BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Saat ini banyak sekali penyakit menular yang cukup membahayakan, penyakit menular biasanya disebabkan oleh faktor lingkungan yang cukup baik untuk perkembangbiakan virus, penyakit akan mewabah melalui kontak langsung dengan individu yang telah terinfeksi virus, udara, batuk, bersin, maupun makanan dan minuman. [2] Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi di bidang kedokteran memiliki peranan penting dalam mencegah penyebaran penyakit agar tidak meluas, yaitu dengan cara pemberian vaksin. Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang Matematika juga memberikan peranan penting dalam pencegahan mewabahnya suatu penyakit. Peranan matematika ini berupa model matematika, yang disebut model epidemi. Model matematika memiliki aplikasi yang cukup penting dalam berbagai ilmu. Dengan menggunakan berbagai asumsi, permasalahan yang ada dalam lingkungan kehidupan dapat ditransformasikan dalam model matematika. Dalam model matematuka yang ada selanjutnya dapat dianalisis perilaku-perilaku yang ada didalamnya. Salah satu kejadian yang terjadi dalam kehidupan manusia dan dapat ditransformasikan dalam model matematika adalah kejadian epidemi, yaitu bentuk model matematika yang digunakan dalam melihat tingkat penyebaran suatu penyakit menular. Secara umum, model epidemic yaitu Susceptible (S), Infected (I), dan Recovered (R). Yang dimana Susceptible (S) sebagai sub kelas populasi yang rentan terinfeksi, Infected (I) sebagai sub kelas populasi yang terinfeksi, dan Recovered (R) sebagai sub kelas yang telah sembuh dari penyakit menular dan memiliki kekebalan tubuh. Model ini disebut sebagai model SIR. 1

2 Model SIR digunakan untuk melihat perubahan pada setiap subbabnya untuk mereka yang membutuhkan perhatian medis selama penyebaran penyakitnya. Model SIR juga dapat menjelaskan bahwa seseorang yang telah sembuh dari suatu penyakit, maka orang tersebut akan memiliki kekebalan dalam tubuhnya. Sehingga dalam tubuhnya memiliki daya tahan untuk tidak terjangkit penyakit dengan jenis yang sama. Hanya saja model SIR ini tidak bekerja pada semua penyakit, ketika seseorang terjangkit penyakit menular, ada kemungkinan suatu saat orang tersebut akan terjangkit lagi Rumusan Masalah 1. Bagaimana penggunaan model matematika epidemi SIR pada penyakit menular? 2. Apakah yang dimaksud dengan Basic Reproductive Ratio, Herd Immunity Threshold, Effective Reproductive Number, dan Control Vaccination Number? 3. Bagaimana cara pengontrolan pemberian vaksin pada suatu populasi yang terkena wabah penyakit menular Batasan Masalah Batasan masalah pada studi literatur ini meliputi : 1. Pengunaan model matematika endemik SIR. 2. Hanya pada penyakit yang bersifat endemik. 3. Laju kelahiran yang terjadi dalam populasi diasumsikan sama dengan laju kematian. 4. Penyebaran penyakit terjadi pada populasi tertutup, sehingga pengaruh dari luar diabaikan. 5. Jumlah populasi diasumsikan konstan dan tidak memperhatikan masa inkubasi. 2

3 1.4. Tujuan Penelitian 1. Mengetahui penggunaan model matematika epidemi SIR pada penyakit menular. 2. Mengetahui penggunaan Basic Reproductive Ratio, Herd Immunity Threshold, Effective Reproductive Number, dan Control Vaccination Number. 3. Mengetahui tingkat vaksinasi yang efektif yang diberikan kepada individu yang terinfeksi penyakit menular Metode Penelitian Dilakukan dengan pendekatan teoritis mengenai teori-teori pendukung yang berkaitan dengan model epidemi SIR Sistematika Penulisan Penyusunan studi literatur ini, berdasarkan sistematika penulisan adalah sebagai berikut : BAB I : Pendahuluan Berisi mengenai latar belakang materi pokok studi literatur, rumusan masalah, tujuan pembahasan materi, metode penelitian, sistematika penelitian, dan kerangka berfikir dari materi yang dibahas dalam penulisan ini. BAB II : Landasan Teori Berisi mengenai uraian teori-teori yang mendukung penulisan ini, dan halhal yang melandasi pembahasan pada materi pokok studi literatur yang meliputi, model matematika, model epidemi, Basic Reproductive Ratio, Herd Immunity Threshold, Effective Reproductive Number, Control Vaccination Number, sistem persamaan diferensial, metode Euler, dan metode Euler pada Persamaan Diferensial. 3

4 BAB III : Analisis Model Epidemi SIR Pada Penyakit Cacar Air (Varicella) Berisi mengenai pembahasan dari model epidemi SIR, penggunaan Basic Reproductive Ratio, Herd Immunity Threshold, Effective Reproductive Number, dan Control Vaccination Number pada model SIR. Dan penggunaan model SIR pada penyakit cacar air. BAB IV : Penutup Berisi kesimpulan sebagai hasil dari rumusan masalah pada kajian model epidemi ini, dan saran untuk pengembangan kajian ini dengan permasalahan yang berbeda. Daftar Pustaka 1.7. Kerangka Berfikir Model epidemi pertama kali dipublikasikan oleh Daniel Bernoulli, dan model epidemi modern dikembangkan oleh A.G. McKendrick dan W.O. Kermarck (1927).[2] Pada model SIR, individu yang awalnya berpotensi tidak terinfeksi akan menjadi individu rentan terinfeksi jika ia ada dalam suatu populasi tertutup yang didalamnya memiliki individu yang telah terinfeksi oleh suatu penyakit menular, maka penyebaran penyakit tersebut kemungkinan besar akan mewabah dalam populasi tersebut, dengan adanya Basic Reproductive Ratio maka akan diketahui seberapa cepat infeksi tersebut akan mewabah. Dan dengan adanya pemberian vaksin terhadap individu yang terinfeksi, maka individu tersebut akan lebih cepat pulih dari penyakit tersebut, disinilah peran Control Vaccination Number untuk mengetahui tingkat pemberian vaksin terhadap populasi yang telah terinfeksi tersebut, dan pada umumnya suatu penyakit menular, akan menghasilkan kekebalan tubuh terhadap individu tersebut. Sehingga individu yang telah terinfeksi, kemungkinan untuk tertular kembali dengan jenis penyakit yang sama sangatlah kecil, contohnya penyakit cacar air. 4

