PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FUZZY VOLTERRA QURROTUL A YUN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
ABSTRAK QURROTUL A YUN. Penggunn Metode Perturbsi Homotopi untuk Menyelesikn Persmn Integrl Fuzzy Volterr. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dn SISWANDI. Bnyk fenomen yng terjdi lm dpt dijelskn dengn model mtemtik. Slh stu model mtemtik tersebut dpt dinytkn dlm bentuk persmn integrl fuzzy Volterr. Persmn integrl fuzzy Volterr yng dihsilkn bisny dlm bentuk tkliner. Ser nlitik mslh tkliner ini sulit diselesikn. Dlm tulisn ini, persmn integrl fuzzy Volterr diselesikn dengn menggunkn metode perturbsi homotopi yng dpt dinytkn dlm sutu deret pngkt terhdp sutu prmeter pdn memenuhi sutu fungsi homotopi yng didefinisikn. Diberikn du studi ksus yitu kernel dri fungsi liner dn trigonometri. Berdsrkn du ksus tersebut diperoleh bhw semkin tinggi orde penyelesin yng digunkn semkin mendekti penyelesin sesungguhny. Kt Kuni: metode perturbsi homotopi, persmn integrl fuzzy Volterr, mslh tkliner
ABSTRACT QURROTUL A YUN. The Use of Homotopy Perturbtion Method to Solve fuzzy Volterr integrl equtions. Supervised by JAHARUDDIN nd SISWANDI. Most phenomen in nture n be eplined in mthemtil models, suh s fuzzy Volterr integrl eqution. The fuzzy Volterr integrl eqution is nonliner integrl problem, whih is usully diffiult to solve by n nlytil solution. In this pper, fuzzy Volterr integrl eqution is solved using perturbtion homotopy method, whih n be written s power series in p nd stisfies ertin homotopy funtion. This mnusript disuss two se studies, i.e. the se of liner nd trigonometri kernel funtions. The result shows tht the greter pproimtion order being used, the wider onvergene solution re will be. Keywords: homotopy perturbtion method, fuzzy Volterr integrl eqution, nd nonliner problem
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FUZZY VOLTERRA QURROTUL A YUN Skripsi sebgi slh stu syrt untuk memperoleh gelr Srjn Sins pd Deprtemen Mtemtik DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Judul Skripsi : Penggunn Metode Perturbsi Homotopi untuk Menyelesikn Persmn Integrl Fuzzy Volterr Nm : Qurrotul A yun NIM : G5479 Menyetujui Pembimbing I Pembimbing II Dr. Jhruddin, MS NIP. 965 993 Drs. Siswndi, M.Si. NIP. 9658 993 Mengethui Ketu Deprtemen Mtemtik Dr. Berlin Setiwty, MS NIP. 96555 9893 4 Tnggl Lulus:
KATA PENGANTAR Puji dn syukur penulis pnjtkn kepd ALLAH SWT ts segl rhmt dn kruni-ny sehingg kry ilmih ini berhsil diselesikn. Penyusunn kry ilmih ini jug tidk leps dri bntun berbgi pihk. Untuk itu penulis mengupkn terim ksih yng sebesr-besrny kepd:. Kelurg terint : Muhtr (yh), Bidyh (umi), dn dik Moqodds Al-Aslmi dn Mwddh Addini ts semu do, dukungn, semngt, pengorbnn, nsiht, pendidikn, perhtin, int dn ksih syngny.. Dr. Jhruddin, M.S. dn Drs. Siswndi, M.Si. msing-msing sebgi dosen pembimbing I dn dosen pembimbing II ts semu ilmu, kesbrn, motivsi, dn bntunny selm penulisn skripsi ini. 3. Drs. Ali Kusnnto, M.Si. selku dosen penguji. 4. Semu dosen Deprtemen Mtemtik, ts semu ilmu yng telh diberikn. 5. Kelurg besr dn stf Deprtemen Mtemtik: Pk Yono, Bu Susi, Bu Ade, Pk Bono, Ms Hery, Ms Deni. 6. Kkk Mth 43 ts srn dn semu ilmuny. 7. Temn-temn Mth 44 : Uu, Istiti, Wewe, Devi, Dev, Nunuy, Res, Anis, Sri, Ruru, Sisk, Lingg, Lugin, Din, Ynti, Lilis, Ririh, Ek, Aswin, Whyu, Aqil, Aze, Tnto, Rhm, Melon, Lili, Tit, Ciit, Selvi, Tendi, Ali, Lin, Ayum, Sri, Yuli, Ze, Din, Viney, Pepi, Igoy, Cop, Ayung, Endro, Dor, Im, Fjr, Fni kodok, Msyu, Dik, Fni, Ikhsn, Dell, Pndi, Abe, Tys, Arin, Imm, Ndiroh, Rofi, Indin, Iym, Olih, Ipul, Nurus, Lukmn, Puyink, dn N im. 8. Temn-temn Mth 45 : bolo, Isn, rish, Git, Meg, Snti, Agustin, Yund, Ai dn lin-lin. 9. Ank-nk Kosn RZ : C, Lrs, Ik, K Ln, K Minl, K Nurm, K Eli, K Dwi, K Sury, K An, dn K Erik. Semog kry ilmih ini dpt bermnft dn menjdi inspirsi bgi penelitin-penelitin selnjutny. Bogor, Agustus Qurrotul A yun
RIWAYAT HIDUP Penulis dilhirkn di Jkrt pd tnggl 6 September 99 sebgi nk pertm dri tig bersudr dri psngn Muhtr dn Bidyh. Pendidikn forml yng ditempuh penulis yitu di TK Islm Mdrijut Thlibin lulus pd thun 995, MI Mdrijut Thlibin lulus pd thun, MTsN 4 Jkrt lulus pd thun 4, MAN 3 Jkrt lulus pd thun 7 dn pd thun yng sm penulis diterim di Institut Pertnin Bogor mellui jlur USMI di Deprtemen Mtemtik, Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm. Selm menuntut ilmu di IPB, penulis ktif di orgnissi kemhsiswn Gugus Mhsisw Mtemtik (GUMATIKA) sebgi stf Sosinkom (Sosil Informsi dn Komuniksi). Selin itu penulis jug pernh menjdi sisten dosen untuk mt kulih Klkulus II dn Klkulus III.
