RANK MINIMUM MATRIKS HERMITE YANG DIGAMBARKAN GRAF G SKRIPSI

Transkripsi

1 RANK MINIMUM MATRIKS HERMITE YANG DIGAMBARKAN GRAF G SKRIPSI Oleh: MOHAMAD SYAFI I NIM. 8 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

2 RANK MINIMUM MATRIKS HERMITE YANG DIGAMBARKAN GRAF G SKRIPSI Djuk Kepd: Uversts Islm Neger Mul Mlk Irhm Mlg Utuk Memeuh Slh Stu Persyrt Dlm Memperoleh Gelr Srj Ss S.S Oleh: MOHAMAD SYAFI I NIM. 8 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

3 RANK MINIMUM MATRIKS HERMITE YANG DIGAMBARKAN GRAF G SKRIPSI Oleh: MOHAMAD SYAFI I NIM. 8 Telh Dperks d Dsetuju utuk Duj Tggl: Mret Pemmg I, Pemmg II, Adusskr, M.Pd NIP. 9 Dr. H. Ahmd Brz, M.A NIP Megethu, Ketu Jurus Mtemtk Adusskr, M.Pd NIP. 9

4 RANK MINIMUM MATRIKS HERMITE YANG DIGAMBARKAN GRAF G SKRIPSI Oleh: MOHAMAD SYAFI I NIM. 8 Telh Dperthk d Dep Dew Peguj Skrps d Dytk Dterm seg Slh Stu Persyrt utuk Memperoleh Gelr Srj Ss S.S Tggl: Mret Susu Dew Peguj Td Tg. Peguj Utm : Evwt Alsh, M.Pd NIP Ketu : Whyu Heky Irw, M.Pd NIP. 9. Sekretrs : Adusskr, M.Pd NIP. 9. Aggot : Dr. H. Ahmd Brz, M.A NIP Megethu d Megeshk, Ketu Jurus Mtemtk Adusskr, M.Pd NIP. 9

5 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Sy yg ertd tg dwh : Nm : Mohmd Syf NIM : 8 Jurus : Mtemtk Fkults : Ss d Tekolog Meytk deg seery hw skrps yg sy tuls er-er merupk hsl kry sy sedr, uk merupk pegml lh dt, tuls tu pkr org l yg sy ku seg hsl tuls tu pkr sy sedr, kecul deg mectumk sumer cuplk pd dftr pustk. Apl dkemud hr terukt tu dpt duktk skrps hsl jplk, mk sy ersed meerm sks ts perut terseut. Mlg, Ferur Yg memut peryt Mohmd Syf NIM. 8

6 MOTTO Tuhmu td megglk kmu d td pul ec kepdmu; d Sesugguhy hr kemud tu leh k gmu drpd yg sekrg permul; d kelk Tuhmu pst memerk kru-ny kepdmu, llu ht kmu mejd pus. QS. Ad Dhuh:- Igt-gtlh tuju kl dr rumh Peemu terhet dr ms ke ms dlh hw kt dpt meguh ms dep kt hy deg meguh skp kt Oprh Wfrey

7 HALAMAN PERSEMBAHAN Peuls persemhk skrps kepd: Ayh, u d kelurg peuls, yg telh memerk segly. Seluruh guru peuls, yg telh memerk lmu d shty. Tem-tem, yg telh memerk semgt d pegert.

8 KATA PENGANTAR Alhmdulllhrrol lm, segl puj syukur ke hdrt Allh SWT ts lmph rhmt, tufq d hdyh-ny, sehgg peuls dpt meyelesk skrps deg k. Sholwt sert slm semog sets tercurhk kepd N esr Muhmmd SAW seg uswtu hsh dlm merh kesukses d du d khrt. Seljuty peuls hturk ucp term ksh serg do d hrp jzkumullh hsl jz kepd semu phk yg telh memtu selesy skrps. Ucp term ksh peuls smpk kepd:. Prof. Dr. H. Imm Supryogo, selku rektor UIN Mul Mlk Irhm Mlg, yg telh yk memerk pegethu d peglm yg erhrg.. Prof. Drs. Sutm Bmg Sumtro, SU., D.Sc, selku Dek Fkults Ss d Tekolog Uversts Islm Neger Mul Mlk Irhm Mlg.. Adusskr, M.Pd selku Ketu Jurus Mtemtk d dose pemmg yg telh memerk pegrh d peglm yg erhrg.. Dr. H. Ahmd Brz, M.A, selku dose pemmg II, yg telh memerk sr d tu selm peuls skrps.. Adul Azz, M.S selku dose wl, yg telh memerk pegrhpegrh d sht-sht yg sgt peuls utuhk.

9 . Seluruh dose jurus Mtemtk, termksh ts seluruh lmu d mgy.. Bpk, Iu, d kelurg terct, yg sets memerk do d restuy kepd peuls dlm meutut lmu. 8. Seluruh guru peuls terutm Alm. K.H. Adul M Syukur, yg telh memerk lmu d shty. 9. Sht-sht terct, yg telh memerk peglm d keg dlm hdup.. Tem-tem Podok Pestre Al Qur Nurul Hud, yg sellu memerk sr d do kepd peuls.. Tem-tem Mtemtk gkt, term ksh ts do sert keg yg kl erk.. Semu phk yg tdk mugk peuls seut stu perstu, ts kekhls tu morl d sprtul, peuls ucpk term ksh. Semog skrps ermft d dpt memh wws kelmu khususy mtemtk. Ame. Mlg, Ferur Peuls

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... v DAFTAR SIMBOL... v DAFTAR LAMPIRAN... x ABSTRAK... x ABSTRACT... x BAB I : PENDAHULUAN. Ltr Belkg.... Rumus Mslh.... Bts Mslh.... Tuju Peuls.... Mft Peelt.... Metode Peelt.... Sstemtk Peuls... BAB II KAJIAN PUSTAKA. Kj Teor Grf dlm Al-Qur Grf..... Defs Grf..... Derjt Ttk..... Jl, Trl, Lts, Srkut, d Skel...

11 .. Grf Terhuug Grf Komplt/Complete Grph K..... Grf Lts/Pth Grph P..... Grf Skel/Cycle Grph C Grf Bprts Komplt Grf Btg/Str Grph S..... Sugrf..... Sugrf Terdukug.... Mtrks..... Kosep Dsr Mtrks..... Mtrks Smetr..... Mtrks Hermte..... Elms Guss Jord Rug Vektor d Surug.... Bss d Dmes.... Rug Brs, Rug Kolom, d Rug Null.... Rk....8 Huug Mtrks d Grf Mtrks Adjcecy Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf G... BAB III PEMBAHASAN. Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf Komplt.. 9. Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf Lts... Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf Skel C.... Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf Bprts Komplt K m,... 8 BAB IV PENUTUP. Kesmpul v

12 . Sr DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN v

13 DAFTAR GAMBAR Gmr. Represets Tt Sury pd Grf Superstr... Gmr. Represets Kehdup Mus pd Grf Lts... Gmr. Grf G Berorder... Gmr. Grf deg Derjt Ttk... Gmr. Grf Terhuug Grf Tk Terhuug...9 Gmr. Grf G... 9 Gmr. Grf Komplt... Gmr.8 Beerp Betuk Grf Lts... Gmr.9 Grf Skel C, C, d C... Gmr. Grf Bprts Komplt K,, K,, d K,... Gmr. Grf Btg K, d K,... Gmr. Grf G... Gmr. H Sugrf dr G... Gmr. Grf G... Gmr. G[U] Merupk Sugrf Terdukug oleh U d Grf G... Gmr. Grf G... Gmr. Grf K...9 Gmr. Grf K... Gmr. Grf P... Gmr. Grf P 8... Gmr. Grf P 9... v

14 Gmr. Grf C... Gmr. Grf K m,...8 Gmr.8 Grf K,...8 Gmr.9 Grf S...88 v

15 DAFTAR SIMBOL AG Mtrks djcecy dr grf G. R Rk dr mtrks Hermte yg dgmrk oleh grf G. H G mr H G Rk mmum dr mtrks Hermte yg dgmrk oleh grf G. v

16 DAFTAR LAMPIRAN Progrm MATLAB Rk Mmum yg Dgmrk Grf G x

17 ABSTRAK Syf, Mohmd.. Rk Mmum Mtrks Hermte Yg Dgmrk Grf G. Skrps. Jurus Mtemtk Fkults Ss d Tekolog Uversts Islm Neger Mul Mlk Irhm Mlg. Pemmg: I. Adusskr, M.Pd. II. Dr. H. Ahmd Brz, M.A. Kt Kuc: Rk Mmum, Mtrks Hermte, Grf. Rk mmum dr mtrks Hermte yg dgmrk oleh grf G ddefsk deg rk terkecl dr mtrks Hermte dm usur-usur ke-j dlm mtrks terseut dlh:. Utuk j dlh tkol, jk,j dlh ss d G.. Utuk j ly dk.. utuk yg ly. Pd skrps hy meetuk rk mmum yg dgmrk oleh grf komplt, grf lts, grf skel, grf prts komplt, d grf str. Dlm meetuk rk mmum yg dgmrk grf terseut deg cr grf yg dgmrk detuk dlm mtrks djcecy, kemud dkemgk mejd eerp mtrks Hermte, setelh tu dcr rk dr eerp mtrks terseut, sehgg dperoleh rk mmum. Dlm mecr rk mtrks dguk opers rs elemeter d deg tu progrm Mtl. Hsl peelt dperoleh :. mr H, d K. mr H, d P. mr H, d C K m,,. mr H, m. mr H S, x

18 ABSTRACT Syf, Mohmd.. The Mmum Rk of Hermt Mtrces Descred y Grph. Thess. Mthemtcs Deprtmet Scece d Techology Fculty Stte Islmc Uversty Mul Mlk Irhm of Mlg. Advsor: I. Adusskr, M.Pd. II. Dr. H. Ahmd Brz, M.A. Keywords: Mmum Rk, Hermt Mtrces, Grf. The mmum rk of Hermt mtrces descred y grph s defed to e the smllest rk over ll Hermt mtrces whose etres j-th of ts mtrces re:. For j s ozero wheever,j s edge G. For j s gored. Zero, for otherwse Ths thess oly determto of mmum rk descred y complete grph, pth grph, cycle grph, prtte complete grph, d str grph. The method Determto of mmum rk descred grph s from grph, the fdg the djcecy mtrx, the developed to Hermt mtrces, fter tht lookfor rk from ts to get the rk mmum. I determto rk mtrces usg elemetry row opertos d Mtl Progrm. The result ths thess re :. mr H, d K. mr H, d P. mr H, d C K m,,. mr H, m. mr H S, x

