TAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER STEVANI WIJAYA Y

TAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER STEVANI WIJAYA 030501061Y UNIVERSITAS INDONESIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA DEPOK 009 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

TAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER Skrps dajuka sebaga salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sas Oleh: STEVANI WIJAYA 030501061Y DEPOK 009 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

SKRIPSI : TAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER NAMA NPM : STEVANI WIJAYA : 030501061Y SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI DEPOK, JULI 009 Dra. RIANTI SETIADI, M.S. PEMBIMBING I Dra. SASKYA MARY, M.S. PEMBIMBING II Taggal lulus Uja Sdag Sarjaa: Peguj I : Peguj II : Peguj III : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

KATA PENGANTAR Puj syukur kepada Tuha atas segala rahmat, berkat da kekuata yag telah dberka sehgga peuls dapat meyelesaka tugas akhr. Peyelesaa tugas akhr tdak terlepas dar dukuga da doa dar berbaga phak. Oleh karea tu, peuls g meyampaka terma kash kepada berbaga phak sebaga berkut : 1. Keluarga tercta, papa, mama, ce Kaka, Ade da Kag yag telah memberka segala betuk dukuga, doa da motvas utuk terus tetap bertaha dalam meghadap segala masalah yag dhadap saat meyelesaka tugas akhr. Maaf atas segala keluh kesah peuls.. Pembmbg tugas akhr peuls, Dra. Rat Setad, M.S da Dra. Saskya Mary, M.S yag telah meyedaka bayak waktu, teaga, pkra serta dukuga metal kepada peuls. U re the best!!! 3. Pembmbg akademk peuls, Ibu Rusta, para dose serta staf Departeme Matematka UI yag telah membatu selama kulah. 4. Sahabat-sahabat peuls, Jesse O, Mara W, Clara Vaa, Prsklla Pratta, Alberta (Me), Martus P, Had GS, Adrea P, Dael H, Gayatr, Ccla, Sherly N, Mara Theodora, karea kala peuls bertaha sampa akhr. Terma kash telah medegar semua keluh kesah peuls, member kekuata da keyaka. (Gaya : Apapu yag terjad, tu recaa Da!) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

5. Tema-tema seperjuaga yag megambl skrps, Wakhdah, Mayramada, Amr, Khuryat, Shta, Rath, Rzky, Rfky, Resa, Syarah, Maul, Uu, k If. Temaz, perjuaga kta tdak sa-sa.. :p 6. Romo Markus Yumartaa, Damaus Frtz, Irwato atas kekuata, asehat, motvas da keyaka yag dberka. (Rm Yu : Mazmur 16:5, kak Frtz : kamu tdak sedr dek, bayak yag medoakamu!) 7. Theja Salm da Poco Rdwa atas sara da batua yag telah dberka. (k Theja : bukuya bear membatu..thx a lot). 8. Semua Keluarga Mahasswa Katolk FMIPA UI, Aggha, Ie, Nteph, Rat, Pagky, da yag laya yag tdak dapat dsebutka semuaya yag telah memberka doa da semagat. 9. Tema-tema agkata 005, Rata, Melat, Rasa, Nsma, Othe, Mrat, Ra, Fka, Agge, Akmal, Agge, Wcha, Da, Puj, Shally, Gyo, Pute, A, Rf ah, Rara, Yau, Merry, Yu, Fa, Da, Ma, Hamda, Asep, Tra, Rdwa, Ars, Haru. Thx atas smuaya. 10. Semua phak yag telah membatu amu tdak dsebutka satu persatu karea keterbatasa tempat. Peuls meyadar bahwa skrps mash jauh dar sempura, akhr kata peuls megucapka bayak maaf atas semua kesalaha, semoga tugas akhr dapat bermafaat bag bayak orag. Depok, Jul 009 Peuls Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

ABSTRAK Dalam aalss data, saat data mempuya outler da outler yag ada buka merupaka suatu kesalaha, taksra parameter yag dperoleh dega metode Ordary Least Square (OLS) aka bas karea metode OLS tdak robust terhadap adaya outler. Oleh karea tu, dcar metode la yag robust terhadap adaya outler, salah satuya alah metode regres robust dega megguaka fugs Huber. Pada skrps aka dbahas megea taksra parameter pada model regres robust sederhaa da bergada dega megguaka fugs Huber. Sela tu, aka dbadgka atara taksra parameter model regres robust dega megguaka fugs Huber da taksra parameter yag ddapat dega metode OLS dlhat dar la effses taksra parameter. Hasl yag dperoleh dar cotoh peerapa meujukka bahwa utuk data ada outler taksra parameter yag dperoleh dega metode regres robust dega fugs Huber lebh effse dbadgka metode OLS, sedagka utuk data tapa outler taksra parameter yag dperoleh dega metode OLS lebh effse dbadgka metode regres robust dega fugs Huber. Kata Kuc : effse, fugs Huber, metode OLS, outler, regres robust x + 100 hlm.; lamp.; tab. Bblograf : 13 (1980-008) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

DAFTAR ISI Halama KATA PENGANTAR... ABSTRAK... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... v v v x BAB I. PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakag... 1 1. Perumusa masalah... 3 1.3 Tujua Peulsa... 3 1.4 Pembatasa masalah... 4 1.5 Sstematka peulsa... 4 BAB II. LANDASAN TEORI... 6.1 Regres Ler Sederhaa... 6.1.1 Model Regres Ler Umum... 6.1. Estmas Parameter Model... 7.1.3 Ekspektas da Varas dar Taksra Parameter dega Metode OLS... 9 v Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

v. Regres Ler Bergada... 1..1 Model Regres Ler Umum... 1.. Estmas Parameter Model... 14..3 Ekspektas da Varas dar Taksra Parameter dega Metode OLS... 16.3 Idetfkas Outler utuk Regres Ler Sederhaa da Bergada... 18.4 MADN (Normalzed Meda Absolute Devato)... 7.5 Taksra Huber.... 8 BAB III. PENAKSIRAN PARAMETER PADA REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER... 40 3.1. Peaksra Parameter pada Model Regres robust Sederhaa dega Megguaka Fugs Huber... 40 3.. Peaksra Parameter pada Model Regres robust Bergada dega Megguaka Fugs Huber... 47 3.3. Effses Taksra Parameter pada Regres Robust Dega Megguaka Fugs Huber da Metode OLS.. 53 BAB IV. CONTOH PENERAPAN... 57 4.1 Kasus Data yag Megadug Outler... 57 4.1.1 Data... 57 4.1. Aalss Data... 58 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

v 4. Kasus Data Tapa Outler... 65 4..1 Data... 65 4.. Aalss Data... 65 BAB V. PENUTUP... 70 5.1 Kesmpula... 70 5. Sara... 71 DAFTAR PUSTAKA... 7 LAMPIRAN... 74 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

DAFTAR GAMBAR Gambar Halama 1. Plot fugs pegaruh Huber... 37. Plot resdual metode regres robust dega megguaka fugs Huber dar setap observas... 64 3. Plot besarya bobot yag dberka pada setap observas. 65 v Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

DAFTAR TABEL Tabel Halama 1. Nla taksra parameter da stadar error dar metode OLS saat data ada outler... 61. Nla taksra parameter da stadar error metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data ada outler..... 61 3. Nla varas taksra parameter dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data ada outler...... 6 4. Nla taksra parameter da stadar error dar metode OLS saat data tapa outler.... 68 5. Nla taksra parameter da stadar error metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data tapa outler... 68 6. Nla varas taksra parameter dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data tapa outler... 69 7. Deteks outler utuk data pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat saat data ada outler... 88 8. Deteks outler utuk data pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat saat data tapa outler... 96 v Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

