BAB 2 LANDASAN TEORI Sebaga besar dar persoala maajeme berkeaa dega pegguaa sumber secara efse atau alokas sumber-sumber yag terbatas (teaga kerja terampl, baha metah, modal) utuk mecapa tujua yag dgka (desred objectve) sepert peermaa hasl pejuala yag harus maksmum, peermaa devsa hasl ekspor omgas harus maksmum; jumlah baya trasport harus mmum; lamaya waktu atra utuk meerma pelayaa sepedek mugk; kemakmura rakyat sebesar-besarya. Dalam keadaa sumber yag terbatas harus dcapa suatu hasl yag optmum. Dega perkataa la bagamaa caraya agar dega masuka (put) yag serba terbatas dapat dcapa hasl kerja yatu keluara (output) berupa produks barag atau jasa yag optmum. Lear programmg aka memberka bayak sekal hasl pemecaha persoala, sebaga alteratf pegambla tdaka, aka tetap haya ada satu yag optmum (maksmum atau mmum). Igat bahwa megambl keputusa berart memlh alteratf, yag jelas harus alteratf yag terbak (the best alteratve). Jka dperhatka keadaa dalam praktek d maa pmpa perusahaa bermaksud atau bertujua utuk mecapa hasl pejuala sebesar mugk (mamum reveue), logkaya adalah pmpa perusahaa tersebut memutuska utuk memproduks sebayak-bayakya, maka kalau semua barag tersebut laku dual, tetu aka dperoleh jumlah hasl pejuala sebayak-bayakya. Aka tetap, keadaa belum tetu sepert tu, pmpa perusahaa tersebut sebaga pembuat keputusa (decso maker), teryata aka meghadap pembatasapembatasa (lmtato or costrats), msalya jumlah permtaa masyarakat tdak sebayak yag dproduks, sehgga barag susah dual. Pembatasa buka berhet dstu saja sebab mugk da meghadap pembatasa sepert persedaa baha metah teryata haya terseda terbatas, teaga terampl yag aktf da kreatf
5 terbatas, mache hours utuk memproses produks terbatas, modal terbatas, ruaga (storage) utuk meympa barag hasl produks terbatas da permtaa masyarakat teryata juga terbatas (lmted demad). Persoala yag tmbul kemuda adalah bagamaa dapat mecapa hasl (output) yag optmum dega memperhatka put (me, moey, materal, tme) yag tersedaya memag terbatas. Jad mecar suatu pemecaha yag optmum dega memperhatka pembatasa-pembatasa put. Ilah yag mejad sasara lear programmg. Pmpa perusahaa atau pegambl keputusa dalam meghadap product-m harus mecar pemecaha agar dperoleh mamum reveue atau mamum proft atau sebalkya mmum cost of producto. 2. Persoala Trasportas Persoala trasportas merupaka persoala lear programmg. Bahka aplkas dar tekk lear programmg pertama kal alah dalam merumuska persoala trasportas da memecahkaya. Persoala traportas yag dasar pada mulaya dkembagka oleh F.L Htchcock pada tahu 94 dalam studya yag berjudul: The dstrbuto of a product from several sources to umerous locatos. I merupaka cr dar persoala trasportas yatu megagkut sejes produk tertetu kataka beras, myak, dagg, telur, tekstl, pupuk da jes produk laya dar beberapa daerah asal (pusat produks, depot myak, gudag barag) ke beberapa daerah tujua (pasar, tempat proyek, pemukma, daerah trasmgras), pegatura harus dlakuka sedemka rupa agar jumlah baya trasportas mmum. Pada tahu 947, T.C Koopmas secara terpsah meerbtka suatu hasl stud megea : Optmum utlzato of the trasportato system. Selajutya, perumusa persoala lear programmg, da cara pemecaha yag sstemats dkembagka oleh Prof. George Dazg yag serg dsebut Bapak lear programmg. Prosedur pemecaha yag sstemats tersebut dsebut metode smpleks.
