( ) τ k τ HASIL DAN PEMBAHASAN. Perumusan Penduga Bagi θ

Transkripsi

1 HASIL DAN PEMBAHASAN Perumus Pedug Bgi θ Mislk N dlh proses Poisso pd itervl [, deg rt µ yg kotiu mutlk, d fugsi itesits λ yg teritegrlk lokl Sehigg, utuk setip himpu Borel terbts B mk: µ ( B Ε N( B λ( s < Fugsi λ disumsik terdiri ts du kompoe yitu kompoe periodik λ, deg periode > (dikethui d kompoe tre lier s, deg slope tidk dikethui Deg kt li, utuk setip s [,, fugsi itesits λ dpt ditulisk sebgi berikut: λ( s λ ( s s ( deg λ ( s dlh fugsi periodik deg periode Dlm tulis ii, kit sumsik λ dlh periodik sehigg persm λ( s k λ( s ( berlku utuk setip s [, d k, deg dlh himpu bilg bult Cotoh fugsi itesits yg memeuhi persm ( dlh π s λ( s 4expos s, yg grfiky dpt diliht pd gmbr berikut 3 B Gmbr Cotoh grfik fugsi itesits periodik deg tre lier Di sii kit perhtik proses Poisso titik pd [, kre λ hrus memeuhi ( d hrus tk-egtif Deg ls yg sm, kit hy perhtik utuk ksus > Mislk utuk sutu ω Ω, d sebuh relissi N( ω dri proses Poisso N yg didefiisik pd rug pelug (Ω,F,P deg fugsi itesits λ seperti pd (, yg dimti pd itervl terbts [,] Tuju kit dlm pembhs ii dlh utuk mempeljri peyusu pedug kosiste bgi itesits globl θ µ ([, ] λ ( s (3 dri kompoe periodik λ dri fugsi itesits λ pd ( Pd tulis ii, kit sumsik bhw periode dikethui (seperti: stu hri, stu miggu, d li-li, tetpi slope d fugsi λ pd [, keduy tidk dikethui Pd situsi ii kit defiisik pedug d θ sebgi berikut N( [, ] ˆ (4 d ˆ N([ k,( k ] [, ] θ l / k ( k ˆ l ( / Pedug yitu ˆ diperoleh dri: ([ ] Ε N, ( λ ( s s λ ( s s λ ( s ( Bil kedu rus dibgi deg mk persm di ts mejdi ([ ] λ ( s ΕN, Bgi pertm dpt ditulis sebgi λ( s λ( s λ ( s Perhtik bhw merupk rt-rt λ ( s pd itervl [,] yg 6

2 merupk sutu kostt Semetr koverge ke jik Mk ΕN( [, ] Deg kt li ΕN( [, ] Sehigg diperoleh pedug seperti pd (4 Seljuty, kit urik ide utuk megkostruksi pedug dri θ yitu ˆ θ sebgi berikut: ( k θ λ ( s (6 k Mislk L Ι ( k [, ], mk k k deg (6 diperoleh: θ θ Ι( k [, ] L k k ( k λ (( s s [, ] L k k Ι k Deg megguk persm ( mk kutits di ts sm deg ( k θ ( λ( s s Ι( s [, ] L k k k k k ( k λ(( s Ι s [, ] L k k ( k ( s Ι( s [, ] L k k Deg perubh bts itegrl pd suku kedu rus k persm di ts, mk diperoleh ( k θ λ(( s Ι s [, ] L k k ( s k ( s k [, ] L k k Ι Ε X ([ k,( k ] [, ] L k k s ( s k [, ] L Ι k k k k Ι ( s k [, ] L (7 Perhtik bhw Ι ( s k [, ] L O ( L k k (8 (liht Tithmrsh 96 d s Bgi kedu pd (7 dlh Mislk ζ ( x k [, ] Ι k (9 Perhtik bhw ζ utuk setip Bgi ketigy mejdi ( s k [, ] L Ι ζ k L ζ L L L ( dim ζ utuk setip Sehigg (7 mejdi Ε N( [ k,( k ] [, ] θ L k k L ( Dri ( d L l deg diperoleh: Ε N( [ k,( k ] [, ] θ l / k ( k l / ( ( Deg megmbil pd stokstik dri bgi pertm, mk diperoleh persm ( d jug meggti deg (kre belum dikethui ˆ 7