5 BAB II LANDASAN TEORI 2.1.Model Matematika Secara umum pengertian model adalah suatu usaha untuk menciptakan suatu replika/tiruan dari suatu peristiwa alam. Salah satu modelnya yaitu model matematika. Pada model matematika, replika/tiruan tersebut dilaksanakan dengan mendeskripsikan peristiwa alam dengan satu set persamaan. Kecocokan model terhadap peristiwa alamnya tergantung dari ketepatan formulasi persamaan matematis dalam mendeskripsikan peristiwa alam. Langkah pertama dalam pemodelan matematika adalah menyatakan problem dunia nyata kedalam pengertian matematika, yang meliputi identifikasi variabel-variabel pada problem dan membentuk beberapa hubungan antara variabel-variabelnya. Selanjutnya adalah mengkonstruksi kerangka dasar model. Dengan asumsi dan pemahaman hubungan antara variabel-variabel, selanjutnya akan melibatkan suatu usaha memformulasikan persamaan atau sekumpulan persamaan untuk menyatakan hubungannya. Ketika model diformulasi, langkah berikutnya adalah menyelesaikan persamaan. Untuk mendapatkan solusinya yaitu salah satu langkah yang akan menghubungakan terakhir formulasi matematika kembali ke probem dunia nyata. Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah proses membangun suatu model matematika untuk menggambarkan dinamika suatu sistem. 2.2.Model Epidemi Ilmu yang membahas mengenai penyebaran penyakit disebut epidemiologi. Epidemiologi merupakan cabang ilmu yang mempelajari penyebaran penyakit dan faktor yang menentukan terjadinya penyebaran 5

6 penyakit pada manusia. Istilah penyebaran penyakit yang dimaksud adalah penyebaran penyakit menurut sifat orang, tempat, dan waktu. Epidemi adalah penyakit yang timbul sebagai kasus baru pada suatu populasi tertentu, dalam suatu periode waktu tertentu, dengan laju yang melampaui perkiraan. Dengan kata lain, epidemi adalah wabah yang terjadi secara lebih cepat daripada yang diduga. Penyakit yang umum yang terjadi pada laju yang konstan namun cukup tinggi pada suatu populasi disebut endemik. Suatu infeksi dikatakan sebagai endemik pada suatu populasi jika infeksi tersebut berlangsung di dalam populasi tersebut tanpa adanya pengaruh dari luar. Suatu infeksi penyakit dikatakan sebagai endemik bila setiap orang yang terinfeksi penyakit tersebut menularkannya kepada tepat satu orang lain. Bila infeksi tersebut tidak hilang dan jumlah orang yang terinfeksi tidak bertambah secara eksponensial, suatu infeksi dikatakan berada dalam keadaan tunak endemik (endemic steady state). Suatu infeksi yang dimulai sebagai suatu epidemi pada akhirnya akan hilang atau mencapai keadaan tunak endemik, bergantung pada sejumlah faktor, termasuk virulensi dan cara penularan penyakit bersangkutan. Model epidemi merupakan model matematika yang digunakan untuk melihat laju penyebaran penyakit. Kondisi epidemi terjadi ketika ada salah satu individu rentan pada populasi tersebut, maka populasi tersebut memiliki peluang menjadi populasi rentan, dan kemungkinan besar infeksi tersebut akan mewabah pada populasi tersebut. Sehingga pada akhirnya seluruh individu dalam populasi berpeluang terinfeksi. Pada dasarnya, model epidemic pada infeksi penyakit memiliki 3 epidemologi, yaitu dari fase Susceptibles, Infected, dan Removed, yang didefinisikan : - Individu yang sehat dapat terinfeksi; - Individu yang terinfeksi memungkinkan untuk menularkan penyakit; - Seseorang memiliki kekebalan karena telah terinfeksi, dan dapat sembuh. 6

7 2.3.Basic Reproductive Ratio Basic Reproductive Ratio adalah potensi penularan penyakit pada populasi rentan yang merupakan jumlah rata-rata individu yang akan terinfeksi secara langsung oleh seorang yang telah terinfeksi selama masa penularannya pada populasi yang seluruhnya dalam rentan. Menurut Hethcote, rasio reproduksi merupakan rasio yang menunjukkan jumlah individu susceptible yang dapat menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu individu infected. Basic Reproductive Ratio disebut sebagai laju reproduksi dasar atau rasio repoduksi dasar dari suatu infeksi. Umumnya, semakin besar nilai Basic Reproductive Ratio (B R ) maka semakin sulit untuk mengendalikan mewabahnya suatu penyakit. Untuk model sederhana, proporsi populasi yang perlu divaksinasi untuk mencegah penyebaran yang berkelanjutan. Tingkat reproduksi dasar dipengaruhi oleh beberapa faktor termasuk jangka waktu infektivitas individu yang terinfeksi [4]. Yang dimana, ketika B R > 1 maka seseorang yang telah terinfeksi dapat menyebabkan lebih dari 1 orang untuk terinfeksi penyakit tersebut dengan kata lain wabah penyakit meningkat, ketika B R = 1 maka tidak ada penyebaran penyakit (konstan), dan ketika B R < 1 maka sesorang yang terinfeksi tidak menyebabkan orang lain terkena penyakit yang sama, dengan kata lain tidak terjadi wabah pada populasi tersebut. Basic Reproductive Number setara dengan : - Lamanya waktu penularan penyakit. - Jumlah kasus dari populasi rentan per satuan waktu. - Kemungkinan transmisi infeksi dalam suatu pertemuan dengan sejumlah individu yang rentan. 2.4.Herd Immunity Threshold Immunity merupakan kekebalan yang biasanya dihubungkan dengan adanya antibody atau hasil aksi sel-sel yang spesifik terhadap mikro-organisme penyebab atau racunnya, dan yang dapat menimbulkan penyekit menular tertentu. 7