DAFTAR ISI Hlmn DAFTAR GAMBAR... i DAFTAR TABEL... i DAFTAR LAMPIRAN... i I PENDAHULUAN.... Ltr Belkng.... Tujun....3 Sistemtik Penulisn... II LANDASAN TEORI.... Himpunn Fuzzy dn Bilngn Fuzzy.... Persmn Integrl Fuzzy... 3.3 Metode Perturbsi Homotopi... 3 III PEMBAHASAN... 6 3. Anlisis Metode... 6 3. Apliksi Metode... 8 V SIMPULAN... 4 DAFTAR PUSTAKA... 5 LAMPIRAN... 6
DAFTAR GAMBAR Hlmn Grfik Perbndingn penyelesin eksk dn penyelesin dengn metode perturbsi homotopi persmn (.6).... 5 Grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin persmn (3.8)... 3 Grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin persmn (3.3)... 3 DAFTAR TABEL Glt ntr penyelesin eksk dn metode pertubsi homotopi hingg orde 3 Hlmn dengn =... Glt ntr penyelesin eksk dn penyelesin dengn metode perturbsi homotopi suntuk = π... 3 4 DAFTAR LAMPIRAN Hlmn Penurunn Persmn (.7)... 7 Penyelesin Persmn (.6)... 8 3 Penurunn Persmn (3.9)... 4 Progrm Mple untuk Gmbr... 5 5 Progrm Mple untuk Gmbr 3... 7 i
I PENDAHULUAN. Ltr Belkng Persmn integrl sering munul dlm permslhn di bidng mtemtik terpn, fisik, teknik, biologi dn lin sebginy. Model seperti lju pertumbuhn penduduk, lju kelhirn, trnsfer rdisi dn proses penyringn sp rokok merupkn model yng disjikn dlm bentuk persmn integrl. Persmn integrl merupkn sutu bentuk persmn dimn vribel yng ingin dikethui terdpt dlm integrnd persmn integrl tersebut. Jerri (985) mengklsifiksikn persmn integrl berdsrkn bts pengintegrln pd integrl yng munul menjdi du bgin yitu persmn integrl Volterr dn persmn integrl Fredholm. Golberg (978) telh memberikn beberp metode numerik untuk menyelesikn persmn integrl, khususny untuk menyelesikn persmn integrl Fredholm dintrny metode pendektn kernel, kudrtur, glerkin, seminlitik dn proyeksi. Pembhsn mengeni persmn integrl Volterr telh bnyk dilkukn. Bbolin dn Dvri (6) menyelesikn persmn integrl Volterr dengn menggunkn dekomposisi Adomin. Beberp penelitin difokuskn untuk memperoleh penyelesin dri persmn yng dimodelkn dlm persmn tkliner. Dlm beberp thun terkhir, pr peneliti memfokuskn pd penyelesin persmn integrl Volterr ser numerik, seperti penggunn metode impliity Liner ollotion. Teori himpunn fuzzy merupkn r yng sering digunkn untuk pemodeln ketidkpstin dn untuk sutu proses yng smr-smr tu informsi subjektif dlm sutu model mtemtik. Konsep ini pertm kli diperkenlkn oleh Zdeh (965). Terpn dri himpunn fuzzy dlm kehidupn nyt ntr lin menkup kendli proses, klsifiksi dn penookn pol, mnjemen dn pengmbiln keputusn, riset opersi, teknik, dn ekonomi. Konsep pengintegrsin fungsi fuzzy pertm kli diperkenlkn oleh Dubois dn Prde (98). Pembhsn mengeni metode numerik untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy telh bnyk dilkukn khirkhir ini terutm yng berkitn dengn kontrol fuzzy. Dlm kry ilmih ini kn digunkn metode perturbsi homotopi untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu. Metode perturbsi homotopi [He,] merupkn sutu metode pendektn nlitik untuk menyelesikn sutu mslh tk liner. Dlm metode ini, kn didefinisikn sutu opertor tkliner yng didsrkn pd bentuk tk liner dri mslh tkliner tersebut. penyelesin mslh tkliner dengn menggunkn metode perturbsi homotopi dimislkn dlm bentuk deret yng umum, sehingg tidk perlu dimislkn dlm bentuk deret pngkt (polinomil) seperti yng dilkukn pd metode dekomposisi Adomin. Metode perturbsi homotopi merupkn sutu metode perpdun dri metode homotopi dengn metode perturbsi. Dlm kry ilmih ini kn dibhs penyelesin persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dengn menggunkn metode perturbsi homotopi... Tujun Berdsrkn ltr belkng di ts, mk tujun kry ilmih ini dlh :. Menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dengn menggunkn metode perturbsi homotopi. b. Membndingkn penyelesin eksk dengn hmpirn penyelesin yng diperoleh..3 Sistemtik Penulisn Kry ilmih ini terdiri dri empt bb. Bb pertm merupkn pendhulun yng berisi ltr belkng dn tujun penulisn. Bb kedu berup lndsn teori yng berisi beberp istilh dn konsep dri metode perturbsi homotopi untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu pd pembhsn. Bb ketig berup pembhsn yng berisi nlisis metode yng digunkn untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu. Dlm bb ini jug disjikn hsil numerik untuk membndingkn penyelesin eksk dengn hmpirn penyelesin yng diperoleh. Bb terkhir pd tulisn ini berisi kesimpuln dri keseluruhn penulisn.
