LOGO SEMINAR TUGAS AKHIR Oleh : Rifdatur Rusydiyah 1206 100 045 Dosen Pembimbing : DR. Subiono, M.Sc JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2010
Pendahuluan Insulin sangat penting untuk menjaga keseimbangan kadar glukosa darah. Bila terjadi gangguan pada kerja insulin, baik secara kuantitas maupun kualitas, keseimbangan tersebut akan terganggu sehingga kadar glukosa darah cenderung naik. Gangguan fungsi hormon insulin inilah yang dinamakan dengan diabetes melitus. Diabetes secara umum dibagi menjadi 2 tipe yaitu tipe I dan tipe II Metode pengobatan yang digunakan pada penderita diabetes tipe I adalah dengan suntikan insulin atau dengan infus insulin lewat pompa insulin. Banyaknya suntikan biasanya ditentukan oleh kadar glukosa penderita diabetes.
Kurangnya pemonitoran secara terus menerus dalam pemberian dosis insulin eksogenus pada penderita diabetes mengakibatkan glukosa darah tidak dapat mencapai nilai normal sehingga biaya yang dikeluarkan untuk pemberian dosis insulin dapat meningkat. Sehingga perlu adanya pengendalian optimal pada pemberian insulin eksogenus pada penderita diabetes. Berdasarkan permasalahan di atas, pada tugas akhir ini akan ditentukan pengontrol optimal u*(t) dari masalah tingkat infusi insulin agar fungsi obyektif dari permasalahan (fungsi biaya) minimal dengan menggunakan Linear Quadratic Regulator (LQR).
Rumusan Masalah 1. bagaimana menentukan pengontrol optimal u*(t) dari masalah tingkat infusi insulin agar fungsi obyektif dari permasalahan (fungsi biaya) minimum 2. bagaimana mensimulasikan bentuk optimal control yang diperoleh dengan menggunakan software Matlab.
Tujuan dan Manfaat Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah: 1. mendapatkan pengontrol optimal u*(t) dari masalah tingkat infusi insulin agar fungsi obyektif dari permasalahan (fungsi biaya) minimum 2. mensimulasikan optimal control yang diperoleh dengan menggunakan software Matlab. Manfaat yang diharapkan dari Tugas Akhir ini adalah dapat memberikan informasi bahwa penyelesaian optimal control yang diperoleh dapat menjadi suatu solusi yang optimal dalam pemberian insulin terhadap pasien penderita diabetes agar kadar glukosa penderita diabetes dapat mendekati nilai normal sehingga dapat menekan jumlah biaya yang dikeluarkan.
Batasan Masalah 1. diabetes yang dibahas dalam Tugas Akhir ini adalah diabetes yang bergantung insulin (tipe I) 2. metode yang digunakan untuk mendesain pengontrol optimal adalah metode Linear Quadratic Regulator (LQR). 3. diasumsikan u(t) mempunyai penyelesaian 4. pada model glukosa-insulin Ackerman tingkat suplay glukosa eksternal p(t) tidak dipertimbangkan untuk desain kontroler atau p(t)=0 5. diasumsikan m 1 =0,0009 min -1, m 2 =0,0031 min -1, m 3 =0,0415 min -1, m 4 =0 dan k=10. Untuk parameter komputasinya adalah g(0)=300, h(0)=70, i (t f )=0 dengan i=1,2
Diabetes Mellitus Diketahui jumlah/kadar glukosa dan hormon pada waktu secara berturutturut diberikan oleh fungsi G(t) dan H(t). Maka persamaan keadaan diberikan oleh: (1.1) dengan: p(t) merupakan tingkat penambahan glukosa dalam darah oleh makanan dan minuman atau tingkat suplay glukosa eksternal dalam waktu t, dan u(t) adalah tingkat penambahan insulin oleh injeksi atau tingkat infusi insulin dalam waktu t. Pada tugas akhir ini p(t)=0, ini berarti bahwa tidak ada penambahan glukosa dalam darah oleh makanan dan minuman atau tingkat suplay glukosa eksternal.