19 BAB I PENDAHULUAN.. Ltr Belkg Ilmu dlh pegethu tetg sesutu dg yg dsusu secr ersstem meurut metode-metode tertetu yg dpt dguk utuk meergk gejl-gejl tertetu d dg pegethu tu Kmus Besr Bhs Idoes, 989. Iu Khldu memg kelompok lmu ke dlm du kelompok ytu :. Ilmu yg merupk sutu yg lm pd mus, yg s meemuky kre kegt erpkr.. Ilmu yg ersft trdsol ql Rchm, :. Mtemtk merupk slh stu cg lmu pegethu, hk Crl Fredrch Guss megtk mtemtk seg "Rtuy Ilmu Pegethu". Meurut Kerm d Stggg : mtemtk merupk peelh tetg lg-lg, etuk-etuk d lmg-lmg. Berkt deg defs terseut, mtemtk sergkl dg mejd tg cg, ytu ljr, lss d geometr. Aljr memhs tetg lg d pegstrky, lss memhs kekoverge d lmt, sedgk geometr memhs tetg etuk d kosep-kosep yg erkt. Dlm perkemg seljuty, cg mtemtk mejd semk yk d slh stuy dlh teor grf. Teor grf erkemg sgt pest, hk dlm perkemgy dpt dsejjrk deg ljr yg leh dhulu erkemg. Mtemtk pd dsry erkt deg pekerj meghtug, sehgg tdk slh jk kemud d yg meyeut lmu htug tu lmu Al-hs. Dlm

20 urus htug meghtug, Allh dlh rjy. Allh sgt cept dlm meghtug d sgt telt. Dlm hl Allh erfrm dlm surt Al-Bqrh yt : Arty : Merek tulh org-org yg medpt hg drpd yg merek ushk; d Allh sgt cept perhtug-ny.qs Al-Bqrh:. Dews semk yk mucul peggu model mtemtk mupu pelr mtemtk seg lt tu dlm meyelesk permslh yg dhdp dlm erg dspl lmu. Teor grf merupk slh stu cg mtemtk yg petg d yk mfty kre teor-teory dpt dterpk utuk memechk mslh dlm kehdup sehr-hr. Teor grf mempuy yk plks dlm olog, lmu komputer, ekoom, tekk, formtk, lgustk, mtemtk, keseht, d lmu-lmu sosl. Dlm erg hl, grf mejd lt pemodel yg sgt k utuk mejelsk d meyelesk sutu permslh Adusskr, Azzh, d Nofdk, 9:. Sutu Grf G dlh hmpu tdk kosog d erhgg dr ojek-ojek yg dseut ttk, ersm deg hmpu kemugk kosog psg tk erurut dr ttk-ttk yg ered d G yg dseut ss. Hmpu ttk d G dotsk deg VG, sedgk hmpu ss dotsk deg EG Chrtrd d Lesk, 98:. Mslk terdpt sutu grf G, dr sutu grf terseut detuk mejd mtrks djcecy tu mtrks keterhuug. Mtrks djcecy sutu grf G dlh mtrks smetr deg usur ol d stu, d memut l ol pd dgol

21 utmy. Berl stu jk tr ttk stu deg ttk ly terhuug lgsug, sedgk erl ol jk ttk yg stu deg ttk ly tdk terhuug lgsug Adusskr, Azzh, d Nofdk, 9: -. Dr mtrks djcecy grf terseut dpt dcr rky. Dmes umum dr rug rs d rug kolom dr sutu mtrks A dseut rk dr A d dytk seg rka Ato d Rorres, :9. Mtrks djcecy merupk mtrks smetr. Jk dr mtrks djcecy druh mejd mtrks Hermte, yg m usur-usury dlh lg kompleks tk ol jk tr ttk dlm grf terseut terhuug lgsug d ol jk tr ttk dlm grf terseut tdk terhuug lgsug, sedgk utuk usur dgoly dk. Setelh detuk mejd eerp mtrks Hermte, mk dpt dcr rk dr mtrks Hermte terseut, kre pemer usur-usur lg kompleks ersft rdom, mk dpt dperoleh rk mmum dr mtrks Hermte yg dgmrk oleh grf G. Peelt seelumy tetg rk mmum dr mtrks yg dgmrk grf G hy dkj dlm etuk mtrks djcecy, mtrks smetr yg usurusury modulo Z, d mtrks smetr rel. Oleh kre tu peuls g megemgk d meelt tetg rk mmum dr mtrks Hermte yg dgmrk grf G, kre mtrks Hermte jug merupk mtrks smetr deg semest lg kompleks. Dr ltr elkg d ts, peuls g memhs rk mmum mtrks Hermte yg dgmrk Grf G. Oleh kre tu peuls memer judul pd skrps "Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf G".

22 .. Rumus Mslh Adpu rumus mslh pd peelt dlh gm pol rk mmum mtrks Hermte yg dgmrk grf G?.. Bts Mslh Adpu ts mslh pd peelt dlh peuls hy memts pd grf komplt K, grf lts P, grf skel C, grf prts komplt K m,, grf tg S... Tuju Peelt Meetuk d memuktk pol umum dr rk mmum mtrks Hermte yg dgmrk grf G... Mft Peelt Adpu mft peelt dlh :. Jurus Mtemtk Hsl pemhs dpt dguk seg tmh h dlm pegemg lmu mtemtk khususy d klg mhssw jurus mtemtk.. Peelt Mellu peelt dpt memh pegus mter, seg peglm dlm melkuk peelt d meyusu kry lmh dlm etuk skrps, sert med utuk megplksk lmu mtemtk yg telh dterm dlm dg kelmuy.. Pegemg lmu pegethu

23 Memh khsh d mempertegs kelmu mtemtk khususy dlm perkemg teor grf d ljr ler elemeter... Metode Peelt Metode yg dguk dlm peelt dlh metode peelt kepustk lrry reserch tu kj pustk, yk melkuk peelt utuk memperoleh dt-dt d forms-forms sert ojek yg dguk dlm pemhs mslh terseut. Stud kepustk merupk pempl rgumets pelr kelmu utuk memprk hsl olh pkr mege sutu permslh tu topk kj kepustk yg dhs dlm peelt. Adpu lgkh-lgkh yg k dguk oleh peelt dlm memhs peelt dlh seg erkut:. Mecr ltertur utm yg djdk cu dlm pemhs.. Megumpulk erg ltertur pedukug, k yg ersumer dr uku, jurl, rtkel, dktt kulh, teret, d ly yg erhuug deg permslh yg k dhs dlm peelt.. Memhm d mempeljr kosep rk, teor grf : defs grf, grf terhuug, grf komplt K, grf lts P, grf skel C, grf prts komplt K m,, grf tg S, mtrks djcecy, mtrks Hermte.. Memut cotoh-cotoh grf k utuk grf lts P, grf komplt K, grf skel C, grf prts komplt K m,, grf tg S.. Memetuk cotoh-cotoh grf terseut mejd mtrks djcecy.. Memetuk mtrks djcecy mejd eerp mtrks Hermte

24 . Megguk opers rs elemeter d progrm Mtl utuk meghtug rk dr mtrks-mtrks Hermte terseut. 8. Meetuk pol umum rk mmum mtrks Hermte yg dr grf-grf terseut. 9. Memuktk pol umum rk mmum mtrks Hermte yg dr grf-grf terseut.. Memut kesmpul dr peelt... Sstemtk Peuls Agr peuls skrps leh terrh, mudh dtelh d dphm, mk dguk sstemtk peuls yg terdr dr empt. Msg-msg dg ke dlm eerp su deg rumus seg erkut: BAB I PENDAHULUAN Pedhulu melput: ltr elkg, rumus mslh, ts mslh, tuju peelt, mft peelt, metode peelt d sstemtk peuls. BAB II KAJIAN PUSTAKA Bg terdr ts kosep-kosep teor-teor yg medukug g pemhs. Kosep-kosep terseut tr l memhs tetg pegert grf, grf terhuug, grf komplt, grf lts, grf skel, grf prts komplt, grf tg, grf terdukug, mtrks, mtrks Hermte, elms Guss-Jord, rk mtrks, huug grf d mtrks, mtrks djcecy, rk mmum mtrks Hermte yg dgmrk grf, sert kj Al Qur tetg grf.

25 BAB III PEMBAHASAN Pemhs ers tetg meetuk pol umum rk mmum dr mtrks Hermte yg dgmrk oleh grf komplt K, grf lts P, grf skel C, grf prts komplt K m,, grf tg S. BAB IV PENUTUP Pd dsjk tetg kesmpul dr pemhs d sr.