6 Cr-cr khusus metode trasportas :. Terdapat sejumlah sumber da sejumlah tujua tertetu. 2. Jumlah yag ddstrbuska dar setap sumber da yag dmta oleh setap tujua adalah tertetu. 3. Jumlah yag dkrm atau dagkut dar suatu sumber ke suatu tujua sesua dega permtaa atau kapastas sumber. Jumlah permtaa da peawara sembag da apabla jumlah permtaa tdak sama dega peawara, maka harus dtambahka varabel dummy. 4. Baya trasportas dar suatu sumber ke suatu tujua adalah tertetu. 5. Jumlah varabel dasar m + -, dmaa m adalah jumlah bars da adalah jumlah kolom. Apabla jumlah varabel dasar kurag dar m + yag dsebut dega degeeras, maka harus dtambahka varabel dasar dega la ol. 2.. Model Matemats Metode Trasportas Dalam meggambarka masalah trasportas, perlu dguaka stlah stlah yag tdak khusus karea masalah trasportas adalah masalah yag umum, yatu pedstrbusa berbaga komodt dar berbaga kelompok pusat peerma yag dsebut tujua, sedemka rupa sehgga memmalsas baya dstrbus total. Secara umum, sumber ( =, 2,..., m) mempuya supply s ut yag aka ddstrbuska ke tujua-tujua da tujua (j =, 2,...,) mempuya permtaa d ut yag dkrm dar sumber-sumber. Asums dasar metode trasportas adalah baya medstrbuska ut-ut dar sumber ke tujua j berbadg lagsug dega jumlah yag aka ddstrbuska, dmaa yag ddstrbuska. c meyataka baya per ut Apabla Z merupaka baya dstrbus total da ( =, 2,..., m ; j =, 2,..., ) adalah jumlah ut yag harus ddstrbuska dar sumber ke tujua j, maka formulas pemrograma ler masalah trasportas. Dar pejelasa d atas, maka rumus metode trasportas dapat dformulaska sebaga berkut :
7 Memmumka : Z = c m = j= Batasa : X X X 0 = a ; =,2, Km = b j ; j =,2, K Utuk memudahka pemahama model trasportas, berkut dberka lustrasya pada gambar d bawah. Gambar d bawah mejelaska bahwa terdapat tga sumber dalam sebuah perusahaa, yatu m, m2, da m3. Dar ketga sumber tersebut dapat dkrmka ke tujua, 2, da 3. Utuk megetahu seberapa besar masg-masg sumber ddstrbuska ke masg-masg tujua, maka dguaka model trasportas. Dega megguaka model trasportas, aka dhaslka pedstrbusa yag aka memmalsaska baya trasportas. Gambar 2. Represetas Jarga Model Trasportas
8 Ilustras model trasportas gambar dterjemahka ke dalam tabel model trasportas dega mebedaka atara sumber dega tujua. Sumber dletakka pada bars, sedagka tujua dletakka pada kolom. Jumlah peawara dar masgmasg sumber dletakka pada kolom palg akhr da jumlah masg-masg permtaa dletakka pada bars palg akhr. Seg empat kecl yag bers c K, c, 2 cm merupaka baya pedstrbusa dar sumber ke tujua, sedagka seg empat besar merupaka jumlah yag aka ddstrbuska dar setap sumber ke setap tujua. Sebaga gambara yag lebh kokret, berkut dtuagka model trasportas pada tabel, dega megguaka tabel aka memudahka mecar peyelesaa dar setap permasalaha trasportas. Tabel 2. Persoala Trasportas Tujua Baya 2 j Supply C C 2 C C S X X C 2 C 22 C 2 C 2 S u m b e r 2 X 2 X 22 X 2 X 2 C C 2 C C X X 2 X X S 2 S m C m C m2 C m C m X m X m2 X m X m Sm Demad D D 2 D j D ΣS =ΣD j