DAFTAR LAMPIRAN Lampra Halama 1. Membuktka taksra parameter pada model regres ler sederhaa dega metode OLS... 75. Data yag dguaka pada cotoh peerapa 4.1, yatu data megadug outler... 77 3. Output S-PLUS 000 Professoal Release dar cotoh peerapa 4.1, yatu data megadug outler... 81 4. Data yag dguaka pada cotoh peerapa 4., yatu data tapa outler... 83 5. Output S-PLUS 000 Professoal Release dar cotoh peerapa 4., yatu data tapa outler... 86 x Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Utuk melhat hubuga fugsoal atara varabel depede (varabel terkat) da varabel depede (varabel bebas) basaya dguaka model regres. Salah satu cara utuk meaksr parameter pada model regres yag serg dguaka adalah dega metode Ordary Least Square (OLS) yag memmumka jumlah kuadrat error. Karea taksra dega metode OLS dcar berdasarka jumlah kuadrat error, maka adaya outler aka meyebabka taksra parameter yag ddapat mejad bas. Yag dmaksud dega outler d s adalah suatu observas yag meympag jauh dar hubuga lear yag dbetuk oleh mayortas dar data. Dalam hal varabel depede da varabel depede dperhtugka secara smulta. Pada aalss regres ler dega metode OLS, outler dcar berdasarka suatu besara yag dhtug dar data. Ada bayak cara utuk medapatka besara tersebut sepert telah dbahas dalam bayak tulsa tetag model regres. Setelah outler dtemuka maka outler tersebut dkeluarka dar aalss da kemuda taksra parameter dcar dega metode OLS berdasarka data tapa outler. Hal tdak bermasalah jka outler berasal dar suatu kesalaha. Aka tetap, jka 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

outler buka berasal dar kesalaha, tdaka megeluarka outler dar aalss buka merupaka tdaka yag tepat karea outler dapat memberka formas yag justru tdak dberka oleh observas laya. Sela tu megeluarka outler dar aalss dapat membuat taksra parameter yag dperoleh mejad uder-estmate. Salah satu metode utuk megatas masalah outler adalah dega megguaka regres robust. Pada regres robust, taksra yag robust terhadap outler (tdak terpegaruh oleh adaya outler) aka dcar sehgga outler yag ada tdak perlu dkeluarka dar aalss. Ada beberapa cara utuk medapatka taksra yag robust terhadap outler, salah satuya adalah taksra robust dega megguaka fugs Huber. Pada prspya, metode peaksra dega megguaka fugs Huber aka mecar taksra parameter dega memmumka total fugs dar error. Pada tugas akhr, peuls aka membahas tetag taksra parameter pada model regres robust dega megguaka fugs Huber. Bahasa aka mecakup tetag bagamaa mecar taksra parameter pada model regres robust dega megguaka fugs Huber, bak pada model regres robust sederhaa maupu pada model regres robust bergada. Dega cotoh data, taksra parameter yag ddapat dega metode regres robust dega megguaka fugs Huber aka dbadgka dega taksra parameter yag ddapat dega megguaka metode OLS berdasarka la effses dar taksra yag ddapat. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

3 1. Perumusa Masalah 1. Bagamaa mecar taksra parameter pada model regres robust sederhaa dega megguaka fugs Huber?. Bagamaa mecar taksra parameter pada model regres robust bergada dega megguaka fugs Huber? 3. Bagamaa perbadga atara taksra parameter model regres robust dega fugs Huber da taksra parameter yag ddapat dega metode OLS dlhat dar efses dar taksra parameter? 1.3 Tujua Peulsa 1. Mecar taksra parameter pada model regres robust sederhaa dega megguaka fugs Huber. Mecar taksra parameter pada model regres robust bergada dega megguaka fugs Huber 3. Membadgka atara taksra parameter model regres robust dega fugs Huber da taksra parameter yag ddapat dega metode OLS dlhat dar la effses dar taksra parameter Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

4 1.4 Pembatasa Masalah Permasalaha dalam tulsa haya dbatas pada peaksra parameter da tdak dlakuka peguja model. 1.5 Sstematka Peulsa Bab I. Pedahulua Latar belakag masalah Perumusa masalah Tujua peulsa Pembatasa masalah Sstematka peulsa Bab II. Ladasa Teor Regres er sederhaa Regres ler bergada Idetfkas outler utuk regres ler sederhaa da regres ler bergada MADN (Normalzed Meda Absolute Devato) Taksra Huber Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

5 Bab III. Peaksra parameter pada model regres robust dega megguaka fugs Huber Peaksra parameter pada model regres robust sederhaa dega megguaka fugs Huber Peaksra parameter pada model regres robust bergada dega megguaka fugs Huber Effses taksra parameter dega metode regres robust dega megguaka fugs Huber da metode OLS Bab IV. Cotoh Peerapa Data Deteks outler Mecar taksra parameter dega metode OLS yag megkutka data outler da dega metode regres robust yag juga megkutka outler. Membadgka kedua taksra berdasarka effses dar taksra yag dperoleh Bab V. Peutup Kesmpula Sara Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

BAB II LANDASAN TEORI.1 Regres Ler Sederhaa.1.1 Model Regres Ler Umum Model regres dguaka utuk melhat hubuga fugsoal atara varabel depede (varabel terkat) da varabel depede (varabel bebas). Jka hubuga atara varabel depede dega varabel depede ler da haya ada satu varabel depede pada model regres, maka model regres dsebut model regres ler sederhaa. Betuk model regres ler sederhaa sepert berkut : y x (.1.1) 0 1 Dmaa : y = varabel depede x = varabel depede j = parameter model regres yag tdak dketahu laya, j=0,1, yatu 0 merupaka tercept-y da 1 merupaka slope (kemrga) gars = radom error 6 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

7 Dalam aalss regres terdapat beberapa asums dar error yag harus terpeuh agar taksra parameter yag dperoleh BLUE (Best Ler Ubased Estmator). Asums-asums error atara la 1. Kompoe error mempuya mea ol. Kompoe error mempuya varas kosta homoskedaststas atau dsebut 3. Error tdak berkorelas atau corr(, ) 0, j j 4. Error berdstrbus ormal.1. Estmas Parameter Model Salah satu metode yag dguaka utuk meaksr parameter dalam model regres adalah metode Ordary Least Square (OLS). Prsp dar metode OLS adalah memmumka jumlah kuadrat error. Jumlah kuadrat error damaka fugs least square da dyataka sebaga berkut : S 0 1, 1 1 y x 0 1 (.1.) dmaa y = la varabel depede utuk observas ke- Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

8 x = la varabel depede utuk observas ke- Taksra least square dar 0 da 1 dperoleh dega memmumka fugs least square, S 0 1 terhadap 0 da 1, yatu S ˆ ˆ y 0 1x 0 (.1.3) 0 ˆ ˆ 1 0, 1 da S ˆ ˆ y 0 1x x 0 (.1.4) 1 ˆ ˆ 1 0, 1 Peyederhaaa dar persamaa (.1.3) da (.1.4) sepert berkut 0 1 (.1.5) 1 1 ˆ ˆ x y ˆ 0 x ˆ 1 x y x 1 1 1 (.1.6) Solus dar persamaa (.1.5) da (.1.6) adalah ˆ y ˆ x (.1.7) 0 1 ˆ Sxy 1 (.1.8) S xx Pembukta taksra parameter 0 da 1 dapat dlhat pada lampra 1. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

9 y x 1 1 dmaa S y x y x x xy 1 1 x S x x x 1 xx 1 1.1.3 Ekspektas da Varas dar Taksra Parameter Metode OLS 1. Nla ekspektas taksra parameter dega metode OLS Taksra utuk 1 yatu ˆ 1, dapat dyataka dalam betuk kombas ler dar observas y, yatu ˆ S xy 1 cy (.1.9) S xx 1 dmaa c x x S xx utuk = 1,,,. Sebelum meujukka bahwa ˆ 1 merupaka taksra yag tak bas utuk 1, terlebh dahulu dtujukka bahwa c 0 da 1 cx 1. 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