II LANDASAN TEORI Pd bgin ini kn dibhs teori-teori yng digunkn dlm penyusunn kry ilmih ini. Teori-teori tersebut meliputi himpunn fuzzy yng disrikn dri [Kusumdewi, 4], bilngn fuzzy, persmn integrl fuzzy Volterr yng disrikn dri [T.Allhvirnloo, ] dn metode perturbsi homotopi yng disrikn dri [He, ].. Himpunn Fuzzy dn Bilngn Fuzzy Himpunn fuzzy merupkn perlusn konsep dri himpunn klsik yng menggunkn nili kenggotn {,} menjdi [,]. Pd himpunn klsik, nili kenggotn sutu item dlm sutu himpunn A, yng sering ditulis A[], memiliki du kemungkinn yitu, yng berrti bhw sutu item menjdi nggot dlm sutu himpunn dn yng berrti bhw sutu item tidk menjdi nggot dlm sutu himpunn. Sedngkn pd himpunn fuzzy nili kenggotn terletk pd rentng smpi. Nili menunjukkn slh, nili menunjukkn benr, dn msih d nili-nili yng terletk ntr benr dn slh. Himpunn fuzzy dpt jug didefinisikn sebgi sekumpuln objek di mn msing-msing objek memiliki nili kenggotn tu disebut jug nili kebenrn. Jik X dlh sekumpuln objek dn dlh nggot dri X, mk himpunn fuzzy A yng memiliki domin X didefinisikn sebgi A =, μ A X, dengn μ A merupkn nili kenggotn pd himpunn fuzzy A yng bernili [,]. Sutu bilngn fuzzy u R didefinisikn sebgi psngn (u, u) dri fungsi (u(r), u(r)) yng memenuhi sift sift berikut :. Fungsi u merupkn fungsi yng monoton nik, terbts, dn kontinu kiri pd [,].. Fungsi u merupkn fungsi yng monoton turun, terbts, dn kontinu knn pd [,]. 3. u r u r dengn r. Untuk lebih memhmi bilngn fuzzy, berikut ini diberikn slh stu ontoh bilngn fuzzy yitu bilngn fuzzy segitig dengn prmeter u = (m, α, β) yng didefinisikn dengn u = m α m β +, m α m, +, m m + β,, selinny dn diperoleh bentuk prmetrik sebgi berikut: u r = m r α, u r = m + r β. Berikut ini opersi penjumlhn dn perklin sklr pd himpunn bilngn fuzzy. Untuk sembrng bilngn fuzzy u = (u, u) dn v = (v, v) didefinisikn penjumlhn (u + v) sebgi berikut: u + v r = u r + v(r), u + v r = u r + v r (.) dn untuk bilngn rel k didefinisikn perklin sklr sembrng bilngn fuzzy sebgi berikut: ku r = ku r, ku r, k ; ku r, ku r, k <. (.) Selnjutny, untuk sembrng bilngn fuzzy u = (u, u) dn v = (v, v) didefinisikn fungsi jrk ntr u dn v sebgi berikut D u, v = m sup r u r v r, sup r u r v r. (.3) Mislkn D: E [,] memenuhi D u, u =, D u, v u v, D u, v = D(v, u), dn D u, v D u, w + D(w, v), mk D merupkn metrik untuk E dn (E, D) merupkn sutu rung metrik kren himpunn E dilengkpi dengn sutu metrik D. Berikut ini kn didefinisikn konsep integrl dri fungsi fuzzy dengn menggunkn konsep integrl Riemn. Mislkn f:, b E. untuk setip prtisi p = {t, t,, t n } dengn = m t i t i
3 dn untuk sembrng ε i dengn t i ε i t i, i n, mislkn R p = n i= f ε i t i t i (.4) Integrl f() pd [, b] didefinisikn sebgi berikut : b f d = lim R p, (.5) slkn limit tersebut d terhdp metrik D. Jik f kontinu terhdp metrik D, mk integrl tentu dri f() tersebut d, kemudin didefinisikn b f, r d b f, r d b = f, r d b = f, r d (.6). Persmn Integrl Fuzzy Volterr Persmn integrl Volterr tipe kedu dpt dinytkn dlm bentuk berikut: u = f + k(, t)u t dt, (.7) dengn k, t didefinisikn sebgi fungsi kernel pd derh persegi b dn t. Fungsi f() merupkn fungsi dri dengn b. Persmn integrl Volterr tipe kedu pd persmn (.7) bnyk munul pd mslh osilsi dlm fisik. Mslh osilsi dinytkn dlm persmn differensil bis orde du berikut u"() + A()u + B()u = g(), penyelesin persmn differensil bis tersebut berup sutu persmn integrl Volterr tipe kedu. (Lmpirn ) Pd persmn integrl Volterr tipe kedu jik f() berup fungsi fuzzy yitu fungsi f = f(, r), mk persmn tersebut kn memiliki penyelesin dlm bentuk fuzzy. Mislkn f, r = f, r, f(, r) dn u, r = (u, r, u(, r)), r yng msing-msing merupkn bentuk prmetrik dri fungsi f() dn u() untuk, b, mk