Pertemuan 5. BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang. Rataan peubah acak. HARAPAN MATEMATIK Misalkan dua mata uang setangkup dilantun, peubah acak X menyatakan banyaknya muncul muka. Ruang samapel percobaan tersebut adalah : T = {MM, MB, BM, BB}, dan P (X = 0) = P (BB) = 4 P (X = ) = P (BM) + P (MB) = 2, dan P (X = 2) = P (MM) = 4, Rataan peubah acak X, dapat ditentukan dengan 0. 4 +. 2 + 2. 4 =, ini disebut dengan Rataan peubah acak X atau rataan distribusi peluang X dan ditulis sebagai µ x atau cuma µ Rataan ini sering juga disebut dengan harapan matematik atau nilai harapan peubah acak X dan dinyatakan dengan E(X) Defenisi. Misalkanlah X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan atau rataan X ialah µ = E(X) = x xf(x) bila X diskret, dan µ = E(X) = xf(x)d(x) bila X kontinu. Contoh. Carilah nilai harapan banyaknya kimiawan dalam panitia orang yang dipilih secara acak dari 4 kimiawan dan biolog. Contoh.2 Dalam suatu permainan seorang mendapat Rp 5.000,00 bila dalam lantunan uang logam muncul semua muka atau semua belakang, dan membayar Rp.000,00 bila muncul muka satu atau dua. Berapakah harapan kemenangannya. Contoh. Misalkan X peubah acak yang menyatakan umur dalam jam sejenis bola lampu. Fungsi padat peluangnya diberikan f(x) = { 20000 x,x>00 0,xlainnya Hitunglah harapan umur jenis bola lampu tadi. Teorema.
Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang F (x). Rataan atau nilai harapan peubah acak g(x) adalah µ g(x) = E[g(X)] = Σg(x)f(x) bila X diskret, dan bila X kontinu µ g(x) = E[g(X)] = g(x)f(x)dx Contoh.4 Banyaknya mobil X, yang masuk ke suatu pencuci mobil setiap hari antara jam.00-4.00 mempunyai distribusi peluang : x 4 5 6 7 8 9 P (X = x) 2 2 4 4 6 6 Misalkan g(x) = 2X menyatakan upah, dalam ribuan rupiah para karyawan yang dibayar perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut. Contoh.5 Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi padat f(x) = { x, <x<2 0,xlain Hitunglah nilai harapan g(x) = 4X + Defenisi.2 Bila X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x, y) maka nilai harapan peubah acak g(x, Y ) adalah µ g(x,y ) = E[g(X, Y )] = Σ x Σ y g(x, y)f(x, y) bila X dan Y diskret, dan µ g(x,y ) = E[g(X, Y )] = g(x, y)f(x, y) bila X dan Y kontinu. Contoh.6 Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan seperti tabel dibawah ini 2
f(x, ) x = 0 x = x = 2 Jumlah baris y = 0 9 5 y = 4 4 7 y = 2 Junlah lajur 5 4 5 Hitunglah nilai harapan g(x, Y ) = XY Tugas 5. Nomor 2,5,,6,20.2 Variansi dan kovariansi Keragaman suatu peubah acak X diperoleh dengan mengambil g(x) = (X µ) 2. Rataan ini disebut dengan variansi peubah acak X atau variansi distribusi peluang X dan dinyatakan dengan V ar(x) atau lambang σ 2 x atau σ 2. Defenisi. Misalkan peubah X peubah acak dengan distrubusi peluang f(x) dan rataan µ. Variansi X adalah σ 2 = E[(X µ) 2 ] = Σ x (x µ) 2 f(x) bila X diskret, dan σ 2 = E[(X µ) 2 ] = (x µ)2 f(x)dx bila X kontinu. Akar positip variansi, σ disebut simpangan baku X Contoh.7 Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya mobil yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada setiap hari kerja. Distribusi peluang untuk kantor A x 2 f(x) 0, 0,4 0, dan untuk kantor B x 0 2 4 f(x) 0,2 0, 0, 0, 0,
