REGRESI LINEAR SEDERHANA MODUL Dra. Sr Pagest, S.U. PENDAHULUAN A alss regres merupaka aalss statstk yag mempelajar ubuga atara dua varabel atau leb. Dalam aalss regres lear dasumska berlakuya betuk ubuga lear dalam parameter. Modul regres lear yag palg sederaa adala regres lear dega satu varabel bebas (depedet varable). Pokok baasa dalam modul terdr atas dua kegata belajar, pertama, tetag regres lear dega satu varabel bebas da kedua, tetag feres dalam aalss regres. Pada Kegata Belajar, Ada aka mempelajar peaksra (estmas) fugs regres da varas suku sesata dega dstrbus suku sesata belum dtetuka (dasumska). Pada Kegata Belajar, Ada aka mempelajar feres pada model regres dega suku sesata berdstrbus ormal. Setela mempelajar modul, secara umum Ada darapka dapat memaam dasar-dasar pemkra dalam aalss regres da dapat melakuka feres model regres lear sederaa secara tepat. Secara kusus, Ada darapka dapat:. meetuka peaksr parameter model regres dega metode kuadrat terkecl,. meetuka peaksr parameter model regres dega metode maksmum lkelood, 3. meetuka selag kepercayaa utuk parameter model regres, 4. megtug koefse korelas da determas, 5. melakuka aalss regres dega pedekata aalss varas..
Kegata Belajar Regres Lear dega Satu Varabel Bebas A alss regres adala aalss statstk yag mempelajar ubuga atara dua atau leb varabel kuattatf segga satu varabel dapat dramalka (predcted) dar varabel laya. Hubuga atara dua varabel dapat dbedaka mejad dua, yatu ubuga fugsoal da ubuga statstk. Hubuga fugsoal atara dua varabel dapat dyataka secara matemats; jka varabel bebas (depedet varable) da varabel tak bebas (depedet varable), ubuga fugsoal dtuls dalam betuk f Jka dketau la tertetu, fugs f aka memberka la yag bersesuaa. Coto. Msalka = total la pejuala suatu produk (dalam rbua rupa) da = jumla ut produk yag terjual. Jka arga jual Rp 5., per ut produk maka ubuga atara da dapat dyataka dalam Gambar.. 5 =5 5 Gambar...
SATS43/MODUL Hubuga statstk atara dua varabel tdak sempura. Pada umumya pada ubuga statstk, pegamata tdak tepat jatu pada kurve ubuga. Coto. Jka ubuga atara yag meyataka usa (dalam tau) da yag meyataka tgkat sterod dyataka dalam Gambar.. 3 5 5 5 5 5 Gambar.. Model regres secara formal meyataka dua al tetag ubuga statstk, yatu: kecederuga varabel tak bebas beruba-uba teradap varabel bebas dalam betuk yag sstematk da tersebarya ttk-ttk d sektar kurve ubuga statstk. Kedua al tersebut dyataka dalam suatu model regres yatu: utuk setap la terdapat dstrbus probabltas dar da mea dar dstrbus probabltas berubauba secara sstematk teradap perubaa la. Model Regres Lear Sederaa Model regres dega satu varabel bebas dapat dtuls dalam betuk,,, dega, : la varabel tak bebas dalam tral ke-, : parameter, : kostata yag dketau laya, yak la varabel bebas dalam tral ke-, E,,, da : suku sesata radom dega j tdak berkorelas, kovaras j, j, j j, utuk semua.3
Model Lear Terapa Sfat-sfat dar Model Regres. merupaka jumla dar dua kompoe, yatu suku kosta da suku radom.. Karea E maka E E. Hal berart dstrbus dar pada tgkat dalam tral ke- mempuya mea E 3. Nla pegamata pada tral ke- jatu pada jarak dar la fugs regresya E atau 4. Suku sesata. E. dasumska mempuya varas kosta. Ole karea tu, 5. Suku sesata dasumska tdak berkorelas. Karea da j tdak berkorelas utuk j, maka da tdak berkorelas. j Coto.3 Dketau model regres 9,5,. Msalka dalam tral ke- dperole la-la 45, 8, da suku sesata 4 E 9,5, 45 4 da 4 4 8. Vsual model regres tersebut dapat dlat pada Gambar.3 berkut. maka 8 E( ) 4 4 E( ) 9,5, Gambar.3. Model regres lear sederaa dapat dtuls dalam betuk la dega. Model dapat kta uba mejad: 5 45 * * Jad model regres alteratf * dega.4
