Estimasi Koefisien Fungsi Regular- Dari kelas Fungsi Analitik Bieberbach-Eilemberg

Transkripsi

1 Estimsi Koefisie Fugsi Regulr- Dri kels Fugsi Alitik Bieberbch-Eilemberg Oleh Edg Chy M.A Jurus Mtemtik FPMIPA UPI Abstrk Tulis ii mejelsk tetg estimsi koefisie fugsi regulr- yg dideretk, sebgi fugsi yg dibgu dri fugsi uivle pd ckrm stu, deg f(0)=0 d f (0)=. Estimsi dibhs dlh selisih modulus koefisie du suku berurut yg berideks egtif. Estimsi ii megguk hsil Grisp (978) sebgi hsil modifiksi sebelumy, seperti hsil Hym (963), Mili (968) d Hi (968). Seli itu, deg memftk hsil Rogiski, Nehri d Ahroov (970), dibhs pul estimsi modulus selisih du koefisie yg berbed td dri fugsi regulr- yg dibgu dri kels fugsi Bieberbch-Eilemberg. Pedhulu Fugsi berili kompleks f(z)=u(x,y)+iv(x,y) yg memeuhi syrt Cuchy-Riem diperumum (C-R-u) : u x = v y + u, u y = -v x - v, dikel sebgi fugsi regulr- (litik semu). Fugsi regulr- dpt dipdg sebgi perumum fugsi litik, kre fugsi litik merupk ksus khusus dri fugsi regulr-, yitu dlm hl = 0. Utuk meguji keregulr- d kelitik sutu fugsi, dpt diguk uji opertor diferesil L i x y. Fugsi f disebut regulr- jik berlku Lf f, d utuk kelitik diguk uji Lf = 0. Ii memberik rti bhw fugsi litik merupk fugsi yg hy bergtug pd vribel z. Sedgk utuk fugsi regulr-, tidk demiki. Ii berkibt, peyji fugsi litik dlm betuk deret kus hy bergtug pd z, k tetpi tidk demiki utuk fugsi fugsi regulr-. Schiff d Wlker dlm [4] membgu sebuh fugsi regulr- dri sebuh fugsi litik yg dideretk. Hsil tersebut diformulsik dlm teorem berikut.

2 Teorem Mislk f ( z) fugsi regulr- pd ckrm z, mk utuk z, dim liht [4]. f ( z) z r z r 0 0 ( ) i i e f ( e ) Keblik teorem di ts, dibuktik dlm teorem berikut. Teorem Mislk f ( z) z r z r 0 0 ( ) 0 koverge sergm pd ckrm z r, mk f regulr- pd z. Utuk membuktiky diperluk kesm d seljuty tujukk Lf x ( x) ( x) ( x), f. Akibt 3 Jik f ( z) z litik pd z mk fugsi regulr- pd z. 0 F z z r z r f ( ) 0 0 ( )

3 Seljuty, utuk memudhk peulis, fugsi regulr- di ts ditulis dlm betuk dim 0 f ( z) z r z r =, 0,,,3,... (+) Akibt di ts megtk bhw d pemet dri rug fugsi litik ke dlm rug fugsi regulr-. Estimsi Koefisie Fugsi Regulr- yg Dibgu dri kels Fugsi Bieberbch Mislk A(D) rug fugsi litik pd ckrm stu D, d A (D) rug fugsi regulr- pd ckrm stu D. Defiisik pemet T : A( D) A ( D) f F Dpt diperiks bhw T merupk isomorpism rug vektor ts rel ke dlm A (D). Seljuty perhtik kels fugsi litik uivle pd D, deg f(0)=0 d f (0)= yg diotsik oleh SA(D), d S =T(S) A (D). Kels fugsi ii bis disebut kels fugsi Bieberbch. Hsil Bieberbch yg telh dibuktik Louis de Brge [] terhdp kels fugsi S diperoleh. Goluzi (949) d Jeki (959) dlm [3], memberik estimsi bhw utuk sembrg f S, mk berlku Akhiry Grisp (976) dlm [3] memodifiksi hsil 3 Hym (963), Mili (968), d Hi (968), dlm [3] deg estimsi ,,,3,... f Seljuty mellui pemet di ts, diestimsi koefisie-koefisie fugsi regulr- yg dibgu dri kels fugsi Bieberbch, d diperoleh hsil berikut. 3

4 Akibt 4. 0 Jik f ( z) z r z r S, mk Deg megguk kesm koefisie dri deret, =, (+) kit peroleh Seljuty guk hsil Goluzi d Jeki. Akibt 5. 0 Jik f ( z) z r z r S, mk ( ) -.085,,,3,... ( ) - Deg megguk kesm koefisie deret,, kit peroleh ( ) -( ) ,,3,4,... Seljuty guk hsil Grisp, diperoleh.4985 ( ).805,,3, 4,... ( ) Tetpi, kre utuk = kit puy Jdi diperoleh.4985 ( ) ( ).805,,,3, 4,... 4

5 Estimsi Koefisie Fugsi Regulr- yg Dibgu dri kels Fugsi Bieberbch- Eilemberg Kels fugsi Bieberbch-Eilemberg dlh kels fugsi litik yg dpt ditulis dlm betuk f ( z) z z z dim f ( z) f ( ) utuk tip psg z d di dlm sutu ckrm stu D. Kels fugsi ii bis diotsik oleh B, d fugsi regulr- yg dibgu dri kels fugsi ii bis diotsik oleh B. Rogiski dlm [3] meujukk bhw utuk sembrg fugdi di B berlku,. Thu 970, Ahroov d ehri dlm [3] secr terpish meujukk bhw. Mellui pemet dri kels fugsi litik ke kels fugsi regulr-, diestimsi koefisie-koefisie fugsi regulr- yg dibgu dri kels fugsi Bieberbch- Eilemberg, d diperoleh hsil berikut. Cotoh 3 Perhtik fugsi Koebe f ( z) z z 3 z...di S, pd ckrm stu D(0,). z Fugsi regulr- yg dibgu dri fugsi Koebe dlh z ( ) F z ( r) z ( r). f 0 Akibt 6. 0 Jik f ( z) z r z r B, mk, =,,3,... 5

6 . Akibt 7 0 Jik f ( z) z r z r B, mk. 6 6 Dftr Pustk [] De Brges, L. (985), A proof of the Bieberbch cojecture, Act Mth. 54, [] Duffi, R. J. (97), Yukw potetil theory, J. Mth. Al. Appl. 35, [3] Dure, P. L. (983), Uivlet Fuctios, Spriger-Verlg, New York. [4] Schiff, J.L., W.J. Wlker (990), A Bieberbch coditio for clss of pseudo lytic fuctios, J. Mth. Al. Appl. 46 No.,