BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai model matematika penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi, diantaranya formulasi model penyakit campak, titik ekuilibrium bebas penyakit beserta analisis kestabilannya. Selanjutnya dilakukan simulasi model berdasarkan studi kasus yang dilakukan di Kabupaten Sleman Provinsi DIY dan strategi mengoptimalkan vaksinasi. A. Model Matematika SEIR untuk Penyebaran Penyakit Campak Model dasar tentang penyebaran penyakit pertama kali dirumuskan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Dalam modelnya, KermackMcKendrick membagi populasi total menjadi tiga kelas, yaitu Susceptible (S) merupakan jumlah individu yang sehat tetapi rentan terhadap penyakit, Infected (I) adalah jumlah individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit kepada individu yang sehat, dan Recovered (R) yang menotasikan jumlah individu yang telah sembuh dari penyakit dan akan kebal dari penyakit. Beberapa penyakit seperti campak, mempunyai periode laten, artinya ada selang waktu suatu individu terinfeksi sampai munculnya suatu penyakit. Periode laten ini akan terdapat pada kelas Exsposed (E), artinya individu yang terdeteksi atau terjangkit virus. Penambahan kelas pada penyakit campak ini akan membentuk model SEIR. Model penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi dapat diklasifikasikan menjadi empat populasi, yaitu populasi Susceptible (S), populasi Exposed (E), 42
populasi Infected (I), dan populasi Recovered (R). Populasi Susceptible (S), adalah banyaknya individu yang rentan terhadap penyakit campak. Populasi Exposed (E), adalah banyaknya individu yang terdeteksi campak tetapi belum terinfeksi. Populasi Infected (I), adalah banyaknya individu yang telah terinfeksi penyakit campak dan dapat menularkan penyakitnya ke individu lainnya. Populasi Recovered (R), adalah banyaknya individu yang telah sembuh dari penyakit campak dan kebal terhadap penyakit campak. Total populasi dinyatakan dengan. 1. Asumsi-Asumsi yang Digunakan Model penebaran penyakit diturunkan dengan menggunakan asumsi atau batasan tertentu. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk merumuskan model penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi sebagai berikut: a. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar sehingga dapat dinggap sebagai variabel kontinu. b. Populasi diasumsikan tertutup. Oleh karena itu, tidak ada populasi yang masuk ke dalam populasi atau keluar dari populasi tersebut. c. Faktor kelahiran dan kematian diperhatikan. d. Setiap individu yang lahir diasumsikan rentan terhadap penyakit campak. e. Setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak dengan individu lain. f. Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dari penyakit dan dapat meninggal akibat penyakit. g. Diasumsikan hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi. 43
h. Vaksin hanya diberikan pada individu yang baru lahir. i. Keampuhan vaksinasi adalah 100%. Hal tersebut berarti setiap individu yang telah mendapatkan vaksin akan kebal dari penyakit. j. Kekebalan yang terjadi karena vaksin bersifat permanen 2. Formulasi Model Matematika SEIR pada Penyebaran Penyakit Campak Didefinisikan parameter yang digunakan untuk membentuk model matematika SEIR pada penyebaran penyakit campak yaitu : = angka kelahiran (Jiwa per hari) = angka kematian alami (Jiwa per hari) = laju kontak (Jiwa per hari) = angka infektivitas (Jiwa per hari) = angka kesembuhan (Jiwa per hari) = angka kematian karena campak (Jiwa per hari) = persentase sukses vaksinasi pada kelahiran (proportion of those successively vaccinated at birth) Setiap individu yang baru lahir, masuk ke dalam kelas susceptible. Kemudian keluar dari kelas susceptible, karena memasuki kelas exposed (individu yang terjangkit melakukan kontak langsung dengan individu lain) atau mengalami kematian secara alami (kematian yang bukan disebabkan karena penyakit campak). 44
