MODEL IR (UCEPTIBLE, INFECTION, RECOVERY) UNTUK PENYEBARAN WABAH PENYAKIT PADA UATU POPULAI TERTUTUP Dosen Pengmpu : Dr Lin Aryti DIUUN OLEH: Nm : Muh Zki Riynto Nim : 2/56792/PA/8944 Progrm tudi : Mtemtik JURUAN MATEMATIKA FAKULTA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERITA GADJAH MADA DAERAH ITIMEWA YOGYAKARTA 27
Kejdin penulrn wbh penykit yng terjdi p sutu populsi pt dimodelkn ke lm bentuk mtemtis, slh stuny lh model IR (usceptibles, Infection, Recovery) Model IR dikembngkn pertm kli untuk mengethui lju penyebrn n kepunhn sutu wbh penykit lm sutu populsi tertutup n bersift epidemik Model IR Tnp Kelhirn n Kemtin Model IR yng pertm menggunkn sumsi sebgi berikut : Penykit pt disembuhkn, tik menyebbkn kemtin 2 Hny menulr mellui kontk lngsung dengn penderit 3 eseorng yng pernh sembuh ri penykit tersebut tik kn terserng lgi, kren telh mempunyi kekebln 4 Populsi tetp (tik kelhirn n kemtin) 5 Tik ms inkubsi pbil terjdi proses penulrn 6 Ms terjngkit yng cukup lm elnjutny, mislkn : Ukurn subpopulsi yng rentn terserng penykit I Ukurn subpopulsi yng terinfeksi n pt menulrkn penykit ke sutu subpopulsi linny yng rentn tertulr R Ukurn subpopulsi yng sembuh ri penykit n telh mempunyi kekebln t Wktu Disumsikn : Lju kesembuhn α konstn 2 Lju penulrn penykit β konstn
2 esui dengn permisln n sumsi di ts, mk model IR pt digmbrkn sebgi berikut β α I R Gmbr Model IR tnp kelhirn n kemtin Dengn demikin, pt diperoleh model mtemtis berikut : d β I, di β I α I, dr α I () Proses sutu subpopulsi terinfeksi membutuhkn wktu yng dipengruhi st terjdi kontk ntr subpopulsi yng rentn dengn subpopulsi yng terinfeksi berlngsung Untuk mengethui tingkt penyebrn penykit st terjdi kontk digunkn bsic reproduction rtio (Ro), yitu lju pertumbuhn wl yng menytkn nili hrpn (ekspektsi) jumlh ksus terserng setelh terjdi kontk terhp ksus sebelum terjdi kontk Bersrkn sistem persmn () di ts pt diperoleh bhw nili bsic reproduction rtio-ny lh β N Ro α IR Dengn Kelhirn n Kemtin Model IR dikembngkn lebih lnjut bersrkn sumsi-sumsi yng telh dibut p model IR pertm, tetpi perben yitu dengn sumsi bhw lm populsi terjdi proses kelhirn n kemtin
3 elnjutny, mislkn Lju kemtin konstn 2 Lju kelhirn δ konstn Model IR kedu ini pt digmbrkn sebgi berikut δ β α I R Gmbr 2 Model IR dengn kelhirn n kemtin Bersrkn sumsi n permisln di ts, pt diperoleh model mtemtis sebgi berikut d δ β I, di β I I α I, dr α I R (2) elnjutny, pt diperoleh bhw nili bsic reproduction rtio-ny lh β N Ro + α Kestbiln istem Perhtikn sistem persmn di bwh ini d δ β I, di β I I α I (3) Akn diselidiki kestbiln sistem persmn (3) di ts
4 Mislkn (, ) f I δ β I (, ) g I β I I α I Mk untuk I diperoleh titik kesetimbngn (, I ) ( N,) elnjutny dilkukn linerissi p persmn (3) di ts, dengn N δ Dikethui : (, ) ( δ β ) f I I β I, (, ) ( δ β ) f I I β, I I (, ) ( β α ) g I I I I β, (, ) ( β α ) g I I I I β α I I Diperoleh mtriks Jcobin p (, I ) ( N,) ( J ), yitu β N β N α ehingg diperoleh sistem persmn liner berikut d β N di β N α I Dpt diliht bhw p sistem persmn (3) di ts, titik kesetimbngn, dengn N δ β N stbil simtotik jik n hny jik Ro < α + (, I ) ( N,)
(, I ) (, I ) Jik sistem persmn (3) di ts mempunyi titik kesetimbngn (equilibrium) dengn I >, mk : N Ro, jik Ro > β 2 I ( Ro ) 5 elnjutny, jik berlku kesetimbngn (, I ) ( N,) N Ro n β, I ( Ro ) stbil simtotik β N Ro, mk titik α + Rt Rt Lm Infeksi Untuk menentukn rt rt lm wktu infeksi, digunkn fungsi density Disumsikn bhw proporsi kemtin n terinfeksi sm, n sistem lm ken setimbng elnjutny, mislkn : P ( ) : Probbilits seseorng yng rentn untuk tetp hidup n belum terinfeksi wlupun telh terjdi kontk dengn individu yng terinfeksi p umur thun P I ( ) : Probbilits seseorng yng rentn terinfeksi n tetp hidup setelh terjdi kontk dengn individu terinfeksi p umur thun k : Lju infeksi (konstn) Perhtikn gmbr berikut ini k I Gmbr 3
6 Dpt dibentuk model lju probbilits rentn n lju probbilits terinfeksi sebgi berikut dp dpi ( ) kp P k + P, P (), I kp P, P () (4) I Dri persmn pertm p sistem persmn (4) di ts, diperoleh dp ( ) ( ) k + P k + Jik kedu rus diintegrlkn, diperoleh dp ( k + ) ln P ( k + ) + ln c Jdi, diperoleh P ( k + ) e Dengn demikin, nili probbilits individu terinfeksi p umut thun lh kp ( k + ) ke elnjutny, diperoleh rt rt lm terinfeksi p umur thun, yitu kp ( ) kp ( ) ke ke ( k ) ( k ) e e ( k ) ( k ) ( k + ) e 2 2 ( k + ) ( k + ) ( k + ) ( k + ) e ( k ) ( k + + ) ( k + )
7 Kren k β I mk diperoleh β I + Ro β ( Ro ) + β Jdi, lm ken setimbng, mk rt rt lm infeksi lh + k Ro Dftr Pustk Diekmnn, O nd Heesterbeek, JAP, 2, Mthemticl Epidemology of Infectious Diseses: Model Building, Anlysis nd Interprettion, John Wiley, New York