KAJIAN KELAS GRAF YANG MEMPUNYAI DIMENSI PARTISI n 1 DAN PENENTUAN DIMENSI PARTISI PADA K n {e 1, e 2 }

Transkripsi

1 KAJIAN KELAS GRAF YANG MEMPUNYAI DIMENSI PARTISI n 1 DAN PENENTUAN DIMENSI PARTISI PADA K n {e 1, e 2 } TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Matematika Oleh : Setiawan Sean Connery Pembimbing : Prof. Dr. Edy Tri Baskoro PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007

2 KAJIAN KELAS GRAF YANG MEMPUNYAI DIMENSI PARTISI n 1 DAN PENENTUAN DIMENSI PARTISI PADA K n {e 1, e 2 } TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Matematika Oleh : Setiawan Sean Connery Bandung, Juni 2007 Telah diperiksa dan disetujui oleh Pembimbing Prof. Dr. Edy Tri Baskoro PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007

3 ABSTRAK Misalkan S himpunan bagian dari V(G) dan v titik dari graf terhubung G, jarak antara v dengan S (dinotasikan : d(v, S)) didefinisikan sebagai d(v, S) = min{d(v, x) x S}. Misalkan k buah partisi Π = {S 1, S 2,, S k } dari V(G) dan v titik di G. Koordinat v terhadap Π didefinisikan sebagai r(v Π ) = (d(v, S 1 ), d(v, S 2 ),..., d(v, S k )). Partisi Π dikatakan resolving partition jika k buah vektor r(v Π ), untuk setiap v V(G) berbeda. Nilai minimum k sehingga Π resolving partition adalah dimensi partisi dari G (dinotasikan : pd(g)). Tugas akhir ini membahas dimensi partisi n 1 dan menentukan dimensi partisi pada graf K n {e 1, e 2 }. Kata kunci : resolving partition, dimensi partisi ii

4 ABSTRACT For a subset S of V(G) and a vertex v in a connected graph G, the distance between v and S (written d(v, S)) is d(v, S) = min{d(v, x) x S}. For an ordered k-partition Π = {S 1, S 2,, S k } of V(G) and a vertex v of G, the representation of v with respect to Π is the k-vectors r(v Π ) = (d(v, S 1 ), d(v, S 2 ),..., d(v, S k )). The partition Π is called a resolving partition if the k-vectors r(v Π ), v V(G) are distinct. The minimum k for which there is a resolving k-partition of V(G) is the partition dimension of G (written pd(g)). This book studies about partition dimension n 1 and determine the partition dimension of K n {e 1, e 2 }. Key Words : resolving partition, partition dimension i

5 PRAKATA Segala puji penulis panjatkan ke hadirat Allah karena berkat rahmat-nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Dalam tugas akhir ini penulis mengambil topik teori graf mengenai dimensi partisi pada graf. Tugas akhir ini berjudul Kajian Kelas Graf yang Mempunyai Dimensi Partisi n 1. Dalam tugas akhir ini dibahas mengenai kelas graf apa saja yang dimensi partisi-nya bernilai n 1 dengan n banyaknya titik pada graf tersebut. Selain itu, akan dicari dimensi partisi graf K n {e 1, e 2 }. Tujuan mencari dimensi partisi suatu graf, diantaranya ialah sebagai batas atas bilangan kromatik dari graf tersebut. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa keberhasilan ini takkan bisa dicapai tanpa bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Kedua orang tua, kakak, dan adik penulis yang selalu mendukung dan memberikan doanya agar penulis mendapatkan yang terbaik. 2. Prof. Dr. Edy Tri Baskoro selaku dosen pembimbing yang memberikan bimbingan dan arahan dalam mengerjakan tugas akhir ini. 3. Dr. Hilda Assiyatun selaku dosen penguji yang memberikan banyak masukan terhadap tugas akhir ini. iii

6 4. Dr. Oki Neswan selaku dosen wali penulis yang sangat memperhatikan mahasiswa walinya dan juga sering memberi motivasi kepada mahasiswanya. 5. Seluruh dosen yang telah mengajarkan ilmunya kepada penulis, yang tidak bisa disebutkan satu persatu. 6. Bu Diah dan staf Tata Usaha Matematika ITB lainnya, yang banyak membantu urusan administrasi penulis. 7. Teman-teman yang terlebih dahulu meninggalkan penulis : Fizan dan Galih. 8. Teman-teman seperjuangan : Haris, Hendri, Tutur, Aji dan Julius. 9. Teman-teman Matematika 2002 : Sony, Ciki, Febri, Irwin, Endro, Dengara, Andriansyah, Wiena, Uca, Wulan, Echa, Pandu, Sangga, Randy dan temanteman lain yang tidak bisa penulis tuliskan satu per satu. Terima kasih telah membuat masa perkuliahan penulis menjadi lebih berarti. Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini sesungguhnya masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis menghargai segala kritik dan saran dari pembaca pada tugas akhir ini. Akhir kata, harapan penulis semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat untuk menambah wawasan dan pengetahuan. Bandung, Juni 2007 Penulis iv

7 DAFTAR ISI Abstract... i Abstrak... ii Prakata... iii Daftar Isi... v 1. Pendahuluan Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan dan Manfaat Metode dan Teknik Penelitian Sistematika Penulisan Dasar Teori Teori Dasar Graf Graf dan Graf Sederhana Isomorphic Subgraf Graf Lengkap dan Graf Bipartit Walk, Trail, Path dan Keterhubungan Jarak dan Diameter Cycle Independent set dan Clique Penggabungan dan Penjumlahan Graf Dimensi Partisi Jarak antara Titik dengan Partisi V(G) Koordinat v terhadap Π Dimensi Partisi pada Graf G v

8 3. Dimensi Partisi n Beberapa Nilai Dimensi Partisi pada Suatu Graf Graf dengan Dimensi Partisi n Dimensi Partisi pada Graf K n {e 1, e 2 } Kesimpulan Daftar Pustaka vi