10 x x x x x x 0 (.1.10) 1 1 1 1 c 1 Sxx Sxx Sxx x 1 x x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 cx 1 Sxx Sxx Sxx Sxx 1 (.1.11) Sekarag aka dtujukka bahwa ˆ 1 merupaka taksra yag tak bas utuk 1. ˆ E 1 E cy 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 c E y c x c c x Hal datas dapat dpeuh karea E 0 (berdasarka asums error), da berdasarka (.1.10) serta (.1.11). Jad, karea E ˆ maka ˆ 1 merupaka taksra yag tak bas utuk 1., 1 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

11 Selajutya aka dtujukka bahwa ˆ 0 juga merupaka taksra yag tak bas utuk 0. Jad, karea E ˆ utuk 0. 0 0 ˆ 0 ˆ 1 E y E ˆ 1x E E y x 1 E y ˆ xe 1 1 1 0 1x x1 0 1 x x 1 1 0 1 1, maka ˆ 0 merupaka taksra yag tak bas. Varas taksra parameter dega metode OLS Varas dar ˆ 1 sebaga berkut var y var ˆ karea 1 var cy 1 var c y c y... c y 1 1 c var y c var y... c var y 1 1, sehgga var ˆ 1 mejad Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

1 ˆ 1 c1 c c var... 1 S xx c Jad, var ˆ 1. S xx Varas dar ˆ 0 sebaga berkut Jad, var ˆ 0 var 1 x S ˆ 0 var y ˆ 1x var y x var ˆ 1 x cov y, ˆ 1 xx. x 0 S 1 x S xx xx. Regres Ler Bergada..1 Model Regres Ler Umum Pada model regres ler, dapat djumpa varabel depede yag lebh dar satu. Kods sepert dalam model regres dsebut model regres Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

13 ler bergada. Ilustras data dar regres ler bergada dega y sebaga varabel depede, x,..., 1, x xk varabel depede da observas, yatu Pegamata y x x x 1 k 1 y x x x 1 11 1 1k y x x x 1 k y x x x 1 k Betuk model regres ler bergada sebaga berkut : y x... x 0 1 1 k k x, 1,,..., 0 k j1 j j (..1) Model regres ler bergada datas dapat djabarka sepert : y x x... x 1 0 1 11 1 k 1k 1 y x x... x 0 1 1 k k y x x... x 0 1 1 k k (..) Sebut y1 1 x11 x1 x1 k 0 1 y 1 x1 x x k 1, y X, y 1 x x x 1 k k Sehgga model (..) dapat dtuls sebaga : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

14 y1 1 x11 x1 x1 k 0 1 y 1 x1 x x k 1 y 1 x x x 1 k k (..3) Dalam betuk matrks model regres ler bergada sepert berkut : yx (..4) Dega y = vektor kolom dar varabel depede yag berukura x 1 X = matrks dar varabel depede yag berukura x p, dega p = k + 1 = vektor kolom dar parameter regres yag berukura p x 1 = vektor kolom dar error yag berukura x 1, NID( 0, ).. Estmas Parameter Model Sama halya dega regres ler sederhaa, estmas parameter dalam model regres ler bergada juga dapat dperoleh dega metode OLS. Fugs least square utuk model regres ler bergada sebaga berkut : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

15 S(,,..., ) 0 1 k 1 ( y x ) 0 j j 1 j1 k (..5) dmaa y = la varabel depede utuk observas ke- x j = la observas ke- dar varabel x j, dega > k, =1,,,k Taksra least square dar, 1,..., k ddapat dega memmumka fugs least square S( 0, 1,..., k ) terhadap parameter-parameter pada model regres. S ( y ˆ ˆ x ) 0 0 j j 0 ˆ ˆ ˆ 1 1 0, 1,..., j k k (..6) S ( y ˆ ˆ x ) x 0, j 1,,..., k 0 j j j j ˆ ˆ ˆ 1 j1 0, 1,..., k k (..7) Persamaa (..6) da (..7) duraka, sehgga dperoleh persamaa sepert dbawah 0 1 1... k k 1 1 1 1 (..8) ˆ ˆ x ˆ x ˆ x y 0 x 1 1 x 1 x 1x... k x 1xk x 1y 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 xk 1 xk x 1 x 1x... k xk xk y 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ (..9) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

16 Dalam betuk matrks dapat dtuls sebaga berkut : S( ) 1 T T ( y X) ( y X) T T T T T T y y X y y X X X (..10) dmaa T = traspose dar. Karea 1 x 1 da traspos dar X y T maka T T T T T Xy merupaka matrks berukura y X juga merupaka skalar yag sama, T T T T T S( ) y y X y X X (..11) S ˆ T T X y X Xˆ 0 T ˆ T X X X y (..1) Jka matrks X T X vertble, maka dperoleh taksra least square utuk, yatu 1 ˆ T T X X X y (..13)..3 Ekspektas da Matrks Kovaras dar Taksra Parameter dega Metode OLS 1. Nla ekspektas taksra parameter dega metode OLS Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

17 E( ˆ ) ( ) T 1 T E X X X y ( ) T 1 T X X X E y ( ) T 1 T X X X E X T 1 T ( X X) X X E( ) = (..14) karea E() 0 da T 1 T ( ) = X X X X I. Jad, karea E( ˆ ), maka ˆ merupaka taksra yag tak bas utuk.. Matrks kovaras utuk ˆ cov( ˆ ) E ˆ E( ˆ ) ˆ E( ˆ ) ˆ ˆ T E T (..15) Substtuska persamaa yx kedalam persamaa (..13), sehgga dperoleh ˆ T 1 T X X X y T 1 T X X X ( X) T 1 T X X X T 1 T T 1 T X X X X X X X (..16) Substtuska hasl dar persamaa (..16) ke persamaa (..15), ddapat Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

18 ˆ 1 1 T cov( ˆ T T T T ) E X X X X X X T T T T X X X XX X 1 1 E T T T T X X X E( ) XX X T 1 T T 1 X X X IXX X T 1 XX 1 1 T Jad, cov( ) XX 1 T. Jka C XX 1 ˆ C da cov ˆ, ˆ var j jj C j j T eleme dagoal ke-j dar 1 XX., maka, dmaa C jj merupaka.3 Idetfkas Outler utuk Regres Ler Sederhaa da Bergada Outler merupaka suatu observas yag meympag jauh dar hubuga ler yag dbetuk oleh mayortas dar data. Ada beberapa cara utuk megdetfkas outler dalam aalss regres, atara la leverage, scaled resduals, DFFITS, DFBETAS, da Cook s Dstace. 1. Leverage Besarya pegaruh suatu observas terhadap besarya taksra parameter atara la dapat dlhat dar jarak la x terhadap pusat la x semua observas. Suatu observas yag mempuya la x yag jauh dar pusat la x dapat berpegaruh kuat dalam aalss regres. Karea tu, la x yag jauh dar pusat Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

19 perlu ddeteks, salah satuya dega eleme dagoal dar hat matrks. Msal x1, x,..., x varabel depede, bayakya T observas. Sebut x x, x,..., x sebaga 1 k. Hat matrks ddefska T 1 T H = X X X X (.3.1) Eleme ke- pada dagoal dar hat matrks, sebut h, dapat dperoleh dar h = x ( X X) x (.3.) T T -1 h meyataka jarak dar x ke pusat la x dar semua observas. h dsebut leverage dar observas ke-. Utuk regres ler sederhaa, h dapat drumuska sebaga h 1 x x (.3.3) S xx Dapat dtujukka bahwa 1 h p, dmaa p merupaka bayakya parameter dalam persamaa regres termasuk tercept. Rata-rata dar h, sebut h p. Nla h dkataka besar jka laya lebh dar dua kal rata-rata la h, yatu Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