SATS43/MODUL Peaksra Fugs Regres Utuk medapatka peaksr yag bak bag parameter regres da dapat dguaka metode kuadrat terkecl. Utuk setap pasaga pegamata,,,, padag la smpaga E, yatu: E teradap Jumla kuadrat dar smpaga dtuls dega otas Q, yak Q Peaksr b da b dperole dega memmumka Q, yatu dega medeferesalka Q teradap da. Q Q Selajutya masg-masg persamaa kta samaka dega ol serta meggat dega b da dega b. b b b b Kedua persamaa kta sebut sebaga persamaa ormal. Peyelesaa persamaa ormal utuk b da b adala b.5
Model Lear Terapa b b b Notas-otas berkut dapat dperguaka utuk meyederaaka peulsa rumus: S S S S Segga rumus utuk b dapat dtuls dalam betuk leb sederaa b da S persamaa regres taksra ˆ b. Coto.4 Data berkut meujukka jumla ut yag dproduks da jumla jam kerja karyawa. 3 6 8 4 5 6 3 7 6 73 5 8 7 87 8 35 69 48 3 Dar data dtug ; 5 ; 8.4 ; 6.8. ; 34.66 ; ; 5;. Dega megguaka rumus yag ada, dperole:.6
SATS43/MODUL 6.8 5. b 5 8.4 b b. 5 Segga persamaa regres taksraya adala ˆ, artya kta taksr rata-rata jam kerja bertamba dega jam utuk setap pertambaa ut produk. * * Utuk model alteratf: dega * kuadrat terkecl utuk b adala b b b b b persamaa regres taksra utuk model alteratf adala Ŷ b regres taksra utuk coto d atas adala ˆ 5, peaksr. Segga.. Persamaa Resdual Kesalaa (resdual) ke- adala sels atara la pegamata taksraya ˆ, dtuls dega otas e. dega la e ˆ b b Kta perlu membedaka atara la suku sesata E dega e ˆ. Resdual kta guaka utuk mempelajar ketepata model regres utuk data. Coto.5 Dar Coto.4 tela dtug persamaa regres ˆ. Nla taksra ˆ, e, da e dapat dperole dega cara sebaga berkut. Msalka utuk 3 da 73, maka dperole la-la ˆ 3 7, e 73 7 3, da e 9. Utuk la-la berkut. da laya, dperole la taksra ˆ, e, da e sebaga.7
Model Lear Terapa No. 3 73 7 3 9 5 5 3 6 8 3-4 4 8 7 7 5 4 87 9-3 9 6 5 8-4 7 6 35 3 5 5 8 3 69 7-9 7 48 5-4 6 3 3 4 Total 5.. 6 ˆ e e Sfat-Sfat Gars Regres Taksra (Ftted) Persamaa gars regres yag dtug dega metode kuadrat terkecl memeu sfat-sfat berkut:. Jumla resdual sama dega ol, yak Bukt:. Jumla kuadrat resdual, e b b e b b (dar persamaa ormal) e adala mmum. Hal sesua dega syarat dalam pegtuga peaksr kuadrat terkecl utuk parameter regres. 3. Jumla la observas sama dega jumla la taksra ˆ Bukt: Dar persamaa ormal dperole b b b b b b ˆ ˆ, yak.8
SATS43/MODUL 4. Jumla resdual tertmbag sama dega ol jka agka tmbag adala, yak e Bukt: Dar persamaa ormal dapat dturuka e b b b b 5. Jumla resdual tertmbag dega agka tmbag ˆ sama dega ol, yatu ˆ e 6. Gars regres selalu melalu ttk,. Bukt: Utuk, dperole Ŷ b b Peaksra Varas Suku Sesata Varas suku sesata kta taksr utuk megetau keragama dar dstrbus. Peaksr ttk utuk dapat dtug dar resdual e. Jumla kuadrat dar e adala ˆ JKS e b b b b Rumus la utuk megtug JKS adala S S JKS S.9
Model Lear Terapa atau JKS JKS mempuya derajat bebas, dua derajat bebas lag karea dalam pertuga kta guaka peaksr utuk da. Kuadrat rata-rata sesata (KRS) drumuska sebaga: ˆ e b b JKS KRS KRS merupaka taksra tak bas dar Coto.5 Kta tjau kembal Coto.4 E KRS, yak JKS 5. 6.8. 34.66 3.66 3.6 6 5 8.4 JKS 6 da KRS 7,5 8.
SATS43/MODUL ) Suatu eksperme dlakuka utuk melat ubuga atara doss pemupuka da asl pae. Dar asl pertuga ddapat la-la 7,6; 98,5 LATIHAN Utuk memperdalam pemaama Ada megea mater d atas, slaka Ada megerjaka lata berkut! 68,3 ; 5;,8;,7 Jka ubuga atara da dasumska lear, maka a) dega metode kuadrat terkecl, tugla gars regres Ŷ b b b) tugla la JKS da selajutya tug taksra utuk ) Dketau observas berpasaga, sebaga berkut: 3 4 5,9,,5 3,3 3,8 a) Buat dagram ttk b) Htugla peduga kuadrat terkecl b da b c) Htugla la taksra dar Petujuk Jawaba Lata ) a) 68,3 b,9674 7,6 b b,7,9674,8, 58 segga gars regres ˆ,58,9674.
Model Lear Terapa b) JKS JKS 3, 45 ˆ, 494 3 68,3 98,5 3, 45 7,6 ) a) b) c) 5, 6 44,8 7 b 5,7 5 55 5 b b,5,7 3, 4 JKS b b 36,8, 4,6,7 44,8,48 JKS,48 ˆ, 493 3.