26 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Kj Teor Grf dlm Al Qur' Secr umum eerp kosep dr dspl lmu telh djelsk dlm Al- Qur, slh stuy dlh mtemtk. Teor grf yg merupk slh stu cg mtemtk. Grf dlh hmpu tdk kosog d erhgg dr ojek-ojek yg dseut ttk, d hmpu mugk kosog psg tk erurut dr ttk-ttk ered yg dseut ss. Sutu grf superstr tergmr pd susu tt sury d rug gks. Pr hl pertg telh mejelsk hw mthr dkellg oleh sekumpul ed gks yg terdr dr plet, ul, d komet yg sellu megkut mthr d tuduk terhdp kekut grvts mthr Adushshmd, :9. Ncouls Copercus memut model dr geosetrs Ptolomeus deg mejdk mthr seg pust jgd ry. Johes Kepler merupk stroom pertm yg meerm d medkljut ggs helosetrs d megguky utuk meglss dt-dt poss plet yg dhmpu Tycho Brhe. Pegmt d peggu metode prlks tdk memerk hsl smp khry stroom Fredrch Wlhelm Bessel deg teleskop uty erhsl megmt peruh poss tg Cygus pd thu 88. Keerhsl kemud dkut oleh pegmt l: Prlks g tg Alf Cetur oleh Hederso d tg Veg oleh Struve. Sehgg Helosetrs mejd kokoh, plet ergerk megtr mthr Purwto, 9:. 8

27 9 Dr ur terseut mk grf superstr dpt dsumsk seg susu dr tt sury, deg ttk ceter dsumsk seg mthr d ttk-ttk ly dsumsk seg ed-ed lgt yg megellg mthr sesu deg grs edry d erjl pd dmes yg tetp dlm kelompoky. Allh erfrm dlm Al-Qur Arty: Tdklh mugk g mthr medptk ul d mlmpu tdk dpt medhulu sg. d msg-msg eredr pd grs edry QS. Ys:. Meurut Adullh Muhmmd Adurrhm Ishq Alu Sykh dlm kt luuttfsr mejelsk hw yt... D msgmsg eredr pd grs edry. Yk mlm, sg, mthr d ul semuy eredr, ytu erputr pd grs edr lgt. Pedpt yg dkemukk oleh Iu As, Ikrmh, dh-dhhhk, l-hs, Qtdh, Ath l-khurs. Iu As d sely dr kum slf leh dr stu org erkt: Grs edry sepert putr lt pemtl eg. Mujhd erkt: Grs edry gk es putr tu gk putr lt pemtl eg, yg m lt pemtl tdk k erputr kecul deg putr terseut d putr terseur tdk k erputr kecul deg lt pemtl terseut Adullh, :. Pd Surt Ys Ayt d ts meujukk tetg gerk kumpul ed gks yg d d sekellg mthr. Arty, mthr, ul, d um yg dumpmk deg mlm d sg msg-msg mest eredr ersm-sm megellg mthr. Sehgg deg pegt pd grf superstr k terlustrs sepert pd Gmr.

28 Gmr. Represets Tt Sury pd Grf Superstr deg sums, dlh mthr d dlh ed-ed lgt yg megellg mthr. Mslk sutu grf yg meggmrk kehdup mus dlht dr ss ml perut, dm ttk dlh wktu dlm hl stuy dlh hr, dm ttk wl ketk mus terlhr d du smp deg ttk khr dm mus meghemusk fs terkhr meggl du. Grs dlh proses perjl mus terseut. Mus yg tercpt d muk um pstlh memlk pered. Jk kehdup mus dlogk dlm teor grf, dlm hl dktk deg segl ml perut mus yg dlkuk selm d du. Jk dsumsk ttk dlh hr d ss dlh kehdup mus, mk dpt dgmrk seg erkut : Hr Ke Hr Ke Hr ketkmus wft Gmr. Represets Kehdup Mus pd Grf Lts tetuy seluruh ml peut mus yg dlkuk selm d du k dpertggugjwk d khrt t.

29 Dlm Al Qur' surt Al Zlzlh yt d 8 : Arty : Brgsp yg megerjk kek seert dzrrhpu, scy D k melht lsy. D Brgsp yg megerjk kejht seesr dzrrhpu, scy D k melht lsy pul.q.s. Al Zlzlh :-8. Adpu ml yg dterm oleh Allh Adlh Dr Amrul Mukm, Umr Khth r.., erkt, Aku medegr Rsulullh sw. ersd, Sesugguhy segl ml perut ergtug kepd ty d tp org k medptk p yg tk. Brg sp yg hjrhy kepd Allh d Rsul-Ny, mk k medptk phl hjrh kre Allh d Rsulullh. Brg sp yg hjrhy kre fktor duw yg k dptk tu kre wt yg k kh, mk dlm hjrhy tu hy k medptk p yg tk. H.R. Bukhr-Muslm. Pr ulm fqh meegsk hw t dlh pemed tr dh d dt, memedk tr stu dh deg dh ly. Ikhls merupk sft dr seuh t. Kre sesugguhy t tu erkt deg pekerj sutu dh, sedgk kekhls t dlm dh tu deg cr meydrk dh terseut kepd Allh SWT. Jd, per t dlh utuk memedk tr dh deg pekerj ly tu dhrpk deg t seseorg k megrhk pekerj hy kepd Allh Sulm, :.

30 Dlm Al Qur' surt Al Mulk yt : Arty: Yg mejdk mt d hdup, supy D meguj kmu, sp d tr kmu yg leh k mly. d D Mh Perks lg Mh Pegmpu QS. Al Mulk:. Meurut Adh Al Qr dlm kt Tfsr Muyssr mejelsk hw yt d ts dlh D-lh Allh, yg mecptk kemt d kehdup. D meghdupk mkhluk dr ketd. D-lh yg memtk mus utuk meguj sp d tr merek yg leh khls d er dlm erml. Im dlh uj g mus, pkh d met Allh tukh megkut jejk lgkh set. Allh Mh Perks, tdk d sesutu pu yg sult g-ny tupu yg tdk mmpu dlkuk-ny. Mk D yg Mh Perks dpt memks sp sj. D k megmpu semu dos org yg ertut d k memfk semu keslh org yg keml kepd-ny. Ayt megdug motvs utuk met Allh d meghdr perut mkst Al Qr, :. Meurut Teugku Muhmmd Hs Ash Shddqey dlm kt Tfsr Al Qur ul Mjd A Nuur Ayt كم أيكم أحسن عمال...ليبلو mejelsk hw Allh meetpk yg demk tu utuk meguj kedmu, utuk megethu kejk d kejhtmu, d utuk megethu sp d tr kmu yg leh k mly, leh yk kekhlsy, leh juh dr segl yg dhrmk, d leh cept kepd kett. Rgksy, hdup dlh tempt uj, sedgk mt dlh ms pemls Ash Shddqey, :89. Aml perut mus tdk selmy dctt mlkt, hl tu terjd jk mus erd dlm lm ked: ketk mus elum erjk ql lgh, ketk

31 dlm ked terpks tu memhyk jw, ketk mus mejd gl, ketk sedg tertdur, ketk dlm ked lup. Seery seseorg tu terhet mly ttkl dtg kemty. Tetp d eerp ml yg dlkuk pd st hdupy d mfty terus-meerus dpk, mk phly k terus meglr kepd pelkuy meskpu tempoy erlgsug lm. Itu eretuk segl ush kek yg dpt ermft g mus tupu tg terk; sepert wkf-wkf utuk kek, poho-poho ergu yg eruh, sumer-sumer r mum, memgu msjd-msjd d mdrsh, k keturu yg shlh, megjrk lmu ermft d megrg kt-kt yg erfedh. drwytk dr Au Hurrh Rdhyllhu hu hw Rsulullh Shllllhu lh wsllm ersd : Apl seorg k Adm meggl, mk k terputus mly kecul tg perkr : shdqoh jryh, tu lmu yg ermft, tu k shlh yg medok kepdy H.R. Au Dwud. Jk ml perut mus drepresetsk dlm sutu persm mtemtk, mk dperoleh : H H H H A A A A A A A A A A A A A A A A... A... A... A... A Tetuy seg mus tdk kus utuk meetuk l ml tu jumlh phl d dos yg dlkuk setp hr, hy Allh SWT yg Mh Kus, Mh Melht ts p yg terjd d du.

32 Setdky setp mus meyk hw setp ml yg dperut selm d du pst terctt d terdefs, d hrus dpertggugjwk kelk pd yumul Hs, sehgg dr cotoh persm mtemtk mege ml perut mus pst k dperoleh Dr hsl eselo rs d ts meujukk hw p yg dlkuk mus pst terdefs d dkethu oleh Allh SWT, kre sesugguhy Allh SWT Mh Melht d Mh Kus.. Grf.. Defs Grf Grf G dlh psg VG, EG deg VG dlh hmpu tdk kosog d erhgg dr ojek-ojek yg dseut seg ttk d EG dlh hmpu mugk kosog psg tk erurut dr ttk-ttk ered d VG yg dseut seg ss. Byky usur d VG dseut order dr G d dlmgk deg pg d yky usur d EG dseut ukur dr G d dlmgk deg qg. Jk grf yg dcrk hy grf G, mk order d ukur dr G msgmsg cukup dtuls p d q. Grf deg order p d ukur q dpt dseut grf-p,q. Adusskr, Azzh, Nofdk, 9:-. Meurut Johsoough d Schefer : 8 sutu grf grf tk errh G terdr dr hmpu V yg terdr dr ttk-ttk ode d

33 hmpu E yg terdr dr ss-ss rcs sedemk hgg setp ss e E terhuug deg psg terurut sutu ttk. Secr mtemts grf ddefsk seg erkut, Grf G ddefsk seg psg hmpu V,E, yg m dlm hl : V = hmpu tdk kosog dr ttk vertces tu ode = {v, v, v,..., v } E = hmpu ss edges yg meghuugk sepsg ttk = { e, e, e,..., e m } tu G = V,E. Hmpu ttk V tdk oleh kosog, sedgk ss E oleh kosog. Jd, sutu grf dmugkk tdk mempuy ss, tetp ttky hrus d, mml stu. Grf yg mempuy stu ttk tp ss dmk grf trvl Mur, :9. Cotoh: G: c d Gmr. Grf G Berorder Pd Gmr. Grf G memut hmpu ttk VG d ss E G ytu: VG = {,, c, d} EG = {,,, d, d, c, c, }

34 Grf G mempuy ttk sehgg order G dlh p =. Grf G mempuy ss sehgg sze grf G dlh q =... Derjt Ttk Defs Derjt dr ttk v d grf G, dtuls deg G v, dlh yky ss d G yg terkt lgsug cdet deg v. Jk dlm koteks pemcr hy terdpt stu grf G, mk tuls deg G v dsgkt mejd degv. Ttk yg erderjt gep dseut ttk gep eve vertces d ttk yg erderjt gjl dseut ttk gjl odd vertces. Ttk yg erderjt ol dseut ttk tersols solted vértces d ttk yg erderjt stu dseut ttk ujug ed vertces Chrtrd d Lesk, 98:. Cotoh: v v G: v v v v Gmr. Grf deg Derjt Ttk Berdsrk Gmr., dperolh hw: deg G v = deg G v =

