Sidang Tugas Akhir - Juli 2013 STUDI PERBANDINGAN PERPINDAHAN PANAS MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DAN CRANK-NICHOLSON COMPARATIVE STUDY OF HEAT TRANSFER USING FINITE DIFFERENCE AND CRANK-NICHOLSON METHOD DOSEN PEMBIMBING Drs. Lukman Hanafi, M.Sc MAHASISWA Durmin (1206 100 701) Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
PENDAHULUAN 2
Latar Belakang Perpindahan panas yang terjadi di dalam bumi merupakan persoalan kompleks karena melibatkan banyak parameter. Sehingga penyelesaian persoalan perpindahan panas di alam ini memerlukan asumsi-asumsi untuk menyederhanakan permasalahan. Perpindahan panas (heat transfer) adalah ilmu untuk mengamati perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan suhu diantara benda atau material. Energi ini tidak dapat diukur atau diamati secara langsung tetapi arah perpindahannya dan pengaruhnya dapat diamati dan diukur. Banyak model matematika perpindahan panas yang merupakan persamaan diferensial parsial. Penyelesaian persamaan diferensial parsial dapat dilakukan dengan beberapa metode. Pemilihan metode pendekatan berdasarkan pada tujuan dan kompleksitas masalah. 3
Latar Belakang (lanjut) Pada Tugas Akhir ini akan dikaji proses perpindahan panas satu dimensi dimana objek penelitiannya adalah suatu simulasi domain bidang yang pada batas-batas dan titik-titik tertentu diketahui temperaturnya. Pendekatan yang dipakai adalah dengan membandingkan metode Beda Hingga dan metode Crank-Nicholson. 4
Perumusan Masalah Bagaimana proses perpindahan panas dengan metode beda hingga. Bagaimana proses perpindahan panas dengan metode Crank- Nicholson. Bagaimana perbandingan ketelitian metode beda hingga dan Crank-Nicholson pada persamaan panas. 5
Batasan Masalah Bentuk model matematis perpindahan panas yang diambil adalah persamaan panas satu dimensi. Metode beda hingga yang dipakai adalah metode beda hingga maju skema Eksplisit. Proses perpindahan panas ini akan disimulasikan menggunakan Software Matlab. 6
Tujuan Mengetahui proses perpindahan panas dengan metode beda hingga. Mengetahui proses perpindahan panas dengan metode Crank- Nicholson. Mengetahui perbandingan ketelitian metode beda hingga dan Crank-Nicholson pada persamaan panas. 7
Manfaat Manfaat yang didapat dari Tugas Akhir ini adalah dapat mengetahui arah dan pola perpindahan panas pada objek yang diteliti, yaitu pada batang logam panjang pada bentuk model satu dimensinya. 8
TINJAUAN PUSTAKA 9
Perpindahan Panas Panas mengalir dari benda bertemperatur lebih tinggi ke benda bertemperatur lebih rendah. Laju perpindahan panas yang melewati benda padat sebanding dengan gradien temperatur atau beda temperatur persatuan panjang. Mekanisme perpindahan panas sendiri dapat terjadi secara konduksi, konveksi, dan radiasi. Perpindahan panas secara konduksi adalah proses perpindahan panas dari daerah bersuhu tinggi ke daerah bersuhu rendah dalam satu medium (padat, cair atau gas), atau antara medium medium yang berlainan yang bersinggungan secara langsung. Dinyatakan dengan: 10
Perpindahan Panas Perpindahan panas secara konveksi adalah perpindahan energi dengan kerja gabungan dari konduksi panas, penyimpanan, energi dan gerakan mencampur. Proses terjadi pada permukaan padat (lebih panas atau dingin) terhadap cairan atau gas (lebih dingin atau panas). Dinyatakan dengan: 11
Perpindahan Panas Perpindahan panas secara radiasi adalah proses perpindahan panas dari benda bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu lebih rendah, bila benda benda itu terpisah didalam ruang (bahkan dalam ruang hampa sekalipun). Dinyatakan dengan: 12
Persamaan Diferensial Parsial Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunanturunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. Banyak permasalahan dalam bidang ilmu terapan, fisika, dan teknik dimodelkan secara matematis dengan menggunakan persamaan deferensial parsial. Persamaan deferensial parsial memiliki bentuk umum: dimana A, B dan C adalah konstan yang disebut dengan quasilinear. 13
Persamaan Diferensial Parsial Terdapat tiga tipe dari persamaan quasilinear yaitu: jika jika, persamaan disebut dengan persamaan elips., persamaan disebut dengan persamaan parabolik. jika, persamaan disebut dengan persamaan hiperbolik. Salah satu persamaan parabolik adalah model satu dimensi untuk perpindahan panas pada sebuah batang yang diisolasi dengan panjang L. 14
Persamaan Diferensial Parsial Persamaan panas dengan temperatur u(x,t) dalam batang pada posisi x dan waktu t dinyatakan dengan: dengan distribusi temperatur awal pada t = 0 adalah dan nilai batas pada ujung-ujung batang Konstanta K adalah koefisien dari konduktifitas thermal bahan, σ adalah panas spesifik, ρ berat jenis material batang, dan c konstan. 15
Persamaan Diferensial Parsial Untuk penyelesaian persamaan diferensial parsial jenis parabolik ini persamaan perpindahan panas berdimensi satu diatas disederhanakan menjadi: berlaku untuk 0 x L waktu t 0 dengan syarat-syarat batasnya adalah (1) 16
Metode Beda Hingga Untuk dapat menggunakan metode beda hingga dibutuhkan Deret Taylor. Deret Taylor fungsi satu variabel disekitar x diberikan sebagai: Deret Taylor inilah yang merupakan dasar pemikiran metode beda hingga untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial secara numerik. 17