SATS43/MODUL RANGKUMAN. Dalam modul dpelajar ubuga statstk atara varabel bebas da varabel tak bebas. Dalam aalss lear sederaa betuk ubugaya adala gars lurus dega model depede. ; N, da. Utuk mecar estmas dar da dguaka metode kuadrat terkecl da ddapat peaksr ttk: b da b b 3. Selajutya ddefska: JKS da sebaga estmas ttk utuk adala: JKS KRS s.3
Model Lear Terapa TES FORMATIF Pl satu jawaba yag palg tepat dar beberapa alteratf jawaba yag dsedaka! ) Tabel berkut meujukka tgg bada dalam cm da berat bada dalam kg dar orag dewasa. 5 6 6 6 65 6 7 7 8 8 55 67 6 7 65 79 79 76 89 9 Jka sebaga varabel depede sebaga varabel depede dalam model regres. Dar data dapat dtug la b sama dega. A. -3,63 B. -3,63 C. -3,36 D. -3,36 ) Lat soal omor, la b sama dega. A.,5 B.,5 C.,6 D.,6 3) Lat soal omor, utuk k 75, la tertug ˆk sama dega. A. 8,8 B. 8,8 C. 8,84 D. 8,8 4) Lat soal omor, la varas ( s ) sama dega. A. 3,6 B. 3,6 C. 3,6 D. 3,59 5) Dketau observas berpasaga,. 54,5 56,4 43, 65, 45,5 47,5 65, 66,5 57,3 68, 6,5 6, 3, 5,5 3,5,5 53, 56,8 34,8 5,7 Jka dguaka model regres ; dar data d atas dtug la b sama dega..4
SATS43/MODUL A. -5,9 B. -5, C. -5,9 D. -5,9 6) Lat soal omor 5, la b sama dega. A.,73 B.,7 C.,7 D.,7 7) Lat soal omor 5, la estmas dar varas, yak A. 93,46 B. 93,46 C. 6,37 D. 6,44 8) Dketau: 77; 65; 7 ; ; s sama dega. 6; 36 Jka dguaka model regres ; la b sama dega. A. -9,7 B. -9,5 C. -9,5 D. -9,5 9) Lat soal omor 8, la b sama dega. A. -,5 B.,5 C. -,35 D.,53 ) Lat soal omor 8, la A. 3,99 B. 3,98 C. 3,97 D. 4, s sama dega. Cocokkala jawaba Ada dega Kuc Jawaba Tes Formatf yag terdapat d baga akr modul. Htugla jawaba Ada yag bear. Kemuda guaka rumus d bawa utuk megetau tgkat peguasaa Ada teradap mater Kegata Belajar..5
Model Lear Terapa Rumus: Jumla jawaba Ada yag bear Tgkat peguasaa = % Art tgkat peguasaa yag Ada capa: 9 - % = bak sekal 8-89% = bak 7-79% = cukup < 7% = kurag Bla Ada mecapa tgkat peguasaa 8% atau leb, Ada dapat meeruska dega Kegata Belajar. Bagus! Tetap bla tgkat peguasaa Ada mas d bawa 8%, Ada arus megulag Kegata Belajar, terutama baga yag belum Ada kuasa..6
Kegata Belajar Iferes dalam Aalss Regres T apa memperatka betuk fugsoal dstrbus dar, peaksr kuadrat terkecl b da b selalu bersfat tak bas da mempuya varas mmum dbadgka peaksr-peaksr tak bas lear laya. Utuk feres, kta memerluka asums tetag betuk fugsoal dstrbus dar. Sala satu asums baku yag dperluka adala N, ormal dyataka sebaga. Secara umum model regres dega sesata dega : asl observas pada tral ke- : kostata yag dketau laya, yak tgkat varabel dalam tral ke-, : parameter N, depede;,, Sala satu alasa dguakaya asums N, karea prosedur feres ddasarka pada dstrbus t yag tdak peka teradap peympaga ormaltas yag tdak besar (modurate). Peaksra Parameter dega Metode Kemugka Maksmum Apabla betuk fugsoal dar dstrbus probabltas suku sesata tertetu, peaksr utuk,, da dapat dtug dega metode kemugka maksmum (maxmum lkelood). Fugs lkelood utuk model regres sesata ormal adala:,, L exp.7
Model Lear Terapa Nla-la,, da yag memaksmumka fugs lkelood merupaka peaksr-peaksr maxmum lkelood yag dperole dega medeferesalka L,, teradap,, da ; kemuda masg-masg dsamaka dega ol. Utuk meyederaaka pertuga, kta dapat megguaka l L karea L da l L aka maksmum utuk la-la yag sama dar,, da. Dega teradap l L l l medeferesalka,, da dperole: l L l L l L 4 Jka,, da masg-masg dgat dega b, b da ˆ serta dsamaka dega ol, maka dperole persamaa b b b b ˆ b b Dua persamaa pertama, sama dega persamaa ormal, segga peaksr maxmum lkelood utuk masg-masg parameter adala sebaga berkut. b b b ˆ ˆ.8
SATS43/MODUL Jad peaksr maksmum lkelood utuk da sama dega peaksr kuadrat terkecl yak b da b. Peaksr maksmum lkelood medapatka peaksr tak bas utuk ˆ adala bas segga utuk dguaka KRS (Kuadrat Rata-rata Sesata). Iferes tetag Serg kal kta tertark utuk melakuka feres tetag, yatu kemrga (slope) dar gars regres dega da adala parameter, adala kostata yag dketau, da N, adala depede. Sebelum kta pelajar feres tetag, kta baas terleb daulu tetag dstrbus samplg peaksr ttk utuk yatu b Dar pegambla sampel berulag pada la tetap, dperole la b yag bervaras. Utuk model regres sesata ormal aka dbuktka bawa b N ; Bukt: b dapat dyataka sebaga kombas lear dar yatu: dega b k ( ) k Utuk tetap, k merupaka kuattas tetap. Ole karea tu, b merupaka kombas lear dar. Koefse k mempuya sfat-sfat sebaga berkut..9
Model Lear Terapa.. k Bukt: ( ) k. k Bukt: ( ) k ( ) 3. ( ) k Bukt: ( ) k Kembal kta peratka dstrbus samplg dar b pada model regres lear dega, N. Dstrbus samplg dar b adala ormal, al akbat dar b merupaka kombas lear dar. Aka kta buktka b merupaka peaksr tak bas utuk atau Eb. Bukt: E b E k k E k k k
SATS43/MODUL Selajutya varas dar b djabarka sebaga berkut. Peaksr utuk b tak bas utuk b k k k k dperole dega meggat adala: s b b KRS KRS dega KRS segga peaksr Utuk membuktka bawa b mempuya varas mmum d atara semua peaksr tak bas lear, kta yataka peaksr lear tak bas utuk dalam betuk: c dega c adala kostata sembarag. Jka peaksr tak bas maka: E Karea E E c ce., maka syarat tak bas d atas mejad: E c c c. Agar syarat tak bas berlaku maka arusla Varas dar adala: c da c c. c..