9 2..2 Lagkah-Lagkah Peyelesaa Masalah Model Trasportas Dalam meyelesaka masalah trasportas, terdapat dua lagkah yag harus dlakuka, yatu :. Mecar peyelesaa layak pada varabel dasar. Utuk mecar peyelesaa yag layak dapat dplh salah satu metode yag terseda. Metode yag dapat dguaka adalah Northwest Corer ( sudut barat laut), Least Cost (baya terkecl) da Vogel Appromato ( VAM). a. Metode Northwest Corer (NWCR). Pedstrbusa dmula dar pojok kr atas da, dakhr pada pojok kaa bawah. 2. Setap pedstrbusa dplh la sebayak mugk tapa meympag dar sumber/ tujua. 3. Apabla varabel dasar sudah ters semua, maka dhtug jumlah baya yag aka dkeluarka oleh perusahaa. b. Metode Least Cost. Pedstrbusa dmula dar baya terkecl da, apabla terdapat baya terkecl lebh dar satu, maka dplh salah satu. 2. Setap pedstrbusa dplh la sebayak mugk tapa megabaka jumlah sumber/tujua. c. Vogel Appromato Method ( VAM ). Meghtug opportuty cost yag ddasarka pada dua baya terkecl pada setap bars da kolom da meguragka keduaya, hasl perhtugaya dsebut dega pealty cost. 2. Memlh la pealty cost terbesar d atara bars da kolom. 3. Memlh baya terkecl dar la pealty cost terbesar da medstrbuska sejumlah la. Bars/ kolom pealt yag sudah terplh dabaka utuk lagkah selajutya.
0 4. Meyesuaka jumlah permtaa da peawara utuk meujukka alokas yag sudah dlakuka. Meghlagka semua bars da kolom dmaa peawara da permtaa telah dhabska. 5. Apabla jumlah peawara da permtaa belum sesua, maka ulag lagkah pertama sampa ters semua. 2. Meguj hasl peyelesaa. Dega megguaka salah satu metode yag terseda aka ddapatka solus awal yag layak, aka tetap peyelesaa yag layak belum tetu mejad peyelesaa yag optmal. Oleh karea tu, perlu dlakuka peguja agar hasl peyelesaa model trasportas optmal yatu meghaslka baya mmal. Peguja optmalsas megguaka dua metode yatu : a. Metode Steppg Stoe. Memlh satu water square (seg empat yag mash kosog/varabel o bass) da 3 atau lebh varabel bass (seg empat yag ters). 2. Megs water square (eterg varable) dega memperhatka varabel bass da meyesuaka dega jumlah peawara da permtaa. 3. Memberka tada + (postf) pada water square yag aka ds da varabel bass yag laya bertambah. 4. Memberka tada (egatf) pada varabel bass yag laya dpdahka pada water square. 5. Meguj hasl steppg stoe dega mecar la perubaha baya yag mash egatf. 6. Megulag lagkah d atas dega memlh la terkecl. b. Metode MODI Metode MODI merupaka varas dar model steppg stoe yag ddasarka pada rumusa dual. Perbedaaya dega metode steppg stoe adalah pada metode tdak harus meetuka semua jalur
tertutup varabel o bass, kecual pada saat aka melakuka perpdaha pegsa tabel. Dega demka MODI merupaka cara yag efse utuk meghtug varabel o bass. Dalam metode MODI terdapat persamaa sebaga berkut : m + j = C D maa : m = Nla setap sel bars j C = Nla setap kolom = Baya trasportas per ut Adapu lagkah-lagkah dalam metode MODI adalah : ) Metuka la m utuk setap bars da la-la j utuk setap kolom dega megguaka hubuga C = m + j utuk semua varabel bass da meetuka la m = 0. 2) Meghtug perubaha baya C utuk setap varabel o bass dega megguaka rumus C - m - j. 3) Apabla hasl perhtuga terdapat la C egatf, maka solus belum optmal. Oleh karea tu, dplh X dega la C egatf terbesar sebaga eterg varabel. 4) Megalokaska sejumlah la ke eterg varabel X sesua dega proses steppg stoe da megulag lagkah pertama. 2..3 Perumusa Persoala Trasportas Secara Umum Msalka suatu jes barag dagkut dar beberapa daerah asal ke beberapa daerah tujua. Msalya ada m daerah asal: : A,...,, A,..., 2 A Am da daerah tujua T, T,..., 2 T j,..., T. D daerah asal A, terseda barag yag aka dagkut (supply)