Misalkan tingkat kesetimbangan pada keadaan sehat adalah G 0 dan H 0 maka variabel deviasi dari g dan h, masing-masing adalah: (1.2) dengan: dan dan ditulis persamaan keadaan dalam bentuk linear, bentuk kuadrat dalam ukuran kecil diabaikan/dihilangkan. Sehingga bentuk linear dari persamaan keadaan diberikan oleh [3] : (1.3)
dengan : m 1 = nilai self-removal glukosa; positif m 2 = pengurangan kadar glukosa dengan insulin; positif m 3 = nilai self-removal insulin; positif m 4 = penambahan insulin darah dengan glukosa; lebih besar dari atau sama dengan nol. Dalam kasus pasien diabetes tipe I, m 4 = 0, hal ini disebabkan karena insulin tidak dapat diproduksi oleh pankreas. Fungsi biaya yang digunakan adalah: dengan k adalah faktor pembobot. (1.4)
Pembahasan 1 Click Analisis to Kestabilan add dan Keterkontrolan Berdasarkan persamaan keadaan pada (1.3) yaitu: dengan m 4 =0, maka dapat dibentuk model state space sebagai berikut : dimana :,,
, 1.1 Analisis Kestabilan Kestabilan suatu sistem dapat dilihat dari nilai karakteristik/eigennya. Untuk mengetahuinya maka dapat dihitung dengan langkah sebagai berikut : dengan I adalah matriks identitas dan n adalah nilai eigen dari matriks A. Dari didapat: dan Karena, maka sistem dikatakan stabil.
1.2 Analisis Keterkontrolan Keterkontrolan dari suatu sistem dapat ditunjukkan oleh matriks terkontrol K yang ditentukan oleh pasangan matriks (A,B) dengan : dan maka diperoleh : Terlihat bahwa Jadi rank K = 2, sehingga sistem terkontrol.
12 Penyelesaian Click Optimal to add Control dengan LQR Diketahui persamaan keadaan (1.3) yaitu : dan performance index seperti pada (1.4) yaitu : Dari persamaan (1.4) dapat ditentukan persamaan Hamiltoniannya yaitu : (2.1) dengan λ merupakan suatu pengali Lagrange yang belum diketahui. Dari persamaan Hamiltonian dapat diperoleh persamaan state dan costate sebagai berikut :
(2.2) (2.3) Sedangkan kondisi stasionernya adalah : (2.4) Dari persamaan stasioner (2.4) diperoleh kontrol optimal secara umum yang dinyatakan sebagai berikut : (2.5)
Dengan substitusi persamaan (2.5) ke dalam persamaan (2.2) diperoleh : (2.6) Sehingga dapat dibentuk persamaaan state dan costate (digabungkan) sebagai berikut : Matriks koefisien dari persamaan (2.7) disebut dengan matriks Hamiltonian. Dari matriks Hamiltonian di atas dapat ditentukan nilai x* dengan dan (2.7)
Untuk mendapatkan nilai x* terlebih dahulu dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A. Untuk nilai-nilai parameter berikut: m 1 =0,0009 min -1, m 2 =0,0031 min -1, m 3 =0,0415 min -1, m 4 =0 dan k=10 diperoleh: n 1 =0,0304+0,0077i n 2 =0,0304-0,0077i n 3 =-0,0304+0,0077i n 4 =-0,0304-0,0077i Dari perhitungan yang telah dlakukan maka dapat diperoleh penyelesaian x*(t) yaitu: v j adalah eigenvector dari matriks A yang bersesuaian, dengan eigenvalue n j, c j merupakan konstanta yang diperoleh dengan memasukkan syarat batas yang bersesuaian,j=1,2,3,4
Sehingga dapat diperoleh:
g (kadar glukosa) 13 Hasil Click Simulasi to add dan Analisisnya 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 waktu (menit) kadar glukosa Gambar 3.1 Grafik kadar glukosa g Pada gambar 3.1 menunjukkan bahwa grafik kadar glukosa pada penanganan selama 200 menit terjadi penurunan yang berarti. Hal ini dapat dilihat pada menit ke- 67 kadar glukosa mendekati nilai normalnya, dengan diasumsikan nilai normal glukosa adalah 100 mg/dl. Hal ini disebabkan karena adanya penyuplaian insulin eksogenus sehingga menyebabkan kadar glukosa yang ada dalam tubuh penderita diabetes menurun atau mendekati nilai normalnya.