3 Pedekt Asimtotik utuk Bis d Rgm dri ˆ θ Lem 6: Mislk fugsi itesits λ memeuhi ( d teritegrlk lokl, mk θ Ε ( ˆ O (3 d Vr( ˆ O 3 (4 deg Sehigg ˆ merupk pedug yg kosiste Me Squred Error (MSE-y diberik oleh MSE( ˆ ( ˆ ( ˆ bis Vr Dri (3 θ Bis( ˆ ˆ Ε O, jik Dri (4 diperoleh Vr( ˆ O 3 sehigg 4θ MSE( ˆ O 3 ( (4θ O 3 jik Bukti dri lem ii dpt diliht pd jurl Helmers d Mgku ( Teorem : (Kekosiste ˆ θ Mislk fugsi itesits λ memeuhi ( d teritegrlk lokl, mk ˆ P θ θ jik ( Deg kt li, ˆ θ merupk pedug yg kosiste bgi θ MSE dri ˆ θ koverge ke jik Bukti: Teorem k dibuktik setelh bukti Teorem Teorem : (Pedekt Asimtotik utuk Bis d Rgm dri ˆ θ Mislk fugsi itesits λ memeuhi ( d teritegrlk lokl, mk ˆ ( γθ ( γ/ ζ Ε ( θ θ o l l ( (6 jik Deg γ,77 dlh kostt Euler Sert π ( γ 6 ( ˆ Vr θ l ( / ( l ( / o ( l (7 Bukti: Pertm, k dibuktik (6 Nili hrp dri persm ( dlh ˆ Ε N( [ k,( k ] [, ] Ε θ k k l Εˆ l (8 Bgi pertm pd (8 sm deg Ε N( [ k,( k ] [, ] k k l k λ( x Ι( x [, ] k k l k Deg perubh bts itegrl, mk persm di ts mejdi λ( x k Ι ( x k [, ] k k l Deg persm ( diperoleh λ ( x k ( x k k k l Ι ( x k [, ] λ ( x k Ι ( x k [, ] k k l xι ( x k [, ] k k l kι ( x k [, ] k k l 8

4 Deg persm (, persm di ts mejdi λ ( x ( x k [, ] l / Ι k ( ( ( k k k x ( x k [, ] l / Ι k Ι ( x k [, ] l / (9 Dikethui bhw Ι ( x k [, ] l γ o ( k k, ( x, jik d sergm pd [ ] (Liht Tithmrsh 96 Deg mesubstitusi ( pd bgi pertm (9, mk λ ( x Ι ( x k [, ] k k l λ ( x l γ o( l γ λ( x λ( x l λ ( x ( o( l θγ θ o l l ( Deg r yg sm, bgi kedu pd (9 mejdi x Ι ( x k [, ] k k l [, ] x l γ o( l γ o( x x x l l Kre x, mk persm di ts mejdi γ o l l γ o, l l ( jik Perhtik bhw Ι ( x k [, ] ζ k (liht Tithmrsh 96 (3 Sehigg bgi ketig pd (9 mejdi Ι ( x k [, ] k l ζ l ζ l l ζ (4 l l Deg mesubstitusik (3 ke bgi persm (8, mk Εˆ l θ O l θ O l θ O l l θ O l l jik ( 9

5 Deg meggbugk (, (, (4 d (, mk persm (6 terbukti sebgi berikut ˆ θγ Ε ( θ θ o l ( / l γ o l ( / l l ( / ζ l / l / ( ( θ O l / ( θγ ( γ / ζ θ θ o l / l ( γ ( ( γθ ζ θ o l / l ( jik Seljuty k dibuktik persm (7 Telh didefiisik pedug bgi θ yitu ˆ θ pd persm ( Mislk didefiisik N([ k,( k ] [, ] A k k l (6 d B ˆ l ( / (7 Sehigg kit dpt meulisk ˆ θ A B (8 Kemudi kit dpt meghitug rgm dri ˆ θ sebgi berikut Vr( ˆ θ Vr( A Vr( B Cov( A, B (9 Ctt, utuk setip j k, j, k,,, mk ([ j,( j ] [, ] ([ k,( k ] [, ] d tidk slig tumpg tidih (tidk overlp Sehigg N j,( j [, ] N k,( k [, ] ([ ] d ([ ] dlh bebs, utuk k j Sehigg Vr( A dpt dihitug sebgi berikut Vr( A Vr( N([ k,( k ] [, ] ( l( / k λ( x k( Ι x k [, ] ( l( / k Deg megguk persm (, mk Vr ( A λ( ( ( [, ] x k x k Ι x k k ( l ( / λ( ( [, ] x kι x k k ( l ( / ( ( [, ] x k Ι x k k ( l ( / Kemudi, deg persm ( diperoleh Vr( A ( ( [, ] λ x Ι x k k k ( l ( / x Ι ( x k [, ] k k ( l ( / Ι ( x k [, ] k k ( l ( / (3 Perhtik bhw π Ι ( x k [, ] o ( k k 6 (3 x, (Liht jik, sergm pd [ ] Tithmrsh 96 Deg megguk persm (3, bgi pertm dri persm (3 mejdi λ ( x Ι ( x k [, ] ( l ( / k k π ( ( λ x o l ( / 6 ( π o( θ 6 ( l ( / π 6, o ( l ( / l ( jik (3