Model Lear Terapa Kta defska: segga c k d ; k c k d k d kd ; d adala kostata sembarag, Tela kta buktka bawa segga k ( ) da b k k d k c k c k k c ( ) c c Kta perole b d, segga terbukt b terkecl dperole jka d atau semua. merupaka la terkecl utuk d segga c k. Nla. Jad, b.
SATS43/MODUL Dstrbus Samplg dar b s b Dketau b N, b dega b b b Statstk N, b s b, segga statstk. Pada umumya tdak dketau, dgat dega KRS b dapat dtuls dalam betuk b b sb b. Dketau b b JKS s b KRS JKS b segga b sb sb. z da z JKS Karea b da depede maka z da depede, segga b s b t. Selag Kepercayaa utuk b Karea t maka kta dapat meyataka s b P t b t ; sb ; Karea dstrbus t smetr, maka ketdaksamaa d atas dapat kta tuls sebaga berkut. P b t s b b t s b ; ; Karea probabltas berlaku utuk semua la yag mugk dar maka batas kepercayaa utuk adala: b t s b ;.3
Model Lear Terapa Coto.6 Dketau data sebaga berkut.,5,8,4 3, 3,5 3,9 4,4 4,8 5, 4,8 5,7 7, 8,3,9,4 3, 3,6 5,3 Jka dguaka model regres lear dega N,, depede. Utuk meaksr dega selag kepercayaa 95%, dar data dperole: 9; 3,3 ; 3,3667 ; 5, ; 36, 65; 9, ;, ; 345, 9 345,9 3,39, b 9,933 3,3 5, 9 JKS 3,39, 345, 9 9, 9 36, 65, 6 9 3,3 5, 9 JKS,6 KRS,89 7 Selajutya kta tug.4
SATS43/MODUL s b KRS KRS,89,89, 6 3, 5, 9 S 3,3 sb,6,485 da t (,5; 7),365 Selag kepercayaa 95% utuk adala,933,365,485,933,365,485 atau,579 3, 8 Uj tetag Karea b sb t, uj tetag dapat kta lakuka berdasarka dstrbus t. Coto.7 Jka kta aya g meguj apaka ada ( atau tdak) ubuga lear atara da maka potess kta rumuska sebaga: H : da H : Utuk,5, kesmpula tetag H dapat dperole dega megguaka selag kepercayaa 95% utuk. Utuk Coto.6, selag kepercayaa 95% utuk adala,579 3, 8 tdak memuat (batas kepercayaa kr da kaa postf) segga dperole kesmpula meolak H. b Uj yag leb tegas dapat dlakuka berdasarka statstk uj t. Atura s b pegambla kesmpula utuk taraf yata adala meerma H jka meolak H jka t t. ; t da t ; Coto.8 Dar Coto.6, potess kta tuls sebaga H : da H :. Selajutya b,933 kta tug statstk uj t 9,73. Utuk taraf yata,5, s b,485 dperole la t,5;7,365. Karea t,365 maka kta meolak H:, berart ada ubuga lear atara da..5
Model Lear Terapa Serg kal kta g meguj apaka sama dega la tertetu, potess kta rumuska sebaga: H : da H : Statstk uj: t b s b Jka kta g meguj apaka postf, potess dyataka sebaga: H : da H : Kesmpula utuk taraf yata adala meerma H jka t t ; da meolak H jka t t ;. Coto.9 Dar Coto.8 dperole,895,5;7 b t s b 9,73. Utuk,5 t. Karea t,895, maka H dtolak, berart postf., dperole la Iferes tetag Sebelum kta melakuka feres utuk, kta pelajar terleb daulu tetag dstrbus samplg dar b. Peaksr ttk utuk adala: b b dapat dyataka sebaga kombas lear dar yatu: da b k l dega l k.6
SATS43/MODUL Dstrbus samplg utuk b adala ormal da b merupaka peaksr tak bas dar atau Eb Bukt:. b b E b E E b Varas dar b kta perole sebag berkut. b l b l l ( ) Segga utuk model regres lear dega sesata ormal, dperole: dega b N, b b ( ) da dstrbus samplg utuk b b adala ormal stadar atau b b N,. adala: b Peaksr utuk da s b KRS KRS b sb t Selag kepercayaa utuk pada taraf kepercayaa adala: b t s b b t s b ; ;.7
Model Lear Terapa Coto. Dar data pada Coto.6 dperole: 3,3 ; KRS,89. Selajutya kta tug: 5, ; 3,3667 ;, ; = 9; b,933 ; da b b,,933 3,3667, 568 5, s b KRS,89,8 93, ( ) sb, 8,53 Utuk taraf kepercayaa 9%, dperole t,5; 7,895 segga selag kepercayaa utuk adala:, 568,895,53, 568,895,53 atau,749, 63 Peaksr Selag utuk E Sala satu tujua utama aalss regres adala utuk meaksr mea dar satu atau leb dstrbus probabltas dar. Msalka adala taraf dar d maa kta g meaksr mea dar da, maka utuk merupaka sala satu la sampel atau suatu la la dar dperole mea E ˆ. Utuk model regres dega sesata ormal, dstrbus samplg dar ˆ b b adala ormal dega mea da varas masg-masg adala: da ˆ E E ˆ merupaka peaksr ttk tak bas dar ˆ ˆ E E b b E b E b E E yag dtujukka sebaga berkut..8
