MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner
Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi Mtriks Rngkin listrik Jringn Komputer Model Ekonomi dn lin-lin. //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Pendhulun Persmn liner dlh persmn dimn peuhny tidk memut eksponensil, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perklin, pemgin dengn peuh lin tu diriny sendiri. Contoh : Jik perushn A memeli Lptop (x) dn PC (y) mk i hrus memyr $ 5, sedngkn jik memeli 3 Lptop dn PC mk i hrus memyr $. Representsi dri mslh terseut dlm entuk SPL x + y = 5 ቊ 3x + y = 3 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Pendhulun() Bentuk umum system persmn liner x + x + + n x n = x + x + + n x n = m x + m x + + mn x n = n Dpt ditulis dlm entuk n n m m mn x x x n = m 4 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Pendhulun(3) Atu AX = B dimn A dinmkn mtriks koefisien X dinmkn mtriks peuh B dinmkn mtriks konstnt Contoh : Perhtikn hw SPL x + y = 5 ቊ 3x + y = dpt ditulis dlm entuk perklin mtriks x 3 y = 5 5 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi SPL Solusi SPL dlh Himpunn ilngn Rel dimn jik disustitusikn pd peuh sutu SPL kn memenuhi nili keenrn SPL terseut. Perhtikn SPL : x + y = 5 ቊ 3x + y = Mk {x = 3, y = } merupkn solusi SPL {x =, y =3 } ukn solusi SPL Sutu SPL, terkit dengn solusi, mempunyi tig kemungkinn : SPL mempunyi solusi tunggl SPL mempunyi solusi tk hingg nyk SPL tidk mempunyi solusi 6 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi SPL_Ilustrsi Pd Bidng Krtesius CASE I Perhtikn SPL ቊ x y = x y = Jik digmr dlm krtesius y y = x y = x (,) x (, ) merupkn titik potong du gris terseut Tidk d titik potong yng lin selin titik terseut Artiny : SPL x y = dn x y = mempunyi solusi tunggl, yitu x =, y = 7 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi SPL_Ilustrsi Pd Bidng Krtesius() CASE II Perhtikn SPL ቊ x y = x y = Jik kedu rus pd persmn kedu diklikn ½, mk kn diperoleh persmn yng sm dengn pers. pertm Jik digmr dlm krtesius y x y = x y = Terliht hw du gris terseut dlh erimpit (Titik potong kedu gris nyk sekli disepnjng gris terseut) Artiny, SPL dits mempunyi solusi tk hingg nyk x 8 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi SPL_Ilustrsi Pd Bidng Krtesius(3) CASE III Perhtikn SPL ቊ x y = x y = Jik digmr dlm krtesius y x y = x y = Terliht hw du gris terseut dlh sejjr (Tk kn pernh diperoleh titik potong kedu gris itu) Artiny, SPL dits TIDAK mempunyi solusi x 9 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
//7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Solusi Sistem Persmn Liner dengn OBE Tulis SPL dlm entuk mtriks yng diperesr Lkukn OBE smpi menjdi eselon ris tereduksi Contoh : Tentukn solusi dri SPL 3x y = 5 x + 3y = 5 Jw : Mtriks yng diperesr dri SPL Solusi Sistem Persmn Liner dengn OBE ~ 5 5 3 3 ~ 5 5 3 3 ~ 5 3 ~ 5 3
Solusi Sistem Persmn Liner dengn OBE() Tulis kemli mtriks yng diperesr hsil OBE menjdi perklin mtriks x y Mk, solusi SPL terseut dlh x = dn y = Contoh : Tentukn solusi (jik d) dri SPL erikut : + c = 4. ቐ = + c = 7 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi Sistem Persmn Liner dengn OBE(3). ቐ + c = 4 = + = c. ቐ + c = 4 = + = Jw :. 4 7 3 Terliht hw solusi SPL dlh =, =, dn c = 3 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
3 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR. Jik dikemlikn kedlm entuk perklin mtriks diperoleh : Ini memerikn + c = 4 dn + c = 5. Dengn memilih c = t, dimn t dlh prmeter. Mk solusi SPL terseut dlh :, dimn t dlh prmeter 4 5 4 5 4 c 5 4 t c Solusi Sistem Persmn Liner dengn OBE(4)
4 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR c. Terliht hw d ris nol pd mtriks koefisien tetpi mtriks konstnt pd ris ke-3 sm dengn (tk nol) Dri ris ke-3 diperoleh huungn hw. +. +. c =. Tk d nili, dn c yng memenuhi kesmn ini. Jdi, SPL terseut tidk memiliki solusi. 4 5 5 c Solusi Sistem Persmn Liner dengn OBE(5)
Solusi Sistem Persmn Liner dengn OBE(6) Contoh : Dikethui SPL : x + y 3z = 4 ቐ 3x y + 5z = 4x + y + ( 4) z = + Tentukn sehingg SPL :. Mempunyi solusi tunggl. Tidk mempunyi solusi c. Solusi yng tidk terhingg 5 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi Sistem Persmn Liner dengn OBE(7) Jw: Mtrik diperesr dri SPL dlh 3 4-3 4 5 ~ -4 ~ 7 7-4 4. Agr SPL mempunyi solusi tunggl: 7-3 4-3 4-6 4 4 6 sehingg 4 dn 4 6 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi Sistem Persmn Liner dengn OBE(8) 7-3 4-6 4 4. Perhtikn ris ketig x + y + ( 6) z = 4 SPL tidk mempunyi solusi st 6 = dn 4 Sehingg = 4 dn 4. Jdi, = 4. c.spl mempunyi solusi tk hingg nyk jik memenuhi persmn 6 = dn 4 = Jdi, = 4. 7 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi SPL dengn Mtriks Invers Tinju persmn liner erikut n n n n tu nn AX = B x x x n = Jik kedu rus diklikn dengna, mk didpt A A X = A B Kren A A = I mk X = A B Ingt hw sutu mtriks A mempunyi invers jik dn hny jik det(a). n 8 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi SPL dengn Mtriks Invers() Contoh : Tentukn solusi dri SPL erikut : Jw : Perhtikn hw A Jdi A mempunyi Invers A + c = 4 = + c = 7 - - - - - 9 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