h (kadar insulin) 1000 kadar insulin 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 waktu (menit) Gambar 3.2 Grafik kadar insulin h Pada gambar 3.2 menunjukkan bahwa grafik kadar insulin pada penanganan selama 200 menit terjadi perubahan yang berarti. Hal ini terlihat pada menit pertama yaitu sampai menit ke-30 kadar insulin naik, namun setelah menit ke-30 kadar insulin turun. Hal ini disebabkan karena adanya tingkat suplay insulin eksogenus yang tinggi sehingga menyebabkan insulin yang ada dalam tubuh pasien juga tinggi. Akan tetapi seiring berjalannya waktu, insulin yang ada dalam tubuh penderita diabetes juga akan berkurang.
u (kontrol) kontrol 80 70 60 50 40 30 20 10 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 waktu (menit) Gambar 3.3 Grafik kontrol u Gambar 3.3 menunjukkan skenario kontrol yang digunakan dalam penyuplaian sejumlah insulin eksogenus pada penderita diabetes. Pada grafik terlihat bahwa selama penanganan yaitu 200 menit, tingkat suplay insulin eksogenus semakin menurun mendekati nilai nol. Hal ini disebabkan karena kadar glukosa yang ada pada penderita diabetes akan semakin menurun karena adanya penyuplaian sejumlah insulin eksogenus.
Kesimpulan dan Saran Kesimpulan Dengan mengumpulkan hasil-hasil dari penyelesaian optimal control dan simulasi dari bab sebelumnya, maka dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Pengendali optimal yang diperoleh adalah: dengan u*(t) adalah tingkat penambahan insulin oleh injeksi atau tingkat infusi insulin dalam waktu t. 2. Hasil simulasi menunjukkan bahwa kontrol tingkat infusi insulin yang diberikan dapat mengurangi kadar glukosa yang ada dalam tubuh pasien penderita diabetes sehingga dapat mencapai nilai normal, insulin eksogenus yang diberikanpun akan semakin berkurang.
Saran Adapun saran dari tugas akhir ini adalah: 1. dalam Tugas Akhir ini digunakan Linear Quadratic Regulator (LQR) untuk memperoleh pengontrol. Untuk pengembangan sebaiknya dilakukan pembandingan dengan metode-metode kontrol yang lain misalkan PID, PMP, maupun yang lainya agar didapatkan pengontrol yang baik untuk permasalahan tingkat infusi insulin untuk pasien diabetes. 2. dapat dicari kontrol untuk penyakit yang lain, sehingga dapat meminimalkan/memaksimalkan indeks performansi yang sesuai dengan permasalahan yang dibahas.
Daftar Pustaka [1] Acikgoz, S. U, Diwekar, U.M, (2009), Blood glucose regulation with stochastic optimal control for insulin-dependent diabetic patient, Chemical Engineering Science, Vol 2009 No. 65 pp 1227-1236. [2] Chavez, Sanchez, I.Y., Morales-Menendez, R., Chapa, Martinez, S.O., (2009), Glucose optimal control system in diabetes treatment, Applied Mathematics and Computation, Vol 2009 No. 209 pp 19-30. [3] Hocking, M., Leslie, (1991), Optimal Control An Introduction to the Theory with Application, New York, Oxford University Press. [4] Lewis, F. L., (1995), Optimal Control Second Edition, John Wiley and Sons, Inc. [5] Noer, S, dr., (1996), Buku Ajar Ilmu Penyakit Dalam jilid I edisi ketiga, Jakarta, FKUI. [6] Subiono, (2008), Modul Ajar Matematika Sistem. Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. [7] Subiono, (2010), Modul Ajar Optimal Control. Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. [8] Tjokroprawiro, A, dr., (2006), Hidup Sehat dan Bahagia Bersama Diabetes Melitus, Jakarta, PT Gramedia Pustaka Utama. [9] Wahyuni, E, (2009), Pengendalian Optimal Pada Penanganan Tuberkulosis Dua Strain, Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya.
LOGO TERIMA KASIH