ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi Liner Bb VIII Rung Eigen 9/9/4 : M-3 ljbr Liner
Determinn Mtriks Sub Pokok Bhsn Permutsi dn Determinn Mtriks Determinn dengn OBE Determinn dengn Ekspnsi Kofktor Beberp pliksi Determinn Solusi SPL Optimsi Model Ekonomi dn lin-lin. 9/9/4 : M-3 ljbr Liner
Permutsi dn Definisi Determinn Mtriks Permutsi susunn yng mungkin dibut dengn memperhtikn urutn ontoh : Permutsi dri {,, 3} dlh (,,3), (,3,),(,,3),(,3,),(3,,),(3,,) Invers dlm Permutsi Jik bilngn yng lebih besr mendhului bilngn yng lebih kecil dlm urutn permutsi 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 3
Permutsi Genp Jumlh invers dlh bil. genp Permutsi Gnjil Jumlh invers dlh bil. gnjil ontoh : Jumlh invers pd permutsi dri {,, 3} (,,3) + = genp (,3,) + = gnjil (,,3) + = gnjil (,3,) + = genp (3,,) + = genp (3,,) + = 3 gnjil 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 4
Definisi Determinn Mtriks n n n n nn Hsil kli elementer hsilkli n buh unsur tnp d pengmbiln unsur dri bris/kolom yng sm. ontoh : 3 3 3 3 33 d 6 (3!) hsil kli elementer dri mtriks, yitu: 33, 3 3, 33, 3 3, 3 3, 3 3 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 5
Hsil kli elementer bertnd 33 3 3 33 3 3 3 3 Perhtikn Tnd (+/-) muncul sesui hsil klsifiksi permutsi indeks kolom, yitu : jik genp + (positif) jik gnjil - (negtif) 3 3 Jdi, Mislkn nxn mk determinn dri mtriks didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd mtriks tersebut. Notsi : Det() tu 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 6
ontoh : Tentukn Determinn mtriks Jwb : Menurut definisi : Det( 3x3 ) = 33 3 3 33 + 3 3 + 3 3 3 3 tu 3 3 3 3 3 3 33 3 3 33 3 3 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 7
ontoh : Tentukn determinn mtriks B 3 Jwb : det B 3 3 ( 3)()() ()()( ) ( )()( ) ( )()( ) (3)()( ) ()()() 3 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 8
Menghitung Determinn dengn OBE Perhtikn :. det 3 3 b. 3 4 5 4 6 Dengn mudh Kren hsil kli elementer bertnd selin unsur digonl dlh nol Det() = Hsilkli unsur digonl? c. det 4 5 7 8 9 45 Hitung Det. Mtriks Bukn Segitig??? 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 9
Perlu OBE untuk menentukn determinn sutu mtriks yng bukn segitig. rny : Mtriks bujur sngkr ~ OBE ~ mtriks segitig Berikut ini dlh pengruh OBE pd nili determinn sutu mtriks, yitu :. Jik mtriks B bersl dri mtriks dengn stu kli pertukrn bris mk Det (B) = - Det () ontoh : mk 3 B B 3 9/9/4 : M-3 ljbr Liner
9/9/4 : M-3 ljbr Liner. Jik mtriks B bersl dri mtriks dengn stu kli pertukrn bris mk Det (B) = - Det () ontoh : dn mk 3 B B 6
3. Jik mtriks B bersl dri mtriks dengn perklin sebuh bris dengn konstnt tk nol k llu dijumlhkn pd bris lin mk Det (B) = Det () ontoh 3 : 3 6 Perhtikn 3 6-3 OBE yng dilkukn pd mtriks tersebut dlh b + b 9/9/4 : M-3 ljbr Liner
9/9/4 : M-3 ljbr Liner 3 ontoh 3 : Tentukn determinn mtriks berikut : Jwb : ke -dn ke - pertukrn bris
-3 - b b Pertukrn bris ke - dn ke - 3-3 - 4 3b b 3 = 4 (hsil perklin semu unsur digonlny) 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 4
Determinn dengn ekspnsi kofktor Mislkn : n n Beberp definisi yng perlu dikethui : M ij disebut Minor- ij yitu determinn mtriks dengn menghilngkn bris ke_i dn kolom ke-j mtriks. ontoh : :......... n n : nn mk M3 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 5
ij Mtrik dinmkn kofktor - ij yitu (-) i+j M ij ontoh : mk = ( ) 3. = 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 6
Secr umum, cr menghitung determinn dengn ekspnsi kofktor : Menghitung det () dengn ekspnsi kofktor sepnjng bris ke-i det () = i i + i i +... + in in Menghitung det () dengn ekspnsi kofktor sepnjng kolom ke-j ontoh 6 : det () = ij j + j j +... + nj jn Hitunglh Det() dengn ekspnsi kofktor : 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 7
Jwb : Mislkn, kit kn menghitung det () dengn ekspnsi kofktor sepnjng bris ke-3 det( ) 3 j 3 j c 3 j = 3 3 + 3 3 +... + 3n 3n ( ) 3 33 ( ) = + 6 = 4 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 8
Menghitung det () dengn ekspnsi kopktor sepnjng kolom ke-3 det( ) 3 i i 3c i 3 = 3 3 + 3 3 +... + n3 n3 ( ) 3 33 ( ) = + 6 = 4 9/9/4 : M-3 ljbr Liner 9
9/9/4 : M-3 ljbr Liner Mislkn n x n dn ij dlh kofktor ij, mk dinmkn mtriks kofktor. Trnspos dri mtriks ini dinmkn djoin, notsi dj(). nn n n n n T dj ) ( nn n n n n
Mislkn puny invers mk dj( ) det( ) mempunyi invers jik dn hny jik det (). Beberp sift determinn mtriks dlh :. Jik dlh sembrng mtriks kudrt, mk det () = det ( t ). Jik dn B merupkn mtriks kudrt berukurn sm, mk : det () det (B) = det (B) 3. Jik mempunyi invers mk : det( ) det( ) 9/9/4 : M-3 ljbr Liner
ontoh : Dikethui - Tentukn mtriks djoin Jwb : Perhtikn bhw 3 c ( ) c ( ) c3 ( ) c, c, c3, c3, c3, dn c33. 9/9/4 : M-3 ljbr Liner
9/9/4 : M-3 ljbr Liner 3 Sehingg mtriks kofktor dri : Mk mtriks djoin dri dlh : - - - - - - - - ) ( T dj
9/9/4 : M-3 ljbr Liner 4 Ltihn Bb. Tentukn determinn mtriks dengn OBE dn ekspnsi kofktor dn. Dikethui : dn Tunjukn bhw : det () det (B) = det (B) P 4 4 3 Q 4 3 5 7 3 B
9/9/4 : M-3 ljbr Liner 5 3. Dikethui : Tentukn k jik det (D) = 9 4. Dikethui mtriks Jik B = - dn t merupkn trnspos dri. Tentukn nili 4 3 5 k k D 5 4 3 B B x t det 5 det det