2 sebayak S da d tempat tujua barag tersebut dmta sebayak d j (demad). = jumlah barag yag dagkut (dalam satua) dar c = besarya baya utuk ut barag tersebut dar A ke T j A ke T j Dega demka utuk megagkut dperluka baya (total demad) = jumlah peawara (total supply). c. Jumlah permtaa Perhatka tabel berkut yag meggambarka permtaa dar setap tempat tujua da peawara/persedaa dar setap tempat asal, juga besarya baya c dega tada kurug buka. T Tabel 2.2 Perumusa Trasportas Secara Umum T T 2 T j T S A A c ) c ) 2 2 c j ) j c ) S A 2 c ) 2 2 c ) 22 22 c 2 j ) 2 j c ) 2 2 2 S M M A c ) c ) 2 2 c ) c ) S M A m c ) m m c ) m2 m2 c ) d d d 2 d j d mj mj c m ) S m m M d j = s
3 Perumusa persoala lear programmg mejad : Mmum : Z = m = j= c j= S Dega kedala : m = m = j= d j = m j= = m = S = j= d, j 0 2..4 Model Trasshpmet (Persggaha) Model trasportas stadar megasumska bahwa rute lagsug atara sebuah sumber da sebuah tujua adalah rute berbaya mmum. I berart bahwa perhtuga persapa yag melbatka peetua rute terdekat harus dlakuka sebelum baya ut dar model trasportas stadar dapat dtetuka. Perhtuga dapat dlakuka dega meerapka algortma rute terdekat terhadap pasaga ode yag dgka. Satu prosedur alteratf dar pegguaa model trasportas basa (dega algortma rute terdekat yag dmasukka ke dalamya) adalah model trasshpmet. Model yag baru memlk cr tambaha yag megka ut-ut yag dkrmka dar semua sumber utuk melewat ode-ode atara atau semetara sebelum pada akhrya mecapa tujua mereka. Dega kata la model trasshpmet dguaka pada saat terdapat suatu ode-ode atara yag dka mejad tempat persggaha ut dar sumber sebelum pada akhrya mecapa tujua. Akbatya, algortma baru meggabugka bak algortma trasportas basa dega algortma rute terdekat mejad satu prosedur. Model trasshpmet merupaka perluasa dar model trasportas. Perbedaaya adalah, pada model trasshpmet semua smpul berpotes
4 mejad tempat persggaha barag atau ttk trasshpmet,sedag pada model trasportas pegrma barag lagsug dar gudag yag kelebha barag ke gudag yag membutuhka barag. Dalam model trasshpmet dasumska bahwa:. Barag yag dkrm adalah homoge, 2. Baya peympaa tdak dperhtugka, 3. Alat pegagkuta telah dtetuka utuk pegrma barag dar suatu gudag ke gudag la, 4. Baya pegrma barag dar suatu gudag ke gudag dhtug utuk tap ut barag yag dpdahka, 5. Baya persggaha pada ttk trasshpmet dhtug utuk tap ut barag yag dpdahka. Lagkah-lagkah yag dtempuh utuk meyelesaka masalah trasshpmet adalah sebaga berkut :. Membuat model trasshpmet, 2. Megubah model trasshpmet mejad model trasportas, 3. Mecar solus fsbel bass, 4. Mecar solus optmal. Berdasarka Nased (985),masalah trasshpmet (persggaha) merupaka suatu betuk umum dar model trasportas, sedagka model trasportas adalah betuk khususya d maa terdapat pusat-pusat asal atau sumber-sumber asl, pusat-pusat tujua yag asl, da ttk-ttk trasshpmetya. Ttk-ttk trasshpmet tersebut bsa terdapat pada pusat asal maupu pusat tujua. Dalam model setap pusat dapat megrm da meerma arus barag agkuta. Hal berart terdapat keleluasaa dalam peetapa rute arus barag dar ttk ke ttk j, sela ruteya yag lagsug. Ada beberapa cara utuk merumuska masalah trasshpmet secara matemats. Pedekata yag dsajka termasuk relatf lebh sgkat da