bentuk persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dlh: u, r = f, r + k, t, u t, r, u t, r dt, u, r = f, r dengn dn + k, t, u t, r, u t, r dt k, t, u t, r, u t, r k, t u, r, k, t ; = k, t u, r, k, t < k, t, u t, r, u t, r = k, t u, r, k, t ; k, t u, r, k, t <, untuk setip r dn t. (.8) (.9) (.).3 Metode Perturbsi Homotopi Berikut ini diberikn ilustrsi konsep dsr metode perturbsi homotopi berdsrkn lur pd pustk [He, ]. Mislkn ser umum diberikn sutu persmn integrl sebgi berikut: A u = f, Ω (.) dengn A merupkn sutu opertor yng melibtkn persmn integrl, u merupkn fungsi yng kn ditentukn dn f() merupkn fungsi yng dikethui. Selnjutny didefinisikn pul sutu opertor liner L yng memenuhi L y =, bil y =. (.) Mislkn u () pendektn wl dri penyelesin persmn (.) dn p [,] sutu prmeter. Didefinisikn fungsi rel U, : Ω [,] R dn sutu fungsi H sebgi berikut: H U, p = p [L U L[u ]] + p A U f (.3) Berdsrkn persmn (.3), mk untuk p = dn p = msing-msing memberikn persmn berikut: H U(, ), = L[U(, )] L[u ()]
4 dn H U(, ), = A[U, ] f() Sehingg menurut persmn (.) dn persmn (.) diperoleh bhw fungsi dn U, = u () U, = u() msing-msing merupkn penyelesin dri persmn dn H U(, ), = H U(, ), =. Dengn demikin peningktn nili p dri ke menytkn perubhn nili H(U, p) dri L[U u ] ke A[U] f(). Dlm topologi, proses ini disebut deformsi. Proses deformsi yng ditinju meliputi deformsi orde nol dn orde tinggi. Pd deformsi orde nol memberikn penyelesin wl u, sedngkn deformsi orde tinggi memberikn penyelesin u, u,, u i. Dlm metode perturbsi homotopi, Penyelesin fungsi H U, p = disumsikn dpt ditulis dlm bentuk deret Tylor fungsi U(, p) terhdp p sebgi berikut: U, p = u + i= u i p i. (.4) Berdsrkn persmn (.4) untuk p =, mk kn diperoleh U, = u + i= u i () Kren u = U(, ), mk diperoleh u() = u + u i (). (.5) i= Hsil ini menunjukkn hubungn ntr penyelesin eksk dri persmn (.) dengn pendektn wl u () dn u i (), i =,, yng kn ditentukn. Untuk menentukn u i (), i =,, diperoleh dengn menggunkn metode perturbsi, dimn persmn (.4) disubstitusikn ke dlm persmn (.3) dn diperoleh u i. Ser umum u i diperoleh dengn menymkn koefisien perpngktn p, dn u () merupkn pendektn wl dri penyelesin u(). Selnjutny, untuk lebih memhmi metode ini, mislkn diberikn sebuh persmn integrl Volterr tipe kedu sebgi berikut: u = e + e dengn dn f = e + (e ) k, t =. u (t)dt. (.6) Penyelesin eksk persmn (.6) dlh u = e. Berikut ini kn diri penyelesin dri persmn (.6) dengn menggunkn metode perturbsi homotopi. Selnjutny didefinisikn opertor L sebgi berikut L[U] = U dn A U = U k(, t)u(t)dt sehingg berdsrkn persmn (.3) diperoleh persmn fungsi H sebgi berikut: tu H U, p = p U, p u +p U, p f() k, t U(t)dt H U, p = p U. p u +p U, p U t dt e e. (.7) dengn U(, p) merupkn peyelesin dri H U, p = tu,
5 U, p = p u p e e + U t, p dt. (.8) Mislkn penyelesin persmn (.8) dinytkn dlm bentuk: U, p = u + pu + p u +. (.9) Jik persmn (.9) disubstitusikn ke dlm persmn (.8), mk koefisien p, p, p, msing-msing memberikn sebgi berikut u = u, u = u t dt, u = u t u t dt, Berdsrkn persmn (.5), mk hmpirn penyelesin dri persmn (.6) dlh u e + e + 465 5 3 8 e 3 e3 + 9 e3 + e + Perbndingn penyelesin eksk persmn (.6) dn penyelesin dengn metode perturbsi homotopi diberikn pd Gmbr. Pd Gmbr terliht bhw penyelesin eksk dn penyelesin dengn menggunkn metode perturbsi homotopi terliht sngt dekt untuk nili tertentu. dn seterusny diperoleh u 3, u 4, dn. (Lmpirn ) Kren dipilih pendektn wl sebgi berikut: u = e + e, mk diperoleh: u = 465 5 3 8 e 3 e3 + 9 e3 +e e 6 e4 3 + 3 e4 8 e4 + 4 e 3 4 e 4 Gmbr Perbndingn penyelesin eksk dn penyelesin dengn menggunkn metode perturbsi homotopi. dn seterusny diperoleh pul u (), u 3 (), u 4 (),.
