DIGRAF ESENTRIS PADA DIGRAF SIEL DIGRAF OMPLIT DAN DIGRAF OMPLIT MULTIPARTIT Reto tur umlsr d Luc Rtsr Jurus Mtemtk FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedrto SH Semrg 5075 Abstrct The eccetrc dgrph of dgrph ED ( D) s the dgrph tht hs the sme ertex set s D d the rc set defed by: there s rc from u to f d oly f s eccetrc ertex of u I ths pper we exme eccetrc dgrphs of dgrphs of rous fmles of dgrphs d we cosder the behour of terted sequece of eccetrc dgrphs of dgrph eywords: cycle dgrph complete dgrph complete multprtte dgrph dstce eccetrcty eccetrc ertex d eccetrc dgrph PENDAHULUAN Teor grf merupk topk yg byk medpt perht kre modelmodely sgt bergu utuk plks yg lus sepert mslh dlm rg komuks trsports lmu komputer d l sebgy Grf dguk utuk merepresetsk obek-obek dskrt d hubug tr obek-obek tersebut Represets sul dr grf dlh deg meytk obek sebg okth bult erteks tu ttk sedgk hubug tr obek dytk deg grs tu edge Byk sekl struktur yg bs drepresetsk deg grf d byk mslh yg bs dselesk deg btu grf Slh stu plks dlm teor grf dlh meetuk kot teruh (mksml lts terpedek) dr sutu kot ke kot l yg terdr dr kumpul kot dlm sutu derh Mslh ekule deg meetuk eksetrsts ttk pd grf umpul ttk eksetrk yg dhubugk deg busur pd sutu grf dsebut Dgrf eksetrs pd grf Sedgk kumpul ttk eksetrk yg dhubugk deg busur pd sutu dgrf dsebut Dgrf eksetrs pd dgrf Dgrf eksetrs pd grf ED (G) yg dperkelk pertm kl oleh Fred Buckley pd thu 90- Bold d Mller (Bold d Mller 00) memperkelk dgrf eksetrs pd dgrf ED ( D) Teor tersprs dr peelt yg dlkuk oleh Buckley Pd tuls k dk dgrf eksetrs pd dgrf skel dgrf komplt d dgrf komplt multprtt DIGRAF ESENTRIS PADA DIGRAF Secr mtemts dgrf (drected grph/ grf berrh) dpt ddefsk sebg berkut : Dgrf D ddefsk sebg psg hmpu ( V A) yg dlm hl : V = hmpu tdk kosog dr ttk = { d A = hmpu dr psg busur terurut ( u ) yg mempuy rh dr u dr ttk u d V Dpt dtuls deg ots D = ( V A) Jrk dr u d D dotsk d ( u ) dlh pg lts terpedek dr u Jk tdk d lts ttk u d mk d ( u ) = Eksetrsts ttk dlm dgrf D dotsk e ( ) dlh rk teruh (mksml lts terpedek) dr ke setp ttk d D dpt dtulsk 3
Reto tur umlsr d Luc Rtsr Dgrf Eksetrs pd Dgrf Skel Dgrf omplt d ) ( ) = { d( u) u V ( D) e mx Ttk u dlh ttk eksetrk dr k rk dr u sm deg eksetrsts dr tu d ( u ) = e( ) Dgrf eksetrs pd dgrf ED ( D) ddefsk sebg dgrf yg mempuy hmpu ttk yg sm deg D V ( ED( D) ) = V ( D) dm busur meghubugk ttk ke u k d hy k u dlh ttk eksetrk dr Deg ctt bhw k sutu ttk mempuy dert kelur ol mk ttk tdk mempuy ttk eksetrk Dberk blg bult postf k eksetrsts dgrf ters ke- k pd D dtuls sebg k k ED D = ED ED D dm ( ) ( ) ( ) 0 ( D) ED( D) d ED ( D) = D ED = Dgrf Eksetrs Pd Dgrf Skel Msl dgrf skel deg mempuy hmpu ttk V ( ) = { d hmpu busur A = ( ) { Teorem Eksetrsts ttk pd dgrf skel deg dlh sebg berkut: e( ) = utuk setp = Bukt: Dr defs dgrf skel rk teruh (mksml lts terpedek) dr utuk setp = dlh deg kt l eksetrsts ttk e ( ) pd dgrf skel deg dlh sm utuk setp ttky ytu e ( ) = e( ) = = e( ) Hl dsebbk kre rk teruh (mksml lts terpedek) dr setp ttky dlh sm ytu Ttk eksetrk dr = { = = 3 Dr teorem ttk eksetrk dr utuk = dlh sedgk utuk = 3 dlh e d Setelh eksetrsts ttk ( ) ttk eksetrk pd dgrf skel deg dcr seluty kt mempuy teorem berkut: Teorem Dgrf eksetrs pd dgrf skel deg dlh yg m ED keblk dr rh dr busur d ( ) rh busur yg dberk dgrf skel Bukt: Utuk dgrf skel ED ( ) dlh dgrf eksetrs pd dgrf skel Dr kbt pd dgrf skel ttk eksetrk dr dlh utuk = sehgg d busur dr utuk = sedgk ttk eksetrk dr utuk = 3 dlh sehgg d busur dr utuk = 3 Dr teorem dpt dsmpulk bhw dgrf eksetrs pd dgrf skel deg dlh ED = dm rh semu busur ( ) pd ED ( ) keblk dr busur yg dberk pd skel Jd k D ED D = dlh dgrf skel mk ( ) D dm rh semu busur pd ED ( D) keblk dr D Akbt Ttk eksetrk pd dgrf skel deg dlh sebg berkut: 33
Jurl Mtemtk Vol No Aprl 008:3-37 Dgrf Eksetrs Pd Dgrf omplt Msl dgrf komplt mempuy hmpu ttk V ( ) = { d hmpu busur A = ( ) { Teorem Eksetrsts ttk pd dgrf komplt kecul pd dgrf komplt (kre eksetrsts ttk pd dgrf komplt sm deg 0) dlh sebg berkut: e( ) = utuk setp = Bukt: Dr defs dgrf komplt utuk rk teruh (mksml lts terpedek) dr utuk setp = dlh deg kt l eksetrsts ttk e ( ) pd dgrf komplt utuk dlh sm utuk setp ttky ytu e ( ) = e( ) = = e( ) Hl dsebbk kre rk teruh (mksml lts terpedek) dr setp ttky dlh sm ytu Jd e ( ) = utuk setp = Sedgk utuk dgrf komplt tdk mempuy rk mk eksetrsts ttk e ( ) pd dgrf komplt dlh 0 Akbt Ttk eksetrk pd dgrf komplt utuk dlh sebg berkut: Ttk eksetrk dr = utuk = d dr Dr teorem ttk eksetrk pd dgrf komplt utuk dlh utuk setp = dm Sedgk utuk tdk mempuy ttk eksetrk kre mempuy dert kelur sm deg ol Setelh eksetrsts ttk e ( ) d ttk eksetrk pd dgrf komplt dcr seluty kt mempuy teorem berkut: Teorem Dgrf eksetrs pd dgrf komplt sedr Bukt: dlh dgrf komplt tu Utuk dgrf komplt ED dlh dgrf eksetrs pd dgrf komplt Dr kbt pd dgrf komplt ( ) ttk eksetrk dr pd dgrf komplt utuk dlh utuk setp = dm sehgg d busur dr utuk setp = dm Sedgk utuk tdk mempuy ttk eksetrk kre mempuy dert kelur sm deg ol sehgg tdk d busur yg meghubugk ttk tersebut Dr teorem dpt dsmpulk bhw dgrf eksetrs pd dgrf komplt dlh deg kt ED = Jd k D dlh l ( ) dgrf komplt mk ( D) D ED = 34
Reto tur umlsr d Luc Rtsr Dgrf Eksetrs pd Dgrf Skel Dgrf omplt d ) dlh semu ttk d V kecul dry sedr d demk ug seterusy rk teruh (mksml lts terpedek) dr utuk setp = + b + + y + + b + + y + + b + + y + d V dlh semu ttk d V kecul dry sedr ytu deg rk Jd e ( ) = utuk setp = + b + + y + 3 Dgrf Eksetrs Pd Dgrf omplt Multprtt Msl dgrf komplt multprtt b mempuy hmpu ttk V = { V = { + + + b V = { ( ) b { 3 + + V = V = + c d hmpu busur ( ) A { + + + ( ) ( ) ( ) b b b ( ) ( ) ( ) ( c) ( c) ( c) ( ) ( ) ( ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ( c)( + ) ( c)( + ) ( c)( + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + b = ( d )( + ) ( d )( + ) ( d )( + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ( ) ( ) ( ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( ) ( ) ( ) Teorem 3 Eksetrsts ttk pd