6 Bgi keduy mejdi x Ι ( x k [, ] l / k k ( ( π x o( 6 ( l ( / π o( 6 ( l ( / π 6 o, ( l ( / l ( (33 jik Deg megguk persm (, bgi ketigy mejdi Ι ( x k [, ] k k l l γ o( l l γ o( l γ o l l ( l (34 jik Deg meggbugk persm (3, (33 d (34, diperoleh π γ 6 Vr( A l / l / ( ( ( o ( l (3 Seljuty, deg megguk persm (4 Vr( B mejdi Vr( B Vr ˆ l ( Vr( ˆ Vr l ( O 3 l ( / O, ( l ( / l ( / jik (36 Kemudi, k kit hitug Cov( A, B sebgi berikut: Cov( A, B l ( / l ( / Cov( N ([ k,( k ] [, ], N ([, ] k Kre N( [ k,( k ] [, ] dlh himpu bgi dri N [, ], mk ( Cov(A,B dpt ditulis sebgi berikut Cov( A, B ( l ( / l ( / Vr ( N ([ k,( k ] [, ] k Kre N dlh peubh k Poisso, mk Vr( N Ε N Sehigg kit peroleh Cov( A, B ( l ( / l ( / ( λ ( x x ( x k [, ] Ι k ( l ( / l ( / (37 Substitusi persm ( ke bgi pertm persm (37 k kit peroleh O, jik l ( Llu deg mesubstitusi persm (3 ke bgi kedu persm (37 k diperoleh O, jik l l ( Mk Cov( A, B O ( l ( / l ( / Sehigg bgi ketig persm (9 mejdi

7 4 Cov( A, B O, jik Mk Teorem terbukti ( l ( / l ( / Bukti Teorem : Deg megguk persm (6, diperoleh lim Ε( ˆ θ γ ( ( γθ ζ lim θ o l( / l θ Atu dpt ditulis sebgi Ε ( ˆ θ θ o(, jik (38 Sedgk persm (7 megkibtk lim Vr( ˆ θ π ( γ 6 lim θ ( l l l Dpt ditulis jug sebgi Vr( ˆ θ o(, jik (39 Seljuty, k dibuktik bhw ˆ θ dlh pedug kosiste bgi θ, yitu bhw utuk setip ε > berlku Ρ ˆ θ θ > ε, jik ( Rus kiri persm di ts dpt ditulis sebgi berikut Ρ ˆ θ θ > ε Ρ ˆ θ Ε ˆ θ Ε ˆ θ θ > ε ( ( (4 Deg ketksm segitig mk persm (4 mejdi Ρ ˆ θ Ε ˆ θ Εˆ θ θ > ε ( ( θ θ ε θ θ Ρ ˆ Ε ˆ > Εˆ (4 Berdsrk persm (38, mk d o sehigg ˆ ε Εθ θ, (4 utuk setip > o Deg mesubstitusik persm (4 ke persm (4, mk rus k persm (4 mejdi ˆ ˆ ε Ρθ Ε θ > Kemudi diperoleh ( ˆ ˆ ˆ ε Ρ θ θ > ε Ρ θ θ Ε > Deg megguk pertksm Chebyshev, mk 4 ( ˆ ˆ ˆ ε Vr θ Ρθ Ε θ > ε (43 Deg (39, mk rus k persm (43 koverge ke jik Me Squred Error-y dlh ˆ MSE( θ Bis ( ˆ θ Vr( ˆ θ Dri persm (38, diperoleh Bis( ˆ θ Ε ˆ θ θ o(, jik, sehigg Bis ( θ o(, jik Dri persm (39, diperoleh Vr( ˆ θ o(, jik ˆ Jdi, MSE( ˆ θ o(, jik, deg kt li MSE( ˆ θ, jik Mk Teorem terbukti Reduksi Bis Utuk megevlusi bis dri ˆ θ, kit perhtik sutu ksus khusus, yitu proses Poisso deg fugsi itesits λ( s λ ( s s π s Aexp ρos φ s Kit pilih ρ,, φ d Deg prmeter tersebut, fugsi itesits mejdi π s λ( s Aexp os s (44 Kit pertimbgk tig ili θ yitu θ66 (A, θ 3 (A d θ644 (A 4 Utuk A, kit peroleh π s θ exp os 66 Kit guk itervl pegmt [,]

