BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang permasalahan, tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. 1.1. Latar Belakang Permasalahan Dalam kehidupan sehari-hari, terjadi berbagai peristiwa yang berubahubah terhadap ruang dan waktu secara terus menerus yang dalam berbagai kasus dapat dimodelkan secara matematis. Model tersebut dapat berubah-ubah yang bergantung pada beberapa faktor, contoh : struktur atom benda, jenis bahan yang digunakan, cuaca, dan sebagainya. Untuk itu, diperlukan variabel-variabel yang merepresentasikan masalah-masalah dan faktor-faktor yang mempengaruhi untuk pembentukan model matematika. Model tersebut dapat dinyatakan dengan suatu persamaan diferensial, baik dalam bentuk persamaan diferensial biasa atau parsial, linear atau non linear, dengan order tertentu. Solusi khusus dapat diperoleh dengan membentuk masalah syarat awal (MSA), masalah syarat batas (MSB), ataupun masalah syarat awal dan batas (MSAB) yang merupakan persamaan diferensial dengan syarat-syarat atau kondisi-kondisi tertentu. Untuk mencari solusi model yang telah direpresentasikan dalam bentuk MSA, MSB, dan MSAB tersebut, dapat digunakan berbagai metode dalam matematika terapan, salah satunya adalah transformasi Laplace. Transformasi Laplace adalah salah satu penemuan yang penting dalam bidang matematika. Transformasi ini diperkenalkan oleh Pierre-Simon Laplace, salah seorang matematikawan dan astronom asal Perancis, pada tahun 1785. Secara umum, transformasi ini mentransformasikan suatu fungsi f terhadap variabel waktu t ke suatu fungsi F terhadap variabel bernilai kompleks, namakan s. Selanjutnya, untuk mencari solusi, digunakan invers transformasi Laplace yang 1
2 mengembalikan fungsi ke variabel awal, yaitu t, dengan menggunakan teori integral lintasan (contour integration) dan residu. Transformasi Laplace banyak digunakan untuk mencari solusi MSA, MSB dan MSAB. Langkah yang dilakukan adalah menghitung transformasi Laplace dari persamaan diferensial linear pada MSA, MSB dan MSAB. Pada proses penghitungan, syarat-syarat atau kondisikondisi awal dan batas dalam MSA, MSB dan MSAB yang memenuhi persamaan dapat digunakan. Pada perkembangannya, dikenal transformasi Laplace dimensi- n. Transformasi Laplace dimensi-n dapat digunakan untuk menyelesaikan MSA, MSB, dan MSAB yang melibatkan persamaan diferensial parsial di dalamnya hingga turunan ke- n. Dalam transformasi Laplace dimensi- n, teknik pengintegralan dilakukan sebanyak n kali. Selanjutnya, untuk mencari solusi, dicari invers transformasi Laplace dimensi-n yang dilakukan sebanyak n kali. Beberapa jurnal, disertasi, dan buku yang telah diterbitkan yang membahas transformasi Laplace dimensi- n dan juga yang secara khusus membahas transformasi Laplace dimensi dua antara lain adalah Debnath (1988), Buschman (1996), Aghili dan Moghaddam (2011), dan Aghili dan Zeinali (2013). Dalam transformasi Laplace dimensi-n, dimensi yang digunakan tidak hanya terhadap dimensi waktu t, namun dapat pula dimensi ruang. Dalam skripsi ini secara khusus dibahas transformasi Laplace dimensi dua dan beberapa teorema yang berlaku. Sebagai catatan, untuk membedakan dengan transformasi Laplace dimensi dua, transformasi Laplace yang telah dikenal sebelumnya, disebut transformasi Laplace dimensi satu, yaitu terhadap dimensi t. Untuk mengetahui beberapa kegunaan dari transformasi Laplace dimensi dua, diberikan dua contoh aplikasi transformasi Laplace dimensi dua yang digunakan untuk menyelesaikan MSAB persamaan panas dan gelombang dimensi satu yang melibatkan dimensi x dan t, dengan x dimensi ruang dan t dimensi waktu. Sebenarnya dapat juga mencari solusi dengan menggunakan transformasi Laplace dimensi satu dengan cara mentransformasikan persamaan diferensial
3 parsial tersebut beserta syarat awal dan batasnya terhadap variabel t, kemudian diperoleh MSB baru dan dicari solusi menggunakan metode nilai eigen Sturm- Liouville dengan menggunakan syarat awal dan batasnya terhadap variabel x. Namun, dengan menggunakan transformasi Laplace dimensi dua lebih efisien, sebab cara yang dilakukan adalah langsung menerapkan transformasi Laplace dimensi dua ke persamaan diferensial dan dengan menggunakan syarat awal dan batas yang sesuai, kemudian dicari inversnya sebanyak 2 kali. Kelebihan lain dari penggunaan transformasi Laplace dimensi dua adalah dapat menyelesaikan MSA, MSB, atau MSAB tanpa perlu menghitung terlebih dahulu solusi dari persamaan diferensialnya dengan metode tertentu, misalnya metode Euler atau variasi parameter. 