dgrf komplt multprtt b dlh sebg berkut: e = utuk setp = + b + + y + ( ) Bukt: Dr defs dgrf komplt multprtt rk teruh (mksml lts terpedek) dr utuk setp = d V dlh semu ttk d V kecul dry sedr rk teruh (mksml lts terpedek) dr utuk setp = + + + b d V Akbt 3 Ttk eksetrk pd dgrf komplt multprtt b dlh sebg berkut: Ttk eksetrk d V dr = utuk = d = utuk = + b + + y + + b + + y + + b + + y + Ttk eksetrk d V dr = utuk = + + + b d Ttk eksetrk d V dr d Dr teorem 3 ttk eksetrk dr d V utuk setp = dlh d V utuk setp ttk eksetrk dr = dm d V utuk b d setp = + + + dlh V utuk setp = + + + b dm demk ug seterusy ttk eksetrk dr d V utuk setp = + b + + y + + b + + y + + b + + y + dlh d V utuk setp = + b + + y + + b + + y + + b + + y + dm Setelh eksetrsts ttk e ( ) d ttk eksetrk pd dgrf komplt multprtt b dcr seluty kt mempuy teorem berkut: 35
Jurl Mtemtk Vol No Aprl 008:3-37 Teorem 3 Dgrf eksetrs ters kedu pd dgrf komplt multprtt b dlh dgrf komplt multprtt b tu sedr Bukt: Dr kbt 3 pd dgrf eksetrs ters pertm ttk eksetrk dr d V utuk setp = dlh d V utuk setp = dm sehgg d busur dr ytu ttk eksetrk dr d V utuk setp = + + + b dlh d V utuk setp = + + + b dm sehgg d busur dr ytu demk ug seterusy ttk eksetrk dr d V utuk setp = + b + + y + + b + + y + + b + + y + dlh d V utuk setp = + b + + y + + b + + y + + b + + y + dm sehgg d busur dr ytu Sedgk pd ters kedu kre tdk d busur yg meghubugk tr setp hmpu ttk pd dgrf eksetrs ters pertm mk rk teruh (mksml lts terpedek) dr ttk ke setp ttk yg berbed hmpu ttky dlh sehgg ttk eksetrk dr d V utuk setp = dlh semu ttk sel d V ttk eksetrk dr d V utuk setp = + + + b dlh semu ttk sel d V demk ug seterusy ttk eksetrk dr d V utuk setp = + b + + y + + b + + y + + b + + y + dlh semu ttk sel d V Dr teorem 3 dpt dsmpulk bhw dgrf eksetrs ters kedu pd dgrf komplt multprtt b dlh dgrf komplt multprtt b tu sedr deg kt l ( b ) b ED = Jd k D dlh dgrf komplt multprtt mk ED D = ( ) D 3 PENUTUP Berdsrk pembhs dr sebelumy mk kesmpul yg dpt dmbl mege dgrf eksetrs pd dgrf skel dgrf komplt d dgrf komplt multprtt dlh sebg berkut: Dgrf eksetrs pd dgrf skel dlh dm semu rh busur ED berlw deg rh busur ( ) Dgrf eksetrs pd dgrf komplt dlh dgrf komplt tu sedr ED ( ) = 3 Dgrf eksetrs ters kedu pd dgrf komplt multprtt b dlh dgrf komplt multprtt b tu sedr ( b ) b ED = 36
Reto tur umlsr d Luc Rtsr Dgrf Eksetrs pd Dgrf Skel Dgrf omplt d ) 4 DAFTAR PUSTAA [] Bold J d M Mller (00) The Eccetrc Dgrph of Dgrph Proceedg of AWOA 0 Bdug [] hrtrd G d L Lesk (996) Grphs & Dgrphs 3 rd ed Lodo: hpm & Hll [3] utto Wd Nugroho (00) Dgrf eksetrs dr Grf Str Grf Double Str d Grf omplt Bprtt Uersts Jember wwwuecd/fkults/mp/skrps/ wdpdf ( Me 007) [4] Mller M J Gmbert F Ruskey Ad J Ry (00) Itertos of eccetrc dgrphs Proceedg of AWOA 0 Austrl [5] Rob J Wlso & Joh J Wtks (990) Grphs Itroductory Approch d: Joh Wley & Sos Ic [6] Wdy (00) Dgrf eksetrs pd Grf Pth (lts) Grf ycle (Skel) d Grf omplete (Legkp) Uersts Jember wwwuecd/fkults/mp/skrps/ wdypdf (8 September 007) 37