Seseorang akan masuk ke dalam kelas exposed ketika virus menyerang manusia pada kelas susceptible, dan individu yang terjangkit melakukan kontak langsung dengan individu lain dalam populasi. Kemudian keluar dari kelas exposed, karena virus berkembang dan menginfeksi maka individu dari kelas exposed masuk kelas infectious, atau karena kematian alami. Seseorang akan masuk kelas infectious karena virus telah menginfeksi individu dari kelas exposed. Pada kelas ini, individu dapat sembuh atau meninggal baik kematian secara alami atau kematian akibat penyakit. Jika seseorang meninggal secara alami atau akibat penyakit maka secara otomatis akan keluar dari sistem. Selanjutnya jika seseorang sembuh dari penyakit maka akan masuk ke dalam kelas recovered. Setelah waktu tertentu, seseorang dapat sembuh dan memasuki kelas recovered. Seseorang dapat memasuki kelas recovered karena telah diberikan vaksinasi dan selanjutnya keluar dari kelas recovered karena kematian alami. Dari penjelasan di atas, diperoleh diagram alur model matematika penyakit campak dengan vaksinasi sebagai berikut : bn βs I δi N σe γi S(t) E(t) I(t) R(t) p μs μe μi μr Gambar 3.1 Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaksinasi 45
Didefinisikan adalah angka kelahiran. Jumlah individu yang lahir dalam populasi tiap satuan waktu selalu konstan. Jumlah populasi yang lahir proporsional dengan total populasi. Oleh karena itu, jumlah populasi yang lahir dalam populasi adalah. Jumlah populasi yang lahir tersebut akan memasuki kelompok. adalah angka kematian alami, berdasarkan asumsi angka kelahiran sama dengan angka kematian, maka jumlah populasi yang mati pada setiap kelompok proposional dengan jumlah populasi pada masing-masing kelompok. Oleh karena itu, jumlah kematian pada kelompok S, E, R masing-masing sebesar S, E, R, sedangkan pada kelompok I sebesar )I dengan adalah kematian karena penyakit campak. adalah angka besarnya populasi yang terinfeksi dimana adalah koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit, individu rentan memperoleh infeksi dan angka timbulnya penyakit pada populasi yang terinfeksi. adalah angka terinfeksi dari individu yang telah exposed. Notasi adalah angka kesembuhan dari individu yang telah terinfeksi. Notasi persentase populasi rentan yang di vaksinasi per satuan waktu. Notasi adalah adalah persentase kelas rentan yang berhasil divaksinasi dan memasuki kelas rentan. Berikut akan ditentukan model persamaan diferensial untuk masing-masing kelas. 46
i. Model untuk kelas Susceptible Besarnya jumlah individu yang rentan atau perubahan kelas rentan terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah individu yang lahir dalam populasi kemudian akan menurun dengan adanya proporsi sukses vaksinasi pada kelahiran sebesar, angka individu exposed, dan angka kematian alami. Sehingga diperoleh persamaan. ii. Model untuk kelas Exposed Besarnya angka individu yang terjangkit atau perubahan kelas exposed terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah individu yang terekspos kemudian akan menurun dengan populasi yang terinfeksi dan angka kematian alami. Sehingga diperoleh persamaan. iii. Model untuk kelas Infected Besarnya jumlah individu yang terinfeksi atau perubahan kelas infeksi terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah yang terinfeksi kemudian akan menurun dengan adanya jumlah individu yang sembuh dan angka kematian alami dan angka kematian karena penyakit campak. Sehingga diperoleh persamaan. 47
iv. Model untuk kelas Recovered Besarnya jumlah individu yang sembuh atau perubahan dari kelas recovered terhadap waktu dipengaruhi oleh adanya proporsi sukses vaksinasi pada kelahiran dan angka kesembuhan dari jumlah individu yang terinfeksi dan angka kematian alami. Sehingga diperoleh persamaan. Dari gambar 3.1 dan uraian diatas diperoleh model matematika penyakit campak dengan vaksinasi adalah sebagai berikut. (3.1a) (3.1b) (3.1c) (3.1d) Dengan dan Persamaan (3.1a), (3.1b), (3.1c), (3.1d), selanjutnya disebut sistem (3.1). Sistem (3.1) dapat diskala dengan total populasi untuk menyederhanakan dan mempermudah analisis yang dilakukan. Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut : 48