Metode Beda Hingga Dari deret Taylor ini dikenal tiga pendekatan beda hingga. Pendekatan beda maju (forward difference): Pendekatan beda mundur (backward difference): Pendekatan beda pusat (center difference): 18
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Penyelesaian dengan metode beda hingga dapat dijelaskan dengan meninjau suatu luasan yang merupakan hasil dari persamaan diferensial parsial yang mempunyai satu variable tak bebas u dan dua variable bebas x dan t. Setiap persamaan diferensial yang berlaku pada luasan tersebut menyatakan keadaan suatu titik atau pias yang cukup kecil di luasan tersebut. Metode Beda Hingga sangat sering dipakai untuk mencari solusi suatu persamaan diferensial parsial (PDP). Hal ini disebabkan mudahnya mendekati PDP dengan pendekatan deret Taylor-nya dan diperoleh persamaan beda. Idenya adalah membawa domain PDP ke dalam domain komputasi yang berupa grid. 19
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas 1. Metode FTCS (Forward Time Center Space) Metode FTCS sering disebut dengan metode Eksplisit x = h dan t = k. Penerapan Beda Maju terhadap (pers. (1)) di titik i,j, diperoreh 20
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas 1. Metode FTCS (Forward Time Center Space) penerapan Beda Pusat terhadap diperoleh sehingga dari persamaan (1) diperoleh persamaan beda berikut: dengan substitusi menjadi (2) Metode Eksplisit konvergen dan stabil jika 21
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas 2. Metode Implisit BTCS (Backward Time Center Space) x = h dan t = k. Penerapan Beda Mundur terhadap (pers. (1)) di titik i,j+1, diperoreh 22
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas 2. Metode Implisit BTCS (Backward Time Center Space) penerapan Beda Pusat terhadap diperoleh sehingga dari persamaan (1) diperoleh persamaan beda berikut: dengan substitusi menjadi (3) 23
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas 3. Metode Crank-Nicholson x = h dan t = k. Penerapan Beda Pusat terhadap (pers. (1)) di titik i,(j + ½), diperoreh 24
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas 3. Metode Crank-Nicholson Sedangkan di titik grid i,(j+½), dihampiri dengan pendekatan suku derivatif ruang pada waktu j+½ dianggap sebagai nilai rata-rata derivatif pada waktu j dan j+1 Dengan menerapkan Beda Pusat terhadap waktu j+1) diperoleh dititik i,j+1 (pada dan untuk di titik i,j (pada waktu j) 25
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas 3. Metode Crank-Nicholson Sehingga persamaan beda untuk metode Crank-Nicholson persamaan (1)) yaitu (untuk dengan substitusi menjadi (4) 26
PEMBAHASAN 27
kondisi awal, kondisi batas, Dengan mengambil ukuran x = h = 0.2 dan t = k = 0.02 dan c = 1 maka r = 0.5, 28
29
Penyelesaian dengan Metode Eksplisit Pada skema eksplisit, variabel pada waktu j+1 dihitung berdasarkan variabel pada waktu j yang sudah diketahui. Penerapan metode Eksplisit, dengan menggunakan persamaan (2) dengan r=0.5, menghasilkan Hitungan dilakukan dengan memasukan nilai dari titik-titik yang sudah diketahui ke persamaan diatas 30
Penyelesaian dengan Metode Eksplisit Dari perhitungan keseluruhan dengan Metode Eksplisit didapat tabel 31
Penyelesaian dengan Metode Crank-Nicholson Penerapan metode Crank-Nicholson, dengan menggunakan persamaan (4) dengan r=0.5, menghasilkan perhitungan dilakukan dengan memasukan nilai awal dan nilai batas pada persamaan diatas Misal untuk j=1 dan i=1,2,3,4 diperoleh sistem persamaan, empat persamaan dengan empat variabel yang tidak diketahui: Sistem persamaan dapat ditulis dalam bentuk matriks tridiagonal, yang kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode sapuan ganda Choleski 32
Penyelesaian dengan Metode Crank-Nicholson Hasil perhitungan keseluruhan disajikan pada Tabel 33
grafik perbandingan metode Eksplisit dan Crank-Nicholson 34
grafik perbandingan metode Eksplisit dan Crank-Nicholson keterangan: * : dengan Metode Eksplisit o : dengan Metode Crank-Nicholson 35
grafik perbandingan metode Eksplisit dan Crank-Nicholson keterangan: * : dengan Metode Eksplisit o : dengan Metode Crank-Nicholson 36
Kesimpulan dan Saran Kesimpulan Metode beda hingga skema Eksplisit lebih mudah penyelesaiannya daripada metode beda hingga skema Crank-Nicholson, karena untuk mendapatkan nilai suatu titik dapat diketahui secara langsung dengan memasukan nilainilai dari kondisi awal, dan kondisi batasnya, berbeda dengan metode beda hingga skema Crank-Nicholson yang harus menyelesaikan sistem persamaan yang terbentuk yang berbentuk matriks tridiagonal, sehingga diperlukan metode lagi untuk penyelesaian dari matriks tridiagonal tersebut Metode beda hingga skema Crank-Nicholson memiliki akurasi perhitungan yang lebih baik daripada metode beda hingga skema Eksplisit. 37
Kesimpulan dan Saran Saran Tugas Akhir ini merupakan penelitian dengan kajian literatur tentang metode beda hingga skema Eksplisit dan Crank-Nicholson untuk mencari solusi dari persamaan panas satu dimensi, maka penulis menyarankan agar penelitian ini dilanjutkan untuk kasus perpindahan panas dua dimensi. 38
Daftar Pustaka 39
TERIMA KASIH 40