BAB IV Pencarian Akar Persamaan Tak Linier i 1
Pendahuluan Salah satu masalah dalam matematika & teknik Akar dari f() adalah sehingga f() = 0. Secara geometris, ajar dari f() adalah nilai sehingga kurva f() memotong sumbu Akar () juga bisa merupakan perpot dari dua fungsi f() dan g(), sehingga f() = g(), atau f() g() = 0 2
y f() Akar dari f() = 0 f() g() Xr, ajar dari f() g() = 0 3
Contoh : Akan dicari nilai sehingga f()= 2 2 + 5-3 = 0, maka 2 2 + 5-3 = (2 1)( +3) = 0, diperoleh akar1 = ½, akar2 = -3 Secara umum, untuk fungsi linier f() = a + b, maka akar = -b/a Untuk fungsi kuadrat f() = a2 + b +c, maka akar1, akar 2 = b ± b 2 4ac 2a 4
Untuk fungsi dengan derajat lebih tinggi, perlu dicari teknik yang lebih sistematis, sebagai contoh : Carilah akar dari (+1) 2 e 2-2 -1=0 Disinilah peranan metode numerik di dalam memberikan hampiran suatu penyelesaian permasalahan matematis yang tidak dapat diselesaikan secara analitik 5
Metode Pengurung (Braches Method) 1. Metode Bagi 2 (bisection) 2. Metode Posisi palsu (Regula falsi) 1. Iterasi satu titik tetap 2. Newton Raphson 3. Secant Metode Terbuka 6
Metode Bagi dua Misal f() fungsi kontinu pada [a,b] sehingga f(a) & f(b) berlawanan tanda, maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat r pada [a,b] sehingga f( r ) =0 Teknik yang digunakan dalam metode ini adalah pencarian ajar dengan memperkecil interval pengurung [a,b]. Interval awal dibagi menjadi 2 sub interval dengan panjang yang sama, pilih sub interval yang mengandung ajar, sub interval ini dibagi dua lagi menjadi sub interval yang lebih kecil, pilih lagi sub interval yang memuat ajar, dan seterusnya sampai diperoleh ajar sejati. 7
Algoritma bagi 2 1. Pilih l dan u sehingga f( l ).f( u ) < 0 (berlainan tanda) 2. Tarik akar l + u r = 3. Evaluasi : 2 a) Jika f( l ).f( u ) < 0, maka akar berada pada ( l, r ), rubah r menjadi u baru, kembali ke langkah 2 b) Jika f( l ).f( u ) > 0, maka akar berada pada ( r, u ), rubah r menjadi l baru. Kembali ke langkah 2 c) Jika f( l ).f( u ) = 0, akar = r, stop 8
y f() l u X r X r X r 9
Taksiran galat Contoh : f a = ( ) rlama rbaru 100% lama r = ( + 1) 2 2 2 1 cari akar dari pada [0.4, 1.2]. e 10
Metode Posisi Palsu (Regula Falsi) Metode bagi 2 tidak efisien, besaran f(l) dan f(u) tidak diperhitungkan Jika f(l) lebih dekat ke 0 d.p f(u), akar lebih dekat ke l Metode posisi palsu menghub f(l) & f(u) dengan sebuah garis lurus, perpotongan garis tersebut dengan sb merupakan taksiran akar yang diperbaiki (posisi palsu) 11
F( u ) l r r u r f( l ) 12
r = u f f ( )( ) u l u ( l ) f ( u ) 13
Metode terbuka Mtd Metode pengurung, akarnya terdapat tdl dalam selang yang telah tlh ditentukan oleh batas atas dan batas bawah, penerapan yang berulang-ulang selalu menghasilkan taksiran nilai sejati dari akar yang lbihdkt lebih dekat, metode td ini iikonvergen karena selalu ll bergerak semakin dekat ke akar yang sebenarnya. Metode terbuka didasarkan pada rumus yang memerlukan satu atau lebih nilai yang tidak perlu mengurung akar sehingga kadangkala divergen (menjauhi akar), namun jika metode tersebut konvergen, biasanya lebih cepat d.p metode pengurung 14
Iterasi satu titik tetap Misal f() = 0 dapat disusun menjadi = g(), dengan memilih titik awal 0, hampiran-hampiran selanjutnya diperoleh dengan iterasi n+1 = g( n ) Proses akan konvergen jika n+1 terletak t kdid dalam sebuah interval I yang memuat akar r 15
Contoh 2-2-8 = 0, dapat diubah menjadi = 2 + 8 2 8 = 2 16
Metode Newton Raphson Jika terkaan awal pada akar adalah i, sebuah garis singgung dapat ditarik dari [ i,f( i ), titik potong dengan sumbu biasanya menyatakan taksiran akar yang lebih baik. = i+ 1 i f ( i ) f '( ) i 17
Kemiringan = f ( i ) f( i ) i+1 i i+1 - i 18
Contoh : Carilah akar dari e --2=0, dengan terkaan awal 0=-5 = e n+ 1 n n n n 2 e 1 19
Metode Secant Metode ini memerlukan dua buah hampiran awal 0 dan 1, hampiran berikutnya diperoleh dengan menghitung absis titik potong garis busur yang melalui titik-titik ( 0, f( 0 )) dan ( 1,f( 1 )); 2 = 1 f f ( 1 )( 1 0 ( 1 ) f ( 0 ) ) 20
Contoh : Carilah akar dari e --2=0, dengan terkaan awal 0=-10, 1 = -9 21