Kurkulum 013/006 matematka K e l a s XI STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN Tujua Pembelajara Setelah mempelajar mater, kamu dharapka memlk kemampua berkut. 1. Dapat meetuka rata-rata data tuggal da data berkelompok.. Dapat meetuka meda data tuggal da data berkelompok. 3. Dapat meetuka modus data tuggal da data berkelompok. Md Map T Iterval d d + d I b + 1 d selsh modus Iterval 1 F Tb + F m kum I Tuggal Mo dus Meda Tuggal terbayak Me data ke- +1 STATISTIKA UKURAN PEMUSATAN Rata-rata = Tu g gal Ite rval Gabuga c s + I C = kode setap kelas berrekues + + 1 1 gab = d= + s 1 d s = semetara F kum Tb + sebelum kelas meda F m Tep bawah kelas meda B b k 0,5 data bulat 0,05 desmal
Dalam lmu statstka, salah satu cara utuk meympulka sebuah data adalah melalu tekk perhtuga. Sebaga cotoh, data rata-rata da persetl dapat dguaka utuk memberka deskrps terhadap sekumpula data. Blaga-blaga yag dapat dguaka utuk medeskrpska sebuah data dsebut ukura deskrpt. Beberapa ukura deskrpt yag serg dguaka oleh para ahl statstka adalah ukura pemusata, ukura peyebara, da ukura lokas data. Pada ses, kta aka membahas tetag ukura pemusata data. Ukura pemusata data adalah ukura deskrpt yag meujukka pusat data atau datum yag mewakl sekumpula data. Ada tga jes ukura pemusata data yag petg da serg dguaka, yatu rata-rata, meda, da modus. Rata-rata da meda haya dapat dterapka pada data kuattat, sedagka modus dapat dterapka pada data kuattat da data kualtat. A. Rata-Rata 1. Rata-Rata Data Tuggal Ukura pemusata data yag palg serg dguaka adalah rata-rata. Rata-rata dar sekumpula data adalah jumlah seluruh la datum dbag dega bayakya datum. Dketahu sekumpula data 1,, 3, 4,...,. Jumlah la data tersebut dapat dtetuka sebaga berkut. =1 = + + +... + 1 3 Dega demka, rata-rataya yag dotaska dega (dbaca: bar) dapat drumuska sebaga berkut. = =1 Keteraga: = rata-rata data; = datum ke-; da = ukura sampel.
Cotoh Soal 1 Data berkut meujukka tekaa darah dar 16 aak yag buya mederta dabetes. 81,6 84,1 87,6 8,8 8,0 88,9 86,7 96,4 84,6 104,9 90,8 94,0 69,4 78,9 75, 91,0 Tetuka rata-rata sampel dar data tersebut. Pembahasa: Tetuka dahulu jumlah la datum dar data tersebut. 16 =1 = 1378, 9 Kemuda, tetuka rata-rata dar tekaa darahya. Oleh karea bayak datum = 16, maka: = =1 16 =1 = 16 = 1378, 9 16 = 86, Jad, rata-rata sampel dar data tersebut adalah 86,.. Rata-Rata Data Berrekues Data sampel yag berukura besar da memuat bayak data berulag basaya aka dyataka dalam betuk tabel dstrbus berkut. Datum 1 3 1 Frekues 1 3 1 3
Jumlah data tersebut da ukura sampel dataya dapat dtetuka sebaga berkut. 1 1 3 3 1 1 =1 Jumlah data: = + + +... + + Ukura sampel: = = + + +... + 1 1 3 Dega demka, rata-rataya dapat drumuska sebaga berkut. = =1 =1 Keteraga: = rata-rata data; = rekues ke-; da = data ke-. Cotoh Soal Perhatka data peroleha la ulaga mata pelajara matematka dar 50 sswa berkut. Nla 5 6 7 8 9 10 Frekues 4 8 15 10 7 6 Rata-rata dar data tersebut adalah... Pembahasa: Rata-rata dar data tersebut dapat dtetuka dega rumus berkut. = =1 =1 = 4.5+8.6+15.7+10.8+7.9+6.10 4+8+15 +10+7+6 376 4
= 376 50 =7,5 Jad, rata-rata dar data tersebut adalah 7,5. Cotoh Soal 3 (Soal SPMB) Nla uja dar peserta seleks pegawa d suatu stas dperlhatka dalam tabel berkut. Nla Uja Frekues 3 4 4 5 6 6 0 7 10 8 5 9 10 1 Seorag calo dyataka lulus jka laya sama dega atau d atas rata-rata. Bayakya calo yag lulus ada... orag. A. 8 D. 44 B. 18 E. 48 C. 38 Pembahasa: Tetuka dahulu rata-rataya. = =1 =1 =.3+4.4+6.5+0.6+10.7+5.8+.9+1.10 +4+6+0+10 +5++1 = 310 50 =6, 5
Oleh karea la rata-rataya 6,, maka calo yag lulus laya harus d atara 7 sampa 10. Dega demka, dperoleh: Bayak calo yag lulus = 10 + 5 + + 1 = 18 Jad, bayakya calo yag lulus ada 18 orag. Cotoh Soal 4 (Soal SPMB) Tabel berkut meujukka usa 0 aak d kota A saat tahu lalu. Jka pada tahu tu tga aak yag berusa 7 tahu da seorag aak yag berusa 8 tahu pdah ke luar kota A, usa rata-rata 16 aak yag mash tggal pada saat adalah... Usa Frekues 5 3 6 5 7 8 8 4 A. 7 tahu D. 6 tahu B. 8 1 tahu E. 6 1 tahu C. 8 3 4 tahu Pembahasa: Oleh karea data tersebut adalah data tahu yag lalu, maka usa setap aak saat telah bertambah dua tahu. Perhatka tabel berkut. Tabel tahu lalu: Usa Frekues Sebelum Frekues Sesudah 5 3 3 6 5 5 7 8 5 8 4 3 6