(3.2) dari persamaan (3.2), diperoleh : (3.3) Oleh karena itu, dengan persamaan (3.2), sistem (3.1) dapat dinyatakan sebagai berikut : (3.4a) (3.4b) (3.4c) (3.4d) Selanjutnya akan ditunjukkan total populasi tidak konstan. Diketahui (3.5) 49
Turunan pertama dari Persamaan (3.5) terhadap adalah (3.6) Substitusikan sistem (3.1) ke persamaan (3.6), sehingga diperoleh (3.7) Karena turunan pertama dari tidak sama dengan nol, maka dapat disimpulkan bahwa populasi tidak konstan. Untuk menentukan proporsi di setiap kelas terlebih dahulu akan dicari proporsi dari. 50
( ) (3.8) Berdasarkan persamaan (3.4a), (3.4b), (3.4c), dan (3.4d) akan ditentukan laju proporsi untuk masing-masing kelas. i. Laju Proporsi untuk Kelas Susceptible Laju proporsi kelas susceptible merupakan banyaknya individu rentan dalam populasi. 51
Berdasarkan persamaan (3.4a) diperoleh : (3.9a) ii. Laju Proporsi untuk Kelas Exposed Laju proporsi kelas exposed merupakan rata-rata banyaknya individu yang terjangkit penyakit tetapi belum dapat menularkannya. Berdasarkan persamaan (3.4b) diperoleh : iii. Laju Proporsi untuk Kelas Infected (3.9b) 52
Laju proporsi kelas infected merupakan rata-rata banyaknya individu terinfeksi dalam populasi. Berdasarkan persamaan (3.4c) diperoleh : (3.9c) iv. Laju Proporsi untuk Kelas Recovered Laju proporsi kelas recovered merupakan rata-rata banyaknya individu yang telah sembuh dari penyakit dalam populasi. Berdasarkan persamaan (3.4d) diperoleh : (3.9d) 53
Berdasarkan persamaan (3.9a), (3.9b), (3.9c), dan (3.9d) dapat dibentuk transformasi dari sistem (3.1) yaitu : (3.10a) (3.10b) (3.10c) (3.10d) Sistem (3.10) adalah sistem persamaan non linear yang merupakan hasil transformasi model matematika pada penyebaran penyakit campak yang terdapat pada sistem (3.1) B. Titik Kesetimbangan Model Dari hasil persamaan tersebut terdapat titik kesetimbangan bebas penyakit, yaitu suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi atau ketika. 1. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit 54
Pada bagian ini akan dibahas mengenai titik ekuilibrium bebas penyakit dari model penyebaran penyakit campak pada sistem (3.10). Titik kesetimbangan bebas penyakit diperoleh saat tidak ada individu yang terinfeksi penyakit campak. Asumsikan variabel yang digunakan dalam pembahasan ini yaitu : titik kesetimbangan bebas penyakit pada sistem (3.10) titik kesetimbangan bebas penyakit kelas susceptible titik kesetimbangan bebas penyakit kelas exposed titik kesetimbangan bebas penyakit kelas infected titik kesetimbangan bebas penyakit kelas recovered Titik adalah titik kesetimbangan dari sistem (3.10) jika : ( ) Berdasarkan persamaan (3.12), diketahui jumlah proporsi masing-masing kelas adalah satu atau dapat dituliskan menjadi : (3.13) Untuk kasus titik ekuilibrium bebas penyakit, diketahui nilai, akibatnya, sehingga persamaan (3.13) menjadi (3.14) Akan dibuktikan nilai dari 55
diperoleh : Jika, akibatnya, maka berdasarkan sistem (3.10) dn (3.12) ( ) (3.15) Pada kasus ini akan dibatasi untuk titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu titik kesetimbangan ketika. Titik kesetimbangan bebas penyakit dapat ditunjukkan pada Teorema (3.1) berikut. Teorema 3.1 Jika, maka sistem (3.10) mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit ). Bukti : Berdasarkan Definisi (2.5), maka sistem (3.10) dapat dituliskan menjadi : (3.16a) (3.16b) (3.16c) (3.16d) 56
Berdasarkan (3.16a) diperoleh (3.17) Berdasarkan (3.16d) diperoleh (3.18) Sehingga titik kesetimbangan bebas penyakit dari Sistem (3.10) yaitu C. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar (Basic Reproduction Number) merupakan parameter yang biasa digunakan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Bilangan Reproduksi Dasar ( ) adalah rata-rata banyaknya individu rentan yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Jika, maka penyakit akan cenderung berkurang atau 57
