BARISAN DAN DERET ARITMETIKA Barisan Aritmetika a. Pengertian Barisan Aritmetika Untuk memahami pengertian barisan aritmetika, perhatikan barisan bilangan pada penggaris yang dimiliki Amir berikut ini. 0, 1, 2, 3,, 19, 20 Suku pertama barisan di atas adalah U 1 = 0 dan dapat dilihat bahwa tiap suku dari barisan tersebut bertambah 1 dari suku sebelumnya. Dengan demikian pada barisan tersebut selisih dua suku yang berurutan selalu sama, yaitu +1. Jenis barisan tersebut secara khusus disebut barisan aritmetika. Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih tiap dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Selanjutnya selisih dua suku yang berurutan tersebut disebut beda dan disimbolkan dengan b. Barisan aritmetika di atas memiliki beda b = 1 0 = 2 1 = 3 2 = = 20 19 = 1 Secara umum, Pada barisan aritmetika U 1, U 2, U 3,, U n-1, U n mempunyai beda, b = U 2 U 1 = U 3 U 2 = = U n U n-1 CONTOH 1 Tunjukkan bahwa barisan berikut merupakan barisan aritmetika! a. 14, 17, 20, 23, b. 40, 35, 30, 25, c. x, x + 3, x + 6, x + 9, Jawab : Untuk masing-masing barisan di atas tentukan nilai beda terlebih dahulu, a. Dari barisan 14, 17, 20, 23, diperoleh U 2 U 1 = 17 4 = 3 U 3 U 2 = 20 17 = 3 Karena barisan tersebut mempunyai beda yang tetap, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika. b. Dari barisan 40, 35, 30, 25, diperoleh U 2 U 1 = 35 40 = 5 U 3 U 2 = 30 35 = 5 Karena barisan tersebut mempunyai beda yang tetap, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika. c. Dari barisan x, x + 3, x + 6, x + 9, diperoleh U 2 U 1 = x + 3 x = 3 U 3 U 2 = x + 6 x + 3 = 3 Karena barisan tersebut mempunyai beda yang tetap, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika. 1
b. Rumus Suku ke-n Misalnya suku pertama dari suatu barisan aritmetika adalah a dan bedanya adalah b, maka berdasarkan definisi barisan aritmetika yang mempunyai beda tetap, diperoleh U 1 = a U 2 U 1 = b U 3 U 2 = b U 4 U 3 = b U 5 U 4 = b U n U n-1 = b U 2 = U 1 + b U 2 = a + b U 3 = U 2 + b U 3 = (a + b) + b U 3 = a + 2b U 4 = U 3 + b U 4 = (a + 2b) + b U 4 = a + 3b U 5 = U 4 + b U 5 = (a + 3b) + b U 5 = a + 4b U n = U n-1 + b U n = a + (n -1) b Dari pola di atas diperoleh bahwa barisan aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b dapat dituliskan sebagai: a, a + b, a + 2b, a + 3b,, a + (n -1) b, Rumus suku ke n dari barisan aritmetika yang mempunyai suku pertama a dan beda b adalah U n = a + (n -1) b CONTOH 2 Diketahui barisan aritmetika 1, 7, 13, 19, a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut! b. Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 115? a. Dari barisan aritmetika 1, 7, 13, 19, diperoleh a = 1 b = 7 1 = 6 U n = a + (n 1) b U 10 = 1 + (10 1) 6 = 1 + 9. 6 = 55 U n = a + (n 1) b = 1 + (n 1) 6 = 1 + 6n 6 = 6n 5 2
b. Misalnya 115 merupakan suku ke-n barisan tersebut, maka berlaku U n = 115 6n 5 = 115 6n = 120 n = 20 Jadi, dalam barisan tersebut 115 adalah suku ke-20 CONTOH 3 Pada suatu barisan aritmetika diketahui bahwa suku ke-4 adalah 18 dan suku ke-10 adalah 48. a. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut! b. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut! a. Dengan menggunakan rumus suku ke-n, U n = a + (n 1) b diperoleh U 4 = 18 a + 3b = 18 (1) eliminasi U 10 = 48 a + 9b = 48 (2) diperoleh a + 3b = 18 a + 9b = 48-6b = -30 b = 5 Subtitusikan b = 5 ke persamaan (1), diperoleh a + 3b = 18 a + 3.5 = 18 a + 15 = 18 a = 3 Jadi barisan tersebut mempunyai suku pertama a = 3 dan beda b = 5. b. Berdasarkan hasil (a) diperoleh U n = a + (n 1) b = 3 + (n 1) 5 = 3 + 5n 5 = 5n 2 c. Suku Tengah Perhatikan barisan bilangan berikut! 1, 5, 9, 13, 17 Banyaknya suku pada barisan di atas merupakan bilangan ganjil yaitu 5. Jika banyak suku suatu barisan aritmetika adalah bilangan ganjil yang lebih dari satu, maka terdapat suku yang berada di tengah (suku di tengah). Suku tengah tersebut disimbolkan dengan U t. Pada barisan di atas mempunyai suku tengah U t = U 3 = 9. CONTOH 4 Tentukan suku tengah dari barisan aritmetika 5, 8, 11, 14,, 77. 3
Barisan aritmetika tersebut mempunyai suku pertama a = 5 dan beda b = 3. Untuk mengetahui suku tengah, terlebih dahulu tentukan banyaknya suku barisan tersebut U n = 77 a + (n 1) b = 77 5 + (n 1) 3 = 77 5 + 3n 3 = 77 3n 2 = 77 3n = 75 n = 25 Dengan demikian suku tengah barisan tersebut adalah suku ke- (25 + 1) = 13 Jadi, nilai suku tengah barisan tersebut adalah U t = U 13 U t = a + (13 1) b = 5 + 12. 3 = 5 + 36 = 41 Rumus umum untuk menentukan suku tengah barisan aritmetika dapat dianalogikan dengan contoh sederhana seperti di atas. Misalnya,,,, adalah barisan aritmetika dengan banyaknya suku bilangan ganjil lebih dari satu, maka suku tengah barisan tersebut adalah Jika rumus tersebut digunakan untuk Contoh 4, maka suku tengah dari barisan aritmetika 5, 8, 11, 14,..., 17 adalah = = = 41 CONTOH 5 Jika 13, x, 25, y, merupakan barisan aritmetika, tentukan nilai x dan y. a. Dengan memperhatikan barisan aritmetika 13, x, 25 dan dengan menggunakan rumus suku tengah barisan aritmetika, maka diperoleh b. Dengan memperhatikan barisan aritmetika x, 25, y dan dengan menggunakan rumus suku tengah barisan aritmetika, maka diperoleh 25 =, dengan mensubtitusikan x = 19, maka 50 = 19 + y y = 31 4
d. Sisipan Pada suatu barisan aritmetika dapat disisipan beberapa bilangan antara tiap dua suku yang berurutan, sehingga bilangan semula bersama-sama dengan bilangan yang disisipkan tersebut membentuk barisan aritmetika baru. Misalnya : Pada barisan 2, 11, 20 disisipkan 2 buah bilangan antara tiap dua suku yang berurutan sehingga membentuk barisan aritmetika baru Barisan aritmetika semula 2, 11, 20???? Barisan aritmetika baru 2,,, 11,,, 20 Perhatikan bahwa suku pertama barisan aritmetika yang baru sama dengan suku pertama barisan semula, yaitu a = 2, sedangkan suku ke-4 adalah 11, sehingga U 4 = 11 a + (4 1) b = 11 ( b menyatakan beda barisan yang baru) 2 + 3b = 11 3b = 9 b = 3 Jadi, barisan aritmetika yang baru adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 Dengan analogi cara di atas diperoleh, Jika antara dua suku yang berurutan dari suatu barisan aritmetika disisipkan k buah bilangan, sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, maka berlaku b = dengan b adalah beda barisan aritmetika baru b adalah beda barisan aritmetika semula k adalah banyaknya bilangan yang disisipkan CONTOH 5 Diketahui barisan aritmetika 3, 19, 35, dan antara tiap dua suku yang berurutan disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru a. Tentukan beda barisan aritmetika baru! b. Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmetika baru! a. Dari barisan aritmetika 3, 19, 35, diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 19 3 = 16 Dengan menggunakan rumus sisipan untuk k = 3, maka diperoleh b = b = b = 4 Jadi, beda barisan aritmetika baru adalah 4. 5