5 tegas. Adaka : X = jumlah yag dagkut dar ttk ke ttk j ; j;, j =,2, K,. C = baya agkuta dar ttk ke ttk j ; C 0. r = kebutuha bersh (ssa) d ttk. Setap ttk atau lokas yag ada harus dapat memeuh suatu rumusa kesembaga yatu atara arus barag yag keluar (dagkut) dkurag arus barag yag masuk(dterma) harus sama dega kebutuha bersh. Secara smbolk, rumusa model umum trasshpmet adalah sebaga berkut : = = j= Mmumka : Z C X,dmaa j Dega kedala : = j X utuk =,2, K, da X j= X j = r 0;, j =,2, K, ; j Apabla kta gka agar jumlah permtaa sama dega jumlah supla (artya r = 0 ) maka model trasshpmetya mejad : = = j= Mmumka : Z C X,dmaa j Dega kedala : = j X utuk =,2, K, da X j= X j = 0 0;, j =,2, K, ; j
6 2.2 Termolog Dasar Graph Graph berarah (drected graph) ddefska secara abstrak sebaga suatu pasaga terurut (V,E), dega V suatu hmpua da E suatu relas ber pada V. Graph berarah dapat dgambarka secara geometrs sebaga suatu hmpua ttk-ttk V dega suatu hmpua tada paah E atara pasaga ttk-ttk. Sebaga msal Gambar d bawah meujukka sebuah graph berarah. Usur-usur d dalam V damaka verteks (verte), sedagka psaga terurut d dalam E damaka rusuk (edge) graph berarah tersebut. Sebuah rusuk dkataka bersdes (cdet) dega kedua verteks yag dhubugkaya. Gambar 2.2 Graph Berarah Sebaga msal, rusuk (a,b) bersdes dega verteks a da verteks b. Kadag-kadag, bla dgka lebh rc lag, dapat dkataka bahwa rusuk (a,b) bersdes dar a da bersdes ke b. Utuk rusuk (a,b), verteks a damaka verteks awal (tal verte). Suatu rusuk yag bersdes dar da ke verteks yag sama, msalya (c,c) d dalam Gambar, damaka lup (loop).
7 Dua verteks dkataka berdekata (adjacet) jka keduaya dhubugka oleh sebuah rusuk. Sela tu, utuk rusuk (a,b), verteks a dkataka berdekata ke (adjacet to) verteks b, sedagka verteks b dkataka berdekata dar (adjacet form) verteks a. Sebuah verteks damaka verteks terasg atau tersolas (solated verte) jka tdak ada rusuk yag besdes degaya. Graph tak berarah (udrected graph) G ddefska secara abstrak sebaga suatu pasaga terurut (V, E), dega V suatu hmpua da E suatu hmpua yag usur-usurya berupa mult hmpua dega dua usur dar V. Sebaga msal, G = ({a, b, c, d}, {{a, b}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, c}}) adalah sebuah graph tak berarah. Graph tak berarah G datas dgambarka secara geometrk dalam Gambar. Sebaga lustras la, msalka V = {a, b, c, d, e} sebuah hmpua program komputer. Gambar meujukka sebuah graph tak berarah dega dua verteks dhubugka oleh sebuah rusuk jka kedua program yag drepresetaska oleh kedua verteks tu bsa meerma data yag sama. a b d c Gambar 2.3 Graph Tak Berarah 2.2. Graph Gada da Graph Berbobot Defs graph dapat dperluas dalam beberapa cara. Msalka G = (V, E), dega V suatu hmpua da E suatu hmpua gada yag usur-usurya