0 h p (Hoagl&Welsch 1978). Pada regres ler sederhaa, p=, maka observas berpotes sebaga outler jka h 4. Jka h besar, maka jarak x terhadap pusat x besar, sehgga observas ke- merupaka outler.. Scaled Resdual Scaled resdual merupaka resdual yag laya telah dstadarka. Ukura yag dperoleh dar scaled resdual aka terbebas dar skala, sehgga dapat dpaka utuk meetuka apakah observas merupaka outler atau buka berdasarka la scaled resduals. Ada beberapa ukura dar scaled resdual, atara la Stadardzed Resduals, Studetzed Resduals, PRESS Resduals, da R-studet. a) Stadardzed Resduals Varas resdual dtaksr dega MSE. Stadardzed Resduals dar observas ke- ddefska sebaga : e d, 1,,..., (.3.4) MSE dmaa e = resdual observas ke- MSE 1 e e p Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

1 Utuk regres ler sederhaa, MSE 1 e e. Suatu observas berpotes sebaga outler jka mempuya stadardzed redsuals d >. b) Studetzed Resduals Megguaka MSE sebaga taksra varas dar resdual ke-, e, haya merupaka suatu pedekata. Exact varas resdual adalah var e 1 h dkareaka. Hal T e I H y dmaa 1 e I H X X HX I H T H = X X X X, T 1 T X X X X X X I H IH Sedemka sehgga var var karea e var I H I I H var I H IH Jad, dperoleh var e 1 h da I Hsmetrs da dempotet.. Studetzed Resduals ddefska sebaga T e r MSE 1, h 1,,..., (.3.5) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

Dar rumus (.3.5), terlhat bahwa r berpegaruh pada h. Jka h besar (berpotes sebaga outler), maka r juga besar. Suatu observas dkataka berpotesal sebaga outler jka mempuya studetzed resduals r >. Jad, r dapat dguaka utuk medeteks outler secara smulta. c) PRESS Resduals (deleted resduals) Pedekata PRESS resdual dalam melhat observas yag merupaka outler berbeda dega stadardzed resduals da studetzed resduals. PRESS resduals melhat selsh atara la observas ke-i, y dega la taksra y yag ddapat dar model tapa meyertaka observas ke-. PRESS resduals ddefska sebaga : e y y ˆ, 1,,..., (.3.6) Dmaa y = la observas ke- y ˆ = la taksra yag ddapat dar model dega megeluarka observas ke- PRESS resduals dapat juga dtulska dalam betuk e e (.3.7) 1 h Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

3 (Motgomery, Peck&Vg 001). Dar persamaa (.3.7), terlhat bahwa la e () juga tergatug pada h, sehgga dega semak besarya h, yag megdkaska bahwa observas tersebut berpotes sebaga outler, maka la e () yag dperoleh juga semak besar. Oleh karea tu, PRESS resduals dapat dguaka utuk medeteks outler yag terjad secara smulta. d) R-studet Perhtuga R-studet meyerupa studetzed resduals, aka tetap varas resdual yag dguaka utuk R-studet memperhtugka saat observas ke- dkeluarka dar pegamata, sehgga varas resdual dtaksr dega S (), yatu S () e p MSE 1 h p1 (.3.8) R-studet ddefska sebaga e t, 1,,..., S 1 h () (.3.9) Terlhat dar persamaa (.3.9), R-studet juga dapat dguaka utuk melhat dkas outler secara smulta, karea t juga bergatug pada la h. Suatu observas Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

4 berpotes sebaga outler jka la t t, p 1 (Motgomery, Peck&Vg 001). 3. DFFITS DFFIT ( dfferece ft) yatu ukura pegaruh dega melhat selsh la taksra dar observas ke- ( y ˆ ) dega la taksra dar observas ke- berdasarka model jka observas ke- dkeluarka dar pegamata ( y ˆ ). Jad, DFFIT dapat dtulska sebaga DFFIT yˆ yˆ. Semak besar selsh atara la y ˆ da y ˆ, maka data ke- semak berpegaruh. DFFITS merupaka DFFIT yag dbag stadar errorya, yatu DFFITS yˆ ˆ y (.3.10) S h () dmaa S = varas sampel dar resdual yag dperoleh dar () model jka observas ke- dkeluarka dar pegamata DFFITS bergatug pada h, sehgga ukura deteks outler dega DFFITS memperhatka la x da y secara smulta. Belsley, Kuh, da Welsch meyataka bahwa suatu Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

5 observas dkataka berpotes sebaga outler jka DFFITS > p, dega meyataka bayakya observas da p meyataka bayakya parameter dalam model. Jka model merupaka regres ler sederhaa, p=, observas berpotes sebaga outler jka DFFITS >. 4. DFBETAS j, DFBETA j, (dfferece Beta) yatu ukura pegaruh dega melhat selsh la taksra koefse regres ke-j, ˆ j dega la taksra koefse regres ke-j saat observas ke- dkeluarka, ˆ j (). Utuk model regres sederhaa, DFBETA 0 merupaka beda tercept da DFBETA 1 merupaka beda slope (kemrga) dar gars regres. Jka selsh ˆ 0 dega ˆ 0( ) besar, maka memperlhatka bahwa observas ke- cukup mempegaruh parameter regres. Demka juga dega 1, jka selsh ˆ 1 dega ˆ 1( ) besar (kemrga yag cukup berbeda atara y ˆ dega y ), maka observas ke- cukup mempegaruh parameter regres. ˆ Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

6 DFBETAS merupaka DFBETA yag dbag dega stadar errorya, yatu DFBETAS j, ˆ ˆ j j() (.3.11) S() Cjj dmaa ˆ j = taksra koefse regres ke-j ˆ j () = taksra koefse regres ke-j saat observas ke- dkeluarka S = varas sampel saat observas ke- dkeluarka () C jj = eleme dagoal ke-j dar (X T X) -1 Belsley, Kuh, da Welsch meyataka bahwa suatu observas dkataka berpegaruh jka DFBETAS j, dega meyataka bayakya observas. 5. Cook s Dstace Cook s dstace merupaka ukura pegaruh observas ke- terhadap semua taksra parameter regres. Cook s dstace ddefska sebaga : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

7 D ˆ ˆ T T ( β ˆ ˆ ( ) ) ( X X)( ( ) ) pmse y yˆ h pmse (1 h ) (.3.1) dmaa ˆ = vektor taksra koefse regres ˆ () = vektor taksra koefse regres tapa observas ke- resdual y Dar rumus datas, Cook s dstace bergatug pada yˆ da leverage h utuk observas ke-. Pegaruh observas dukur oleh jarak D. Nla D besar megdkaska bahwa observas ke- berpotes sebaga outler. Observas dega D >1 sudah dapat dkataka sebaga outler (Motgomery, Peck&Vg 001)..4 MADN (Normalzed Meda Absolute Devato) Msal x1, x,..., x la-la dar sampel radom dar dstrbus yag mempuya mea da varas sebaga berkut :. x dapat dtulska dalam betuk x u 1,,..., (.4.1) Msal u mempuya fugs dstrbus F 1,,..., da 0 u salg bebas. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

8 Ddefska MAD x MAD x x x ( ) 1,,..., med x med x dmaa meda adalah ukura pusat data yag robust terhadap outler. Jka x smetrs, maka med ( x) da berlaku, sehgga dperoleh MAD( x) med x 1 Pr x MAD( x) 1 Pr MAD( x) x MAD( x) MAD( x) x MAD( x) 1 Pr MAD( x) MAD( x) 1 Pr Z Jka Z N0,1, maka ddapat MAD( x) 0.6745. MAD( x) ˆ dsebut Normalzed Meda Absolute Devato (MADN(x)). 0.6745 MADN(x) merupaka taksra yag robust utuk. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

