PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA SALAH SATU SUB-KELAS GRAF UNICYCLIC Leo Fadriq Kostarozi, Rolan Pane, Aziskhan Leo_matem0@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Uniersitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru, 89, Indonesia ABSTRACT Labeling of a graph is a theory that is often encountered in arious fields such as graph decomposition, cryptology, radar kristalogi x-ray, coding theory, circuit design and communication networks. This study aims to demonstrate that the graph-like unicyclic cycle also make the magic total labeling super total labeling one side - super magical. The super magic total labeling will we associate with one type of graph is unicyclic graph. Uniclyclic a graph is said to hae the magical super if obtained from the settlement cycle on a two-dimensional grid by a set of row transformation side. Key words: Super Edge Magic Total Labeling, Cycle, Unicyclic Graph.. PENDAHULUAN Pelabelan graf adalah suatu pemberian nilai pada titik atau sisi dari graf atau keduanya sehingga memenuhi kondisi tertentu. Berbagai macam pelabelan graf dikai dan berkembang, baik konsep itu muncul untuk keperluan aplikasi maupun teoritis. Aplikasi pelabelan graf dapat diumpai dalam berbagai bidang diantaranya dekomposisi graf, kriptografi, radar, kristalogi x-ray, teori koding, desain sirkuit dan desain aringan komunikasi. Pada tahun 967, Kotzig dan Rosa mendefinisikan pelabelan aaib pada graf G ( V, E ) sebagai fungsi biektif f : V ( E(,,..., V ( E( ()
leo fadriq kostarozi. pelabelan total sisi-aaib super Yang memenuhi kondisi bahwa ; f ( u) f ( u) f ( ) k () Konstanta k disebut sebagai angka aaib untuk pelabelan tersebut. Pelabelan ini kemudian diberi nama ulang menadi pelabelan total sisi-aaib oleh Wallis dkk (000) untuk membedakan dengan konsep pelabelan aaib lainnya.. DEFINISI GRAF Graf G adalah pasangan himpunan ( V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan E adalah himpunan berpasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di G yang disebut dengan sisi.. PELABELAN PADA GRAF Pelabelan pada suatu graf adalah sebarang pemetaan yang memasangkan unsurunsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan biasanya bilangan bulat. Jika domain dari fungsi adalah titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik. Jika domain dari fungsi adalah sisi, maka pelabelan disebut pelabelan sisi. Dan ika domainnya titik dan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan total.. PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER Misalkan G adalah suatu graf dengan himpunan titik V dan sisi E. Banyaknya titik di G adalah V (, dan banyaknya sisi di G adalah E (. Definisi..[] Pelabelan total sisi-aaib super pada graf G adalah fungsi biektif f dari V ( E( ke,,,..., V( E( () sedemikian sehingga untuk sebarang sisi u di G berlaku f ( u) f ( u) f ( ) k () Untuk suatu konstanta k. Bukti : Bukti dari definisi ini dapat dilihat pada []
leo fadriq kostarozi. pelabelan total sisi-aaib super Definisi.. Pelabelan total sisi-aaib f pada graf G sisi-aaib ika disebut pelabelan total V (,,,... V( f. () Bukti : Bukti dari definisi ini dapat dilihat pada [] Teorema..[] Setiap cycle ganil. Cn adalah sisi-aaib super ika dan hanya ika n Bukti : Bukti dari definisi ini dapat dilihat pada [] Lemma..[] Suatu graf G dengan n titik dan m super ika dan hanya ika terdapat suatu fungsi biektif sisi adalah graf sisi-aaib f : V( E(,,,... V( E( (6) Sedemikian sehingga himpunan u S f f ue( (7) terdiri dari bilangan bulat terurut. Dalam kasus ini, f diperluas menadi pelabelan total sisi-aaib super dari G dengan konstanta aaib k V( E( s (8) dimana s min(s ) dan S f ( u) f ( ) ue( k ( V( ), k ( V( ),..., k Bukti : Bukti dari definisi ini dapat dilihat pada [] V( E( (9)
leo fadriq kostarozi. pelabelan total sisi-aaib super. GRAF UNICYCLIC Graf unicyclic adalah graf terhubung sederhana dimana umlah sisi sama dengan umlah titik. Suatu unicyclic C berorder n disebut cycle-like ika diperoleh dari penempelan cycle pada grid dua dimensi oleh suatu himpunan dari sebarisan transformasi sisi. Karena label-label titik dari C n sama dengan labellabel titik pada sisi-aaib super pada graf baru. Contoh Gambar : P n maka transformasi sisi mempertahankan sifat pelabelan total Gambar. Cycle Unicyclic untuk C 6. GRAF CYCLE-LIKE UNICYCLIC Graf cycle-like unicyclic dikontruksikan dengan memperumumkan ide dari pathlike tree yaitu dengan menempelkan cycle pada grid dengan menggunakan pentransformasian sisi yaitu mengubah sisi u menadi u ''. Teorema.[] Semua graf cycle-like unicyclic adalah graf total sisi-aaib super Bukti : Bukti dari definisi ini dapat dilihat pada [] 7. CONTOH APLIKASI Misalkan C adalah cycle-like unicyclic dengan order n, dapat kita tulis dengan C dengan n. Tentukan pelabelan total sisi-aaib super dari cycle dan n pelabelan total sisi-aaib super dari cycle-like unicyclic.
leo fadriq kostarozi. pelabelan total sisi-aaib super Penyelesaian : Misalkan C C n, dimana himpunan titik V( C ),,,, Gambar. Cycle Unicyclic untuk C Untuk menentukan letak titik dan sisi pada graf G, gunakan Teorema.[] Semua graf cycle-like unicyclic adalah graf total sisi-aaib super. Dari hasil Teorema.[], Didapatkan pelabelan total-sisi aaib super untuk C adalah : 0 6 7 9 8 Gambar. Pelabelan Total Sisi-Aaib Super untuk C Gambar memperlihatkan penempelan cycle pada grid. Gambar. Hasil Penempelan Cycle pada Grid
leo fadriq kostarozi. pelabelan total sisi-aaib super 6 Gambar. memperlihatkan hasil pentransformasian sisi ke sisi Gambar. Hasil Transformasi Sisi pada Cycle Sehingga diperoleh suatu Cycle-like Unicyclic dengan Titik Andaikan graf U, 0,,,..., p Gambar 6. Cycle-like Unicyclic dengan titik adalah hasil dari proses pentransformasian sisi dengan mengubah sisi u pada pada U menadi sisi U dapat dibagi menadi dua sub-kelas yang saling lepas: u ''. Himpunan titik-titik V V V( U ) i V( U ) i i ganil i genap ( 0 ) Untuk dua kasus ini diperoleh f ( u) f ( ) f ( u') f ( ' ). Dengan menggunakan Lemma.. dapat disimpulkan bahwa dimana 0,,,..., p. Jadi semua graf cycle-like unicyclic adalah graf total sisiaaib super. U adalah graf total sisi-aaib super,