8 berupa pasaga terurut dar V V. Graph G damaka graph gada berarah (drected multgraph). Secara geometrs, graph gada berarah dapat dyataka sebaga suatu hmpua ttk-ttk V dega suatu hmpua tada paah E atara ttk-ttk tapa ada kedala megea bayakya tada paah dar satu ttk ke ttk laya. Sebaga msal, Gambar d bawah meujukka sebuah graph gada. Selajutya perhatka represetas grafs sebuah peta jala raya dega rusuk atara dua kota meyataka sebuah jalur pada jala raya atara kedua kota. Karea jala raya atara dua kota serg mempuya bayak lajur, represetas aka meghaslka sebuah graph gada. Gagasa graph gada tak berarah (udrected multgraph) dapat ddefska dega cara serupa. Gambar 2.4 Graph Gada Berarah Ketka memodelka suatu masalah fsk sebaga suatu graph abstrak, sergkal dtambahka formas la kepada verteks-verteks da/atau rusukrusuk graph tersebut. Sebaga msal, d dalam graph yag meggambarka jarga jala raya atara kota-kota, dtambahka sebuah blaga pada setap rusuk utuk meujukka jarak atara kedua kota yag dhubugka oleh rusuk tersebut. Secara umum, graph berbobot (weghted graph) ddefska sebaga sebuah pasaga terurut gada empat (V, E, f, g), atau sebuah pasaga terurut gada tga (V, E, g); dalam hal V hmpua semua verteksya, E
9 hmpua semua rusukya, f sebuah fugs dega daerah asal (doma) V, da g sebuah fugs dega daerah asal E. Fugs f member pembobot (weghts) pada verteks, sedagka fugs g member pembobot pada rusuk. Pembobot tu bsa berupa blaga, lambag, atau besara apa pu yag g kta berka kepada verteks da rusuk. 2.2.2 Ltasa da Ragkaa D dalam graph berarah, ltasa alah suatu barsa rusuk ( 2 k e, e, K, e ) sedemka rupa sehgga verteks termal e bermpt dega j verteks awal e utuk j k. Suatu ltasa dkataka sederhaa (smple) ( j +) jka a tdak mecakup rusuk yag sama dua kal. Suatu ltasa dkataka elemeter (elemetary) jka a tdak bertemu verteks yag sama dua kal. Dalam Gambar d bawah, (e, e 2, e 3, e 4 ) adalah sebuah ltasa ; (e, e 2, e 3, e 5, e 8, e 3, e 4 ) adalah sebuah ltasa,amu buka yag sederhaa ; (e, e 2, e 3, e 5, e 9, e 0, e, e 4) adalah sebuah ltasa sederhaa, amu buka yag elemeter. Gambar 2.5 Ltasa da Ragkaa
20 Ragkaa (crcut) alah suatu ltasa e, e, K, e ) yag verteks ( 2 k termalya, e k. Suatu ragkaa dkataka sederhaa (smple) jka a tdak mecakup rusuk yag sama dua kal. Suatu ragkaa dkataka elemeter (elemetary) jka a tdak bertemu verteks yag sama dua kal. D dalam Gambar, (e, e 2, e 3, e 5, e 9, e 0, e 2, e 6, e 7 ) adalah sebuah ragkaa sederhaa, amu buka elemeter, sedagka (e, e 2, e 3, e 5, e 6, e 7 ) adalah sebuah ragkaa elemeter. Suatu ltasa atau suatu ragkaa dapat drepresetaska juga dega barsa verteks-verteks yag dtemuya. Sebaga msal, ltasa (e, e 2, e 3, e 4 ) d dalam Gambar, dapat juga drepresetaska sebaga (v, v 2, v 3, v 4, v 7 ), sedagka ragkaa (e 5, e 9, e 0, e ) dapat drepresetaska sebaga (v 4, v 5, v 8, v 6, v 4 ). Suatu graph tak berarah dkataka terhubugka (coected) jka ada suatu ltasa atara setap dua verteks, da jka tdak demka dkataka tdak terhubugka (dscoected). Suatu graph berarah dkataka terhubugka jka graph tak berarah yag dperoleh dega megabaka arah-arah rusuk-rusukya teryata terhubugka, da jka tdak demka dkataka tdak terhubugka. Dega demka, suatu graph tdak terhubugka terdr dar dua atau lebh kompoe yag masg-masgya berupa sebuah graph terhubugka. Suatu graph berarah dkataka terhubugka erat (strogly coected) jka utuk setap dua verteks a da b d dalam graph tu, ada ltasa dar a ke b maupu dar b ke a. 2.2.3 Ltasa da Srkut Euler Msalka G adalah suatu graph. Ltasa Euler G adalah ltasa yag melalu masg-masg ss d dalam graph G tepat satu kal..