8 Cotoh : Pd otoh ii kit peljri perilku dri θ (dlm Teorem, deg fugsi ˆ itesits λ(s diberik oleh (44 Pedekt simtotik bgi bis d rgm pd Teorem k dibdigk deg sutu hsil simulsi yg dimbil dri Mgku ( (i Utuk θ 66, deg persm (6 d (7 diperoleh pedug simtotik utuk bis d rgm dri ˆ θ sebgi berikut: Bis ( ˆ θ Εˆ θ θ 778 ( 778(66 ( l(/ π ( 778 ˆ 6 Vr ( θ l l 3 Dri simulsi, deg megguk M, relissi yg bebs dri proses N yg diobservsi pd itervl [,], diperoleh Bis ˆ ( ˆ θ 3793 d Vr ˆ ( ˆ θ, dim Bis ˆ ( ˆ θ dlh rt-rt otoh (yg diperoleh dri simulsi dikurgi ili θ yg sebery d Vr ˆ ( ˆ θ dlh rgm otoh Jdi, Bis( ˆ θ Bis ˆ ( ˆ θ 3734 ( Vr( ˆ θ Vr ˆ ( ˆ θ 3 (ii Utuk θ3, deg (6 d (7, d dri simulsi (M diperoleh Bis( ˆ θ Bis ˆ ( ˆ θ 737 ( d Vr( ˆ θ Vr ˆ ( ˆ θ (iii Utuk θ644, deg (6 d (7 d simulsi (M diperoleh Bis( ˆ θ Bis ˆ ( ˆ θ 3938 ( 4 7 d Vr( ˆ θ Vr ˆ ( ˆ θ Dri Cotoh, kit liht bhw pedug simtotik utuk bis d rgm pd (6 d (7 sudh ukup bik utuk memperkirk bis d rgm dri pedug ˆ θ deg ukur otoh yg terbts Tetpi bis dri ˆ θ msih ukup besr Kit dpt mereduksi bis ii deg membhk pedug dri bgi kedu pd persm (6 ke dlm ˆ θ Deg demiki, kit peroleh pedug deg bis yg telh dikoreksi utuk θ sebgi berikut ˆ γ ( γ θ ˆ ζ ˆ ˆ θ θ b, l (4 Teorem 3: (Pedekt Asimtotik utuk Bis d Rgm dri ˆ θ b, Mislk fugsi itesits λ memeuhi ( d teritegrlk lokl, mk ˆ Ε θ θ o b, l (46 jik, d π ( γ ˆ 6 Vr( θ b, l ( / l / jik o, (l ( ( (47 Bukti: Pertm, k dibuktik persm (46 Utuk membuktiky, kit tulis kembli pedug ˆ θ b, pd (4 sebgi berikut ˆ ( γ ˆ ( γ / ζ θ ˆ b, θ l( / l( / (48 Deg (6, ili hrp bgi pertm pd (48 mejdi 3

9 ( γ ˆ Εθ l( / ( ( ( γ ( γθ γ/ ζ θ o l( / l l γ ζ θ o, l l (49 jik Deg (3, ili hrp bgi kedu pd (48 mejdi ( γ / ζ Ε ˆ l( / ( γ / ζ θ O l( / ( γ / ζ o, l ( / l ( Jik Kemudi, deg meggbugk (49 d (, kit peroleh persm (46 Seljuty, k dibuktik persm (47 Deg megguk (48, Vr( ˆ θ dpt dihitug sebgi berikut b, Vr( ˆ θ b, γ ζ ( γ ˆ Vr( θ Vr( ˆ l / l / ( ( ( γ ζ ( γ Cov( ˆ θ, ˆ l ( / l ( / ( Deg (7, bgi pertm persm ( sm deg π ( γ 6 l ( / l / l / o ( l ( ( ( ( π ( γ 6 o, l ( / ( l ( / ( l ( jik Deg (4, bgi kedu pd ( dlh O yg mejdi o (l (l jik Kemudi deg pertksm Cuhy-Shwrz, bgi ketig ( mejdi o jik Sehigg, (l diperoleh (47 Teorem 3 terbukti Cotoh : Pd otoh ii, kit peljri perilku dri pedug ˆ θ, b pd persm (4 deg fugsi itesits λ(s pd (44 Hsil simulsi yg diguk sebgi pembdig dimbil dri Mgku ( (i Utuk θ 66, dri simulsi (M d deg (47, diperoleh pedug simtotik utuk bis d rgm dri ˆ θ sebgi berikut: b, Bis ˆ ( ˆ θ b, 9 d Vr ( ˆ θb, (66/ /( π /6 ( 778 l l 83 Vr ( ˆ θ Vr ˆ ( ˆ θ b, b, (ii Utuk θ3, dri simulsi (M d deg (47, diperoleh Bis ˆ ( ˆ θ 6 b, Vr( ˆ θ Vr ˆ ( ˆ θ b, b, 47 (iii Utuk θ644, dri simulsi (M d deg (47, diperoleh Bis ˆ ( ˆ θ 3993 b, Vr( ˆ θ Vr ˆ ( ˆ θ 78 b, b, 33 Jels bhw bis dri ˆ θ, b juh lebih keil dri bis ˆ θ Jdi, reduksi bis pd (4 berhsil 4