1.2. Maksud dan Tujuan Penulisan Maksud dari penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada. Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk lebih memahami penggunaan transformasi Laplace, khususnya transformasi Laplace dimensi dua, mulai dari definisi dan teorema-teorema yang berlaku. Selanjutnya, transformasi Laplace dimensi dua diharapkan dapat digunakan untuk menyelesaikan MSAB dari beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari, seperti pada MSAB persamaan panas dan gelombang dimensi satu yang dibahas dalam skripsi ini. 1.3. Tinjauan Pustaka Dasar teori dalam skripsi ini penulis ambil dari buku Humi (1992) dan Schiff (1999). Humi banyak membahas mengenai persamaan diferensial, sedangkan Schiff banyak memaparkan secara khusus tentang transformasi Laplace dimensi satu. Selain itu, penulis juga banyak mengacu pada buku Ross (1984) yang di dalamnya terdapat pembahasan transformasi Laplace dimensi satu beserta beberapa sifat dan teoremanya. Untuk invers transformasi Laplace dimensi satu, penulis mengacu satu, penulis mengacu kepada jurnal Debnath (1988) dan
4 Schiff (1999). Untuk materi integral lintasan, penulis mengacu pada buku Churchill dan Brown (1990) yang dilengkapi dengan berbagai sumber lain. Pembahasan skripsi ini, yaitu transformasi Laplace dimensi dua, menggunakan buku Buschman (1996), Debnath (1988) dan berbagai jurnal-jurnal yang telah diterbitkan, seperti Aghili dan Zeinali (2013), Dahiya dan Vinayagamoorthy (1990), dan lain-lain. Adapun untuk penerapan transformasi Laplace dimensi dua, penulis menggunakan jurnal Debnath (1988) dan Dhunde dan Waghmare (2013). 1.4. Metode Penelitian Langkah pertama yang dilakukan penulis dalam penyusunan skripsi ini adalah melakukan studi literatur tentang persamaan diferensial. Selain itu, penulis mencari beberapa referensi lain yang dapat diambil sebagai bahan untuk skripsi yang berhubungan dengan aplikasi persamaan diferensial, seperti persamaan panas dan persamaan gelombang. Penulis juga mempelajari tentang masalah syarat awal dan batas pada suatu persamaan diferensial. Dalam pencarian materi dan literatur, penulis menemukan beberapa jurnal yang membahas mengenai transformasi Laplace dimensi- n dan dimensi dua. Selanjutnya, penulis mengkhususkan materi skripsi, yaitu transformasi Laplace dimensi dua. Sebagian besar pokok bahasan mengenai transformasi Laplace dimensi dua dalam skripsi ini mengacu pada jurnal Debnath (1988) dan Aghili dan Zeinali (2013). Untuk aplikasi transformasi Laplace dimensi dua, penulis mengambil contoh MSAB persamaan panas dan gelombang dimensi satu. Penyelesaiannya dengan transformasi Laplace dimensi dua. Sebab, persamaan panas dan persamaan gelombang melibatkan dua dimensi x dan t, dengan x dimensi ruang dan t dimensi waktu. 1.5. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
5 BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas tentang latar belakang permasalahan, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas dasar teori yang diperlukan untuk mempelajari transformasi Laplace dimensi dua antara lain : persamaan diferensial, syarat awal dan syarat batas, transformasi Laplace dimensi satu dan inversnya, serta beserta teorema-teorema dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya. Selain itu, dibahas tentang penurunan rumus invers transformasi Laplace dimensi satu. Selanjutnya, dibahas mengenai integral lintasan, singularitas, dan residu yang digunakan untuk menghitung invers transformasi Laplace. Penulis melengkapi dengan pembahasan mengenai fungsi Dirac Delta dan fungsi Gamma yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan panas dan gelombang dimensi satu dengan teknik transformasi Laplace dimensi dua. BAB III TRANSFORMASI LAPLACE DIMENSI DUA Pada bab ini dibahas khas tentang transformasi Laplace dimensi dua dan inversnya, beserta beberapa teorema yang berlaku di dalamnya. Selanjutnya, diberikan contoh aplikasi transformasi Laplace dimensi dua untuk menyelesaikan MSAB persamaan panas dan gelombang dimensi satu, terhadap variabel x dan t. Penulis juga melengkapi pembahasan dengan fenomena secara fisik tentang persamaan panas dan gelombang dimensi satu, juga penurunan rumusnya. BAB V PENUTUP Pada bab ini berisi kesimpulan dari pembahasan transformasi Laplace dimensi dua dan aplikasinya pada penyelesaian persamaan panas dan gelombang dimensi satu.