2 Srkut Euler alah srkut yag melewat masg-masg ss tepat satu kal da graph yag mempuya srkut Euler dsebut graph Euler (Eulera graph). Graph yag mempuya ltasa Euler damaka juga graph sem- Euler (sem-eulera graph). Gambar d bawah merepresetaska sebuah graph Euler dega ltasa eulerya :, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5,, 3 Gambar 2.6 Graph Euler 2.2.4 Ltasa da Srkut Hamlto Suatu graph terhubug G dsebut ltasa Hamlto bla ada ltasa yag melalu tap smpul d dalam graph G tepat satu kal. Srkut Hamlto alah srkut yag melalu tap smpul d dalam graph tepat satu kal, kecual smpul asal (sekalgus smpul akhr) yag dlalu dua kal. Graph yag memlk srkut Hamlto damaka graph Hamlto, sedagka graph yag haya memlk ltasa Hamlto dsebut graph sem-hamlto. Dalam srkut Euler, semua gars harus dlalu tepat satu kal, sedagka semua ttkya boleh dkujug lebh dar satu kal. Sebalkya, dalam srkut Hamlto semua ttk harus dkujug tepat satu kal da tdak harus melalu semua garsya. Dalam srkut Euler, yag dpetgka adalah garsya. Sebalkya dalam srkut Hamlto, yag dpetgka adalah kujuga pada ttkya. Gambar d bawah merepresetaska sebuah cotoh graph Hamlto dega ltasaya adalah :, 2, 3, 4,.
22 Gambar 2.7 Graph Hamlto 2.2.5 Ltasa Terpedek D Dalam Graph Berbobot Msalka G = (V, E, w) sebuah graph berbobot ; dalam hal w suatu fugs dar E ke hmpua blaga yata postf. Msalka V sebuah hmpua kotakota da E hmpua jala-jala raya yag meghubugka kota-kota tersebut. Pembobot rusuk {, j}, dlambagka w(, j), basaya damaka pajag rusuk {, j}, yag dalam hal dapat dtafsrka sebaga jarak atara kota da kota j. Pajag suatu ltasa d dalam graph G ddefska sebaga jumlah pajag rusuk-rusuk d dalam ltasa tu. Msalka dgka suatu ltasa terpedek dar verteks a ke verteks z d dalam graph G. Mula-mula dtetuka ltasa terpedek dar a ke suatu verteks la, lalu dtetuka lag ltasa terpedek dar a ke suatu verteks la lag, da demka seterusya. Pada akhrya, prosedur demka aka berakhr bla ltasa terpedek dar a ke z dperoleh. Masalah ltasa terpedek adalah masalah yag meyagkut ode, pajag jalur, arah ltasa. Dalam ltasa perlu dperhatka khusus yatu ode supply (ode awal) da ode demad ( ode akhr). Utuk meyelesaka masalah ltasa terpedek, terdapat suatu algortma yag bsa dpaka yatu :. Tujua pada teras ke- ; Tetuka ode terdekat dar ttk awal (ode awal)
23 2. Iput pada teras ke- ; ode terdekat ke - ke ode awal, termasuk d dalamya ltasa terpedek da jarak dar ode awal. (ode-ode dtambah dega ode awal dsebut ode terselesaka, yag la ode belum terselesaka). 3. Kaddat utuk ode terdekat ke- ; setap ode terselesaka yag lagsug berhubuga dega satu atau lebh ode belum terselesaka sebaga kaddat ode belum terselesaka yag mempuya hubuga terpedek. 