8 Herd Immunity adalah tingkat kemampuan atau daya tahan suatu populasi tertentu terhadap serangan atau penyebaran penyakit menular tertentu didasari pada daya tahan suatu populasi pada ukuran yang tinggi di setiap individu dalam suatu kelompok. Perlawanan adalah suatu hasil pada jumlah rentan dan kemungkinan bahwa individu yang rentan akan mengalami kontak dengan individu yang telah terinfeksi. Perlawanan pada suatu populasi untuk penyerangan dan penyebaran pada perantara infeksi, didasari pada kekebalan perantara tertentu pada ukuran yang tinggi pada suatu populasi. Ukuran pada suatu populasi yang membutuhkan untuk mengubah kekebalan tubuh melalui perantara, karakter penyebaran, penyaluran kekebalan dan kondisi rentan, dan faktor lainnya [2]. Herd immunity dianggap sebagai faktor utama dalam proses kejadian wabah dalam masyarakat serta kelangsungan penyakit pada suatu kelompok tertentu, seperti campak dan cacar air yang mewabah pada setiap periode tertentu sebelum adanya usaha imunisasi. Keadaan tersebut terjadi karena selama berlangsungnya wabah penyakit tertentu dalam masyarakat, maka sejumlah mereka yang rentan akan jatuh sakit dan merupakan sumber penularan untuk anggota kelompok lainnya yang tidak kebal. Akan tetapi karena setiap penderita akan membentuk kekebaan aktif dalam tubuhnya, maka selama wabah berlangsung banyak bekas penderita yang akan menjadi kebal, sehingga proporsi anggota masyarakat yang kebal menjadi meningkat sehingga prroses penularan menjdai lebih lambat. Dalam menilai pengaruh herd immunity pada masyarakat secara umum adalah proporsi tingkat kekebalan suatu kelompok yang dapat dianggap mempunyai cukup daya tangkal untuk mencegah terjadinya wabah. Secara teori, dapat dikatakan bahwa untuk suatu masyarakat tertentu maka tingkat kekebalan yang dibutuhan secara merata adalah 70% - 80% atau dengan kata lain tingkat kekebalan masyarakat tidak harus 100 % untuk mencegah terjadinya wabah penyakit tertentu dalam suatu kelompok [9]. Herd immunity hanya berlaku pada penyakit menular. Teori kekebalan kelompok mengusulkan bahwa dalam penyakit menular yang 8

9 ditularkan dari individu ke individu lain, rantai infeksi kemungkinan akan terganggu ketika banyak penduduk yang kebal atau kurang rentan terhadap penyakit. Keely mendefinisikan Herd Immunity sebagai proses dimana untuk setiap orang yang divaksinasi beresiko terinfeksi selama dalam populasi rentan terinfeksi [4]. Salah satu tujuan dari vaksinasi adalah untuk menciptakan kekebalan kelompok sementara kepada orang yang yang terinfeksi. Herd Immunity merupakan faktor utama dalam proses kejadian wabah di masyarakat serta kelangsungan penyakit pada suatu kelompok penduduk tertentu. Herd Immunity Threshold adalah presentase penduduk yang membutuhkan kekebalan untuk mengendalikan penularan penyakit, yaitu sama dengan satu. Dengan kata lain, Herd Immunity Threshold merupakan ukuran dari kekebalan pada suatu populasi, yang timbul pada peningkatan infeksi. Ketika penyakit mewabah, pada individu yang telah terinfeksi, maka individu tersebut akan memiliki kekebalan tubuh, semakin tinggi proporsi dari populasi maka populasi tersebut akan memiliki kekebalan. Ketika proporsi yang cukup tinggi dari populasi, akan menjadi kebal terhadap infeksi, maka wabah mereda dan akhirnya berhenti. Fungsi dari Herd Immunity yaitu mencegah penyebaran infeksi dalam komunitas dimana cakupan imunisasi cukup tinggi, sehingga wabah dapat dicegah dengan vaksin. 2.5.Effective Reproductive Number Dinotasikan dengan E R, merupakan jumlah rata-rata dari tempat sekunder selama masa endemik. Effective Reproductive Number dapat digunakan untuk memantau dampak dari vaksinasi. Jika E R < 1, maka transmisi endemik infeksi tidak akan terjadi. Nilai Effective Reproductive Number biasanya lebih kecil daripada nilai laju reproduksi dasar, dan mencerminkan dampak tindakan pengendalian dan pengurangan orang yang rentan dengan infeksi. 9