b. Suku ke-10 barisan aritmetika yang baru ditentukan dengan rumus U 10 = a + (10 1) b = 3 + 9. 4 = 39 Jadi, suku ke-10 barisan aritmetika baru adalah 39. Deret Aritmetika Sebelumnya telah dipelajari tentang barisan bilangan aritmetika dan sekarang akan dipelajari tentang jumlah dari bilangan-bilangan tersebut. Sebagai contoh, jika ingin mengetahui berapa jumlah bilangan pada penggaris Amir, maka kita jumlahkan saja bilangan-bilangan pada barisan tersebut yaitu: 0 + 1 + 2 + 3 + + 20 Nilai peenjumlahan deret aritmetika di atas dapat dihitung dengan menggunakan rumus yang akan diturunkan berikut ini Misal U 1, U 2, U 3,, U n adalah suku-suku suatu barisan, maka deret yang bersesuaian dengan barisan tersebut adalah U 1 + U 2 + U 3 + + U n. Penjumlahan tersebut disimbolkan dengan S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U n. Untuk menentukan rumus S n, nyatakan S n kedalam dua cara : a. Misalnya suku pertama barisan aritmetika adalah a dan beda b serta suku ke-n adalah U n, maka S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U n-2 + U n-1 + U n S n = a + (a + b) + (a +2b) + + (U n 2b) + (U n b) + U n (1) b. Dengan menuliskan S n tersebut dengan urutan terbalik dari penjumlahan suku terakhir U n sampai suku pertama a, diperoleh S n = (U n 2b) + (U n b) + U n + + (a + b) + (a +2b) + a (2) Jumlahkan persamaan (1) dan (2), maka diperoleh S n = a + (a + b) + (a +2b) + + (U n 2b) + (U n b) + U n S n = (U n 2b) + (U n b) + U n + + (a + b) + (a +2b) + a + 2 S n = (a + U n ) + (a + U n ) + (a + U n ) + + (a + U n ) + (a + U n ) + (a + U n ) 2 S n = n (a + U n ) n suku S n = (a + U n ) dengan mengganti U n = a + (n 1) b, maka diperoleh S n = (a + a + (n 1) b) S n = (2a + (n 1) b) 6
Dari hasil tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Jika U 1, U 2, U 3,, U n adalah barisan aritmetika, maka jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah S n = (a + U n ) atau S n = (2a + (n 1) b) dengan U n adalah suku ke-n a adalah suku pertama, dan b adalah beda Dari pengertian jumlah n suku pertama barisan aritmetika diperoleh sifat berikut ini S n-1 = U 1 + U 2 + U 3 + + U n S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U n-1 + U n, sehingga S n = S n-1 + U n U n = S n S n-1 Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut, Jika U n adalah suku ke-n suatu barisan aritmetika dan S n adalah jumlah n suku pertama barisan tersebut, maka berlaku U n = S n S n-1 CONTOH 6 Diketahui deret aritmetika 2 + 6 + 10 + 14 + a. Tentukan rumus jumlah n suku pertama! b. Tentukan jumlah 20 suku pertama Dari deret tersebut diperoleh suku pertama a = 2 dan beda b = 6 2 = 4 a. Rumus jumlah n suku pertama adalah S n = (2a + (n 1) b) = (2. 2 + (n 1) 4) = (4 + 4n 4) = (4n) = 2n 2 b. Jumlah 20 suku pertama adalah S n = 2n 2 S 20 = 2 (20) 2 S 20 = 800 7
CONTOH 7 Hitunglah nilai dari deret aritmetika 1 + 3 + 5 + + 153 Dari deret di atas diperoleh suku pertama a = 1 dan beda b = 3 1 = 2, dan suku ke-n adalah U n = 153. Banyaknya suku deret tersebut dicari dengan cara sebagai berikut. U n = 153 a + (n 1) b = 153 1 + (n 1) 2 = 153 1 + 2n 2 = 153 2n 1 = 153 2n = 154 n = 77 Jumlah 77 suku pertamanya adalah S n = (a + U n ) S 77 = (1 + 153) = (154) = 77. 77 = 5929 Jadi jumlah deret tersebut adalah 5929 8