4. Perhtuga ode terdekat ke- ; utuk setap ode terselesaka da ode kaddat, dtambah dega jarak dataraya. Kaddat yag mempuya total jarak terpedek ke-. 2.3 Jarga Trasportas Suatu graph berbobot damaka jarga trasportas (trasport etwork) jka sejumlah syarat berkut dpeuh :. Ia terhubugka da tdak mempuya lup. 2. Ada satu da haya satu verteks d dalam graph tu yag tdak mempuya rusuk masuk. 3. Ada satu da haya satu verteks d dalam graph tu yag tdak mempuya rusuk keluar. 4. Pembobot setap rusuk berupa sebuah blaga yata tdak egatf. D dalam suatu jarga trasportas, verteks yag tdak mempuya rusuk masuk damaka sumber (source) da dlambagka dega a ; verteks yag tdak mempuya rusuk keluar damaka pembuaga (sk) da dlambagka dega z. Pembobot suatu rusuk damaka kapastas (capacty) rusuk tersebut. Kapastas rusuk (, j) dlambagka dega w(, j) Suatu jarga trasportas merepresetaska suatu model umum bag trasportas beda/barag dar tempat asal pasoka ke tujua melalu berbaga
24 rute pegrma, dega kedala berupa batas maksmum terhadap bayakya barag yag dapat dkrmka melalu rute-rute tersebut. Alra (flow) d dalam suatu jarga trasportas,φ,alah pembera suatu blaga tdak egatf φ (, j) kepada setap rusuk (, j) sedemka rupa sehgga syarat-syarat berkut dpeuh :. φ (, j) w(, j) utuk setap rusuk (,j). 2. φ (, j) = φ( j, k) utuk setap verteks j kecual sumber a da = 0 pembuaga z. k = 0 Dalam kata dega trasportas barag/beda, φ (, j) adalah bayakya barag yag aka dkrm melalu rute (, j). Syarat berart bahwa bayakya barag yag aka dkrm melalu suatu rute tdak boleh melebh kapasts rute tersebut. Syarat 2 berart bahwa, kecual d sumber da d pembuaga, bayakya barag yag megalr meuju suatu verteks harus sama dega bayakya barag yag keluar dar verteks bersagkuta. Besara φ( a, ) damaka la alra φ (value of the flow φ ) da =0 dlambagka dega φ v,sehgga : φ = v = 0 φ( a, ) = k = 0 φ( k, z) yag berart bahwa total alra keluar d ttk sumber sama dega total alra masuk d ttk pembuaga. Utuk suatu alra, rusuk (, j) dkataka jeuh (saturated) jka φ (, j) = w(, j), da dkataka belum jeuh (usaturated) jka φ (, j) < w(, j). Alra maksmum (mamum flow) d dalam suatu jarga trasportas alah suatu alra yag mecapa la tertgg yag mugk dcapa.
25 Potoga (a cut) d dalam suatu jarga trasportas alah suatu hmpua potoga dar graph tak terhubugka (yag dperoleh dar jarga trasportas tu dega megabaka arah rusuk-rusukya) yag memsahka ttk sumber dar ttk pembuagaya. Notas ( P, P) dguaka utuk meyataka suatu potoga yag membag verteks-verteks tu mejad dua hmpua baga P da P, dega P megadug ttk sumber da P megadug ttk pembuaga. Kapastas suatu potoga,dlambagka dega w ( P, P), ddefska sebaga jumlah kapastas rusuk-rusuk yag bersdes dar verteks-verteks d dalam P ke verteks-verteks d dalam P ; dega kata la : w( P, P) = w(, j). P, j P&&