III PEMBAHASAN Pd bgin ini kn dibhs kegunn metode perturbsi homotopi untuk menyelesikn sutu mslh tkliner. Metode ini kn digunkn untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu. Agr vlidits metode ini terjmin, mk kn diberikn sutu ontoh ksus dri persmn integrl fuzzy Volterr dn membndingkn penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin yng diperoleh dengn metode perturbsi homotopi. 3. Anlisis Metode Dlm kry ilmih ini kn digunkn metode perturbsi homotopi untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu. Bentuk umum dri persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu diberikn pd persmn (.8). Perlusn dri konsep dsr metode perturbsi homotopi yng telh diurikn di lndsn teori memerlukn fungsi U(, p, r) yng tidk hny bergntung pd prmeter dn p, tetpi jug bergntung pd prmeter r dengn r. Mislkn fungsi H dinytkn sebgi berikut H U, p, r, p = p U, p, r U, r + p U, p, r f, r k, t U t, p, r dt k, t U t, p, r dt tu H U, p, r, p = U, p, r U, r dn + p U, r f, r k, t U t, p, r dt k, t U t, p, r dt H U, p, r, p = p U, p, r U, r + p U, p, r f, r k, t U t, p, r dt k, t U t, p, r dt tu H U, p, r, p = U, p, r U, r + p U, r f, r k, t U t, p, r dt k, t U t, p, r dt (3.) Selnjutny, berdsrkn persmn (3.) untuk nili p = diperoleh dn H U,, r, = U,, r U, r H U,, r, p = U,, r U, r. (3.) Kemudin untuk nili p = diperoleh persmn berikut dn H U,, r, = U,, r f, r k, t U t,, r dt k, t U t,, r dt
7 H U, p, r, p = U,, r f, r k, t U t,, r dt k, t U t,, r dt (3.3) Mislkn fungsi U(, p, r) dn U(, p, r) msing-msing merupkn penyelesin dri H U, p, r, p = dn H U, p, r, p =. Berdsrkn persmn (3.), mk kn diperoleh U, p, r = U, r dn U, p, r = U, r + p f, r U, r + k, t U t, p, r dt + k, t U t, p, r dt + p f, r U, r + k, t U t, p, r dt + k, t U t, p, r dt (3.4) Fungsi U(, p, r, p) dn U(, p, r, p) tidk hny bergntung pd prmeter dn p, tetpi jug bergntung pd prmeter r. Berdsrkn persmn (3.4), mk untuk p = diperoleh msing-msing penyelesin dri persmn H U,, r, = dn H U,, r, = sebgi berikut dn U,, r = U, r U,, r = U, r. Selnjutny, untuk p = diperoleh penyelesin persmn berikut. U,, r = f, r + k, t U t,, r dt dn + k, t U t,, r dt U,, r = f, r + k, t U t,, r dt + k, t U t,, r dt (3.5) Berdsrkn metode perturbsi homotopi, fungsi U(, p, r) dn U(, p, r) dpt disumsikn dlm bentuk deret pngkt dlm p berikut dn U, p, r = p i u i, r, U, p, r = i= i= p i u i (, r). (3.6) Berdsrkn persmn (3.6) dn persmn (3.4), mk kn diperoleh koefisien dri perpngktn p. Koefisien p memberikn dn u, r = U (, r) u, r = U (, r). (3.7) Selnjutny, koefisien untuk p memberikn u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt dn u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt. (3.8)
8 Ser umum, koefisien p i+ untuk i memberikn dn u i+, r = k, t u i t, r dt + k, t u i t, r dt u i+, r = k, t u i t, r dt + k, t u i t, r dt. (3.9) (Lmpirn 3) Dengn membut nili p =, mk kn diperoleh dn u, r = lim p U, p, r = u, r = lim p U, p, r = i= i= u i, r u i, r (3.) Dengn demikin pbil diberikn sutu persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu seperti pd persmn (.8), mk dengn menggunkn metode perturbsi homotopi kn diperoleh hmpirn penyelesin persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu sebgi berikut dn u, r i= u i, r u, r u i, r, i= (3.) dengn u i (, r) dn u i (, r) diperoleh dri persmn (3.8) dn persmn (3.9) sert u (, r) dn u (, r) merupkn pendektn wl yng dipilih. 3. Apliksi Metode Tinju persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu yng diberikn pd persmn (.8). Berdsrkn persmn (.9) dn persmn (.), mk persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dpt ditulis sebgi berikut:. dn u, r = f, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt u, r = f, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt, (3.) dengn k(, t) merupkn fungsi kernel. Nili ditentukn berdsrkn nili k(, t) tknegtif untuk t dn k(, t) tkpositif untuk t. Untuk lebih memhmi penggunn metode perturbsi homotopi pd persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu, mk berikut ini diberikn du ilustrsi persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dengn fungsi kernel yng berbed. Pd ksus pertm fungsi kernel yng diberikn berup fungsi liner dn pd ksus kedu diberikn fungsi kernel berup fungsi trigonometri. Ksus I: kernel berup fungsi liner Misl dengn k, t = t, (3.3) dn t sert =, b =, dn diberikn fungsi f(, r) dn f, r sebgi berikut: dn f, r = r 3 r3 4 3 3 r f, r = r + + r (3.4) + 3 r3 r + r (3.5) Penyelesin eksk untuk ksus ini dlh: u, r = r, (3.6)