10 Jumlah reproduksi yang efektif akan berubah, misalnya orang akan menjadi kebal terhadap penyakit. Biasanya nilai Effective Reproductive Number lebih kecil daripada nilai Basic Reproductive Ratio, dan dapat mencerminkan dampak tindakan pengendalian dan penipisan orang yang rentan terinfeksi. 2.6.Control Vaccination Number Model epidemi SIR dengan pengaruh vaksinasi merupakan pengembangan dari model epidemi SIR klasik yang berupa persamaan diferensial nonlinear orde satu. Control Vaccination Number dinotasikan dengan C V merupakan jumlah rata-rata dari tempat kedua dari tempat infeksi selama masa endemik dengan pengendalian tindakan, contohnya vaksinasi. Vaksinasi merupakan salah satu cara untuk mencegah terjadinya penyebaran penyakit lebih tinggi. Ketika C V < 1, dapat mengetahui seseorang pada suatu populasi yang membutuhkan vaksinasi. Berdasarkan data dari World Health Organization (WHO), program vaksinasi dipercaya sebagai cara yang efektif dalam menghindari penyebaran penyakit. Vaksin memiliki tingkat efektivitas yang sangat tinggi, namun vaksin tidak sepenuhnya efektif 100% pada individu yang menerima vaksin. Bagi individu yang belum menerima vaksin kemungkinannya sangat tinggi untuk terinfeksi.[4] 2.7.Metode Euler pada Persamaan Diferensial Biasa Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk suatu fungsi tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang menghubungkan nilai dari fungsi tersebut dengan turunannya sendiri pada berbagai derajat turunan [11]. 10

11 Dalam model SIR ini, untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial yaitu dengan menggunakan metode Euler. Melalui pendekatan numerik, kita tidak akan memperoleh solusi fungsi yang kontinu, yang mungkin kita dapat adalah solusi diskrit dalam bentuk mesh points di dalam interval [a,b]. Persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai berikut : [13] dy = f x, y, a x b, y a = α dx Metode euler diturunkan dari deret Taylor, y i+1 = y i + y i x 1! + y i" x 2! + Deret Taylor diatas dengan melihat bahwa suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari 2 memiliki nilai yang sangat kecil, maka dapat diabaikan, sehingga dapat ditulis y i+1 = y i + y i x y i = f x i, y i Maka didapat persamaan metode Euler : y i+1 = y i + f x i, y i x 11

12 BAB III ANALISIS MODEL EPIDEMI SIR PADA PENYAKIT CACAR AIR (VARICELLA) 3.1.Model Epidemi SIR Suatu infeksi penyakit dikatakan endemik apabila setiap orang yang terinfeksi penyakit akan menularkannya ke individu lain. Ketika infeksi tersebut tidak hilang dan jumlah orang yang terinfeksi bertambah, maka infeksi tersebut dikatakan berada dalam keadaan endemik. Model SIR merupakan model penyakit yang memperoleh kekebalan permanen dan keadaan pulih dari penyakit tersebut. Model SIR menggambarkan alur penyebaran penyakit dari individu yang rentan (Susceptibles) menjadi individu terinfeksi penyakit menular (Infected) melalui kontak langsung maupun perantara lain, misal batuk, bersin, melalui makanan dan minuman. Selanjutnya, individu dalam kelompok Infected yang mampu bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan masuk ke kelompok individu pulih dari penyakit dan memiliki kekebalan (Recovered). Model epidemi SIR, pada suatu populasi dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu [7] : Susceptible (S), yaitu kelompok individu yang sehat tapi rentan terinfeksi. Infected (I), yaitu kelompok individu yang terinfeksi penyakit menular. Recovered (R), yaitu kelompok individu yang telah pulih dan memiliki kekebalan permanen untuk tidak tertular penyakit yang sama. Model epidemi SIR dibangun berdasarkan asumsi-asumsi : [4] Populasi konstan. Satu-satunya cara orang dapat meninggalkan kelompok rentan yaitu dengan cara terinfeksi penyakit, satu-satunya cara orang yang terinfeksi ingin sembuh, yaitu dengan proses pemulihan. Setelah itu, seseorang dapat sembuh, dan memiliki kekebalan tubuh. 12

13 Umur, seks, status sosial, dan ras tidak berpengaruh untuk terkena infeksi. Tidak ada kekebalan tubuh yang turun temurun. Suku dari populasi campuran memiliki interaksi yang sama dengan orang lain pada tingkat yang sama. Jumlah individu untuk masing-masing kelompok pada waktu t dinyatakan sebagai S t, I t, dan R(t). Total populasi N diasumsikan konstan karena kelahiran dan kematian diasumsikan memiliki laju yang sama, dan pengaruh luar tidak diperhatikan. Maka, N = S t + I t + R(t) (3.1) Yang dimana N merupakan jumlah populasi total dari suatu keloompok masyarakat. Model Matematika SIR ds dt di dt dr dt = βs t I t (3.2) = βs t k I t (3.3) = ki(t) (3.4) Ket : ds dt di dt dr dt = jumlah individu rentan terhadap waktu. = jumlah individu terinfeksi terhadap waktu. = jumlah individu yang telah pulih terhadap waktu. k = laju pemulihan (k 0). β = laju rata-rata penularan penyakit (β 0). α = kemungkinan terjadi infeksi. 13

14 Gambar 3.1 Model Epidemi SIR Individu yang sembuh dari penyakit akan bergabung pada kelompok R. kelompok I menerima perpindahan dari kelompok S sebesar βs t I(t) dan melepaskan menuju kelompok R sebesar k. Dalam model SIR, dapat diselesaikan menggunakan persamaan diferensial dengan menggunakan metode Euler. Diketahui persamaan diferensial dalam model SIR (3.2), (3.3), (3.4). Dengan menggunakan solusi metode Euler : y i+1 = y i + y i x 1! + y i" x 2! + (3.5) Dari persamaan (3.1) y i+1 = y i + f x i, y i x (3.6) ds dt = f(t, S) S n+1 S n t n+1 t n = f(t, S) S n+1 S n = f t, S (t n+1 t n ) S n+1 = S n + f t, S t S n+1 = S n + ( βs n I n ) t S n+1 = S n βs n I n t (3.7) Solusi metode Euler untuk kelompok Infected, Dari persamaan (3.3) di = f(t, I) dt I n+1 I n t n+1 t n = f(t, I) 14