35 deg G v = deg G v = deg G v = deg G v =.. Jl, Trl, Lts, Srkut, d Skel Mslk G grf, Mslk u d v dlh ttk d G yg tdk hrus ered. Jl u-v pd grf G dlh rs erhgg yg erselg-selg. W : u v, e, v, e, v,, e, v v tr ttk d ss, yg dmul dr ttk d dkhr deg ttk, deg e v v,,,, dlh ss d G. v dseut ttk wl, v dseut ttk khr, ttk v, v,..., v - dseut ttk terl, d meytk pjg dr W. Jk v v, mk W dseut jl teruk. Jk v v, mk W dseut jl tertutup. Jl yg tdk mempuy ss dseut jl trvl Adusskr, Azzh, Nofdk, 9:9. Jl W yg semu ssy ered dseut trl. Jl teruk yg semu ttky ered dseut lts. Deg demk setp lts pst merupk trl, tetp tdk semu trl merupk lts. Jl tertutup W tk trvl yg semu ssy ered dseut srkut. Jl tertutup tk trvl yg semu ttky ered dseut skel Adusskr, Azzh, Nofdk, 9:... Grf Terhuug Defs

36 8 Sutu grf G dseut terhuug coected jk utuk setp ttk u d v d G terdpt lts yg meghuugk kedu ttk terseut. Sedgk jk terdpt du ttk pd grf G yg tdk dhuugk oleh sutu lts, mk grf G dseut grf tk terhuug dscoected Chrtrd d Oellerm, 99 :. Seg cotoh gmr. dlh grf terhuug d. dlh grf tk terhuug kre tdk d lts yg meghuugk tr v d v Cotoh: v v v v v v v v v v v v v 8 Gmr.. Grf Terhuug Grf Tk Terhuug Ss e = u, v dktk meghuugk ttk u d v. Jk e = u, v dlh ss d grf G, mk u d v dseut terhuug lgsug djcet, u d e sert v d e dseut terkt lgsug cdet. Utuk seljuty, ss e = u,v k dtuls e = uv Chrtrd d Lesk, 98:. x Cotoh: u G: e e e e v e w

37 9 Gmr.. Grf G yg Icdet d Adjcet Dr Gmr. terseut, ttk u d e sert e d v dlh cdet terkt lgsug d ttk u d v dlh djcet terhuug lgsug... Grf Komplt/ Complete Grph K Defs Cotoh: Grf G dlh komplt jk setp ttk terhuug lgsug ke setp ttk yg l, grf komplt deg -ttk dytk deg K Lpschutz d Lpso, :9. K K K Gmr. Grf Komplt.. Grf Lts/Pth Grph P Defs Grf eretuk lts deg ttk seyk dmk grf lts order d dtuls P Adusskr, Azzh, Nofdk, 9:. Cotoh: P P P P P Gmr.8. Beerp Betuk Grf Lts

38 .. Grf Skel/Cycle Grph C Defs Cotoh: : Grf eretuk skel deg ttk seyk,, dseut grf skel d dtuls C Adusskr, Azzh, Nofdk, 9:. C : C : : C Gmr.9 Grf Skel C, C, d C..8 Grf Bprts Komplt Defs Grf prts prtte grph dlh grf yg hmpu ttky dpt dpshk mejd du hmpu tk kosog X d Y sehgg msgmsg ss d grf terseut meghuugk stu ttk d X d stu ttk d Y; X d Y dseut hmpu prts Purwto, 998:. Defs Sutu grf G dseut prts komplt jk G dlh grf prts d msg-msg ttk pd sutu prts terhuug lgsug deg semu ttk pd prts yg l. Grf prts komplt deg m ttk pd slh stu prts d ttk pd prts yg l dtuls K m, Adusskr, Azzh, Nofdk, 9:. Cotoh: v v v v v v v v v u u u u u u

39 K, K, K, Gmr.. Grf Bprts Komplt K,, K,, K,..9 Grf Btg/Str Grph S Defs Grf tg Str Grph dlh grf prtt komplt yg eretuk K,. Grf K, dtuls deg S Adusskr, Azzh, Nofdk, 9:. Cotoh: K, K, Gmr. Grf Btg K, d K,.. Sugrf Defs Grf H dseut sugrf dr G jk hmpu ttk d H dlh suset dr hmpu ttk-ttk d G d hmpu ss-ss d H dlh suset dr hmpu ss d G. Dpt dtuls VH VG d EH EG. Jk H

40 dlh sugrf G, mk dpt dtuls H G Chrtrd d Lesk, 98:8. Cotoh: Grf G yg memut hmpu ttk V d hmpu ss E sepert erkut : VG = {v, v, v, v, v } d EG = { v v, v v, v v,v v,v v, v v,, v v, v v, v v } Grf G terseut dpt dgmr seg erkut: v v v v G : v v Gmr. Grf G v v H: v v v

41 Gmr. H Sugrf dr G Gmr. d. meujukk du grf G d H d meujukk hw H sugrf G... Sugrf Terdukug Mslk G grf deg hmpu ttk VG d hmpu ss EG. Mslk U dlh hmpu g tk kosog dr VG. Sugrf d G yg terdukug oleh hmpu U, dotsk deg G[U], dlh grf deg hmpu ttk U d memut semu ss d G yg terkt lgsug deg du ttk d U. Jd ss d grf G[U] dlh semu ss uv d G deg syrt u, v U. Grf H dseut sugrf terdukug ttk tu dseut terdukug d G, dotsk deg H G, jk H G[U ], utuk sutu U VG d U Ø Adusskr, Azzh, Nofdk, 9:. Seg cotoh mslk grf G seg erkut: v v v G : v Gmr. Grf G Dkethu V G { v, v, v, v, }. Mslk U v, v, v, }, mk sugrf v terdukug G[U] d G terlht pd gmr erkut: v { v

42 v v G[U] : v v Gmr. G[U] Merupk Sugrf Terdukug Oleh U d Grf G. Mtrks.. Kosep Dsr Mtrks Defs Betuk yg plg umum dr seuh mtrks dlh susu lg yg eretuk perseg pjg yg dpt dgmrk seg erkut A = m m. = j, =,,,m d j=,,...,. m Blg-lg,,, m yg meyusu rgk tu dseut eleme tu usur dr mtrks tu. Ideks pertm dr eleme meujukk rs d deks kedu meujukk kolom dm eleme tu erd. Utuk meulsk mtrks esert eleme-elemey dperguk td kurug sku sepert yg dperlhtk pd persm., sedgk sutu huruf dcetk tel msly, A dpt dguk jug utuk meytk sutu mtrks. Peyj l utuk sutu mtrks dlh deg meulsk eleme umumy dlm sutu kurug sku,

43 mk mtrks A pd persm. dpt jug dtuls [ j ] tu [A] Gere d Wever,98:. Susu mtrks perseg pjg dseut mtrks m kl dtuls m kre memlk m rs d kolom. Sutu mtrks pd umumy merupk susu lg-lg yg erdmes du, mk dperluk du sukrp yg meytk setp elemey s eleme-eleme mtrks. Deg perjj, sukrp pertm erkt deg rs, d kedu d kolom. Mk erkt deg rs kedu d kolom ketg; d j erkt deg eleme d rs ke- d kolom ke-j. Tdk perlu d huug tr jumlh rs d jumlh kolom. Seuh mtrks, mslk, dpt memlk rs d kolom tu rs d kolom. Setp mtrks yg memlk jumlh rs d jumlh kolom yg sm dseut mtrks ujur sgkr. Mtrks ujur sgkr deg rs d kolom serg dseut mtrks erordo-. Setp mtrks yg erordo- sesu deg defs dlh mtrks ujur sgkr Npospos d Soemrtoyo, 98:... Mtrks Smetr Defs Jk A dlh mtrks m x, mk trpos dr A trpose of A, dytk deg A T, ddefsk seg mtrks x m yg ddptk deg mempertukrk rs-rs d kolom-kolom dr A; sehgg kolom pertm dr A T dlh rs pertm dr A, kolom kedu dlh rs kedu dr A, d seterusy Ato d Rorres, :. Cotoh:

44 9 8 A 9 8 T A Defs Sutu mtrks ujur sgkr A dseut mtrks smetr jk mtrks terseut sm deg trsposey T A A Ato d Rorres, :8. Cotoh:.. Mtrks Hermte Dlm mtrks deg usur rl, mtrks ujur sgkr A dktk mtrks ortogol jk A - = A T. A dktk smetrs jk A = A T. Mtrks ortogol d mtrks smetrs memlk per petg dlm dgolss mtrks deg usur rel. Sedgk mtrks uter, mtrks Hermte, mtrks orml memlk per petg dlm dgolss mtrks deg usur kompleks.

45 Jk A merupk mtrks deg usur kompleks, mk trpose sekw A, yg dytk oleh A, ddefsk oleh: Cotoh: * T A A Msl dkethu mtrks A mk, A sehgg A * A T Mtrks smetrk memk per medsr dlm mslh pedgol mtrks secr ortogol deg usur rel. Alog kompleks yg plg lmh dr mtrks rel smetrk dlh Hermte. Defs Mtrks ujur sgkr A deg usur kompleks dseut Hermte, jk A = A * Ato d Rorres, :8. Utuk memudhk megel mtrks Hermte, mslk M=[m j ] dlh sutu mtrks m x deg M dp dtulsk dlm etuk M A B m j utuk setp d j. Sehgg j j

46 8 Deg ] [ j A d ] [ j B mempuy etr lg rel. Ddefsk mtrks sekw deg B A M Jd M dlh mtrks yg teretuk deg megml kompleks sekw dr setp etr M. Trspose dr M dlmgk deg H M, jd sutu mtrks M dseut Hermte, jk M = M H. Cotoh: A, mk A Sehgg A A A T * yg errt hw A dlh mtrks Hermte... Elms Guss Jord Thoms dlm Ato d Rorres, : megtk hw setp mtrks memlk etuk eselo rs tereduks yg uk, rty kt k memperoleh etuk eselo rs tereduks yg sm utuk mtrks tertetu gmpu vrs opers rs yg dlkuk.