9 dn u, r = r. (3.7) Pd ontoh ini, diperoleh nili k(, t) tknegtif untuk t dn k(, t) tkpositif untuk t, sehingg diperoleh =. Berdsrkn persmn (3.), mk kn memberikn bentuk persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dri persmn (3.4) dn persmn (3.5) sebgi berikut dn u, r = f, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt u, r = f, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt (3.8) Berdsrkn pendektn metode homotopi yng telh diurikn di wl, mk berdsrkn persmn (3.4) kn diperoleh penyelesin persmn homotopi dri persmn (3.8) sebgi berikut U(, p, r) = U, r + p[ f, r U, r dn + k, t U t, p, r dt + k, t U t, p, r ] U(, p, r) = U, r + p[f, r U, r + k, t U t, p, r dt + k, t U(t, p, r)dt]. (3.9) Untuk memperoleh hmpirn penyelesin dri persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu, mk kn ditentukn terlebih dhulu koefisien dri perpngktn p. Berdsrkn persmn (3.7) -(3.9), diperoleh koefisien p, dn p msing-msing memberikn u, r = U, r, u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt Ser umum diperoleh + k, t u t, r dt. u i+, r = k, t u i t, r dt + k, t u i t, r dt Selin itu, koefisien p, dn p msingmsing memberikn u, r = U, r, u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt Ser umum diperoleh + k, t u t, r dt. u i+, r = k, t u i t, r dt + k, t u i t, r dt Selnjutny, pilih pendektn wl U, r = dn U, r =, mk kn diperoleh u, r = dn u, r =..
Berdsrkn urin di ts, mk diperoleh 3 4 3 u(, r) r [ r r ], (3.) 3 3 3 u(, r) ( r) [ r r r ], (3.) 3 4 5 5 6 6 7 8 9 3 3r 4 r 49 5r r r 5r 4r u (, r) 8 8 36 36 4 4 8, (3.) 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 3 3r r 5r r r 5 5r 8 4r u (, r) 8 8 36 36 4 4 5 9 8, (3.3) 5 5 6 6 7 8 49773 49773r 3 3r 3 3r r u3(, r) 773376 773376 84 84 56 56 6 8 9 9 6r 3r 7 r 43 43r 47 47r 6 7 54 48 48 45 8 35 63 3 3 6 8r, 3 3 (3.4), 5 5 6 6 7 7 49773 49773r 3 3r 3 3r r u3( ) 773376 773376 84 84 56 56 5 8 8 9 9 3 6r 99 3r r 43r 47r 8r. 6 6 54 54 96 48 8 63 3 Dengn demikin, penyelesin persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu yng dinytkn oleh persmn (3.8) hingg orde tig berbentuk dn u, r u, r + u, r + u, r + u 3, r, u, r u, r + u, r + u, r + u 3, r. (3. 5), Dengn menggunkn softwre MAPLE diperoleh grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin persmn (3.8) seperti yng diberikn pd Gmbr. Gmbr Grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin persmn (3.8)
Gmbr merupkn grfik u terhdp r dengn nili r. Berikut ini kn diberikn Tbel yng merupkn selisih ntr penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin dengn menggunkn metode perturbsi homotopi dengn orde tig. Tbel Glt ntr penyelesin eksk dn metode perturbsi homotopi hingg orde 3 dengn =. r u eks ; r u pm, r u eks ; r u pm, r..9699e-6.54e-..7457e-6.898e-..55e-6.656e-3.3.973e-6.844e-3.4.73e-6.67e-3.5 8.4893e-7.393e-3.6 6.474e-7.688e-3.7 4.54e-7 9.4464e-3.8.7634e-7 7.44e-3.9 4.7853e-8 4.965e-3..75e-7.75e-4 Ksus II: kernel berup fungsi trigonometri Misl k, t = os t, (3.6) dengn π dn t sert =, b = π, dn diberikn fungsi f(, r) dn f(, r) sebgi berikut: f, r = r 5 + r [3 3 os ] (3.7) dn f, r = 6 r 3 [3 3 os ] (3.8) Penyelesin eksk yng diberikn untuk ksus ini dlh sebgi berikut: dn u, r = 3 r 5 + r (3.9) u, r = 3 6 3r 3 (3.3) Pd ontoh ini, nili k(, t) sellu bernili tknegtif untuk t, Sehingg diperoleh nili =. Berdsrkn persmn (3.) kn memberikn bentuk persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu dri persmn (3.7) dn persmn (3.8) sebgi berikut dn u, r = f, r + k, t u t, r dt u, r = f, r + k, t u t, r dt. (3.3) Berdsrkn pendektn metode homotopi yng telh diurikn di wl, mk berdsrkn persmn (3.4) diperoleh penyelesin persmn homotopi dri persmn (3.3) sebgi berikut dn U(, p, r) = U, r U(, p, r) = U, r + p f, r U, r + k, t U(t, p, r)dt + p f, r U, r + k, t U(t, p, r)dt. (3.3) Untuk memperoleh hmpirn penyelesin dri persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu yng dinytkn pd persmn (3.3), mk kn ditentukn terlebih dhulu koefisien dri perpngktn p. Berdsrkn persmn (3.7)-(3.6), mk diperoleh koefisien p, dn p, msingmsing memberikn u, r = U, r, u, r = f, r U, r Ser umum diperoleh + k, t u t, r dt. u i+, r = k, t u i t, r dt.