15 I n+1 I n = f t, I (t n+1 t n ) I n+1 = I n + f t, I t I n+1 = I n + βs n I n ki n t I n+1 = I n 1+βS n k t (3.8) Solusi metode Euler untuk kelompok Recovered, Dari persamaan (3.4) dr dt = f(t, R) R n+1 R n = f t, R (t n+1 t n ) R n+1 R n = f t, R (t n+1 t n ) R n+1 = R n + f t, R t R n+1 = R n + ki n t (3.9) Dari persamaan diferensial model matematika SIR, dengan menggunakan metode Euler didapatkan solusi dari persamaan diferensial diatas yaitu : S n+1 = S n βs n I n t (3.7) I n+1 = I n 1 + βs n k t (3.8) R n+1 = R n + ki n t (3.9) Yang dimana S n+1, I n+1, R n+1 adalah bilangan dari populasi rentan, terinfeksi, dan pulih dengan waktu (n+1), dan t adalah perubahan waktu terkecil dengan t = 1. 15

16 3.2.Model SIR dengan Basic Reproductive Ratio Basic Reproductive Ratio atau Bilangan Reproduksi Dasar, dinotasikan dengan B R digunakan ketika suatu populasi beresiko tertular penyakit dan berfungsi untuk memperkirakan penyebaran infeksi dan laju perpindahan penyakit dari satu individu ke individu lain selama masa endemik. Maka berlaku B R = β S k 0. (3.10). Jika B R > 1, maka penyakit akan meningkat. Jika B R = 1, maka penyakit akan konstan. Jika B R < 1, maka penyakit akan berkurang dan penyakit akan hilang. 3.3.Model SIR dengan Herd Immunity Threshold Herd Immunity Threshold (H I ) merupakan bentuk kekebalan yang terjadi ketika vaksinasi, sebagian besar populasi memberikan ukuran perlindungan bagi individu yang belum memiliki kekebalan. Teori kekebalan Herd mengusulkan pada penyakit menular yang ditularkan dari individu ke individu, ketika sejumlah besar populasi kebal terhadap penyakit maka rantai infeksi terganggu. Semakin besar proporsi individu yang kebal, semakin kecil kemungkinan bahwa individu rentan akan datang ke dalam kontak dengan individu menular [4]. Herd Immunity Threshold merupakan bagian dari populasi yang membutuhkan kekebalan untuk mengontrol penyebaran penyakit. H t = B R 1 B R = 1 1 B R (3.11) Apabila jumlah dari vaksinasi meningkat, maka Herd Immunity Threshold juga meningkat. Ketika jumlah orang yang rentan terinfeksi berkurang, maka Herd Immunity Threshold menurun. 16

17 3.4.Model SIR dengan Effective Reproductive Number Effective Reproductive Number (E R ) merupakan jumlah rata-rata kasus infeksi sekunder yang timbul akibat dari kasus infeksi primer selama masa endemik. Untuk menghitung nilai E R, digunakan persamaan berikut, E R = B R S t N (3.12) Sebagai wabah endemik, orang akan mati atau menjadi kebal terhadap penyakit, ketika S t N menurun, dan akhirnya E R bernilai < 1. Effective Reproductive Number berlaku ketika menentukan kebijakan yang efektif dalam pengontrolan suatu penyakit. Ketika E R < 1, kebijakan mengenai penyakit adalah efektif. Untuk lebih jelasnya, pada gambar dapat dilihat ilustrasi E R Gambar 3.2 Ilustrasi E R 17

18 3.5.Model SIR dengan Control Vaccination Number C V merupakan jumlah rata-rata kasus infeksi sekunder yang timbul akibat dari kasus infeksi primer selama masa endemik dengan pengendalian tindakan. C V = B R [1 hf] (3.13) Ket : h = keberhasilan vaksin f = cakupan vaksinasi (bagian dari populasi yang tervaksinasi) Diketahui bahwa untuk mengetahui individu yang terinfeksi membutuhkan vaksinasi yaitu ketika C V < 1. Untuk mendapatkan C V < 1, dibutuhkan banyaknya individu yang terinfeksi (f) dengan menggunakan dasar aljabar untuk memanipulasi persamaan C V. C V < 1 B R 1 hf < 1 1 hf < 1 B R hf < 1 B R 1 f > f > 1 1 B R h 1 B R 1 h Dengan demikian didapat f > 1 ( 1 B R ) h (3.14) Ketika didapat f maka akan didapatkan nilai h. Setelah itu, kita dapat mengetahui jumlah individu yang membutuhkan vaksinasi dengan tingkat vaksinasi yang efektif. 18

19 3.6.Model SIR dengan Proses Kepulihan dan Kematian Ketika pulih, seseorang akan menerima kekebalan tubuh, sehingga tidak mudah rentan terinfeksi penyakit, akan tetapi tidak menjamin bahwa seseorang yang sudah pulih, dapat menerima kekebalan tubuh, karena ada kemungkinan juga orang tersebut akan mati. Oleh karena itu, kita dapat mengubah persamaan dr, dengan satu persamaan bagi orang yang hidup dt dan satu persamaan bagi orang yang mati. Dengan mengubah parameter k kedalam dua point, yaitu k V (telah pulih dan memiliki kekebalan tubuh) dan k D (mati) untuk persamaannya, didapat : Ket : dv dt = k VI t (3.15) dd dt = k DI t (3.16) k V = tingkat kesembuhan dan memiliki kekebalan tubuh. k D = tingkat kematian individu terinfeksi. V = kekebalan tubuh D = kematian Solusi metode Euler untuk memperhitungkan tingkat kepulihan dan kekebalan tubuh individu Dari persamaan (3.15) dv dt = f(t, V) V n+1 V n t n+1 t n = f(t, V) V n+1 V n = f t, V (t n+1 t n ) V n+1 = V n + f t, V t V n+1 = V n + ki n t (3.17) Solusi metode Euler untuk memperhitungkan tingkat kematian individu 19