SATS43/MODUL Keragama dar dstrbus samplg ˆ dpegaru ole besarya smpaga. Mak jau dar, la ˆ buktka dulu bawa b da tdak berkorelas. Bukt: ; b k dega k ( ) mak besar. Utuk meetuka ˆ da depede. b k k k,, karea dar, kta Sekarag kta tug varas ˆ, yatu: ˆ b Karea da b depede serta Peaksr utuk ˆ da kosta maka dperole: ˆ b adala: ˆ b s KRS.9
Model Lear Terapa Utuk model regres dega sesata ormal, dstrbus samplg dstrbus t, segga selag kepercayaa % utuk ˆ E sˆ E adala: adala ˆ t s ˆ E ˆ t s ˆ ; ; Coto. Dar data pada Coto.6 dperole: b, 568 ;,93 b ; Utuk 4 dperole: ˆ, 568,93 4,977 3, ; KRS,89 ; = 9; 3,3667 4 3,3667 s ˆ, 89, 496 atau s ˆ, 9 3, t,5; 7,365 Selag kepercayaa 95% utuk E adala: E, 499 E, 455,977,365,,977,365, Peramala Pegamata Baru Pegamata baru baru dpadag sebag asl dar suatu tral baru yag bebas teradap tral la. Jka parameter da dketau maka selag peramala % utuk baru adala: E z E z ( baru) Coto. Msalka dketau 9,5;,;. Utuk 4 E4 9,5, 4 93,5. Selag peramala 95% utuk 4 adala: 93,5,96 93,5,96 atau 87,3 4 99, 7 ddapat 4.3
SATS43/MODUL Jka parameter da tdak dketau, kta guaka peaksr b da b. Selag peramala d atas tdak dapat kta guaka karea kta aya megguaka taksra dar E. Dalam peaksra utuk E, kta guaka selag kepercayaa segga letak dstrbus dar tdak dapat dtetuka dega tepat. Dega megaggap pegamata baru depede teradap sampel yag dguaka utuk meaksr gars regres, maka varas dar baru terdr dar varas dstrbus samplg ˆ da varas dstrbus pada, yatu: ˆ ˆ ( baru) Peaksr tak bas dar baru adala: baru s s KRS ˆ KRS Coto.3 Dar data pada Coto.6 dperole: 3,3667 ; 3, ; KRS, 89 ; = 9; b,568 ; b,93 Segga utuk ˆ, 568,93 6,7, t dperole 3,3667 ˆ, 89,36 9 3, Selag peramala 95% utuk baru adala: s.,5; 7,365 baru atau baru 6,7,365,36 6,7,365,36 ; da 4,693 7,54 Ramala Mea dar m Pegamata Baru Serg kal dgka meramal mea dar m pegamata baru utuk taraf varabel bebas, tertetu. Nla ramala mea dar dtuls sebaga baru. Batas ramala % utuk baru adala: dega ; ˆ t s baru baru s s KRS ˆ m.3
Model Lear Terapa atau ekuvale dega s baru KRS m Dar rumus dketau bawa s baru mempuya dua kompoe yatu varas dstrbus samplg dar da varas mea m pegamata dar dstrbus probabltas pada. Coto.4 Kta tjau kembal Coto.6. Jka m 3, utuk aka dtug selag ramala 9% utuk baru. Dar data yag ada tela dtug: ˆ 6,7 ; s ˆ,36 ; KRS,89 ; s, 89,36, 458 baru atau 3,677 baru s da t,5; 7,895. Segga selag ramala 9% utuk baru adala: 6,7,895,677 baru 6,7,895,677 atau 4,834 baru 7,399 Selag ramala baru leb sempt dbadgka dega selag ramala utuk baru karea selag ramala utuk baru memuat baru. Pedekata Aalss Varas utuk Aalss Regres Dasar pedekata aalss varas adala pemecaa jumla kuadrat da derajat bebas yag berkata dega. Padag smpaga total pada Gambar.4 berkut. ˆ ˆ Ŷ b b Gambar.4..3
SATS43/MODUL Pemecaa smpaga: ˆ ˆ smpaga total smpaga la regres smpaga sektar taksra sektar mea gars regres taksra segga pemecaa JK mejad: atau ˆ ˆ jumla kuadrat jumla kuadrat jumla kuadrat sektar mea karea regres sektar regres JK = JKR + JKS JK adala jumla kuadrat total, JK berart semua pegamata sama. Mak besar la JK mak besar varas (keragama) la-la. JKR adala jumla kuadrat regres merupaka ukura keragama pegamata yag dteragka ole gars regres. JKS adala jumla kuadrat sesata merupaka ukura keragama pegamata teradap gars regresya. Jka JKS =, semua pegamata jatu pada gars regres. Rumus-rumus utuk megtug jumla kuadrat adala: JK S JKR b b S b b S S S JKS S.33