menghilang dari populasi. Namun, jika, maka penyakit cenderung meningkat dalam populasi dan dapat menyebabkan endemik. Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menggunakan metode Next Generation Matrix. Matriks ini merupakan matriks yang dibentuk oleh sub-sub populasi pada kelas exposed dan infection. Pada model penyebaran penyakit campak akan dibahas mengenai bilangan reproduksi dasar pada sistem (3.10) dengan menggunakan kelas terekspose dan terinfeksi pada persamaan (3.10b) dan (3.10c). Didefinisikan [ ] (3.19) dan [ ] (3.20) Matriks (3.19) dan (3.20) akan dilinearisasi. Diberikan sistem persamaan nonlinear (3.21) dan 58
(3.22) Misalkan dan adalah titik kesetimbangan kelas eksposed dan infection pada sistem (3.21) dan (3.22), maka pendekatan linear sistem (3.21) dan (3.22) disekitar titik kesetimbangan kelas terekspos dan kelas terinfeksi menggunakan deret taylor di sekitar titik kesetimbangan dan yaitu (3.23) dan (3.24) Karena nilai dari dan mendekati 0, maka dan diabaikan, maka diperoleh 59
(3.25) dan (3.26) Dari sistem (3.25), dapat dibentuk matriks sebagai berikut [ ] [ ] * + (3.27) Sistem (3.26) dibentuk menjadi matriks diperoleh [ ] [ ] * + (3.28) Misalkan dan, maka diperoleh 60
[ ] [ ] * + (3.29) dan [ ] [ ] * + (3.30) diperoleh matriks jacobian dari Matriks (3.29) adalah [ ] (3.31) dan [ ] (3.32) Persamaan (3.31) diperoleh matriks P [ ] 61
[ ] (3.33) Substitusikan nilai ke matriks P, sehingga diperoleh [ ] dari persamaan (3.32) diperoleh matriks R [ ] [ ] Berdasarkan persamaan (2.20), maka diperoleh Next Generation Matriks yaitu [ ] [ ] [ ] [ ] 62
[ ] Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen maksimum Matriks H. Nilai eigen dari Matriks H adalah * + [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) (3.34) ( ) ( ) Menggunakan rumus akar kuadrat diperoleh nilai eigen dari persamaan (3.34) yaitu : 63
(3.35) ( ) ( ) (( ) ( ) ( )) Berdasarkan sistem (3.35) terdapat dua nilai eigen yaitu ( ) ( ) (( ) ( ) ( )) dan ( ) ( ) (( ) ( ) ( )) 64
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen maksimum, sehingga nilai eigen yang memenuhi yaitu : ( ) ( ) (( ) ( ) ( )) Sebelum menentukan nilai dari bilangan reproduksi dasar akan disederhanakan persamaan dari nilai eigen. Misal Maka diperoleh 65
( ( )) Oleh karena itu, nilai diperoleh pada persamaan (3.36) berikut ( ( )) D. Analisis Kestabilan pada Titik Ekuilibrium Model SEIR Setelah diperoleh titik kesetimbangan, selanjutnya akan di analisis kestabilan titik ekuilibrium. Kestabilan titik ekuilibrium digunakan untuk mengetahui perilaku sistem dengan mendefinisikan ( )( ) Untuk nilai dimana dapat ditemukan sebagai titik ekuilibrium bebas penyakit dan tidak terdapat kejadian endemi. Pada kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit, jika dalam populasi ditemukan ada yang terinfeksi, maka tetap tidak terjadi endemi, karena sistem akan kembali kedalam sistem kesetimbangan. Jika titik ekuilibrium bebas penyakit ada tetapi mulai tidak stabil. Jika ada yang terinfeksi kedalam keadaan bebas penyakit, maka akan menjadi sebuah epidemi dan sistem akan menuju keadaan endemi secara asimtotik, dan stabil untuk. Parameter dapat diinterpretasikan sebagai tingkat vaksinasi 66
minimum. Jumlah ini merupakan jumlah minimum vaksinasi yang dibutuhkan untuk mencegah terjadinya epidemi. (Ripno Juli Iswanto : 183-184) 1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Pada sub bab ini akan dianalisa kestabilan lokal di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit. Berdasarkan Teorema 3.1 telah diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu ( ) Selanjutnya akan dianalisa kestabilan di sekitar titik kesetimbangan ini dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 3.2 (i) Jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotik lokal. (ii) Jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil. Bukti : Sistem (3.10) didefinisikan sebagai (3.16a) (3.16b) (3.16c) 67