20 Dari persamaan (3.16) dd dt = f(t, D) D n+1 D n t n+1 t n = f(t, D) D n+1 D n = f t, D (t n+1 t n ) D n+1 = D n + f t, D t D n+1 = D n + ki n t (3.18) Dengan menggunakan metode Euler, didapat : V n+1 = V n + ki n t (3.17) D n+1 = D n + 1 k I t t (3.18) Yang dimana V n+1 dan D n+1 adalah bilangan dari kekebalan dan kematian seseorang dengan waktu (n+1) t, dan t = Model SIR dan Cacar Air (Varicella) Cacar air dikenal juga sebagai Varicella, cacar air adalah penyakit menular ciri-cirinya yaitu banyak menimbulkan rasa gatal dan kemerahmerahan pada kulit. Cacar air menyebar dari satu indivdu ke individu yang lainnya, melalui bersin, batuk, makanan atau minuman, bersentuhan melalui cairan dan udara, dan menular dalam waktu 5 menit atau lebih. Masa inkubasi dari cacar air yaitu selama 14 sampai 16 hari. Seseorang akan terinfeksi 1 atau 2 hari sebelum terkena virus cacar air sampai cacar air di kulit hilang (selama 8 hari). Cacar air biasanya menyerang anak dibawah 10 tahun meskipun dapat juga menyerang orang dewasa. Pada anak dengan daya tahan tubuh cukup, penyakit ini bersifat ringan dan jarang menimbulkan komplikasi, tetapi pada anak dengan immunodefisiensi, maka penyakit inidapat menimbulkan komplikasi bahkan kematian. 20

21 Virus yang masuk ke dalam tubuh umumnya melalui saluran pernapasan, kemudian masuk ke sirkulasi darah dan kelenjar getah bening dan akan berahir dengan manifestasi dengan kulit. Mula-mula akan membentuk peradangan pada folikel kult dan glandula sebasea, kemudian membentuk makula (bentuknya hampir rata dengan sekitarnya) yang berkembang cepat menjadi papula (bentuknya lebih menonjol) dan berubah lagi menjadi vesikula (papula yang berisi cairan) dan ahirnya mengering menjadi krusta. Pada lapisan mukosa, terbentuknya makula, papula dan vesikula tidak akan menjadi krusta, namun biasanya vesikula akan pecah membentukluka yang terbuka, tetapi luka tersebut aka sembuh dengan cepat. Cacar air merupakan penyakit yang menular dengan kemungkinan akan menular sekitar 65%-85%, dan 90% ketika kontak langsung. Cacar air menghasilkan kekebalan bagi tubuh, kecuali bagi yangkekurangan kekebalan tubuh dapat menyebabkan komplikasi bahkan kematian. Penyakit cacar air dapat dimodelkan menggunakan Model epidemi SIR. Contohnya, populasi dari 100 orang secara acak. Ketika penyakit menular cepat, setiap orang akan cepat terinfeksi. Akan dihitung, dimana kita dapat melihat berapa banyak orang yang akan berada pada keadaan yang berbeda pada periode waktu [4]. Dimulai dengan setiap orang yang rentan terkena penyakit, lalu satu orang tiba-tiba terinfeksi. Dan begitu seterusnya sampai terakhir di hari ke-8. pada keadaan ini, kita memiliki setiap orang yang telah pulih 21

22 pada 1 periode, dalam arti bahwa angka kesembuhan, k = 1. Dalam perhitungan tiap grupnya dengan mengalikan antar grup dengan α [4]. Tabel 3.1 Kelompok S, I, R Pada Populasi Tertutup Untuk α = 0.65 Untuk α = 0.85 Dari tabel (3.1) dapat memperhitungkan β untuk mengetahui laju penyebaran penyakit, dengan memanipulasi persamaan S n+1 = S n βs n I n t (3.7) βs n I n = S n S n+1, dimana t = 1. Menjadi, β = S n S n +1 S n I n (3.19) Dengan menggunakan persamaan diatas, maka didapat nilai β ditiap periodenya. Dengan menggunakan persamaan (3.19), untuk α = 0.65 β 2 = S 1 S 2 S 1 I 1 = = Ketika α = 0.65, didapat nilai β = Ketika α = 0.85, didapat nilai β =

23 Tabel 3.2 Laju Penyebaran Penyakit (β) Nilai rata-rata β untuk α = 0.65 Nilai rata-rata β untuk α = 0.85 Gambar 3.3 Laju Penyebaran Infeksi Pada Kelompok Rentan Salah satu bagian terpenting dari pemodelan pada suatu penyakit yaitu laju infeksi. Nilai ini mempengaruhi jumlah kelompok individu rentan, terinfeksi, dan sehat, dan seberapa lama laju penyebaran terjadi hinga setiap orang dalam suatu populasi terinfeksi penyakit menular. Pada gambar diatas ditunjukkan bagaimana laju infeksi mempengaruhi jumlah individu rentan, terinfeksi, dan sehat, mengendalikan nilai awal dari jumlah individu yang terinfeksi untuk dua kasus (α = 0.65 dan α = 0.85). 23

24 Gambar 3.4 Laju Penyebaran Infeksi Pada Kelompok Bebas Penyakit Populasi dengan alfa yang lebih besar, kelompok yang telah sembuh meningkat dengan cepat dibandingkan dengan alfa yang lebih kecil. Gambar 3.5 Laju Penyebaran Infeksi Pada Kelompok Terinfeksi Populasi dengan alfa yang lebih besar akan lebih cepat mencapai puncak, ketika suatu populasi pada kelompok yang terinfeksi mencapai puncaknya, dimana kelompok yang terinfeksi memiliki laju yang lebih cepat dengan alfa yang lebih besar dibandingkan dengan alfa yang lebih kecil. Dapat dilihat juga bahwa dengan alfa yang lebih kecil, populasi yang terinfeksi lebih lambat untuk mencapai nilai 0. Gambar 3.6 Jumlah Individu Terinfeksi Pada Kelompok Rentan 24