47 9 Lgkh-lgkh opers rs yg dkemukk oleh Guss d dsempurk oleh Jord sehgg dkel deg Elms Guss-Jord, seg erkut:. Jk sutu rs tdk seluruhy dr ol, mk lg tk ol pertm pd rs tu dlh. Blg dseut utm.. Jk terdpt rs yg seluruhy terdr dr ol, mk rs-rs k dkelompokk ersm pd g plg wh dr mtrks.. Jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy dr ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg.. Setp kolom memlk utm d memlk ol pd tempt l Ato d Rorres, :9. Cotoh: 8 Lgkh : Perhtk kolom plg kr yg tdk seluruhy terdr dr ol. 8 Kolom tk ol plg kr

48 Lgkh : Jk perlu, pertukrk rs plg ts deg rs l utuk meemptk etr tkol pd puck kolom yg dperoleh pd lgkh. 8 Brs pertm d kedu pd mtrks seelumy dpertukrk Lgkh : Jk etr yg k erd pd puck kolom yg kt peroleh pd lgkh dlh, klk deg rs pertm deg, sehgg teretuk utm Brs pertm dr mtrks seelumy dklk deg Lgkh : Tmhk kelpt yg sesu dr rs plg ts ke rsrs d why sehgg semu etr dwh utm mejd ol. 9 - kl rs pertm mtrks seelumy dtmhk ke rs ketg Lgkh : Sekrg tutuplh rs plg ts dr mtrks d mullh lg deg lgkh pd sumtrks yg terss. Ljutk lgkh hgg seluruh mtrks erd dlm etuk eselo rs. 9 Kolom tk ol plg kr dlm sumtrks

49 9 Keseluruh mtrks k erd dlm etuk eselo rs. Utuk memperoleh etuk eselo rs tereduks kt memutuhk lgkh tmh erkut. Lgkh : Mul deg rs tkol terkhr d ergerk ke ts, tmh kelpt yg sesu dr tp rs ke rs d tsy utuk memperoleh ol d ts utm. Brs pertm sumtrks dklk deg utuk memperoleh utm - kl rs pertm sumtrks dtmhk ke rs kedu sumtrks utuk memperoleh ol dwh utm Brs plg ts sumtrks dtutup d kt keml ke lgkh Kolom tk ol plg kr dlm Sumtrks ru Brs pertm d stustuy dlm sumtrks ru dklk deg utuk memperoleh utm kl rs ketg dr mtrks seelumy dtmhk ke rs kedu

50 - kl rs ketg dtmhk ke rs pertm kl rs kedu dtmhk ke rs pertm Mtrks terkhr d ts erd dlm etuk eselo rs tereduks. Jk kt hy megguk lgkh pertm, prosedur d ts k meghslk etuk eselo rs dseut elms guus, deg melkuk prosedur smp lgkh keem mk prosedur d ts k meghslk mtrks dlm etuk eselo rs tereduks d dseut elms guss jord Ato d Rorres, :.. Rug Vektor d Surug Defs: Mslk V dlh sutu hmpu tkkosog dr ojek-ojek serg, d m du opersy ddefsk, ytu pejumlh d perkl sklr. Jk ksom-ksom erkut dpeuh ojek u, v, w pd V d semu sklr k d l, mk dseut rug vektor d ojek-ojek pd V dlh vektor.. Jk u d v dlh ojek-ojek pd V, mk u + v erd pd V.. u + v = v + u.. u + v + w = u + v + w.. D dlm V terdpt sutu ojek, yg dseut vektor ol utuk V, sedemk rup sehgg + u = u + = u utuk semu u pd V.

51 . Utuk setp u pd V, terdpt sutu ojek u pd V, yg dseut seg egtf dr u, sedemk rup sehgg u + -u = -u + u =.. Jk k dlh sklr serg d u dlh ojek serg pd V, mk ku terdpt pd V.. ku + v = ku + kv. 8. k + lu = ku + lu. 9. klu = klu.. lu = u Ato d Rorres, :8. Cotoh: Hmpu semu mtrks x eretuk deg pejumlh d perkl sklr mtrks dlh rug vektor. Bukt:. u + v = V. ku = V k k k c. u + v = =v + u d. u + v + w = =u + v + w e. + u = = u

52 f. u + -u = g. u = =u h. k + lu = l k l k =k u + l u. ku + v = k k =ku +kv j. klu = kl l k = klu Kre mtrks memeuh semu ksom mk mtrks deg pejumlh d perkl sklr mtrks dlh rug vektor. Defs: Sutu suhmpu W dr sutu rug vektor V dseut surug suspce dr V, jk W tu sedr merupk sutu rug vektor d wh pejumlh d perkl sklr yg ddefsk pd V Ato d Rorres, :. Defs: Sutu vektor w dseut koms ler ler comto dr vektor-vektor v, v,, v r jk dpt dytk dlm etuk w = k v + k v + + k r v r deg r k k k,,, dlh sklr Ato d Rorres, :.

53 Perhtk vektor-vektor u = -,, d v = 8,, pd R, mk w =,, 9 dlh sutu koms ler dr u d v, mk hrus terdpt sklr k d k sedemk rup sehgg w = k u + k v, ytu:,, 9 = k -,, + k 8,, tu,, 9 = -k + 8k, k + k, k +k deg meyetrk kompoe-kompoe yg ersesu dperoleh -k + 8k = k + k = k + k = 9 deg meyelesk sstem k meghslk k = -, k =, sehgg w = -u + v. Jd w =,, 9 dlh sutu koms ler dr u d v. Defs: Jk S = { v, v,, v } dlh hmpu vektor-vektor tkol, mk persm vektor Cotoh: k v + k v + + k v =. Jk stu-stuy solus, Jk stustuy solus, mk S dseut seg hmpu es ler lerly depedet. Jk terdpt solus-solus l, mk S dseut seg hmpu tdk es ler lerly depedet Ato d Rorres, :9. Perhtk vektor-vektor =,,, j =,,, d k =,, pd vektor dlm etuk kompoe-kompoey R. Persm

54 k + k j + k k = mejd k,, k,, k,,,, tu secr ekuvle, k, k, k,, megmplksk hw k, k, k, sehgg hmpu S = {, j, k} es ler.. Bss d Dmes Defs: Jk V dlh sutu rug vektor serg d S = { v, v,, v } dlh sutu hmpu vektor-vektor pd V, mk S dseut ss utuk V jk du syrt erkut erlku:. S es ler. S meretg V Ato d Rorres, :. Telh dtujukk hw jk =,,, j =,,, d k =,, mk S = {, j, k} dlh sutu hmpu es ler pd R. Hmpu jug meretg R kre vektor serg v =,, c pd R dpt dtuls seg v =,, c =,, +,, + c,, = + j + ck Jd, S dlh ss utuk R d dseut seg ss stádr utuk R. Defs: Dmes dr rug vektor V yg erdmes terhgg, dotsk deg dmv, ddefsk seg yky vektor-vektor pd sutu ss utuk V Ato d Rorres, :9.

55 . Rug Brs, Rug Kolom d Rug Null Defs: Jk A dlh sutu mtrks m, mk surug dr R yg dretg oleh vektor-vektor rs dr A dseut rug rs row spce dr A, d surug dr m R yg dretg oleh vektor-vektor kolom dseut rug kolom colum spce dr A. Rug solus dr sstem persm yg homoge Ax, yg merupk surug dr R, dseut rug ull ull spce dr A Ato d Cotoh: Rorres, :8.. Dkethu mtrks A erkut: A Vektor rs dr A dlh: r,,, r,,, r,,, d r,, Sedgk vektor kolom dr A dlh c, c d c. Mslk B. Rug ull dr mtrks B terdr dr vektor R x, y, z yg memeuh

56 8 z y x Mk dpt dtuls sstem persm ler homoge melput x, y d z. z y x z y x Sehgg dpt dtuls dlm etuk mtrks seg erkut: Deg eselo rs tereduks ddptk mtrks seg erkut:.. Mk dpt dperoleh: x z. y z. Rug ul solus Bx= dlm z, dm z dlh sklr, dlh.. z z y x. Defs: Kerel dr mtrks A, dotsk deg kera, dlh hmpu dr semu solus persm homoge Ax. Kerel dr mtrks A dseut jug deg rug ull dr A d dmesy dseut ullts dr A, dotsk deg ulla Hoge, : -.

57 9 Cotoh: Tetuk rk d ullts dr mtrks A Peyeles: Betuk eselo rs tereduks dr A dlh A Kre terdpt tg rs tkol tu secr ekuvle, tg utm, rug rs d rug kolom ketgy erdmes tg, sehgg RkA =. Utuk meetuk ullts dr A, mk dtetuk dmes dr rug solus sstem ler Ax =. Sstem persm yg ersesu dlh x x x x x x x x Atu, utuk meyelesk vrel-vrel utm, x x x x x x x x

58 Mk solus umum dr sstem terseut dlh t s x x t t s x x s x t Atu secr ekuvle, t s x x x x x Kedu vektor pd rus k d ts merupk ss utuk rug solus, sehgg ulltsa =.. Rk Defs Rk dr sutu mtrks A dlh dmes dr rug rs dr A Leo, :. Utuk meetuk rk dr sutu mtrks, deg mereduksk mtrks yg ersgkut mejd etuk eselo rs. Brs-rs tkol dr mtrks eselo rs k memetuk ss utuk rug rsy.

59 Cotoh : A Deg mereduks A mejd etuk eselo rs, mk kt peroleh mtrks U Kre terdpt du rs tk ol, jels hw, -, d,, memetuk rs utuk rug rs dr U. Sehgg rk dr A dlh..8 Huug Mtrks d Grf.8. Mtrks Adjcecy Msl G grf deg order p p d ukur q sert hmpu ttk v G { v, v,..., v }. Mtrks keterhuug Mtrks Adjcecy dr grf G, p dotsk deg AG, dlh mtrks p x p deg usur pd rs ke- d kolom ke-j erl jk ttk v terhuug lgsug deg ttk v, d j erl jk ttk v tdk terhuug lgsug deg ttk v j Adusskr,Azzh, d Nofdk, 9: -. Mtrks Adjcecy dpt dtuls A G j,, j p, deg j {, jkv jkv v v E G E G Mtrks keterhuug sutu grf G dlh mtrks smetr deg usure d d memut l pd dgol utmy.

60 Cotoh: v v G : v v Gmr. Grf G A G.8. Rk Mmum dr Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf G Sutu hmpu dr mtrks Hermte erukur x dotsk deg H. Mslk A H, seuh grf yg dgmrk oleh mtrks Hermte A dotsk g A. g A dlh seuh grf deg hmpu ttk {,,, } d ssy dlh {{, j} j d j}, d eleme-eleme dgol utm A dk. Hmpu mtrks Hermte dr grf G dotsk HG, sehgg H G { A H : g A G} Fllt d Hoge, :9. Deg melht dy keterhuug tr mtrks deg grf pd su.8., mk dpt dkemgk deg mesuttus elemet dr mtrks Adjcecy deg eleme lg kompleks d memeuh mtrks Hermte. Adpu lgkh-lgkhy dlh seg erkut :. Dkethu grf G, Kre pd peuls skrps dts pd grf Lts P, grf Komplt K, grf Skel C, grf StrS, grf Bprts Komplt K m,. Mk dpt dml dr cotoh-cotoh grf terseut.