Model Lear Terapa Pemecaa derajat bebas sesua dega pemecaa jumla kuadrat total. Derajat bebas utuk JK sama dega. Satu derajat bebas lag karea smpaga tdak depede, yak atau ekuvale satu derajat bebas lag karea mea sampel dguaka utuk meaksr mea pupolas. JKS mempuya derajat bebas atau dua derajat bebas lag karea dalam megtug la ˆ dguaka taksra utuk parameter da. JKR mempuya derajat bebas satu. Ada dua parameter dalam persamaa regres, tetap smpaga tdak bebas, yak ˆ segga satu derajat bebas lag. Secara sgkat, derajat bebas dar masg-masg jumla kuadrat adala da tabel aalss varas (ANAVA) utuk regres lear sederaa dberka ole Tabel. berkut. Sumber Varas Tabel.. ANAVA utuk Regres Lear Sederaa Derajat Bebas (db) Jumla Kuadrat (JK) Kuadrat Rata-rata (KR) Regres JKR KRR Sesata JKS KRS Total JK Harapa Kuadrat Rata-rata Agar dapat melakuka feres berdasarka pedekata aalss varas, kta perlu megetau la arapa dar kuadrat rata-rata, yatu: E KRS E KRR Bukt: JKS Utuk model regres dega sesata ormal, maka JKS E atau JKS E E KRS.34
SATS43/MODUL Utuk medapatka EKRR, kta tuls JKR dalam betuk sebaga berkut. Karea atau maka Jad JKR b b E b E b E b E b E b b E b E JKR E b E b JKR E KRR E Uj Hpotess Pedekata aalss varas dega uj F dapat dlakuka utuk meguj potess: H : teradap H : Pada regres lear sederaa da statstk ujya adala: F KRR KRS.35
Model Lear Terapa Jka maka semua mempuya mea sama yatu da varas sama yatu JKS JKR. Varabel da adala depede da berdstrbus * uj F dapat dtuls dalam betuk: segga, statstk F Jka H bear, maka JKR JKS KRR KRS F Karea da depede segga F F,. Kesmpula yag dperole yak meerma H jka F F ; ; da meolak H jka F F ; ; dega F adala persetase ; ; Coto.5 Dketau data sebaga berkut: dar dstrbus F. 3 4 4 5 6 6 7,,5 3, 3 3,8 3, 4,3 3,9 4,4 4,8 Jka dguaka model regres lear sederaa dega sesata ormal N, depede, maka utuk meguj dega uj F, dar data kta tug: 39 93 4,9 35, 3, 5 6,85 3935, 5, 7 5,8 H : teradap H :.36
SATS43/MODUL segga JK S S S 6,85 5,8 b,387 4,9 JKR b S b JKS JK JKR 6,85 6,3,7,387 4,9 6,3 Selajutya asl tuga, kta susu dalam tabel ANAVA sebaga berkut. Tabel.. ANAVA Sumber Varas db JK KR F 6,3 6,3 Regres 6,3 F 68, Sesata 8,7,9,9 Total 9 6,85 Utuk,5, dar tabel dstrbus F dperole la F,5;,8 5,3, segga dperole kesmpula meolak H karea F 5,3, artya ada ubuga lear atara da atau gars regres yata. Kesetaraa Uj F da Uj t Pada taraf yata, uj F utuk potess H: teradap H: secara aljabar setara dega uj t dua ss. Hal dapat kta tujukka sebaga berkut. F b JKR JKS KRS.37
Model Lear Terapa Karea dketau s b KRS, maka kta perole b b F s b s b Statstk t utuk uj H: teradap H: adala: atau t t b s b b sb F Dar ubuga atara t da F, kta perole ubuga atara persetl dstrbus t da F sebaga Coto.6 t ; ; F ; Kta tjau kembal Coto.5. Dar data yag ada dperole F 68,; b,387 ; s b, ;,9 4,9 t,36,5; 8 5,3 F,5; ;8. sb,47 segga t,387 68, 6 68,,47 da Pedekata Uj Lear Umum Aalss varas utuk meguj H : teradap H : merupaka peguja utuk model statstk lear. Aka kta pelajar pedekata uj (lear) secara umum, yag dapat kta guaka utuk peguja model-model lear. Tga lagka dalam peguja adala:. Meetuka model yag dpadag sesua utuk data. Model kta sebut model legkap. Utuk regres lear sederaa, model legkap: Peaksr parameter dtug dega metode kuadrat terkecl. Kemuda kta tug jumla kuadrat sesata utuk model legkap, yag dtuls dega otas JKS L sebaga:.38