25 Faktor yang lebih penting pada pemodelan penyakit adalah jumlah awal orang yang terinfeksi. Selanjutnya, ditunjukkan bagaimana nilai ini berpengaruh terhadap jumlah individu pada kelompok rentan, terinfeksi, dan sehat, ketika laju infeksi tetap 0.65 untuk dua populasi. Dapat dilihat dengan meningkatnya jumlah awal individu yang terinfeksi, waktu yang dibutuhkan untuk kelompok rentan untuk saling bertemu sangat rendah. Dengan meningkatnya jumlah awal dari individu yang terinfeksi, garis tersebut menunjukkan populasi akan lebih membelok dan kurang bergerigi. Gambar 3.7 Jumlah Individu Terinfeksi Pada Kelompok Terinfeksi Dengan meningkatnya jumlah awal individu yang terinfeksi, kelompok yang terinfeksi menuju nilai 0 dengan cepat. Menariknya bahwa dengan menurunnya jumlah awal individu yng terinfeksi, puncaknya meningkat. Selain itu, ketika jumlah awal dari individu yang terinfeksi, adalah setengahnya dari populasi, puncak kelompok yang terinfeksi hingga sebelum puncak dari kelompok dengan jumlah awal individu yang terinfeksi kurang dari setengan populasi. Gambar 3.8 Jumlah Individu Terinfeksi Pada Kelompok Bebas Penyakit 25

26 Dengan kelompok sehat, dapat dilihat ketika jumlah awal individu yang terinfeksi meningkat dengan waktu yang dibutuhkan kelompok sehat untuk bertemu sangat rendah. Dengan jumlah awal individu yang terinfeksi meningkat, garis tersebut menunjukkan populasi akan membelok dan kurang bergerigi Varicella Basic Reproductive Ratio Dari table 3.2, akan dicari nilai B R untuk memperkirakan suatu populasi yang beresiko tertular infeksi. Dengan memperkirakan penyebaran infeksi dan laju penyebaran. Dengan menggunakan persamaan (3.10), ketika α = 0.65 maka B R = maka B R = * 100 = 13.91, didapat nilai β = Ketika α = 0.85, * 100 = , didapat nilai β = Secara umum, nilai B R pada penyakit cacar air (Varicella) antara 10 dan Varicella Herd Immunity Threshold Dari Basic Reproductive Ratio, dapat dihitung Herd Immunity Threshold (H I ) yang merupakan bagian dari populasi yang membutuhkan kekebalan untuk mengontrol penyebaran suatu penyakit. Apabila jumlah dari vaksinasi meningkat, maka Herd Immunity Threshold juga meningkat. Karena berkurangnya jumlah orang yang rentanterinfeksi, Herd Immunity Threshold menurun. Dengan menggunakan persamaan (3.11), Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 65% H I = B R 1 B R = = Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 85% H I = B R 1 B R = =

27 Apabila kita menggunakan nilai Basic Reproductive Ratio yang tetap untuk Varicella yaitu 10-12, maka Herd Immunity Threshold bernilai Varicella Effective Reproductive Number Merupakan jumlah rata-rata dari hasil kasus kedua dengan keadaan yang menular selama masa endemik. Sebagai wabah epidemi, dan orang akan mati atau menjadi kebal terhadap penyakit, ketika S t N menurun, dan akhirnya E R bernilai < 1. Dengan menggunakan persamaan (3.12), Tabel 3.3 Nilai efektif E R Nilai E R dengan α = 0.85 Nilai E R dengan α = 0.65 Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 65% S E R = B t 99 R = = , untuk t = 1 N 100 Ketika probabilitas orang yang terinfeksi 85% S E R = B t 99 R = = , untuk t = 1 N 100 Ketika B R = 10, maka S t N = E R B R = 1 10 = 0.1 Ketika B R = 12, maka S t N = E R B R = 1 12 =

28 Varicella Control Vaccination Number Merupakan jumlah rata-rata dari hasil kasus kedua dengan keadaan yang menular selama masa endemik dengan pengendalian tindakan, contohnya vaksinasi. Peneliti menunjukan bahwa pemberian vaksinasi 99 % efektif pada tahun pertama, tetapi delapan tahun kemudian keefektifan menurun hingga 87 %. Dengan pemberian 2 dosis yang berbeda diantara remaja pada tahun 2007 yaitu 75.7 % untuk dosis pertama dan 18.8 % untuk dosis kedua. Dengan menggunakan persamaan (3.13) Contoh, untuk melihat keefektifan pemberian vaksinasi dengan h = 99 % dan f = 75.7 %. h = 99 % = 0.99 f = 75.7 % = C V = B R 1 hf = X = Contoh, untuk melihat keefektifan pemberian vaksinasi dengan h = 87 % dan f = 18.8 %. h = 87 % = 0.87 f = 18.8 % = C V = B R 1 hf = X = Tabel 3.4 Nilai Pengendalian Vaksinasi h = 99 % h = 87 % Pada table 3.4, nilai C V tidak memenuhi ketentuan, yaitu C V < 1, maka selanjutnya akan dicari nilai f yang memenuhi C V < 1 dari tiap B R. Tabel 3.5 Nilai Efektif Pemberian Vaksin 28