61 . Memetuk mtrks djcecy dr grf terseut.. Memetuk mtrks djcecy mejd mtrks Hermte. Deg tur : I. Eleme dgol dk ly. II. Usur ol sel d dgol utm hrus ol. III. Usur tk ol pd mtrks druh deg usur tdk oleh ol deg semest lg komplek d derk secr rdom Fllt d Hoge, :. Dr lgkh-lgkh d ts mk terdpt yk kemugk mtrks Hermte. Mtrks-mtrks terseut memlk rk msg-msg, sehgg dpt dtetuk rk mmum yg dpt ddefsk seg erkut: Teorem. Rk mmum dr mtrks Hermte yg dgmrk oleh grf G dpt ddefsk: mr HG m{ rk A : A H G} Derk sutu grf G d ttk v VG, mr G mr G v mr G Bukt: Ak duktk:

62 mr mr mr G mrg v G v mrg G mrg v Utuk memuktk pertdksm yg pertm, perlu dperhtk hw pertmh rs pd sutu mtrks dpt memh rk mtrks terseut plg yk, d pertmh kolom pd seuh mtrks dpt memh rk mtrks terseut plg yk, sehgg pertmh ttk pd sutu grf, dpt mekk rk mmum plg yk. Sehgg dperoleh mr G v mrg Secr log pl pegurg rs pd sutu mtrks dpt megurg rk mtrks terseut plg yk, d pegurg kolom pd seuh mtrks dpt megurg rk mtrks terseut plg yk, sehgg pergurg ttk pd sutu grf, dpt meuruk rk mmum plg yk. Sehgg dperoleh mr G v mrg mr G v mrg Megurg stu ttk pd sutu grf, errt megurg stu rs d stu kolom pd sutu mtrks. Keterg pd, hw pegurg ttk pd sutu grf, tdk dpt mekk rk pd mtrks terseut. Sehgg tdk mugk mr G v mrg

63 Sehgg kemugk yg dperoleh mr G v mrg Dr d mk dperoleh mr G mr G v mr G Sehgg terukt pl derk sutu grf G d ttk v VG, mk mr G mr G v mr G Cheette d Droms, :. Akt dr Teorem.: jk H merupk sugrf terdukug dr grf G, mk mr H mr G Lemm Utuk setp feld F d grf G deg order, mk mr G G Cheette d Droms, :. Bukt: Mslk A dlh mtrks djcecy dr G. Uh etr dgol dr A deg cr seg erkut msl k k k Utuk setp etr dgol,. Sehgg dperoleh mtrks ru, seut A B. Kemud gt hw jumlh dr rs A B dlh vektor ol, sehgg keseluruh vektor dlh ker A B B, d dperoleh rka Sehgg mr mr B G rka G.

64 Kre G Mk dpt dsmpulk hw G G mr Cheette d Droms, :. Teorem. Utuk Serg feld F, P mr Bukt: Mtrks Adjcecy dr grf P P A dlh mtrks trdgol. Jk dhpus kolom pertm d rs terkhr dperoleh, P A B B P A merupk mtrks segtg wh d dgoly tdk ol, sehgg det B P A Sehgg rk P A B Berdsrk Teorem., dperoleh... P mr F

65 F Dr Lemm dperoleh mr P... F Sehgg dr d, mk utuk serg feld F dperoleh mr P Cheette d Droms, :. Teorem. Utuk grf G deg order mk mr G dm G Fllt d Hoge, :. Bukt : Plh ttk u d v sedemk sehgg du,v = dmg. Butlh lts terdukug tr ttk u d ttk v, seut P d deg d = dmg+. Sesu Teorem. mr Pd d. Mk dperoleh mr P d d mr P d mr P d dmg dmg Perhtk jug pertmh ttk v pd grf G uk pd P d. Meurut Teorem. hw setp pertmh ttk v pd grf G tdk dpt meuruk mmum rk dr G. Sehgg dperoleh mr mr G mrpd v mrpd dmg G dmg Sehgg terukt hw utuk grf G deg order mk mr G dm G Cheette d Droms, :.

66 8

67 9 BAB III PEMBAHASAN. Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf K Grf komplt K deg ttk, deg, N, dpt dgmrk seg erkut: Gmr. Grf K Mtrks djcecy grf komplt K terseut, seg erkut: : A K Berdsrk mtrks djcecy terseut detuk mtrks Hermte deg cr :. Usur dgol dk ly.. Usur ol sel d dgol utm hrus ol.. Usur tk ol pd mtrks dgt deg kostt tk ol secr rdom.

68 Kre tuju peuls dlh mecr rk mmum mk dr mtrks Hermte yg dperoleh dtetuk rky d dplh yg terkecl tu mmum. Sel tu dlm mecr rk mmum jug erpedom pd Teorem.. Adpu eerp kemugk-kemugk etuk mtrks Hermte yg dgmrk grf K dlh seg erkut :. Mtrks Hermte etuk Mtrks Hermte etuk, setp usur mtrksy tdk sm. H K : c d e f x z c d g h j k l m e f j k o p q x z l m p q r s deg,, c, d, e, f, g, h, j, k, l, m,, o, p, q,, r, s yg semuy ered, d. Utuk memperoleh rk mtrks Hermte etuk, dguk elms Guss- Jord. Pd mtrks c d e f x z c d g h j k l m e f j k o p q x z l m p q r s rs pertm dg, sehgg dperoleh

69 c d e f x z c d g h j k l m e f j k o p q x z l m p q. r s Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs kedu dkurg c d kl rs pertm, rs ketg dkurg e f kl rs pertm, egtu seterusy hgg rs ke-, rs ke- dkurg x z kl rs pertm, sehgg dperoleh c d c d g h c d c d j k e f c d l m x z e f e f j k c d e f o e f e f p q x z x z x z l m c d. x z p q e f x z r s x z Sesu deg lgkh-lgkh elms Guss-Jord, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, mk rs kedu dg c d g h c d. Mslk: c d g h c d e f j k c d x z l m c d c d j k e f e f o e f x z p q e f c d l m x z e f p q x z 8 8

70 z x f e d c z x z x s r 9 9 deg,,. Dr pemsl d ts dperoleh Brs kedu dg deg, sehgg dperoleh , kre dperoleh dr usur-usur yg ered. Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol, sehgg rs pertm dkurg kl rs kedu, rs ketg dkurg kl rs kedu, egtu seterusy hgg rs ke-, rs ke- dkurg kl rs pertm, sehgg dperoleh

71 Sesu deg lgkh-lgkh elms Guss-Jord, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, mk rs ketg dg deg, sehgg dperoleh Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol, sehgg rs kedu dkurg kl rs ketg, rs pertm dkurg kl rs ketg, egtu seterusy hgg rs ke-, rs ke- dkurg 8 8 kl rs ketg, sehgg dperoleh

72 Sesu deg lgkh-lgkh opers rs elemeter, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, hl terjd pd setp rs smp rs ke-, mk rs ke- dg deg sehgg dperoleh,. Sehgg deg elms Guss-Jord dperoleh mtrks eselo rs seg erkut:

73 . Jd rk pd mtrk Hermte etuk dlh tu R H. K. Mtrks Hermte Betuk Mtrks Hermte yg mempuy du rs yg elemey sm. H K : c d e f e f g h deg,, c, d, e, f,, g, h yg semuy ered, d. Utuk memperoleh rk mtrks Hermte etuk, dguk elms Guss- Jord. Pd mtrks c d e f e f g h rs pertm dg deg, sehgg dperoleh

74 h g f e f e d c. Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs kedu dkurg kl rs pertm, rs ketg dkurg kl rs pertm, egtu seterusy hgg rs ke-, rs ke- dkurg kl rs pertm, sehgg dperoleh h e f e f e d c. Kre rs kedu semu usury dlh ol mk rs kedu dpdhk ke rs d rs ke- dpdhk ke rs du, sehgg dperoleh f e d c h e f e. Sesu deg lgkh-lgkh elms Guss-Jord, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, mk rs kedu dg deg, sehgg dperoleh

75 f e d c h e f e. Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs pertm dkurg kl rs kedu, rs ketg dkurg kl rs kedu, egtu seterusy hgg rs ke-+, sehgg dperoleh h e f e f e d c h e f e h e f e. Mslk : h e f e h e h e f e d c f e f e deg,,

76 8 Sehgg dperoleh. Sesu deg lgkh-lgkh elms Guss-Jord, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, mk rs ketg dg deg, sehgg dperoleh, kre dperoleh dr usur-usur yg ered. Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Brs kedu dkurg kl rs ketg, rs pertm dkurg kl rs ketg, egtu seterusy hgg rs ke-+, sehgg dperoleh.