SATS43/MODUL ˆ JKS L b b JKS L megukur keragama pegamata sektar gars regres.. Peratka potess H : da H : model d bawa H dsebut model tereduks. Maksudya jka, model legkap tereduks mejad. Peaksr parameter utuk model tereduks dtug dega metode kuadrat terkecl, ddapat b da jumla kuadrat sesata utuk model tereduks, adala: JKS R b JK 3. Sekarag kta badgka JKS L dega JKS L JKS R. Apabla JKS R JKS L JKS R. Tampak bawa terkecl maka kta cederug utuk meerma H da jka sebalkya maka H kta tolak. Dega megguaka statstk uj: JKS R JKS L dbr db L F JKS L db L * Dperole kesmpula meerma H jka F F ; db db, db da meolak H jka * F F ; dbr dbl, dbl. R L L Utuk peguja potess H: teradap H:, kta perole JK dega d. b JKS L JKS dega d. b ; da statstk uj JKS R ; JK JKS * JKR KRR F JKS JKS KRS Jad F sama dega statstk uj aalss varas. Ukura Deskrptf utuk Hubuga atara da Dalam taksra da ramala, utuk megukur ketepata aya pajag terval yag dperatka, tetap derajat ubuga varabel da varabel tdak dperatka. Sebaga ukura deskrptf, dapat dguaka koefse determas da koefse korelas. Koefse determas ddefska sebaga r JK JKS JKR JKS JK JK JK.39
Model Lear Terapa Karea JKS JK maka r. Mak besar arga pegaru varabel teradap varas arga. r, berart mak besar ˆ b b Ŷ (a) r (b) r Gambar.5. Apabla semua observas terletak pada gars regresya, maka JKS segga ddapat r. Apabla b berart ˆ da JKR ˆ JK atau JKS JK segga ddapat r. Koefse korelas ddefska sebaga r r. Tada dar koefse korelas sesua dega tada dar b. Nla dar r selalu terletak dalam, atau r. Utuk megtug koefse korelas dguaka rumus sebaga berkut. r Hubuga atara b da r adala:.4
SATS43/MODUL b r Jka r maka b da sebalkya jka la r da dlakuka feres yag cukup tepat teradap. r medekat maka dapat Coto.7 Dketau data pegamata sampel sebaga berkut.,5,8,4 3, 3,5 3,9 4,4 4,8 5, 4,8 5,7 7, 8,3,9,4 3, 3,6 5,3 Aka dtug la r da r dar data tersebut da dperole: 3,3 5, 3, 9 9, 36, 65 4,5 9 3,39, 345, 9 38,39 9 Selajutya kta tug b JK 4,5 38,39 3,,933 JKS 4,5 (,933)(38,39),6 JK JKS 4,5,6 r,983 JK 4,5 Hal berart 98,3 perse varas-varas varabel dsebabka ole ubugaya dega varabel. Sedagka koefse korelas r r,983,99 (tada +.4
Model Lear Terapa sesua dega tada b ) atau dega megguaka rumus utuk koefse korelas ddapat r 38,39 3, 4,5,99. LATIHAN Utuk memperdalam pemaama Ada megea mater d atas, slaka Ada megerjaka lata berkut! ) Jka peduga kuadrat terkecl b merupaka lear dar, yak: b k dega k ( ) Tujukka bawa k da k ) Data dalam tabel berkut meujukka perode waktu yag dguaka dalam suatu percobaa pegerga baa dalam jam da berkuragya berat baa dalam gram. 4,4 4,5 4,8 5,5 5,7 5,9 6,3 6,9 7,5 7,8 3,,5,8 3,8 5,,7,7 3,8 7,6 8,8 Jka dguaka model regres lear dega sesata ormal, a) carla persamaa regres taksra b) carla selag kepercayaa 9% utuk c) ujla H: teradap H: pada tgkat sgfkas % d) carla selag kepercayaa 95% utuk E 7 e) utuk 8, carla selag ramala 9% utuk 8 f) utuk 8, m = 5, carla selag ramala 9% mea dar m observas baru, yak 8baru g) tugla koefse determas r.4
SATS43/MODUL 3) Dketau tabel ANAVA sebaga berkut. Sumber Varas db JK KR Regres 4 - Sesata 5 - - Total 5 4 a) Legkapla tabel ANAVA tersebut. b) Uj H: teradap H: pada tgkat sgfkas,5 c) Htugla la koefse determas da kesmpula apa yag dperole dar asl pertuga tersebut. Petujuk Jawaba Lata ) Lat pejelasa sfat-sfat koefse k. ) Dar data yag ada dperole: 5,7; 85 a) b b) ; 59,3; 39,9; 364,59;, 734 Persamaa regres taksra ˆ 3,788,734 JKS b b 9, 3 s s b s b ( ) t ;,5;8 da b b 3, 788 JKS 9, 3, 45 8 s,857 atau,857, 439 t,86 Selag kepercayaa 9% utuk adala:,734,86, 439,734,86, 439 atau,99,53.43
Model Lear Terapa c) Utuk uj H : teradap H : dperole statstk uj: b, 734 t 4, 58 sb, 439 Karea t maka H dtolak t ; ˆ 3,788,734 7 5,845 d) 7 7 7 5,93 7,94 ( ) s ˆ s, 45, 458 ; s ˆ 7, 679 da t,5;8,36 Selag kepercayaa 95% utuk E 7 adala: 5,845,36, 679 E 7 5,845,36, 679 4, 9 E 7,39 ˆ 3,788,734 8 7,579 e) 8 7 8 8 5,93 8 baru,94 ( ) s s, 45 3, 438 s 8 baru,854 Selag ramala 9% utuk 8baru adala: 7,579,86,854 7,579,86,854 f) 8baru 8 baru 4,3, 8 baru 8 8 5,93 m 5,94 ( ) s s, 45,56 s, 34 8 baru Selag ramala 9% utuk 8baru adala: 7,579,86, 34 7,579,86, 34 atau 8 baru 5, 86 9,86 8 baru.44