9.5 Taksra Huber Taksra Huber merupaka salah satu taksra yag termasuk dalam M-estmator yag robust terhadap adaya outler. M-estmator dcar berladaska kosep dar taksra maksmum lkelhood yag memaksmumka fugs lkelhood. Msal x1, x,..., x la-la dar sampel radom dar dstrbus yag mempuya mea. x dapat dtulska dalam betuk sebaga berkut : x u 1,,..., (.5.1) Model datas dsebut model lokas. Msal u mempuya fugs dstrbus F 1,,..., da 0 u salg bebas. Observas x1, x,..., x mempuya dstrbus dega fugs dstrbus F ( x ), dega 0 F 0 adalah fugs dstrbus dar u. f F adalah pdf dar u. ' 0 0 Fugs lkelhood dar observas x1, x,..., x adalah 1 0 (.5.) 1 ;,,..., L x x x f x log L ; x1, x,..., x log f0 x 1 1 log f 0 x (.5.3) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

30 MLE dar adalah la yag memaksmumka L x x x yag memaksmumka L x x x log ; 1,,...,. atau la ; 1,,..., ˆ arg max ; 1,,..., Sebut L x x x arg max log L ; x1, x,..., x (.5.4), sehgga f x x Msal log f0 (.5.4) dapat dyataka sebaga :. Oleh karea tu, log 0 x (.5.5) ˆ arg m 1 Perhatka kasus dbawah : 1. Jka F 0 = N(0,1), maka 1 u f0( u) e (.5.6) Karea log f0, maka dperoleh x dapat dtulska sepert berkut : u 1 ( u) log. Jad, x 1 x log (.5.7) Persamaa (.5.5) mejad Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

31 1 1 1 ˆ arg m log ˆ arg m x x (.5.8) Utuk medapatka la yag memmumka 1 x, maka 1 ˆ 0 x dmaa '. Jka ( ) u u, maka ( ) u u, sehgga 1 1 ˆ ˆ 0 x x (.5.9) Persamaa (.5.9) djabarka utuk medapatka la ˆ, yatu 1 1 1 1 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ x x x x Jad, jka F 0 = N(0,1) maka MLE dar adalah x (mea sampel). x tdak robust terhadap outler.. Jka F 0 = double expoetal, maka Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

3 1 f0( u) e u (.5.10) Karea log f0, maka dperoleh u 1 u log, sehgga 1 x x log (.5.11) Persamaa (.5.5) mejad 1 ˆ arg mx log 1 ˆ arg m 1 x (.5.1) Utuk medapatka la yag memmumka 1 x, maka x ˆ 0 dmaa '. Karea u 1 dfferesal d ttk u = 0, maka ddefska fugs u tdak dapat u 1 jka u<0 sg( u) 0 jka u=0 (.5.13) 1 jka u>0 Defska 1 jka u>0 Iu ( 0) 0 jka u 0 da 1 jka u<0 Iu ( 0) 0 jka u 0 Fugs sg( u ) dapat dyataka sebaga Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

33 sg( u) I( u 0) I( u 0) (.5.14) Dega mesubsttuska persamaa (.5.14) ke 1 x ˆ 0 dperoleh 1 1 ˆ I x ˆ ˆ I x ˆ 1 1 x ˆ x ˆ # # 0 sg x ˆ 0 I x 0 0 0 I x 0 0 0 (.5.15) dmaa # x = bayakya x, sehgga # x ˆ # x ˆ. Hal meyataka bahwa ˆ adalah meda. Jad, jka F 0 = double expoetal, maka MLE dar adalah meda (x). Meda robust terhadap outler. Dar pejelasa datas dapat dsmpulka bahwa bla x x maka MLE dar adalah x, sedagka bla x adalah meda(x). x maka MLE dar Utuk selajutya MLE dar aka dcar berdasarka pada fugs Huber medefska fugs Huber sebaga berkut : u. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

34 u 1 u jka u k 1 k u k jka u k (.5.16) Taksra Huber utuk mea adalah la yag memmumka 1 x, sebut ˆHuber. ˆ arg m x Huber 1 Karea ˆHuber ' memmumka x, maka x 1. Berdasarka fugs Huber (.5.16), dapat dperoleh u 1 0, dmaa sepert : u u jka u k. sgu jka u k k (.5.17) Utuk la k, fugs Huber 1 u u =1,,..., Nla taksra utuk mea aka dperoleh dega ˆ arg m x Huber arg m 1 1 1 x 1 ˆ Huber Huber x ˆ 0 x Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

35 Jad, taksra Huber utuk mea saat k adalah x. Utuk la 0 1 u k u k =1,,..., k, fugs Huber Nla taksra utuk mea aka dperoleh dega ˆ Huber 1 arg mk x k 1 arg m 1 kx Utuk medapatka la yag memmumka 1 kx, maka x ˆ 0 dmaa ' 1 da u k k. sg( u) k jka u<0 jka u>0 Dega mesubsttuska persamaa (.5.14) ke x dperoleh 1 1 ˆ ˆ Huber Huber 1 k. sg x ˆ 0 k I x 0 I x 0 0 k I x ˆ 0 ˆ Huber I x Huber 0 0 1 1 ˆ ˆ Huber Huber k # x # x 0 Huber ˆ 0 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

36 sehgga # x ˆ # x ˆ. Hal meyataka bahwa Huber Huber ˆHuber adalah meda. Jad, taksra Huber utuk mea saat k 0 adalah med ( x ). Jka F 0 = N(0,1), dega smulas data, Huber medapatka bahwa dperoleh effses relatf taksra Huber dega k = 1.345 terhadap taksra Huber dega k adalah 95%, sehgga fugs Huber serg dtuls sebaga : u 1 u jka u 1.345 1 1.345 u (1.345) jka u 1.345 Defs 1. Fugs Pegaruh Padag u u. Fugs u terhadap taksra parameter. fucto). u megukur pegaruh dar sebuah data u dsebut fugs pegaruh (fluece Jka u u, maka u u. Pegaruh taksra suatu data terhadap taksra parameter secara ler sejala dega akya u. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

37 Sedagka jka u u, maka u 1 jka u<0 sg( u) 0 jka u=0. 1 jka u>0 Pegaruh suatu data terhadap taksra terbatas atara [-1,1]. Sepert yag telah ddefska sebelumya, fugs Huber secara umum ddefska sebaga berkut : u da fugs pegaruh Huber yatu 1 u jka u k 1 k u k jka u k u u jka u k. sgu jka u k k Berkut dtamplka plot dar fugs pegaruh Huber u Gambar 1. Plot fugs pegaruh Huber (Sumber : Robust Statstcs Theory ad methods, 006:6) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

38 Jka k fte, maka terhadap taksra terbatas. u aka terbatas, sehgga pegaruh suatu data Defs. Fugs Bobot Msal u log f u da u fugs bobot : 0 adalah fugs pegaruh. Ddefska wu u jka u 0 u (.5.18) ' 0 jka u=0 Utuk medapatka la yag memmumka x 1, maka x ˆ 0 (.5.19) 1 Sehgga berdasarka (.5.18), persamaa (.5.19) dapat dtuls x ˆ ˆ w x 0 utuk x 0 (.5.0) 1 da dapat dperoleh ˆ 1 1 wx w dega w wx ˆ (.5.1) Karea w bergatug pada ˆ, maka ˆ dcar dega teras sebaga berkut : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

39 med x med x Plh taksra awal ˆ0 MADN da ˆ 0 meda( x), 0.6745 x ˆ 0 sehgga dapat dhtug w0, w. ˆ 0 Pada setap teras ke-t, htug bobot w, sebelumya. t x ˆ t w ˆ t dar teras Htug taksra mea terbobot yag baru ˆ t1 1 1 w x t, w t, Iteras berhet jka ˆ ˆ t 1 t ; 0. ˆ meyataka estmator dar mea terbobot. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

BAB III PENAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER 3.1 Peaksra Parameter pada Model Regres Robust Sederhaa dega Megguaka Fugs Huber Msalka hubuga ler atara satu varabel depede da satu varabel depede dapat dmodelka sebaga berkut : y x (3.1.1) 0 1 Dmaa y = varabel depede observas ke- x = varabel depede observas ke- = radom error ke- Sepert yag telah djelaska dalam bab sebelumya, basaya parameter regres dtaksr dega megguaka metode OLS, tetap taksra yag dperoleh sagat dpegaruh oleh adaya outler, maka dalam baga aka dbahas megea taksra parameter dalam model regres yag robust terhadap outler. 40 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

