MODEL MATEMATKA R (UCEPTBLE, NFECTON, RECOVERY UNTUK PENYEBARAN WABAH PENYAKT PADA UATU POPULA TERTUTUP Muhmd Zki Riynto NM: 2/56792/PA/8944 E-mil: zki@milugmcid http://zkimthwebid Dosen Pembimbing: Dr Lin Aryti, M Penhulun Kejdin penulrn wbh penykit yng terjdi p sutu populsi pt dimodelkn ke lm bentuk mtemtis, slh stuny lh model R (usceptibles, nfection, Recovery Model R dikembngkn pertm kli untuk mengethui lju penyebrn n kepunhn sutu wbh penykit lm sutu populsi tertutup n bersift epidemik Model R Tnp Kelhirn n Kemtin Model R yng pertm menggunkn sumsi sebgi berikut : Penykit pt disembuhkn, tik menyebbkn kemtin 2 Hny menulr mellui kontk lngsung dengn penderit 3 eseorng yng pernh sembuh ri penykit tersebut tik kn terserng lgi, kren telh mempunyi kekebln 4 Populsi tetp (tik kelhirn n kemtin 5 Tik ms inkubsi pbil terjdi proses penulrn 6 Ms terjngkit yng cukup lm Copyright 28 http://zkimthwebid
elnjutny, mislkn : Ukurn subpopulsi yng rentn terserng penykit Ukurn subpopulsi yng terinfeksi n pt menulrkn penykit ke sutu subpopulsi linny yng rentn tertulr R Ukurn subpopulsi yng sembuh ri penykit n telh mempunyi kekebln t Wktu Disumsikn : Lju kesembuhn α konstn 2 Lju penulrn penykit β konstn esui dengn permisln n sumsi di ts, mk model R pt digmbrkn sebgi berikut β α R Gmbr Model R tnp kelhirn n kemtin Dengn demikin, pt diperoleh model mtemtis berikut : d β, d β α, dr α ( Proses sutu subpopulsi terinfeksi membutuhkn wktu yng dipengruhi st terjdi kontk ntr subpopulsi yng rentn dengn subpopulsi yng terinfeksi berlngsung Untuk mengethui tingkt penyebrn penykit st terjdi kontk digunkn bsic reproduction rtio (Ro, yitu lju pertumbuhn wl yng menytkn Copyright 28 http://zkimthwebid 2
nili hrpn (ekspektsi jumlh ksus terserng setelh terjdi kontk terhp ksus sebelum terjdi kontk Bersrkn sistem persmn ( di ts pt diperoleh bhw nili bsic reproduction rtio-ny lh β N Ro α Model R dengn Kelhirn n Kemtin Model R dikembngkn lebih lnjut bersrkn sumsi-sumsi yng telh dibut p model R pertm, tetpi perben yitu dengn sumsi bhw lm populsi terjdi proses kelhirn n kemtin elnjutny, mislkn Lju kemtin konstn 2 Lju kelhirn δ konstn Model R kedu ini pt digmbrkn sebgi berikut δ β α R Gmbr 2 Model R dengn kelhirn n kemtin Bersrkn sumsi n permisln di ts, pt diperoleh model mtemtis sebgi berikut d δ β, d β α, dr α R (2 Copyright 28 http://zkimthwebid 3
elnjutny, pt diperoleh bhw nili bsic reproduction rtio-ny lh β N Ro + α Kestbiln istem Perhtikn sistem persmn di bwh ini d d δ β, β α (3 Akn diselidiki kestbiln sistem persmn (3 di ts Mislkn Mk untuk (, f δ β (, g β α diperoleh titik kesetimbngn (, ( N, elnjutny dilkukn linerissi p persmn (3 di ts Dikethui : (, ( δ β f β, (, ( δ β f β, (, ( β α g β, (, ( β α g β α Diperoleh mtriks Jcobin p (, ( N, ( J, yitu β N β N α, dengn N δ Copyright 28 http://zkimthwebid 4
ehingg diperoleh sistem persmn liner berikut d β N d β N α Dpt diliht bhw p sistem persmn (3 di ts, titik kesetimbngn, dengn N δ β N stbil simtotik jik n hny jik Ro < α + (, ( N, (, (, Jik sistem persmn (3 di ts mempunyi titik kesetimbngn (equilibrium dengn >, mk : N Ro, jik Ro > β 2 ( Ro elnjutny, jik berlku N kesetimbngn (, ( N, Ro n β, ( Ro stbil simtotik β N Ro, mk titik α + Rt-rt Lm nfeksi Untuk menentukn rt-rt lm wktu infeksi, digunkn fungsi density Disumsikn bhw proporsi kemtin n terinfeksi sm, n sistem lm ken setimbng elnjutny, mislkn : P ( : Probbilits seseorng yng rentn untuk tetp hidup n belum terinfeksi wlupun telh terjdi kontk dengn individu yng terinfeksi p umur thun P ( : Probbilits seseorng yng rentn terinfeksi n tetp hidup setelh terjdi kontk dengn individu terinfeksi p umur thun k : Lju infeksi (konstn Copyright 28 http://zkimthwebid 5
Perhtikn gmbr berikut ini k Gmbr 3 Dpt dibentuk model lju probbilits rentn n lju probbilits terinfeksi sebgi berikut dp dp ( kp P k + P, P (, kp P, P ( (4 Dri persmn pertm p sistem persmn (4 di ts, diperoleh dp ( ( k + P k + Jik kedu rus diintegrlkn, diperoleh dp ( k + ln P ( k + + ln c Jdi, diperoleh P ( k + e Dengn demikin, nili probbilits individu terinfeksi p umur thun lh kp ( k + ke elnjutny, diperoleh rt-rt lm terinfeksi p umur thun, yitu Copyright 28 http://zkimthwebid 6
kp ( kp ( ke ke e e ( k + e 2 2 ( k + ( k + ( k + ( k + e ( k ( k + + ( k + Kren k β, mk diperoleh β + Ro β ( Ro + β Jdi, lm ken setimbng, mk rt-rt lm infeksi penykit lh + k Ro Dftr Pustk Diekmnn, O nd Heesterbeek, JAP, 2, Mthemticl Epidemology of nfectious Diseses: Model Building, Anlysis nd nterprettion, John Wiley, New York Copyright 28 http://zkimthwebid 7