77 9 Dr proses elms Guss-Jord, dperoleh hw rk mtrks Hermte etuk dlh -, tu H R K.. Mtrks Hermte Betuk H K : deg,, d Utuk memperoleh rk mtrks Hermte etuk, dguk elms Guss- Jord. Pd mtrks rs pertm dg deg, sehgg dperoleh. Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs kedu dkurg kl rs

78 pertm, rs ketg dkurg kl rs pertm, egtu seterusy hgg rs ke-, rs ke- dkurg kl rs pertm, sehgg dperoleh. Dr proses elms Guss-Jord d ts, dperoleh hw rk pd mtrks Hermte etuk dlh, tu R. H K Msh terdpt yk lg etuk mtrks Hermte yg memeuh mtrks djcecy yg dgmrk oleh grf K. Tetp dr mcm tpe mtrks d ts sudh dperoleh mmum rk dr mtrks Hermte yg dgmrk grf K, hl dkutk deg Teorem., kre dm K =, mk dperoleh mr sehgg ddpt teorem: Teorem. Jk K grf komplt deg ttk, deg, d, mk mr. Bukt : Dkethu : Grf komplt K deg ttk deg, d. Mk mtrks djcecy dr grf K dlh : H K H K A K : Ak duktk : mr H K

79 Berdsrk Teorem. dperoleh mr K dm K Sehgg mr K Cukup dtujukk hw mr Aml mtrks Hermte: K H K : deg,, d Deg megguk Elms Guss-Jord, dperoleh rk dr mtrks Hermte terseut dlh. Jd mr K Kre mr d mr, mk mr K K Sehgg Teorem. terukt. Cotoh: H K K : Gmr. Grf K

80 Betuk mtrks djcecy dr K dlh : A K slh stu kemugk mtrks Hermte dr mtrks djcecy yg dgmrk grf K dlh : H K Megguk progrm MATLAB, dperoleh H K R. Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf P Grf Lts P deg ttk, deg, N, dpt dgmrk seg erkut: Gmr. Grf P

81 Mtrks djcecy grf Lts P terseut, seg erkut: : A P Berdsrk mtrks djcecy terseut detuk mtrks Hermte deg cr :. Usur dgol dk ly.. Usur ol sel d dgol utm hrus ol.. Usur tk ol pd mtrks dgt deg kostt tk ol secr rdom. Kre tuju peuls dlh mecr rk mmum mk dr mtrks Hermte yg dperoleh dtetuk rky d dplh yg terkecl tu mmum. Sel tu dlm mecr rk mmum jug erpedom pd Teorem.. Adpu eerp kemugk-kemugk etuk mtrks Hermte yg dgmrk grf lts P dlh seg erkut :. Mtrks Hermte etuk Mtrks Hermte etuk, setp usur mtrks tk ol tdk oleh sm v u t s t s r q p o m l m l k j h g h g f e d c d c H P m :

82 deg,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, v u s r q p o m l k j h g f e d c, yg semuy ered d. Utuk memperoleh rk mtrks Hermte pd etuk, dguk elms Guss-Jord. Pd mtrks v u t s t s r q p o m l m l k j h g h g f e d c d c rs pertm dg deg, sehgg dperoleh v u t s t s r q p o m l m l k j h g h g f e d c d c. Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs kedu dkurg d c kl rs pertm, sehgg dperoleh

83 v u t s t s r q p o m l m l k j h g h g d c d c f e d c. Sesu deg lgkh-lgkh elms Guss-Jord, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, mk rs kedu dg deg d c d c f e, sehgg dperoleh v u t s t s r q p o m l m l k j h g d c d c f e h g d c. Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs pertm dkurg d c kl rs kedu, egtu jug rs ketg dkurg h g kl rs kedu, sehgg dperoleh

84 v u t s t s r q p o m l m l d c d c f e h g h g k j d c d c f e h g d c d c f e h g d c. Sesu deg lgkh-lgkh elms Guss-Jord, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, mk rs ketg dg deg d c d c f e h g h g k j, kre setp rs mempuy usur yg ered mk deg cr yg log pd rs pertm d kedu, mk k ddptk Sehgg dperoleh rk pd mtrks Hermte etuk dlh.

85 . Mtrks Hermte etuk H P m : deg,, d, Utuk memperoleh rk mtrks Hermte pd etuk, dguk elms Guss-Jord. Pd mtrks rs pertm dg deg, sehgg dperoleh.

86 8 Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs kedu dkurg kl rs pertm, sehgg dperoleh. Sesu deg lgkh-lgkh elms Guss-Jord, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, mk rs kedu dg deg, sehgg dperoleh Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs pertm dkurg kl rs kedu. Begtu jug rs ketg dkurg kl rs kedu, sehgg dperoleh

87 9. Sesu deg lgkh-lgkh elms Guss-Jord, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, mk rs ketg dg deg, Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dlh ol. Oleh kre tu, rs kedu dkurg kl rs ketg, rs pertm dkurg - kl rs ketg, d rs keempt dkurg kl rs ketg, sehgg dperoleh.

88 Sehgg deg megguk elms Guss-Jord smp deg rs ke-- k dperoleh, deg. Perhtk pd rs ke-- d rs ke- Sesu deg lgkh-lgkh elms Guss-Jord, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, mk rs ke-- dg deg, sehgg dperoleh.

89 Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs ke-m dkurg kl rs ke--, egtu jug deg rs pertm smp rs ke-- dpt dut ol, sehgg dperoleh deg. Sehgg dperoleh rk mtrks Hermte etuk dlh -. Msh terdpt yk lg etuk mtrks Hermte yg memeuh mtrks djcecy yg dgmrk oleh grf P. Tetp dr mcm tpe mtrks d ts sudh dperoleh mmum rk dr mtrks Hermte yg dgmrk grf P, hl dkutk deg Teorem., kre dm P = -, mk dperoleh mr H P sehgg ddpt teorem: Teorem. Jk P grf lts deg ttk, deg, d, mk mr H. Bukt : Dkethu : Grf P deg ttk deg, d mk mtrks djcecy dr grf P dlh : P

90 : A P Ak duktk : H mr P Berdsrk Teorem. dperoleh P dm P mr Sehgg P mr Aml Mtrks Hermte: H P m : deg,, d deg megguk elms Guss-Jord, dperoleh rk dr mtrks Hermte terseut dlh -. Jd H mr P Kre H mr P d H mr P, mk H mr P Sehgg Teorem. terukt.

91 Cotoh Utuk gep: P 8 : Gmr. Grf P 8 Betuk mtrks djcecy dr P 8 dlh : P 8 A slh stu kemugk mtrks Hermte dr mtrks djcecy yg dgmrk grf P 8 dlh H P : 8 Megguk progrm MATLAB, dperoleh 8 H P R Cotoh Utuk gjl: P 9 : Gmr. Grf P 9

92 Betuk mtrks djcecy dr P 9 dlh : P 9 A slh stu kemugk mtrks Hermte dr mtrks djcecy yg dgmrk grf P 9 dlh H P : 9 Megguk progrm MATLAB, dperoleh 8 9 H P R. Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf C Grf Skel C deg ttk, deg, N, dpt dgmrk seg ekut: Gmr. Grf C

93 Mtrks djcecy grf Skel C terseut, seg erkut: : A C Berdsrk mtrks djcecy terseut detuk mtrks Hermte deg cr :. Usur dgol dk ly.. Usur ol sel d dgol utm hrus ol.. Usur tk ol pd mtrks dgt deg kostt tk ol secr rdom. Kre tuju peuls dlh mecr rk mmum mk dr mtrks Hermte yg dperoleh dtetuk rky d dplh yg terkecl tu mmum. Sel tu dlm mecr rk mmum jug erpedom pd Teorem.. Ad eerp kemugk-kemugk etuk mtrks Hermte yg dgmrk grf skel C, mtrks djcecy yg dgmrk oleh grf Skel C dlh slh stu kemugk mtrks Hermte deg usur tk ol dlm mtrks terseut memeuh + d sekwy -, deg = d =. Ds peuls megml kemugk etuk mtrks Hermte dr mtrks djcecy lgsug d hy merdom usur dgol utm. Adpu eerp kemugk etuk mtrks Hermte dr mtrks djcecy lgsug d hy merdom usur dgol utm dlh:

94 : C H megguk progrm MATLAB dperoleh H C R : C 8 H megguk progrm MATLAB dperoleh 8 H C R : H C megguk progrm MATLAB dperoleh H C R : H C megguk progrm MATLAB dperoleh H C R

95 : H C megguk progrm MATLAB dperoleh H C R : H C9 megguk progrm MATLAB dperoleh 9 H C R : H C megguk progrm MATLAB dperoleh H C R

96 8 : C H megguk progrm MATLAB dperoleh 8 H C R : H C megguk progrm MATLAB dperoleh H C R Msh terdpt yk lg etuk mtrks Hermte yg memeuh mtrks djcecy yg dgmrk oleh grf C. Tetp dr mcm-mcm tpe mtrks d ts sudh dperoleh mmum rk dr mtrks Hermte yg dgmrk grf C. Hl dkutk deg Teorem.,, C mr deg P dlh sugrf lts terdukug dr grf C, mk dperoleh H mr C sehgg ddpt teorem:

97 9 Teorem. Jk C grf skel deg ttk, deg, d, mk mr H. Bukt : Dkethu : Grf C deg ttk deg, d mk mtrks djcecy dr grf C dlh : C A C : Ak duktk : mr H C Grf skel C uk merupk grf lts P. Ak tetp grf skel C memut sugrf lts terdukug deg lts - ttk P -, erdsrk Teorem. dperoleh mr C mr P mr C mr C Sehgg dperoleh mr H C. Sehgg cukup duktk mr H Aml mtrks Hermte, utuk: utuk =, kre C = K mk dperoleh mr C H C

98 8 utuk, ml mtrks Adjcecy dr grf skel tu A C, deg utuk : v mod, mkplh mtrksa dg,,,,,,,,,,,, mod, d, mk plh mtrks A dg,,,,,,, C mod, d, mk plh mtrks A dg,,,,,,,,,, mod, d, mk plh mtrks A dg,,,,,,, C C C Deg megguk progrm MATLAB, mk dperoleh Rk dr mtrks-mtrks terseut dlh -. Jd mr H C Kre mr HC d mr HC, Mk mr HC Sehgg Teorem. terukt.. Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk Grf K m, Grf prts komplt K m, deg m + ttk, deg m, N, dpt dgmrk seg erkut: m m m m Gmr. Grf K m, Mtrks djcecy grf Bprts Komplt K m, terseut, seg erkut:

99 8 :, m m m A m m m K m Berdsrk mtrks djcecy terseut detuk mtrks Hermte deg cr :. Usur dgol dk ly.. Usur ol sel d dgol utm hrus ol.. Usur tk ol pd mtrks dgt deg kostt tk ol secr rdom. Kre tuju peuls dlh mecr rk mmum mk dr mtrks Hermte yg dperoleh dtetuk rky d dplh yg terkecl tu mmum. Sel tu dlm mecr rk mmum jug erpedom pd Teorem.. Adpu slh stu kemugk-kemugk etuk mtrks Hermte yg dgmrk grf prts komplt K m, dlh seg erkut : :, m m m H m m m K m deg,, d,

100 8 utuk memperoleh rk mtrks Hermte terseut, dguk elms Guss-Jord. Pd mtrks rs ke-m+ dtukr ke rs ke-, sehgg dperoleh. Brs pertm dg deg, sehgg dperoleh.