41 Metode yag palg umum utuk meaksr parameter pada regres robust adalah dega megguaka M-estmator. Metode M-estmator aka meggat kuadrat error, dega fugs dar error. Taksra parameter 0 da 1 dperoleh dega cara memmumka fugs ( ) terhadap 0 da 1, yatu : 1 1 0 0 (3.1.) da 1 1 0 (3.1.3) Sehgga dperoleh ˆ ˆ y 0 1x 0 (3.1.4) 1 da ˆ ˆ x y 0 1x 0 (3.1.5) 1 dmaa = turua pertama dar Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

4 Sebut e ˆ ˆ y 0 1x da ddefska suatu fugs pembobot ˆ ˆ e y 0 1x w e y ˆ ˆ x 0 1 y ˆ ˆ 0 1 ˆ ˆ x w y 0 1x, sehgga dperoleh. Oleh karea tu, persamaa (3.1.4) da (3.1.5) dapat dyataka sebaga berkut : ˆ ˆ w y 0 1x 0 (3.1.6) 1 da ˆ ˆ xw y 0 1x 0 (3.1.7) 1 Persamaa (3.1.6) dapat dselesaka da dperoleh taksra utuk 0 sepert berkut : y w ˆ w ˆ x w 0 0 1 1 1 1 ˆ w y w ˆ x w 0 1 1 1 1 ˆ y w 1 ˆ 1 0 1 w 1 1 x w w (3.1.8) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

43 Utuk medapatka taksra 1, persamaa (3.1.7) dapat dselesaka 1 x w y ˆ ˆ x 0 0 1 ˆ ˆ x w y x w x w x 0 (3.1.9) 0 1 1 1 1 Substtuska (3.1.8) pada persamaa (3.1.9) y w x w 1 ˆ 1 ˆ xw y 1 1 0 x w x w 1 1 1 w w 1 1 y w x w x w x w 1 1 ˆ 1 1 ˆ xw y 1 1 x w 0 1 1 w w 1 1 (3.1.10) Persamaa (3.1.10) dkalka dega w pada kedua ss, sehgga 1 dperoleh w ˆ ˆ xw y yw xw 1 xw 1 w x w 0 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ 1 w x w 1 xw w xw y yw xw 1 1 1 1 1 1 1 ˆ 1 w x w xw w xw y yw xw 1 1 1 1 1 1 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

44 w x w y y w x w ˆ 1 1 1 1 1 w x w xw 1 1 1 (3.1.11) dmaa w = bobot dar observas ke-. Jka fugs tdak ler, maka persamaa dselesaka dega metode teras. Metode yag dguaka adalah teras kuadrat terkecl terbobot (teratvely reweghted least square) dega prosedur : 1. Plh la taksra awal (0) 0 ˆ da (0) 1 ˆ, sehgga dapat dhtug w (0) (0) (0) y ˆ ˆ 0 1 x y ˆ ˆ x (0) (0) 0 1. Pada setap teras ke-t, htug resdual e y ˆ ˆ x da ( 1) ( 1) ( 1) 0 1 bobot w w e dar teras sebelumya. ( t1) ( t1) 3. Htug taksra kuadrat terkecl terbobot yag baru ˆ ( t1) ( t1) yw xw () t 1 ˆ 1 0 1 ( t1) ( t1) w w 1 1 ˆ ( t1) ( t1) ( t1) ( t1) w xw y yw xw () t 1 1 1 1 1 ( t1) ( t1) ( t1) w x w xw 1 1 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

45 dmaa ( t 1) w = bobot pada teras ke-(t-1) Lagkah ke- da ke-3 berulag hgga taksra parameter yag dperoleh koverge. Dega perkataa la, jka ˆ ˆ cukup kecl utuk j=0,1. ( t) ( t 1) j j Jka peaksra parameter pada model regres robust dcar dega megguaka fugs Huber, maka bobot w dapat dcar sebaga berkut : Padag fugs Huber 1 jka k 1 k k jka k (3.1.1) Turua dar fugs Huber yatu : k jka k jka k k jka k (3.1.13) Sebut y ˆ ˆ 0 1x e, maka dperoleh k jka e k ˆ ˆ e y 0 1x e jka e k k jka e k (3.1.14) Sepert telah dketahu w e e, maka ddapat Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

46 k jka e k e w 1 jka e k k jka e k e (3.1.15) Dega perkataa la w 1 jka k jka e e e k k (3.1.16) Jka dambl la terstadardsas dar e, maka berdasarka smulas yag dlakuka oleh Huber dplh la k = 1.345, sehgga bobot mejad sepert berkut : w 1 jka e 1.345 1.345 jka e 1.345 e Dega metode teras kuadrat terkecl terbobot sepert yag telah djelaska datas, maka taksra ˆ dapat dperoleh. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

47 3. Peaksra Parameter pada Model Regres Robust Bergada dega Megguaka Fugs Huber Pada baga aka dbahas megea regres robust bergada yag melbatka lebh dar satu varabel depede. Msalka hubuga ler atara satu varabel depede dega varabel-varabel depedeya dapat dmodelka sebaga : y 0 1x 1 x... k xk, =1,,..., (3..1) dmaa y = varabel depede observas ke- x j = varabel depede ke-j dar observas ke- = radom error ke- j = parameter regres yag tdak dketahu laya, j=0,1,,,k Pejabara dar model (3..1) dapat dtuls sepert berkut : y x x... x 1 0 1 11 1 k 1k 1 y x x... x 0 1 1 k k y x x... x 0 1 1 k k (3..) Dalam betuk matrks, model datas dapat dtulska sebaga berkut : y x (3..3) T Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

48 T dmaa x 1 x x 1 k 0 1 k Taksra parameter dperoleh dega cara memmumka fugs 1 ( ) terhadap, yatu T y 1 1 x ( ) ( ) 0 (3..4) Sehgga dperoleh 1 T ˆ xj y x 0, j 0,1,,..., k (3..5) Dmaa = ' x j = la observas ke- pada varabel depede ke-j x0 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

49 Sebut e T y x ˆ da ddefska suatu fugs pembobot w T, sehgga dperoleh ˆ T y ˆ x w y x mejad, maka persamaa (3..5) e e 1 T ˆ xj w y x 0, j 0,1,,..., k (3..6) T xj w y xj w 1 1 x ˆ 0 T ˆ xj w xj w y 1 1 x (3..7) Utuk j=0 dar persamaa (3..7), dperoleh T ˆ x 0w x x0w y 1 1 ˆ ˆ ˆ 0 1 1... ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... ˆ... ˆ ˆ... ˆ k k k k k k w x x w y k k 1 1 w x... x... w x... x w y w y... w y 1 0 1 11 k 1k 0 1 1 k k 1 1 w w w w x w x w x w y w y 0 1 0 0 1 1 1 1 0 k k 1 1 1 1 w y... ˆ w... ˆ x w w y w y... w y (3..8) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

50 Utuk j=1 dar persamaa (3..7), dperoleh T ˆ x1w x x1w y 1 1 ˆ ˆ ˆ x1w 0 1x 1... k xk x1w y 1 1 ˆ ˆ... ˆ... ˆ ˆ............ k k... k k x11w1 y1... 1 x w x x x w x x x w y x w y 11 1 0 1 11 k 1k 1 0 1 1 k 11 1 1 1 ˆ x w ˆ x w ˆ x w x ˆ x w x ˆ 0 11 1 0 1 11 1 1 1 0 1 k 1 k 11 1 1 1 1 1 1 x w y k ˆ x w... ˆ x x w x w y x w y... x w y (3..9) Demka seterusya, hgga j=k. Utuk j=k, dperoleh ˆ 0 x ˆ kw... k xk w x1 kw1 y1 xkw y... xkw y 1 1 (3..10) Pejabara dar persamaa (3..7) utuk j=0,1,,k dapat dtuls dalam betuk matrks sebaga berkut : ˆ ˆ ˆ 0 w 1 x 1w... k xkw 1 1 1 w1 y1 w y... w y ˆ ˆ ˆ 0 x 1w 1 x 1w... k x 1xkw x11w1 y1 x1w y... x 1 1 1 1w y x1 kw1 y1 xkw y... xkw y ˆ ˆ ˆ 0 xkw 1 x 1xkw... k xkw 1 1 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