Selin itu, koefisien p, dn p msingmsing memberikn u, r = U, r, u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt. Ser umum diperoleh u i+, r = k, t u i t, r dt. Selnjutny, dipilih pendektn wl U, r = dn U, r =, sehingg diperoleh u, r = dn u, r =. Berdsrkn urin di ts, mk diperoleh u 5 (, r ) ( r r ) (3 3 Cos [ ]), (3.33) u r r Cos 3 (, ) 6( ) (3 3 [ ]), (3.34) 3 4 u (, r) r( r ) (4( 3 ) ( ) Cos[ ] Sin[ ]), (3.35) 9 3 u (, r) ( r ) (4( 3 ) ( ) Cos[ ] Sin[ ]), (3.36) 4 4 u3(, r) r( r ) (88( 3 ) 3(88 5 ) os[ ] (69 ) sin[ ]) 6 3 u r r os sin 6 (3.37) 3 4 3(, ) ( ) (88( 3 ) 3(88 5 ) [ ] (69 ) [ ]) Dengn demikin penyelesin persmn integrl fuzzy volterr tipe kedu yng dinytkn oleh persmn (3.3) hingg orde tig berbentuk u, r u, r + u, r + u, r + u 3, r, (3.38) dn u, r u, r + u, r + u, r + u 3, r. Dengn menggunkn Softwre MAPLE diperoleh grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin persmn integrl fuzzy Volterr tipe kedu pd ontoh ini seperti diberikn pd Gmbr 3. Gmbr 3 Grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin.persmn (3.3)
3 Gmbr 3 merupkn grfik u terhdp r dengn nili r. Selisih dri penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin yng merupkn tingkt keslhn metode perturbsi homotopi yng diberikn pd Tble. Tbel. Glt ntr penyelesin eksk dn penyelesin dengn metode Perturbsi homotopi untuk = π 4. r u eks ; r u pm, r u eks ; r u pm. 4.455e-3..58e-4 3.4535e-3..353e-4 3.444e-3.3 3.469e-4 3.486e-3.4 4.6659e-4 3.3447e-3.5 5.9387e-4 3.393e-3.6 7.358e-4 3.8e-3.7 9.3e-4.866e-3.8.e-3.577e-3.9.3766e-3.958e-3..776e-3.776e-3, r
IV SIMPULAN Metode perturbsi homotopi merupkn slh stu metode nlitik yng dpt digunkn untuk menyelesikn sutu mslh tkliner. Dlm metode ini terdpt sutu prmeter dn sutu fungsi yng dpt dipilih sembrng. Pemilihn kedu prmeter ini dpt mengkibtkn perlusn derh kekonvergenn (derh dimn nili penyelesin hmpirn mendekti nili penyelesin eksk). Slh stu pliksi dri penggunn metode perturbsi homotopi dlh penerpnny untuk menyelesikn persmn integrl fuzzy Volterr. Persmn integrl ini menggunkn konsep bilngn fuzzy sehingg persmn tersebut dinytkn dlm bentuk prmetrik dengn prmeter dn. Dengn menggunkn progrm MAPLE diperoleh grfik penyelesin eksk dn hmpirn penyelesin dri persmn integrl fuzzy Volterr. Grfik yng diperoleh menunjukkn bhw penyelesin yng diperoleh dengn metode perturbsi homotopi sngt dekt dengn penyelesin eksk untuk nili vribel bebs tertentu.
DAFTAR PUSTAKA Allhvirnloo T, Khezerloo M, Ghnbri M, Khezerloo S..The Homotopy perturbtion method for fuzzy Volterr integrl equtions. Interntionl journl of omputtionl ognition, vol. 8, No.. Bbolin,E, A. Dvri. 5. Numeril implementtion of Adomin deomposition method for liner volter integrl equtions of the seond kind, Appli. Mth. Comput. 65, 3-7. Dubois D, Prde H. 98. Towrds fuzzy differentil lulus:prt 3, differentition, Fuzzy Sets nd System. 8:5-33. Numeril Methods for Integrl Eqution. Plennum Press, New York, - 58. He, J.H.,. A oupling method of homotopy tehnique nd perturbtion tehnique for nonliner problems. Interntionl Journl Nonliner Mehni., Vol.35, No.:37-43. Jerri A J. 985. Introdution to Integrl Eqution with Applitions, Mrel Dekker In., New York. Kusumdewi, S.. Anlisis dn Desin Sistem Fuzzy, Grh Ilmu. Golberg M A. 978. Solution Methods for Integrl Equtions: A Survey of.
