Bab 4 PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK 4.1 Kasus 2 buah Balok Dalam bahasan ini akan dipelajari proses transmisi dan refleksi yang terjadi untuk kasus 2 buah balok dengan bentuk geometri yang identik, yaitu dengan tinggi h 0 h 1, lebar L 1 dan antara kedua balok terpisah pada jarak L 0. Gambar 4.1: Skema pemecah gelombang berupa 2 buah balok 25
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK 26 Perhatikan Gambar 4.1, misalkan gelombang datang berupa gelombang monokromatik yang menjalar dari arah kiri dinyatakan sebagai A 0 e i(k 0x ωt), kemudian melalui pemecah gelombang berupa sebuah balok yang ditanam di dasar laut, maka terjadi perubahan kedalaman (discontinuous depth) di titik x = 0, x = L 1, x = L 0 + L 1 dan x = L 0 + 2L 1 sehingga kedalaman h(x) dapat dinyatakan h 1, berlaku untuk 0 < x < L 1 atau (L 0 + L 1 ) < x < (L 0 + 2L 1 ); h(x) = h 0, berlaku untuk x yang lain. (4.1.1) dengan h 1 < h 0. Ketika gelombang datang A 0 e i(k 0x ωt) melalui kedalaman h 1, maka sebagian gelombang tersebut akan ditransmisikan dan sebagian lagi akan direfleksikan berbalik arah. a 0 e i(k 1x ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kanan yang menjalar di atas kedalaman h 1 dan r 0 e i(k 0x+ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kiri yang menjalar di atas kedalaman h 0. Ketika gelombang superposisi a 0 e i(k 1x ωt) melalui kedalaman awal h 0, maka gelombang tersebut akan ditransmisikan dan sebagian direfleksikan, b 0 e i(k 0x+ωt) menyatakan superposisi gelombang ke arah kiri, dan A 1 e i(k 0x ωt) menyatakan superposisi gelombang ke arah kanan. Kemudian, gelombang superposisi A 1 e i(k 0x ωt) akan melalui kedalaman h 1, sehingga juga akan ditransmisikan dan sebagian direfleksikan. a 1 e i(k 1x ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kanan dan r 1 e i(k 0x+ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kiri. Hal yang serupa terjadi saat gelombang superposisi a 1 e i(k 1x ωt) melalui kedalaman h 0, maka gelombang tersebut akan ditransmisikan dan direfleksikan. te i(k 0x ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kanan dan b 1 e i(k 1x+ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kiri. Sehingga profil gelombang tiap saat t dapat dinyatakan sebagai η(x, t) = e iωt v(x) (4.1.2)
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK 27 dimana v(x) = A 0 e ik0x + r 0 e ik0x, x < 0; a 0 e ik1x + b 0 e ik1x, 0 x < L 1 ; A 1 e ik 0(x L 1 ) + r 1 e ik 0(x L 1 ), L 1 x < L 1 + L 0 ; a 1 e ik 2(x (L 1 +L 0 )) + b 1 e ik 2(x (L 1 +L 0 )), L 1 + L 0 x < 2L 1 + L 0 ; te ik 0(x (2L 1 +L 0 )), 2L 1 + L 0 x. (4.1.3) 4.1.1 Ukuran Balok yang Optimal Kemudian akan dicari nilai L 0opt dan L 1opt yang akan memberikan nilai gelombang transmisi minimum melalui argumentasi fisis, karena jika dilakukan secara analitik akan menghasilkan banyak persamaan dan cukup sulit dalam perhitungan. Gambar 4.2: Proses transmisi refleksi pada model 2-balok Berikut ini adalah interpretasi fisis untuk kasus pemecah gelombang berupa 2 buah balok. Seperti terlihat pada Gambar 4.2 yaitu ketika gelombang membentur balok di x = 0, sebagian dari gelombang akan ditransmisikan ke 0 < x < L 1, dan sebagian lagi akan direfleksikan berbalik arah. Saat gelombang transmisinya mencapai x = L 1, maka akan terjadi proses yang sama, yaitu gelombang akan terpecah menjadi dua bagian, sebagian akan ditransmisikan menuju L 1 < x < L 1 + L 0, dan sebagian lagi direfleksikan menuju 0 < x < L 1.