Tunjukkan bahwa variansi distribusi peluang kantor B lebih besar dari pada variansi kantor A. Teorema.2 Variansi peubah acak X adalah σ 2 = E(X 2 ) µ 2 Contoh.8 Permintaan mingguan coca cola, dalam ribuan liter, pada suatu jaringan pemasaran daerah, merupakan peubah acak kontinu X dengan fungsi padat peluang f(x) = { 2(x ),<x<2 0,xlainnya Cari rataan dan variansi X. Defenisi.4 Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x, y). Kovariansi X dan Y adalah σ XY = E[(X µ X )(Y µ Y ) = Σ x Σ y (x µ x )(y µ y )f(x, y) bila X dan Y diskret, dan σ XY = E[(X µ X )(Y µ Y )] = (x µ x)(y µ y )f(x, y) bila X dan Y kontinu Teorema. Kovariansi dua peubah acak X dan Y dengan rataan, masing-masing, µ X dan µ Y diberikan oleh σ XY = E(XY ) µ X µ Y Contoh.9 Banyaknya isi balpoint biru X dan banyaknya yang merah Y, bila 2 isi balpoin dipilih secara acak dari suatu kotak tertentu, telah diberikan contoh.6 dengan distribusi peluang gabungan berikut f(x, ) x = 0 x = x = 2 Jumlah baris y = 0 9 5 y = 4 4 7 y = 2 Junlah lajur 5 4 5 4
Cari kovariansi X dan Y. Tugas 5b.2 Nomor 2,,4,. Rataan dan variansi dari kobinasi linear peubah acak Teorema.4 Bila a dan b tetapan, maka E(aX + b) = ae(x) + b Bukti Menurut defenisi nilai harapan, E(aX + b) = (ax + b)f(x)dx = a xf(x)dx + b f(x)dx = ae(x) + b Akibat Bila diambil a = 0 maka E(b) = b Akibat 2 Bila diambil b = 0 maka E(aX) = ae(x) Contoh.0 Dengan menggunakan teorema kerjakan kembali contoh.4 Teorema.5 Jumlah nilai harapan atau selisih sua atau lebih fungsi suatu peubah acak X sama dengan jumlah atau selisih nilai harapan tersebut, yaitu E[g(X) ± h(x)] = E[g(X)] ± E[h(X)] Contoh. Pembelian mingguan teh botol, dalam ribuan liter, dari suatu agen daerah berbentuk suatu peubah acak kontinu g(x) = X 2 + X 2, bila X mempunyaui fungsi padat f(x){ 2(x ),<x,2 0,xlain Cari nilai harapan g(x) = X 2 + X 2 Teorema.6 E[g(X, Y ) ± h(x, Y )] = E[g(X, Y )] ± E[h(X, Y )] Teorema.7 Misalkan X dan Y dua peubah acak yang bebas. Maka E(XY ) = E(X)E(Y ) Contoh.2 Misalkan X dan Y peubah acak bebas dengan distribusi gabungan f(x) = { x(+y 2 ) 4,0<x<2,0<y< 0,xlain 5
Periksa apakah E(XY ) = E(X)E(Y ) sepertin teorema.7 dipenuhi. Teorema.8 Bila a dan B tetapan, maka σ ax+b = a 2 σ 2 x = a 2 σ 2 Teorema.9 Bila X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x, y), maka σ 2 ax+by = a2 σ 2 X + b2 σ 2 Y + 2abσ XY Contoh. Bila X dan Y peubah acak dengan variansi σx 2 = 2, σ2 Y = 4, dan kovariansi σ XY = 2, carilah variansi peubah acak Z = X 4Y + 8.4 teorema Chebyshev Teorema.0 Peluang setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit k 2, yaitu P (µ kσ < X < µ + kσ) k 2 Contoh.4 Suatu peubah acak X mempunyai rataan µ = 8, variansi σ 2 = 94, sedangkan peluang distribusinya tidak diketahui. Hitunglah a. P ( 4 < X < 20), dan b. P ( X 8 6). Tugas 5c. dan.4 Nomor,5,0,4,6 Soal Ulangan Nomor 7 6