29 Dengan menggunakan persamaan (3.14), B R h untuk h = 87 %, f > 1 1 h = 99 % = h = 87 % 0.99 = untuk h = 99 %, f > 1 1 B R h = = Tabel 3.6 Nilai Efektif yang dibutuhkan ketika C V < 1 Pada tabel 3.6 tingkat keberhasilan vaksin (Vaccination Coverage) sebagai f, dan yang dicari dari tabel 3.6 adalah nilai h, yaitu keberhasilan vaksin. untuk f = 10% = 0.1, f > 1 ( 1 B R ) h h > 1 ( 1 B R ) f h > 1 ( 1 10 ) 0.1 h > h > 9 h > 900% untuk f = 100% = 1 f > 1 ( 1 B R ) h h > 1 ( 1 B R ) f h > 1 ( 1 10 ) 1 29

30 h > h > 0. 9 h > 90% Tabel 3.7 Pemberian Vaksinasi yang Efektif untuk berbagai B R Dapat dilihat bahwa untuk penyakit cacar air dengan B R 10 hingga 12 ketika suatu populasi terinfeksi 100%, maka vaksinasi yang dibutuhkan untuk individu yang terinfeksi pada populasi tersebut sebanyak 90% %. 30

31 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1. Kesimpulan Model epidemi SIR, pada suatu populasi dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu : Susceptible (S), yaitu kelompok individu yang sehat tapi rentan terinfeksi. Infected (I), yaitu kelompok individu yang terinfeksi penyakit menular. Recovered (R), yaitu kelompok individu yang telah pulih dan memiliki kekebalan permanen untuk tidak tertular penyakit yang sama. Total populasi N diasumsikan konstan karena kelahiran dan kematian diasumsikan memiliki laju yang sama, dan pengaruh luar tidak diperhatikan. Maka, N = S t + I t + R t Yang dimana N merupakan jumlah populasi total dari suatu keloompok masyarakat. ds dt di dt = βs t I t = βs t k I t dr dt = ki(t) Basic Reproductive Ratio atau Bilangan Reproduksi Dasar, dinotasikan dengan B R digunakan ketika suatu populasi beresiko tertular penyakit. Digunakan juga untuk memperkirakan penyebaran infeksi dan laju perpindahan penyakit dari satu individu ke individu lain. Maka berlaku B R = β S k 0. 31

32 Jika B R 1, maka penyakit akan meningkat. Jika B R = 1, maka penyakit akan konstan. Jika B R 1, maka penyakit akan berkurang dan penyakit akan hilang. Herd Immunity Threshold (H I ) merupakan bentuk kekebalan yang terjadi ketika vaksinasi, sebagian besar populasi memberikan ukuran perlindungan bagi individu yang belum memiliki kekebalan. Fungsi dari Herd Immunity yaitu mencegah penyebaran infeksi dalam komunitas dimana cakupan imunisasi cukup tinggi, sehingga wabah dapat dicegah dengan vaksin. Effective Reproductive Number (E R ) merupakan jumlah rata-rata kasus infeksi sekunder yang timbul akibat dari kasus infeksi primer selama masa endemik. Effective Reproductive Number berlaku ketika menentukan kebijakan yang efektif dalam pengontrolan suatu penyakit. Control Vaccination Number (C V ) merupakan jumlah rata-rata kasus infeksi sekunder yang timbul akibat dari kasus infeksi primer selama masa endemik dengan pengendalian tindakan. Vaksinasi merupakan salah satu cara untuk mencegah terjadinya penyebaran penyakit lebih tinggi. Ketika C V < 1, dapat mengetahui seseorang pada suatu populasi yang membutuhkan vaksinasi. Program vaksinasi dipercaya sebagai cara yang efektif dalam menghindari penyebaran penyakit. Dengan menggunakan persamaan (3.13), C V = B R [1 hf] Ket : h = keberhasilan vaksin f = cakupan vaksinasi (bagian dari populasi yang tervaksinasi) Diketahui bahwa untuk mengetahui individu yang terinfeksi membutuhkan vaksinasi yaitu ketika C V < 1. Ketika didapat f maka akan didapatkan nilai h. Setelah itu, kita dapat mengetahui jumlah individu yang membutuhkan vaksinasi dengan tingkat vaksinasi yang efektif. 32

33 4.2. Saran Pada pembahasan studi literature ini telah dijelaskan analisis dari model epidemi SIR pada penyakit cacar air. Perlu dikembangkan lagi penerapan model epidemi SIR ini pada kasus penyakit menular seperti campak (measles) untuk penelitian selanjutnya. 33

34 DAFTAR PUSTAKA [1] Sarrayu, Anggareni Eka, Penyelesaian Numerik dan Analisis Perilaku Model SIR Dengan Vaksinasi Untuk Pencegahan Penularan Penyakit, ITS. [2] Brachman, Philip S., and Abrutyn, Elias, Bacterial Infections of Humans - Epidemiology and Control, Fourth Edition, Springer [3] (diakses tanggal 26 Mei 2012) [4] Johnson, Teri, Mathematical Modeling of Diseases : SIR Model, University of Minnesota, Morris : 2009 [5] Jumadi, Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue, Institut Pertanian Bogor, [6] (diakses tanggal 02 Juni 2012) [7] Luknanto, Djoko, Model Matematika, UGM Yogyakarta, [8] Murray, J. D., Mathematical Biology : An Introduction, Third Edition, Springer, [9] Nasry, Noor Nur, Dr, Prof., 2006, Pengantar Epidemiologi Penyakit Menular, Rineka Cipta : Jakarta. [10] Nugroho, Susilo, Pengaruh Vaksinasi Terhadap Penyebaran Penyakit Dengan Model Endemi SIR, Universitas Sebelas Maret Surakarta, [11] Ragan, Rahel, The SIR Model, [12] Riyanto, Zaki, Model SI Penyakit Tidak Fatal, UGM Yogyakarta, [13] Persamaan Diferensial Biasa, Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta. 34