(3.16d) Untuk membentuk matriks Jacobian, Akan diturunkan sistem (3.16) terhadap. Untuk Untuk Untuk Untuk 68
69 Sehingga diperoleh matriks jacobian dari sistem (3.16) adalah : [ ] [ ] Matriks jacobian dipersekitaran adalah : [ ] Mencari nilai eigen matriks jacobian di persekitaran
[ ] [ ] [ ] Menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama, sehingga diperoleh : [ ] [ ] Dari persamaan tersebut terdapat 3 hasil nilai eigen, yaitu : 1. Maka, 2. Maka, 3. [ ] 70
Selanjutnya, analisis kestabilan pada kemungkinan ke-3 dapat diperoleh dengan menggunakan table Routh-Hurwitz seperti berikut : Tabel 3.1 Tabel Routh untuk Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Variabel Koefisien 1 0 Agar sistem stabil, maka semua suku kolom pertama table Routh-Hurwitz harus bertanda positif. Agar semua suku bertanda positif, maka : 71
Titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotik jika, yang menunjukkan bahwa pada suatu populasi tidak terjadi penyebaran penyakit. Stabil asimtotik berarti perubahan kecil pada syarat awal tidak menimbulkan pengaruh pada penyelesaian. E. Simulasi Model Pada sub bab ini akan disimulasikan secara numerik model penyebaran penyakit campak di Kabupaten Sleman Provinsi DIY tahun 2015 dengan memanfaatkan software Maple 18. Simulasi ini dilakukan untuk memberikan gambaran geometris mengenai pola penyebaran penyakit campak sesuai dengan kondisi bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar dapat digunakan untuk mengetahui penyakit tersebut menghilang atau endemik dalam populasi. Saat artinya setiap individu yang terinfeksi dapat menularkan penyakit campak kepada rata-rata kurang dari satu individu rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit dapat menghilang dari populasi. Namun, untuk artinya setiap individu terinfeksi dapat menularkan penyakit campak kepada rata-rata lebih dari satu individu rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit menyebar dalam populasi. Berdasarkan Badan Pusat Statistik Kabupaten Sleman tahun 2015, populasi di Kabupaten Sleman berjumlah 1.167.481 jiwa jumlah kelahiran 14.134 jiwa, jumlah 72
individu yang terkena penyakit campak 104 jiwa, dan jumlah kematian karena penyakit campak 0. 1. Estimasi Parameter Model Parameter-parameter model dapat diestimasi menggunakan langkah-langkah sebagai berikut : Angka infeksi yang dinyatakan dengan, yaitu dalam koefisien kontak efektif dan jumlah infectious pada waktu per jumlah total populasi. Dengan demikian, jumlah exposed pada setiap waktu bergantung pada kontak antara infectious dan susceptible. Dalam hal ini, diasumsikan dimana adalah jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam populasi rentan selama periode infectious. Rata-rata jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang per unit waktu adalah dengan adalah rata-rata durasi invektifitas. Untuk penyakit campak, diestimasi 9 hari. (Suparyanto, 2014). Angka infektivitas adalah angka transmisi dari exposed ke infected. Angka infektifitas dapat diturunkan dari rata-rata periode laten rata-rata periode laten). Periode laten untuk penyakit campak diestimasi 12 hari. (Suparyanto, 2014). Angka recovery adalah angka tansisi dari infectious ke recovered. Angka recovery diestimasi menggunakan durasi periode infektifitas, yaitu ratarata periode infektifitas. 73
Tabel 3.1 Data Nilai Awal Kelas SEIR dengan Asumsi Tertentu No. Proporsi Awal Kelas untuk t=0 Jumlah Populasi Awal Proporsi Awal dalam Persen 1. Proporsi Kelas Rentan 759.394 jiwa 0,6505 2. Proporsi Kelas Ekspose 90 jiwa 7,7089x10-5 3. Proporsi Kelas Infeksi 104 jiwa 8,908x10-5 4. Proporsi Kelas Recovered 408.087 jiwa 0,3493 Total Populasi 1.167.481 jiwa 1 Data awal kelas SEIR diperoleh dari data Kabupaten Sleman Daerah Istimewa Yogyakarta pada tahun 2015. Populasi kelas rentan diperoleh dari total individu usia nol sampai dengan 45 tahun, populasi kelas infeksi diperoleh dari jumlah penderita campak, total populasi diperoleh dari jumlah populasi di Kabupaten Sleman Provinsi DIY pada tahun 2015. Selanjutnya untuk populasi kelas ekspose diperoleh dengan mengambil angka yang mendekati jumlah kelas infeksi, kemudian kelas sembuh diperoleh dengan mengurangkan total populasi keseluruhan dengan populasi kelas rentan, ekspose, dan infeksi. Parameter-parameter model (angka transisi per satuan waktu (hari)) dihitung menggunakan rumus-rumus estimasi parameter model dan diperoleh : 1. Angka infektifitas 1/masa inkubasi 2. Angka kesembuhan 1/masa pemulihan 3. Angka kelahiran 74