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK 28 Kemudian saat gelombang transmisinya mencapai x = L 1 +L 0, maka akan terjadi proses yang sama, yaitu gelombang akan terpecah menjadi dua bagian, sebagian akan ditransmisikan menuju L 1 +L 0 < x < 2L 1 +L 0, dan sebagian lagi direfleksikan menuju L 1 < x < L 1 + L 0. Saat gelombang transmisinya mencapai x = 2L 1 + L 0, maka akan terjadi proses yang sama, yaitu gelombang akan terpecah menjadi dua bagian, sebagian akan ditransmisikan menuju x > 2L 1 +L 0, dan sebagian lagi direfleksikan menuju L 1 +L 0 < x < 2L 1 + L 0. Proses terpecahnya gelombang menjadi gelombang transmisi dan refleksi terjadi berulang kali untuk waktu yang tidak terbatas. Seperti telah dijelaskan pada bab sebelumnya pada kasus 1 balok, maka dapat dicari nilai amplitudo transmisi yang minimum ketika interferensi gelombang tersebut destruktif (saling melemahkan). Maka agar t minimum haruslah memenuhi A L 1 opt = 1λ 4 1 L 0 opt = 1λ 4 0 4.1.2 Perbandingan Antara Hasil Analitik dan Numerik Untuk melihat apakah argumentasi fisis berlaku maka akan diberikan simulasi data untuk perbandingan argumentasi fisis dan numerik. Berikut dilakukan perhitungan secara numerik dengan amplitudo gelombang datang A = 1, gravitasi g = 10, dan frekuensi ω = 1. Perhitungan numerik menggunakan metode Lax, dipilih selang variabel ruang [0,150] dan selang waktu [0,22]. Perhatikan Tabel 4.1, untuk kasus 2 balok dengan pemilihan lebar balok L 1opt = 10 diperoleh pengurangan amplitudo yang maksimal, yaitu sebesar 31 % saat jarak antar kedua balok L 0 = 15.7. Kemudian dilakukan perhitungan numerik dengan pemilihan L 0opt = 15.7, perhatikan Tabel 4.2, dapat dilihat bahwa untuk L 0opt = 15.7 diperoleh pengurangan amplitudo yang maksimal sebesar 31% saat lebar balok L 1 = 10.
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK 29 L 1opt L 0 t = 0.1, x = 1 Pengurangan amplitudo 10 15.7-0.6794 atau 0.6975 31% 18 0.6896 atau 0.7158 30% 20 0.7296 atau 0.7528 26% 22 0.7871 atau 0.8041 20% 24 0.8502 atau 0.8365 15% 26 0.8960 atau 0.8523 13% 28 0.9291 atau 0.8635 11% 30 0.9471 atau 0.8682 9% 31.4 0.9487 atau 0.8678 9% 34 0.9306 atau 0.8563 11% Tabel 4.1: Hasil numerik untuk kasus 2 buah balok dengan lebar L 1opt untuk beberapa nilai L 0 L 1 L 0opt t = 0.1, x = 1 Pengurangan amplitudo 10 15.7 0.6794 atau 0.6975 31% 12 0.7090 atau 0.7209 28% 14 0.8318 atau 0.8421 16% 16 0.9341 atau 0.9048 7% 18 1.0096 atau 0.9417 6% 20 1.0364 atau 0.9551 5% 22 1.0122 atau 0.9375 6% Tabel 4.2: Hasil numerik untuk kasus 2 balok yang terpisah dengan jarak L 0opt untuk beberapa nilai L 1 Dari hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa argumentasi fisis juga berlaku pada kasus 2 buah balok. Sehingga dengan pemasangan pemecah gelombang berupa 2 buah balok, diperoleh ukuran optimal balok dengan lebar balok L 1opt = 10 dan jarak antar balok L 0opt = 15.7 yang dapat mengurangi amplitudo gelombang datang sebesar 31%.
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK 30 4.2 Kasus n-buah Balok Pada kasus 2 buah balok dapat dicari ukuran optimal balok yang dapat menghasilkan amplitudo gelombang transmisi yang minimum. Dari kasus 2 buah balok dapat dikembangkan rumusan untuk kasus n-buah balok untuk n > 2 dengan masing-masing balok identik. Gambar 4.3: Skema pemecah gelombang berupa n-buah balok Perhatikan Gambar 4.3, untuk kasus n-buah balok identik maka dapat dicari ukuran balok optimal yang akan memberikan amplitudo transmisi yang kecil. Seperti telah dijelaskan pada kasus 2 buah balok, maka dapat dicari nilai amplitudo transmisi yang minimum ketika interferensi gelombang tersebut destruktif atau (saling melemahkan). Pada kasus n-buah balok, agar interferensi gelombang destruktif maka gelombang transmisi pada balok 1,...,n dengan kedalaman h 1 berinterferensi destruktif jika 2L 1 = (m + 1 2 )λ 1 dengan λ 1 = 2π k 1, m = 0, 1, 2,... gelombang transmisi pada jarak antar kedua balok dari balok 1,...,n dengan kedalaman h 0 berinterferensi destruktif jika 2L 0 = (m + 1 2 )λ 0 dengan λ 0 = 2π k 0, m = 0, 1, 2,... sehingga gelombang transmisi setelah melalui n-buah balok mempunyai amplitudo minimum.
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK 31 Dari interpretasi fisis pada kasus 2 buah balok diperoleh rumusan L 1 opt = 1 4 λ 1 dan L 0 opt = 1 4 λ 0 sehingga untuk kasus n-buah balok yang identik juga berlaku hal yang sama. Maka agar t minimum haruslah memenuhi A L 1 opt = 1λ 4 1 L 0 opt = 1λ 4 0 Dari perhitungan numerik pada kasus 2 buah balok diperoleh ukuran optimal balok, yaitu L 1opt = 10 dan L 0opt = 15.7. Kemudian dari hasil tersebut digunakan untuk simulasi kasus n-balok, yang memberikan hasil bahwa untuk pemasangan 3 buah balok, dari perhitungan numerik diperoleh bahwa amplitudo gelombang datang dapat dikurangi sebesar 40%, sedangkan untuk 4 buah balok amplitudo gelombang datang berkurang sebesar 51%.