LAMPIRAN
7 Lmpirn Penurunn Persmn (.7) Tinju persmn differensil bis orde du u" + A()u + B()u = g(). dengn kondisi wl berikut u = u, u = u. Jik persmn differensil bis di ts diintegrlkn terhdp t, mk diperoleh tu u = A t u t dt B t u t dt + g t dt + u, u = Au B A t u t dt + g t dt + A u + u. Jik persmn differensil di ts diintegrlkn untuk yng kedu kliny, mk diperoleh Kren y u = Aud du B t A t u t dt y + du g t dt + A u + u + u. mk persmn untuk u menjdi y du f(t) = t f t dt u = A t + t B t A t u t dt + t g t dt + A u + u + u. Mislkn k, t = t B t A t A t, f = t g t dt A u + u + u. Persmn untuk u() menjdi u = f + k, t u t dt
8 Lmpirn Penyelesin Persmn (.6) Tinju persmn (.6) sebgi berikut: u = e + e u (t)dt. Persmn tersebut merupkn persmn integrl volterr tipe kedu dengn f = e + e dn k, t =. Berdsrkn persmn (.8) diperoleh U, p = p u p e e + U (t, p)dt Mislkn penyelesin persmn integrl tersebut dinytkn sebgi berikut:. U, p = u + pu + p u + + p i u i (). Jik persmn (.9) disubstitusikn ke dlm persmn (.8), mk diperoleh u + pu + = p u Koefisien p memberikn u = u e e + p e e + u t + pu t + dt u t dt.. Koefisien p memberikn u = u t u (t)dt. Mislkn dipilih pendektn u = e + e, mk diperoleh u = 465 5 3 8 e 3 e3 + 9 e3 + e e 6 e4 3 + 3 e4 8 e4 + 4 e 3 4 e 4. u = (e + e ) 465 5 3 8 e 3 e3 + 9 e3 + e e 6 e4 3 + 3 e4 8 e4 + 4 e 3 4 e 4 dt.
9 Dengn demikin penyelesin persmn (.6) dengn menggunkn metode perturbsi homotopi dlh tu u = u + u + u + u = (e + e ) + 465 5 3 8 e 3 e3 + 9 e3 + e e 6 e4 3 + 3 e4 8 e4 + 4 e 3 4 e 4.
Lmpirn 3 Penurunn Persmn (3.9) Berdsrkn persmn (3.4) berikut: dn U(, p, r) = U, r + p[f, r U, r + + k, t U(t, p, r)dt] U(, p, r) = U, r + p[f, r U, r + + k, t U(t, p, r)dt] k, t U t, p, r dt k, t U(t, p, r)dt Mislkn U, p, r = U, p, r = i= i= p i u i (, r) p i u i (, r) Jik persmn (3.6) disubstitusikn ke dlm persmn (3.4), mk diperoleh Untuk i = diperoleh u (, r) + pu (, r) = U, r u, r + pu, r Koefisien p memberikn + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r dt + k, t u (t, r) + pu (t, r) dt. = U, r + pf, r pu, r + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt. u, r = f, r U, r + + p k(, t) u (t, r))dt k, t u t, r dt + k, t u t, r dt
Kemudin u, r + pu, r = U, r + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r dt + k, t u t, r + pu t, r dt. u, r + pu, r = U, r + pf, r pu, r Koefisien p memberikn + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt + p k(, t) u t, r dt + p k(, t)u t, r dt. u, r = f, r U, r + k, t u t, r dt + k, t u t, r dt. Untuk i = diperoleh u, r + pu, r + p u (, r) = U, r + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r + p u (t, r) dt + k, t u t, r + pu t, r + p u (t, r) dt. u, r + pu, r + p u, r = U, r + pf, r pu, r + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt + p k, t u t, r dt + p 3 k, t u t, r dt + p 3 k(, t)u (t, r)dt.
Koefisien p memberikn u, r = k, t u t, r dt + k, t u t, r dt. Kemudin u, r + pu, r + p u, r = U, r + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r + p t, r dt + k, t u t, r + pu t, r + p u t, r dt. u, r + pu, r + p u, r = U, r + pf, r pu, r Koefisien p memberikn + p k, t u t, r dt + p k(, t)u t, r + p 3 k(, t)u t, r dt + p k, t u t, r dt + p k(, t) u t, r dt + p 3 k(, t)u t, r dt. dt u, r = k(, t)u t, r dt + k(, t) u t, r dt. Untuk i = 3 diperoleh u, r + pu, r + p u, r + p 3 u 3, r = U, r + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r + p u t, r + p 3 u 3 t, r dt + k, t u t, r + pu t, r + p u t, r + p 3 u 3 t, r dt.
3 u, r + pu, r + p u, r + p 3 u 3, r = U, r + pf, r pu, r Koefisien p 3 memberikn + p k, t u t, r dt + p k(, t) u t, r dt + p 3 k(, t) u t, r dt + p 4 k(, t) u 3 t, r dt + p k, t u t, r dt + p k(, t)u t, r dt + p 3 k(, t)u t, r dt + p 4 k(, t)u 3 t, r dt. u 3, r = k(, t) u t, r dt + k(, t)u t, r dt. Kemudin u, r + pu, r + p u, r + p 3 u 3, r = U, r + p f, r U, r + k, t u t, r + pu t, r + p u t, r + p 3 u 3 t, r dt + k, t u t, r + pu t, r + p u t, r + p 3 u 3 t, r dt. Koefisien p 3 memberikn u, r + pu, r + p u, r + p 3 u 3, r = U, r + pf, r pu, r + p k, t u t, r dt + p k(, t) u t, r dt + p 3 k(, t) u t, r dt + p 4 k(, t) u 3 t, r dt + p k, t u t, r dt + p k(, t)u t, r dt + p 3 k(, t)u t, r dt + p 4 k(, t)u 3 t, r dt. u 3, r = k(, t) u t, r dt + k(, t)u t, r dt.
4 Ser umum, untuk i diperoleh u i+, r = k(, t) u i t, r dt + k(, t)u i t, r dt
5 Lmpirn 4 Progrm Mple untuk Gmbr
6
7 Lmpirn 5 Progrm Mple untuk Gmbr 3