51 w x 1w xkw 1 1 1 ˆ 0 w 1 w w y1 x ˆ 1w x 1w x 1xkw x 1 11w1 x1w x 1w y 1 1 1 ˆ x w x w x w y 1k 1 k k k xkw x 1xkw xkw 1 1 1 w1 w w ˆ 1 x11 x1 k 0 1 1 1 w1 0 0 y1 x ˆ 11w1 x1w x 1w 1 x1 x k x 1 11 x1 x 1 0 w 0 y = x1 kw1 xkw xkw 1 x 1 xk ˆ x1k xk xk 0 0 w y k 1 1 1 w1 0 0 1 x ˆ 11 x1 k 0 x ˆ 11 x1 x 1 0 w 0 1 x1 x k 1 T X Wy x1 k xk xk 0 0 w 1 x 1 xk ˆ k Jad, persamaa (3..7) dapat dtulska dalam betuk matrks, yatu T ˆ T X WX X Wy ˆ T X WX 1 T X Wy (3..11) Dmaa W = matrks dagoal berukura x dega eleme dagoalya berupa bobot w 1,w,,w. Jka fugs tdak ler, maka persamaa dselesaka dega metode teras. Prosedur dar metode teras kuadrat terkecl terbobot (teratvely reweghted least square) sama dega regres robust sederhaa, yatu : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

5 1. Plh la taksra awal (0) ˆ, sehgga dapat dhtug w (0) T y ˆ x y x ˆ T (0) (0). Pada setap teras ke-t, htug resdual e y x ˆ da bobot ( t1) T ( t1) w w e dar teras sebelumya. ( t1) ( t1) 3. Htug taksra kuadrat terkecl terbobot yag baru 1 ˆ ( t ) T ( t 1) T ( t 1) X W X X W y Dmaa X matrks berukura x p dega ( t1) W adalah matrks bobot pada teras ke (t-1). T x bars ke- dar X da Lagkah ke- da ke-3 berulag hgga taksra parameter yag dperoleh koverge. Dega perkataa la, jka ˆ ˆ cukup kecl utuk ( t) ( t 1) j j j=0,1,,k. Sepert pada model regres robust sederhaa, matrks bobot W dperoleh dar fugs Huber. Jka dambl la terstadardsas dar e, maka berdasarka smulas yag dlakuka oleh Huber, dplh la k =1.345, sehgga dperoleh w sebaga berkut : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

53 w 1 jka e 1.345 1.345 jka e 1.345 e dega w merupaka eleme dagoal ke- dar matrks bobot W. Dega metode teras kuadrat terkecl terbobot sepert yag telah djelaska datas, maka taksra ˆ dapat dperoleh. 3.3 Effses Taksra Parameter pada Model Regres Robust dega Megguaka Fugs Huber da Metode OLS Effses relatf dar dua peaksr alah raso dar varas kedua peaksr tersebut. Msal ˆ jhuber merupaka taksra parameter regres ke-j yag ddapat dega metode regres robust dega fugs Huber da ˆ jls merupaka taksra parameter regres ke-j yag ddapat dega metode Ordary Least Square, dmaa j=0,1,,k. Efses relatf ˆ jhuber terhadap ˆ jls dapat dukur dega ˆ eff ˆ jhuber jls var ˆ var ˆ jhuber jls Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

54 Peaksr ˆ jhuber dkataka lebh efse dbadg ˆ jls jka atau var ˆ var ˆ jhuber jls. ˆ eff ˆ jhuber jls 1 Metode Ordary Least Square Sepert yag telah dtujukka pada bab., la varas dar taksra parameter pada metode least square, ˆ jls sebaga berkut : ˆ var jls C jj T dmaa C jj = eleme dagoal ke-j dar matrks 1 XX. Karea ˆ MSE adalah taksra tak bas utuk ˆ dapat dtaksr dega ˆ C. var jls jj, maka var ˆ jls Metode regres robust dega megguaka fugs Huber Sepert telah djelaska pada bab3., taksra robust utuk ˆ adalah 1 ˆ T T Huber X WX X Wy. Meurut Maroa, Mart, da Yoha (006), dapat dbuktka bahwa cov ˆ T 1 Huber v XX Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

55 ˆ var jhuber jj vc dmaa C jj = eleme dagoal ke-j dar matrks 1 T XX ' e E v e E, da la taksra dar v adalah ˆ ˆ ˆ ' ˆ e ave v p e ave, jka ˆ ˆ ˆ, jka ˆ ˆ e e k e e e k sg k Taksra robust yag serg dguaka utuk meaksr adalah MADN(e). Dar pejelasa datas, maka ˆ () 0.6745 ' ˆ ˆ var ˆ ˆ ˆ var jj jhuber jhuber jj jls jls e ave MAD e C p e ave eff MSE C Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

56 Jka ˆ eff ˆ jhuber jls 1, maka dapat dsmpulka bahwa taksra parameter pada model regres robust dega fugs Huber lebh effse darpada taksra parameter metode OLS. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

BAB IV CONTOH PENERAPAN Dalam bab aka dbahas effses taksra parameter yag dperoleh dega metode Ordary Least Square (OLS) da metode regres robust dega fugs Huber dega suatu cotoh kasus. Ada cotoh kasus yag aka dberka dalam baga, yatu data yag ada outler da data yag tapa outler. 4.1 Kasus Data yag Megadug Outler 4.1.1 Data Data yag dguaka megea pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat. Data terdr dar 100 observas dega varabel yag dguaka harga jual rumah (dalam rbua dollar), usa rumah (dalam tahu) da luas taah (dalam meter perseg). Data pejuala rumah memlk outler, sehgga dguaka sebaga cotoh pada tugas akhr. Dasumska outler yag ada buka karea suatu kesalaha dalam pegambla sampel, sehgga outler tdak aka dkeluarka dar aalss. 57 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

58 4.1. Aalss Data Berdasarka data yag ada, aka dlhat hubuga atara harga jual rumah dega usa rumah da luas taah. Dalam hal, harga jual rumah merupaka varabel depede, usa rumah da luas taah merupaka varabel depede. Model secara umum dar data yag ada alah y x x 0 1 1 dmaa y = harga jual rumah observas ke- (dalam rbua dollar) j = parameter regres, j = 0,1, x 1 = usa rumah observas ke- (dalam tahu) x = luas taah observas ke- (dalam meter perseg) = radom error ke- Sebelum mecar taksra parameter, aka dperksa terlebh dahulu keberadaa outler dalam data. Outler aka ddeteks berdasarka ukura outler, sepert stadardzed resduals, studetzed resduals, R-studet, leverage, DFFITS, DFBETAS, da cook s dstace utuk setap observas. Pegolaha data dlakuka dega megguaka peragkat luak SPSS 16.0. Pada kasus, karea = 100 da p = 3, dmaa p merupaka bayakya parameter regres, maka observas dkataka sebaga outler jka la stadardzed resduals, d Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

59 studetzed resduals, r R-studet, t Leverage, h p.3 0.06 100 DFFITS p 3 0.3464 100 DFBETAS 0. 100 Berdasarka Tabel deteks outler utuk data pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat saat data ada outler (Tabel 7) terlhat ada beberapa observas yag memeuh krtera sebaga outler. Observas ke- 15, da 57 ddkaska kuat merupaka outler. Pada observas ke-15, d15.981 r15 3.19 t15 3.83 h 0.08 0.06 DFFITS 15 1.047 0.3464 DFBETAS 0,15 0.5 0. DFBETAS 3,15 0.976 0. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

