berkuliah di Matematika ITB. 6. Sahabat-sahabatku di ITB : Kunarto, Gita, Yohanna, Riswan, Cima, Amru, Iqs, Hendra, Wili, Riti, Savit, Adan, Pandu. Terima kasih atas semua dorongan, masukan dan bantuan kalian! 7. Semua teman-teman seperjuanganku di Matematika ITB yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Terima kasih semuanya! 8. Rekan-rekan di Oppinet : Mas Iskandar, Mbak Silvy, Mas Del, Ani, Uma, Islah, Fikri, Mbak Evi, dan yang lainnya. dan seluruh pihak yang banyak membantu namun tidak bisa penulis sebutkan satu persatu. Bandung, Februari 2008 Penulis
ix Kupersembahkan kepada: Kedua Orang Tuaku, Papa dan Mama, atas semua limpahan kasih sayang, dukungan, dan doa restu yang telah diberikan. Kedua Saudaraku, Mas Kiki dan Ica, atas semua dukungan dan kasih sayangnya.