101 8 Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs ke-m+ dkurg kl rs pertm, hl jug erlku pd rs ke-m+ smp rs ke-, sehgg dperoleh. Sesu deg lgkh-lgkh elms Guss-Jord, jk terdpt du rs erurut yg tdk seluruhy dr ol, mk utm pd rs yg leh redh terdpt pd kolom yg leh k dr utm pd rs yg leh tgg, mk rs kedu dg deg,. Jk pd sutu kolom terdpt utm mk usur pd kolom yg sm sel utm dpt dut ol. Oleh kre tu, rs ketg dkurg kl rs kedu, hl jug erlku pd rs ke- smp rs ke-

102 8 Sehgg dperoleh rk mtrks Hermte etuk d ts dlh. Msh terdpt yk lg etuk mtrks Hermte yg memeuh mtrks djcecy yg dgmrk oleh grf K m,. Tetp etuk mtrks Hermte d ts sudh dperoleh mmum rk dr mtrks Hermte yg dgmrk oleh grf K m,. Hl dkutk deg Teorem., kre dm K m, =, mk dperoleh, H Km mr sehgg ddpt teorem: Teorem. Jk K m, grf prts komplt deg +m ttk, deg,, N m mk, H Km mr. Bukt : Dkethu : Grf K m, grf prts komplt deg +m ttk, deg., N m mk mtrks djcecy dr grf K m, dlh : :, m m m m A m m m m K m

103 8 Ak duktk : mr, H Km Berdsrk Teorem. dperoleh mr H dm Sehgg mr, H Km Cukup dtujukk mr, Aml Mtrks Hermte: H Km K K, m, m m m m H K m, m : m m deg,, d, Deg megguk elms Guss-Jord, dperoleh rk dr mtrks Hermte terseut dlh. Jd mr, H Km Kre mr d mr, mk mr,,, H Km H Km H Km Sehgg Teorem. terukt. Kre grf tg S sm deg grf prts komplt deg etuk K, mk dr Teorem. k erkt Teorem. Teorem.

104 8 Jk S grf tg deg, mk H S mr. Bukt : Dkethu : Grf tg S memut + ttk, mk mtrks Adjcecy dr grf S dlh : : A S Ak duktk : H S mr Berdsrk Teorem. dperoleh S S dm H mr Sehgg H S mr Cukup dtujukk H S mr Aml Mtrks Hermte: : H S

105 8 deg,, d, deg megguk elms Guss-Jord, dperoleh rk dr mtrks Hermte terseut dlh. Jd mr H S Kre mr d mr, mk mr H S Sehgg Teorem. terukt. Cotoh: H S H S K, : Betuk mtrks djcecy dr K, dlh: Gmr.8 Grf K, A K, : slh stu kemugk mtrks Hermte dr mtrks djcecy yg dgmrk grf K, dlh

106 88 :, H K Megguk progrm MATLAB, dperoleh, H K R S : Gmr.9 Grf S Betuk mtrks djcecy dr S dlh : S A Slh stu kemugk mtrks Hermte dr mtrks djcecy yg dgmrk grf P 8 dlh : H S Megguk progrm MATLAB, dperoleh H S R

107 BAB IV PENUTUP. Kesmpul Berdsrk pemhs tetg rk mmum dr mtrks Hermte yg dgmrk oleh grf G, dperoleh kesmpul:. Rk mmum mtrks Hermte yg dgmrk grf K grf komplt deg ttk, dlh tu mr. H K. Rk mmum mtrks Hermte yg dgmrk grf P grf lts deg ttk, dlh - tu mr H P. c. Rk mmum mtrks Hermte yg dgmrk grf C grf skel deg ttk, dlh - tu mr H C. d. Rk mmum mtrks Hermte yg dgmrk grf K m, grf prts komplt deg m + ttk, m, dlh tu mr., H Km e. Rk mmum mtrks Hermte yg dgmrk grf S grf tg deg + ttk, dlh tu mr.. Sr H S Pd skrps, peuls hy memfokusk pd pokok hs mslh rk mmum mtrks Hermte yg dgmrk oleh grf K, grf P, grf C, grf K m,, d grf S. Mk dr tu, utuk peuls skrps seljuty, peuls meyrk kepd pemc utuk megkj leh ljut deg pd grf yg l. 89

108 DAFTAR PUSTAKA Adullh Muhmmd Adurrhm Ishq Alu Sykh.. Luut Tfsr M I Ktsr. Kro: Mu-sssh Dr l-hll Kro. Adusskr, Azzh, Nl N. d Nofdk, Ff Frmel. 9. Teor Grf. Mlg: UIN-Mlg Press. Al Qr, Adh.. Tfsr Muyssr. Jkrt: Qsth Prees. Ato, Howrd d Rorres, Chrs.. Aljr Ler Elemeter Vers Aplks Jld I. Jkrt: Erlgg... Aljr Ler Elemeter Vers Aplks Jld II. Jkrt: Erlgg. As Shddqey, Muhmmd Hs.. Tfsr Al Qur ul Mjd A Nuur. Semrg: Pustk Rzk Putr. Ayres, Frk. 98. Teor d Sol-Sol Mtrks. Jkrt: Erlgg. Chrtrd, Gry d Lesk, Ld. 98. Grphs d Dgrphs Secod Edto. Clfor: Dvso of Wdsworth, Ic. Chrtrd, Gry d Oellerm Ortrud R. 99. Appled d Algorthmc Grph Theory. Cd: McGrw-Hll Ic. Cheette, Nth L d Droms, Se V. Mmum Rk of Grph over Artrry: Feld Ler Alger d Its Applctos, : 9-,. Fllt, S. M. d Hoge, Lesle. The Mmum Rk of Symmetrc Mtrces Descred y Grph: A Survey, Ler Alger d Its Applctos, : 8-8,. Gere, Jmes W. d Wever, Wlm. 98. Aljr Mtrks utuk Pr Isyur. Jkrt: Erlgg. Hsh, Syful. 8. Dgrf Dr Tel Cyley Grup Dhedrl. Skrps Tdk Dtertk. Mlg: Progrm Srj Uversts Islm Neger Mul Mlk Irhm Mlg Jurus Mtemtk. Hoge, Lesle.. Hdook of Ler Alger. Boc Rto: Chpm & hll/crc Tylor & Frcs Group.

109 Johsough, Rchrd d Mrcus Schefer.. Algorthms. Newyork: Persoed educto tertol. Kerm, Djt d Stggg, Cormety.. Kmus Mtemtk. Jkrt: Bl Pustk. Leo, Steve J.. Aljr Ler d Aplksy. Jkrt: Erlgg. Lpschutz, Seymor d Lpso, Mrc Lrs.. Mtemtk Dskrt. Jkrt: Peert Slem Tekk. Npospos d Soemrtoyo, Noeek. 98. Aljr Ler. Jkrt: Erlgg. Purwto, 998. Mtemtk Dskrt. Mlg: IKIP Mlg. Purwto, Agus. 9. Ayt-Ayt Semest. Bdug: Mz. Rhm, Suh MA, Trds d Iovs Kelmu Islm Ms Klsk: Iovto, vol omer : 9-,. Sulm, Umr.. Fqh Nt Dlm Idh. Jkrt: Gem Is Press. Tm Peyusu Kmus Pust Pem d Pegemg Bhs Kmus Besr Bhs Idoes. Jkrt: Bl Pustk. Wlso. Ro J d Wlks, Joh J. 99. Grphs Itroductory Approch: A Frst Course Dscrete Mthemtc. New York: Joh Wley & Sos, Ic.

110 DAFTAR LAMPIRAN Progrm MATLAB utuk Rk Mmum Mtrks Hermte yg Dgmrk oleh. Grf Komplt cler clc =put'yky ttk:'; =put'ts l:'; k=grph completek, drwk A=*oes; for =:-; A,+=-*sqrt-; A+,=*sqrt-; =+; ed A rka

111 . Grf Lts cler clc =put'yky ttk:'; =put'ts l:'; p=grph pthp, drwp A=zeros; for =:-; A,+=*sqrt-; A+,=-*sqrt-; A,=*sqrt-; A,=-*sqrt-; %A*-,*-=-; %A*,*=; =+; ed A rka

112 . Grf Skel % utuk = mod, =,8,,,,... cler clc =put'yky ttk:'; c=grph cyclec, drwc A=zeros; for =:-; A,+=; A+,=; A,=; A,=; %A*-,*-=-; %A*,*=; =+; ed for j=:; f modj,== Aj,j=-; ed ed

113 for k=:; f modk,== Ak,k=; ed ed A rka

114 % utuk = mod, =,,,9,,... cler clc =put'yky ttk:'; c=grph cyclec, drwc A=zeros; for =:-; A,+=; A+,=; A,=; A,=; A,=; A,=; A,=; =+; ed A rka

115 % utuk = mod, =,9,,,,,9... cler clc =put'yky ttk:'; c=grph cyclec, drwc A=zeros; for =:-; A,+=; A+,=; A,=; A,=; A,=-; A,=-; A,=-; =+; ed A rka

116 % utuk = mod, =,,,8,,... cler clc =put'yky ttk:'; c=grph cyclec, drwc A=zeros; for =:-; A,+=; A+,=; A,=; A,=; A,=; A,=; A,=; A,=; A,=; A,= =+; ed A rka

117 % utuk = cler clc =put'yky ttk:'; c=grph cyclec, drwc A=zeros; for =:-; A,+=; A+,=; A,=; A,=; A,=; A,=; A,=; A,=; A,=; A,= =+; ed A rka

118 KEMENTERIAN AGAMA RI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gjy No. Doyo Mlg Fx. BUKTI KONSULTASI SKRIPSI Nm : Mohmd Syf Nm : 8 Fkults/ jurus : Ss d Tekolog/ Mtemtk Judul skrps : Rk Mmum Mtrks Hermte Yg Dgmrk Grf G Pemmg I : Adusskr, M.Pd Pemmg II : Dr. H. Ahmd Brz, M.A No Tggl HAL Td Tg 9 Novemer Kosults BAB III. 8 Desemer Kosults Kj Agm. Desemer Kosults BAB I, II. Desemer Kosults Kj Agm. Jur Kosults BAB III. Ferur Kosults BAB III Ferur Kosults BAB III 8 8 Ferur Kosults BAB III 9 Mret Kosults BAB I, II, III Mret Kosults Kj Agm. Mret Kosults Keseluruh Mlg, Mret Megethu, Ketu Jurus Mtemtk Adusskr, M.Pd NIP. 9

119