60 Pada observas ke-57, d57.576 r57.66 t57.751 DFFITS 57 0.718 0.3464 DFBETAS 1,57 0.580 0. DFBETAS 3,57 0.659 0. Terlhat bahwa observas ke-15 da 57 memeuh bayak krtera observas sebaga outler. Oleh karea tu, observas ke-15 da 57 merupaka outler da aka membuat taksra parameter yag dperoleh dega metode OLS mejad tdak bagus. Sela tu, ada observasobservas laya yag memeuh krtera observas sebaga outler tetap haya 1 atau krtera, sepert observas ke-6, la DFBETAS 0,6 0.91 0. da DFBETAS 1,6 0.07 0.. Hal buka merupaka dkas yag kuat utuk meyataka bahwa observas ke-6 merupaka outler. Demka juga dega observas ke-9, 4, 5 da beberapa observas laya. Pegolaha data utuk mecar taksra parameter bak utuk metode OLS maupu metode regres robust dega megguaka fugs Huber dperoleh dega megguaka peragkat luak S-Plus 000 Professoal Release. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

61 Tabel 1 Nla taksra parameter da stadar error dar metode OLS saat data ada outler Varabel Nla Taksra Std error Itercept 59666.3935 516.346 usa -51.9155 60.9813 Luas.4044 0.8995 Tabel Nla taksra parameter da stadar error metode regres robust dega megguaka fugs Huber Varabel Nla Taksra Std error Itercept 58991.068 5149.700 usa -368.1648 57.6480 Luas 1.7946 0.8880 Taksra parameter yag dperoleh dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber cukup berbeda, yatu ˆ 0 LS ˆ Huber = 59666.3935 sedagka 0 = 58991.068, 1 = -51.9155 ˆ LS sedagka ˆ 1Huber = -368.1648, da ˆ LS =.4044 sedagka ˆ Huber = 1.7946. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

6 Utuk melhat effses relatf taksra parameter metode regres robust dega megguaka fugs Huber terhadap taksra parameter metode OLS, aka dlhat dar varas masg-masg parameter. Dar tabel 1 da tabel, dapat dlhat la stadar error dar masg-masg parameter. Karea stadar error merupaka akar varas dar taksra, maka dapat dperoleh la varas taksra masg-masg parameter. Tabel 3 Nla varas taksra parameter dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data ada outler Varabel var OLS var reg robust Itercept 71004.33 651941.15 usa 68111.3895 6638.49191 Luas 0.8091005 0.788544 Dega demka dapat dperoleh la effses utuk masg-masg parameter, sebaga berkut eff ˆ 651941.15 ˆ 71004.33 0LS 0Huber 0.97461855 1 ˆ 1Huber 6638.49191 0.97461877 1 eff ˆ 68111.3895 1LS Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

huber$resduals -10000 0 10000 0000 30000 63 eff ˆ 0.788544 ˆ 0.8091005 LS Huber 0.97459369 1 Nla effses utuk masg-masg parameter dperoleh lebh kecl dar 1. Dega perkataa la, varas taksra parameter metode regres robust dega megguaka fugs Huber lebh kecl dar taksra parameter dega metode OLS. Hal meujukka bahwa pada cotoh datas, metode regres robust dega megguaka fugs Huber lebh effse darpada metode OLS. Dar model Huber dapat dgambarka plot resdual sebaga berkut : 0 0 40 60 80 100 Idex Gambar. Plot resdual metode regres robust dega megguaka fugs Huber dar setap observas Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

Huber Weght 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 64 Dar Gambar dapat dlhat bahwa observas ke-15 memlk resdual yag palg besar dbadg observas laya. Sela tu, observas ke-57 juga memlk resdual yag cukup besar. Bobot yag dberka utuk setap observas dapat dgambarka dalam plot dbawah : 0 0 40 60 80 100 Idex Gambar 3. Plot besarya bobot yag dberka pada setap observas Dar Gambar 3 terlhat bahwa bobot utuk obervas ke-15 palg kecl dbadgka observas laya. Setelah tu, bobot ke- terkecl dberka utuk observas ke-57. Jad, dapat dsmpulka bahwa dalam regres robust dega megguaka fugs Huber, utuk observas yag mempuya resdual besar dberka bobot kecl. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

65 4. Kasus Data Tapa Outler 4..1 Data Data yag dguaka serupa dega data pada kasus sebelumya, yatu megea pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat. Aka tetap data haya terdr dar 60 observas da data tdak mempuya outler. Varabel yag dguaka harga jual rumah (dalam rbua dollar), usa rumah (dalam tahu) da luas taah (dalam meter perseg). 4.. Aalss Data Aka dlhat hubuga atara harga jual rumah dega usa rumah da luas taah, dmaa harga jual rumah merupaka varabel depede, usa rumah da luas taah merupaka varabel depede. Model secara umum dar data yag ada alah y x x 0 1 1 dmaa y = harga jual rumah observas ke- (dalam rbua dollar) j = parameter regres, j = 0,1, x 1 = usa rumah observas ke- (dalam tahu) x = luas taah observas ke- (dalam meter perseg) = radom error ke- Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

66 Sebelum mecar taksra parameter, aka dperksa terlebh dahulu keberadaa outler dalam data. Pegolaha data dlakuka dega megguaka peragkat luak SPSS 16.0. Pada kasus, karea = 60 da p = 3, dmaa p merupaka bayakya parameter regres, maka observas dkataka sebaga outler jka la stadardzed resduals, d studetzed resduals, r R-studet, t Leverage, h p.3 0.1 60 DFFITS p 3 0.447 60 DFBETAS 0.58 60 Berdasarka Tabel deteks outler utuk data pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat saat data tapa outler (Tabel 8), terlhat tdak ada data yag megdkaska kuat sebaga outler. Pegolaha data utuk mecar taksra parameter bak utuk metode OLS maupu metode regres robust dega megguaka fugs Huber dperoleh dega megguaka peragkat luak S-Plus 000 Professoal Release. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

67 Tabel 4 Nla taksra parameter da stadar error dar metode OLS saat data tapa outler Varabel Nla Taksra Std error Itercept 34048.6779 390.048 usa -548.7666 136.9960 Luas -0.1937 0.3565 Tabel 5 Nla taksra parameter da stadar error metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data tapa outler Varabel Nla Taksra Std error Itercept 340.136 655.3015 usa -558.6715 15.005 Luas -0.016 0.3961 Taksra parameter yag dperoleh dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber tdak terlalu berbeda, yatu ˆ 0 LS ˆ Huber = 34048.6779 sedagka 0 = 340.136, 1 = -548.7666 ˆ LS sedagka ˆ 1Huber = -558.6715, da ˆ LS = -0.1937 sedagka ˆ Huber = - 0.016. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.

68 Dar tabel 4 da tabel 5, dapat dperoleh la varas dar taksra masg-masg parameter. Tabel 6 Nla varas taksra parameter dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data tapa outler Varabel var OLS var reg robust Itercept 571304.586 705066.056 usa 18767.9040 3164.99 Luas 0.17095 0.1568951 Dega demka dapat dperoleh la effses utuk masg-masg parameter, sebaga berkut : eff ˆ 0Huber 705066.056 1.348 1 ˆ 571304.586 0LS eff ˆ 3164.99 ˆ 18767.9040 1LS 1Huber 1.348 1 eff ˆ Huber 0.1568951 1.3449 1 ˆ 0.17095 LS Nla effses utuk masg-masg parameter dperoleh lebh besar dar 1. Dega perkataa la, varas taksra parameter metode regres robust dega megguaka fugs Huber lebh besar dar taksra Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.