4. Angka kematian rata-rata usia orang Indonesia adalah 70 tahun atau 25550 hari 5. Angka kematian karena campak 6. Berdasarkan pusat data dan informasi Prov. DIY 2015, persentase sukses vaksinasi 7. Nilai adalah nilai yang merepresentasikan laju penularan penyakit campak, dalam hal ini, dimana adalah jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam populasi rentan selama periode infeksi. Rata-rata jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang per unit waktu adalah dengan adalah ratarata durasi invektifitas. Untuk penyakit campak, diestimasi 9 hari. Sehingga. (Maesaroh Ulfa, 2013). Substitusikan nilai parameter-parameter yang bersesuaian pada sistem (3.10) sehingga didapatkan sistem (3. 34) sebagai berikut Berikut simulasi untuk sistem (3.34). 75
Simulasi model matematika SEIR pada penyebaran penyakit campak di Kabupaten Sleman Untuk nilai parameter, diperoleh nilai. Simulasi ditunjukkan pada Gambar 3.2. Script program Maple untuk Gambar 3.2 dapat dilihat pada Lampiran 1. Gambar 3.2 Simulasi Penyebaran Penyakit Campak Berdasarkan Gambar 3.2, terlihat proporsi susceptible mengalami penurunan yang signifikan. Hal ini dapat disebabkan karena banyaknya individu kelas rentan yang terinfeksi penyakit campak akibat adanya kontak langsung dengan individu terjangkit atau karena individu rentan masuk kelas recovered. Pada jangka waktu tertentu, proporsi kelas exposed dan proporsi kelas infected mengalami kenaikan kemudian mengalami penurunan. Hal 76
ini terjadi akibat banyaknya individu kelas rentan yang terjangkit dan terinfeksi penyakit campak. Untuk proporsi kelas recovered, mula-mula kurva mengalami peningkatan kemudian stabil. Hal ini terjadi karena individu dari kelas susceptible, exposed, dan infected masuk ke dalam kelas recovered. Jika nilai parameter disubstitusikan ke sistem (3.34), maka diperoleh nilai untuk titik ekuilibrium sebesar. Selanjutnya, analisis kestabilan pada titik ekuilibrium bebas penyakit, jika nilai parameter disubstitusikan, diperoleh nilai eigen riil yang pertama dan kedua bernilai negatif, sedangkan nilai eigen riil yang ketiga, yaitu koefisien Routh bernilai positif. Akibatnya, hubungan dengan koefisien Routh menjadi. Berdasarkan Teorema 2.2, jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen riil positif maka sistem tidak stabil. 2. Kasus dengan Efektivitas Vaksinasi Berbeda Pada bagian ini akan dilihat mengenai pengaruh efektifitas vaksinasi terhadap suatu penyakit. Dimulai dengan vaksinasi berhasil 10%, 45%, dan 70% akan ditunjukkan dengan grafik. 77
Gambar 3.3 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 10% Gambar 3.4 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 45% 78
Gambar 3.5 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 70% Pada saat vaksinasi 10%, 45%, dan 70% mengakibatkan periode penyebaran penyakit dan individu terinfeksi menjadi lebih lama yaitu lebih dari 100 hari. Dari gambar 3.2 menunjukkan bahwa untuk nilai persentase vaksin sebesar 95% maka proporsi individu yang terinfeksi penyakit campak mengalami peningkatan kemudian akan mengalami penurunan pada kurun waktu kurang dari 100 hari. Dapat disimpulkan bahwa besarnya persentase sukses vaksinasi dapat mempercepat periode penyebaran dan tingkat individu terinfeksi penyakit campak. Namun, karena sistem tidak stabil, persentase vaksin sebesar 95% belum mampu mencegah terjadinya endemi penyakit campak di Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta. 79