//7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR sehingg X = A B erentuk : Jdi, Solusi SPL terseut dlh Solusi SPL dengn Mtriks Invers(3) 3 c 7-4 - - - - c
Solusi SPL dengn Aturn Crmer Mislkn SPL ditulis dlm entuk AX = B, yitu : n x n x = n n x n nn Jik determinn A tidk sm dengn nol mk solusi dpt ditentukn stu perstu (peuh ke i, x i ) n Lngkh-lngkh turn crmer dlh :. Hitung determinn A. Tentukn A i mtriks A dimn kolom ke-i dignti oleh B. Contoh : A = n n n n //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR nn
Solusi SPL dengn Aturn Crmer() c. Hitung A i d. Solusi SPL untuk peuh dlh x i det( Ai ) det( A) Contoh : Tentukn solusi dri SPL erikut : + c = 4 = + c = 7 Jw : Perhtikn hw A - //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi SPL dengn Aturn Crmer(3) Mk det ( A ) det ( A ) 4-7 - (-4) 7-7 ( -- ) (-4) (- ) ( 7 - ) - (-4) 7 Jdi, Solusi peuh yng memenuhi SPL dlh = 3 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi SPL dengn Aturn Crmer(4) Tentukn solusi SPL untuk peuh? det det 4-7 - A A - - - 4 7 4 ( -- ) ( - - (-7) ) - 4 5 4 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Sistem Persmn Liner Homogen Bentuk umum n n m m mn x x x n = SPL homogen merupkn SPL yng konsisten (sellu mempunyi solusi). Solusi SPL homogen diktkn tunggl jik solusi itu dlh {x, x,, x n = } Jik tidk demikin, SPL homogen mempunyi solusi tk hingg nyk(isny ditulis dlm entuk prmeter) 5 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Sistem Persmn Liner Homogen() Contoh : Tentukn solusi SPL homogen erikut p + q r s = p q + r s = p + q 4r + s = 3p 3s = SPL dpt ditulis dlm entuk - 3 - - - 4 - - - 3 6 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Sistem Persmn Liner Homogen(3) dengn melkukn OBE diperoleh : - - Mk solusi SPL homogen dlh : p =, q =, s =, dn r =, dimn, merupkn prmeter. 7 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
8 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Contoh : Dikethui SPL. Tentukn gr SPL memiliki solusi tk hingg nyk. Tuliskn solusi SPL terseut Jw : Solusi sutu SPL homogen dlh tk tunggl jik det(a) =. Sistem Persmn Liner Homogen(4) - - - z y x
Sistem Persmn Liner Homogen(5) ( ) (( )( )) = ( ) ( + ) = ( ) ( ) = = tu = Solusi SPL tk hingg nyk st = tu = 9 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
3 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR St = Dengn OBE mk Mislkn p,q dlh prmeter Riil, mk Sistem Persmn Liner Homogen(6) z y x ~ ~ q q p z y x q p -
3 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR St = Dengn OBE mk Mislkn q dlh prmeter Riil, mk Sistem Persmn Liner Homogen(7) z y x ~ ~ ~ q q q z y x
Sistem Persmn Liner Perhtikn ilustrsi segitig erikut : c Tunjukn hw : = + c c cos 3 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
33 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Jw : Dri gmr terseut dikethui hw : c cos + cos = c cos + cos = cos + cos = c tu Sistem Persmn Liner() c c c cos cos cos
34 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR Perhtikn hw : dengn turn Crmmer diperoleh hw : Sistem Persmn Liner(3) det c c c c c 3 c c c c c cos c c c 3
Sistem Persmn Liner(4) cos c 3 c c c Jdi, terukt hw : = + c c cos 35 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
36 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR. Tentukn solusi SPL erikut :. Tentukn solusi SPL : p q r + 3s = 4 q + s = p + p q 4s = 3. Tentukn solusi SPL homogen erikut : LATIHAN 4 9 6 3 8 8 8 7 7 7 7 4 5 t s r q p t s r t s r q p t r q p
LATIHAN() 4. Dikethui SPL AX = B x A -, X x dn B x3 Tentukn solusi SPL di ts dengn menggunkn : opersi ris elementer (OBE ) Invers mtrik Aturn Crmer 5. Dikethui 3 4 X X 5 4 Tentukn x x X yng memenuhi. x x 3 4 37 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
LATIHAN(3) 6. SPL homogen (dengn peuh p, q, dn r) p q r q r k p k q r Tentukn nili k sehingg SPL puny solusi tunggl 7. Mislkn B 5 3 3 Tentukn vektor tk nol u y x sehingg Bu 6u 38 //7 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
THANK YOU