SATS43/MODUL g) Koefse determas 3) a) Tabel ANAVA r b ( ),668 Sumber Varas db JK KR Regres 4 4 Sesata 5 4 Total 5 4 KRR 4 b) Statstk Uj: F KRS 4 Dar tabel dperole F ;5;,5 4,4, karea F 4,4 maka dperole kesmpula tolak H. JKR 4 c) Koefse determas r,67 JK 4 Artya 6,7% varas varabel dsebabka ole ubugaya dega varabel. RANGKUMAN. Utuk dapat melakuka feres dalam aalss regres, terutama jka sampel N,. yag dguaka kecl dperluka asums. Iferes utuk da dlakuka dega megtug selag kepercayaa % dar da, yak: b t s b b t s b ; ; b t s b b t s b ; ;.45
Model Lear Terapa dega sb KRS ( ) ( ) s b KRS ( ) s 3. Utuk E dlakuka dega megtug selag kepercayaa %, yak, feres utuk mea respos dega ˆ t s ˆ E ˆ t s ˆ ; ; ˆ da ˆ b b s KRS ( ) 4. Dalam peramala observas baru, jka parameter,, dketau da E % utuk adala:, maka selag ramala E z E z,. baru Jka parameter-parameter, da tdak dketau, dguaka selag ramala % : dega ˆ baru baru baru ˆ t s t s ; ; b b ˆ da baru s KRS ( ) Jka ada m pegamata baru, dguaka selag ramala % ˆ t s ˆ t s. baru baru baru ; ;.46
SATS43/MODUL dega s baru KRS m ( ) 5. Sebaga ukura deskrptf, ddefska koefse determas r JK JKS JKR JKS ; r JK JK JK yag megukur besarya pegaru varabel teradap varabel. Ukura la adala koefse korelas, yak: r r ; Tada dar r sesua dega tada dar b. TES FORMATIF Pl satu jawaba yag palg tepat dar beberapa alteratf jawaba yag dsedaka! ) Dar pasaga data (varabel depede) da (varabel respos), dtug la sebaga berkut., ; 8; 56; 4; 4 Jka dguaka model regres lear sederaa, maka la varas dega. A. 4,48 B. 4, C. 4,49 D. 3,89 s sama.47
Model Lear Terapa ) Lat soal omor, la s A.,4938 B.,553 C.,43 D.,479 b sama dega. 3) Lat soal omor, selag kepercayaa 95% utuk adala. A., 495,55 B.,5, 488 C., 437,563 D., 4,598 4) Data berkut meujukka jumla seyawa kma yag larut dalam gram ar () pada berbaga temperatur () dalam C. 5 3 45 5 75 8 4 33 39 44 Dar data dapat dtug la A. 4,38 B. 5,48 C. 3,64 D. 4,84 5) Lat soal omor 4, la s A., B.,93 C.,4 D., s sama dega. b sama dega. 6) Lat soal omor 4, utuk uj H : teradap H :, statstk peguj t sama dega. A. 7,934 B. 3,794 C.,794 D. 4,794 7) Lat soal omor 4, utuk uj H : teradap H : dega aalss varas dtug statstk peguj F sama dega. A. 85,84 B. 9,7 C.,9794 D.,4948.48
SATS43/MODUL 8) Lat soal omor 4, selag kepercayaa 95% utuk E k yag bersesua dega 35 adala. k A. E k B. E k C. E k D. 3, 46 7,3 3,7 7,5 3,55 7, 3,33 E k 7, 43 9) Lat soal omor 4, koefse determas A.,98 B.,9 C.,9 D.,95 r sama dega. Cocokkala jawaba Ada dega Kuc Jawaba Tes Formatf yag terdapat d baga akr modul. Htugla jawaba Ada yag bear. Kemuda guaka rumus d bawa utuk megetau tgkat peguasaa Ada teradap mater Kegata Belajar. Rumus: Jumla jawaba Ada yag bear Tgkat peguasaa = % 9 Art tgkat peguasaa yag Ada capa: 9 - % = bak sekal 8-89% = bak 7-79% = cukup < 7% = kurag Bla Ada mecapa tgkat peguasaa 8% atau leb, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Tetap bla tgkat peguasaa Ada mas d bawa 8%, Ada arus megulag Kegata Belajar, terutama baga yag belum Ada kuasa..49
Kuc Jawaba Tes Formatf Tes Formatf ) A ) C 3) B utuk 75, ˆ b b 4) D 5) B 6) A 7) C 8) B 9) B ) D k k k ( ) JKS b ( ) ( ) da s JKS KRS Tes Formatf ) B tug dega rumus ) A guaka rumus s b 3) B 4) B 5) C JKS s s ( ).5
SATS43/MODUL 6) B b statstk peguj t sb 7) B KRR statstk peguj F KRS 8) D 9) A JK JKS JKR guaka rumus r JK JK.5
Daftar Pustaka Draper, N. & Smt, H. (998). Appled Regresso Aalyss. New ork: Wley. Motgomery, D.C. & Peck, E. A. (99). Itroducto to Lear Regresso Aalyss. New ork: Wley. Neter, J., Wasserma, W. & Kuter, M. H. (99). Appled Lear Statstcal Models. Irw..5