Tabel saat : Usa Frekues 7 3 8 5 9 5 10 3 Dega demka, rata-rata usa 16 orag aak yag mash tggal pada saat adalah sebaga berkut. = =1 =1 = 3.7+5.8+5.9+3.10 3+5+5+3 = 136 16 =8 1 tahu Jad, usa rata-rata 16 aak yag mash tggal pada saat adalah 8 1 tahu. 3. Rata-Rata Berterval Data sampel yag berukura besar da memuat sedkt data berulag basaya aka dyataka dalam betuk terval. Lagkah-lagkah membetuk tabel rekues berbetuk terval adalah sebaga berkut. Lagkah 1. Tetuka la data terkecl da terbesarya. Lagkah. Tetuka jagkaua data (J). J = data terbesar data terkecl Lagkah 3. Tetuka bayak kelas (k) dega atura Sturges berkut. k = 1 + 3,3 log dega adalah ukura sampel. 7
Lagkah 4. Tetuka terval kelas (pajag kelas). I= J k Lagkah 5. Buat tabel dstrbus rekues dega sstem turus. Adapu lagkah-lagkah meetuka rata-rata dar data berterval adalah sebaga berkut. Lagkah 1. Tetuka la tegah masg-masg kelas. Nla tegah ( ) kelas dapat dtetuka dega rumus berkut. Bb +Ba = Keteraga: Bb = batas bawah kelas ke-; da Ba = batas atas kelas ke-. Lagkah. Guaka rumus rata-rata. = =1 =1 dega adalah la tegah kelas. Cotoh Soal 5 Berkut adalah bayakya pegujug wahaa berma selama 60 har. 75 60 81 8 96 81 103 91 100 10 86 9 85 10 95 9 104 99 90 96 87 64 84 98 90 87 110 93 84 89 84 8 74 96 110 65 87 88 91 98 94 91 89 83 11 88 66 107 97 103 96 11 9 94 84 96 83 101 86 115 8
Buatlah tabel dstrbus rekues berbetuk terval, kemuda carlah rata-rataya. Pembahasa: Lagkah-lagkah membuat tabel rekues berbetuk terval adalah sebaga berkut. Lagkah 1. Meetuka la data terkecl da terbesar. Data terkecl = 60 Data terbesar = 115 Lagkah. Meetuka jagkaua. J = data terbesar data terkecl = 115 60 = 55 Lagkah 3. Meetuka bayak kelas. k = 1 + 3,3 log = 1 + 3, 3 log 60 6,9 Bayak kelas dbulatka ke atas mejad k = 7 kelas. Lagkah 4. Meetuka pajag kelas (terval). I J = K = 55 7 7, 9 Lagkah 5. Pajag kelas dbulatka ke atas mejad I = 8. Membetuk tabel dstrbus rekues. Jumlah Kujuga Turus Frekues 60 67 4 68 75 76 83 6 84 91 19 9 99 16 100 107 8 108 115 5 9
Setelah ddapatka tabel dstrbus rekuesya, tetuka la tegah setap kelas. Jumlah Kujuga Nla Tegah Frekues 60 67 68 75 76 83 84 91 9 99 100 107 108 115 60 +67 68 +75 76 +83 = 63,5 4 = 71,5 = 79,5 6 84 +91 = 87,5 19 9 +99 100 +107 108 +115 = 95,5 16 = 103,5 8 = 111,5 5 Dega demka, rata-rataya dapat dtetuka sebaga berkut.. 63,5 4 54 71,5 143 79,5 6 477 87,5 19 166,5 95,5 16 158 103,5 8 88 111,5 5 557,5 Σ = 60 Σ. = 5450 10
= =1 =1 = 5450 60 = 90, 83 Jad, rata-rata bayakya pegujug tersebut adalah 90,83. Rumus la yag dapat dguaka utuk meetuka la rata-rata dar tabel rekues adalah sebaga berkut. a. d = s + =1 =1 Keteraga: s = rata-rata semetara; da d = selsh (deret) kelas ke- = b. = s + c =1 =1 I Keteraga: c = kode yag dberka utuk kelas ke-. c = 0 dberka utuk kelas s, kelas d atasya dberka kode meuru mula dar 1,, da seterusya. Semetara kelas d bawahya dberka kode ak mula dar 1,, da seterusya. Cotoh Soal 6 Selesaka cotoh soal sebelumya dega megguaka rumus tersebut. 11
Pembahasa: Rumus pertama Tetuka dahulu la tegah masg-masg kelas. Data 60 67 63,5 68 75 71,5 76 83 79,5 84 91 87,5 9 99 95,5 100 107 103,5 108 115 111,5 Rata-rata semetara dambl dar salah satu la tegah, msal s = 87,5. Kemuda, perhatka tabel berkut utuk meghtug rata-rata megguaka rumus pertama. Data s d = s. d 60 67 63,5 87,5 4 4 96 68 75 71,5 87,5 16 3 76 83 79,5 87,5 8 6 48 84 91 87,5 87,5 0 19 0 9 99 95,5 87,5 8 16 18 100 107 103,5 87,5 16 8 18 108 115 111,5 87,5 4 5 10 Σ. d = 00 Dega demka, dperoleh: = s + d =1 =1 = 87,5+ 00 60 = 87,5+3,33 = 90, 83 1
Rumus kedua Msal s = 87,5. Kode utuk kelas s adalah 0. Kode kelas d atas meuru mula dar 1,, da seterusya. Semetara kode kelas d bawah s ak mula dar 1,, da seterusya. Data Data c. c 60 67 63,5 3 4 1 68 75 71,5 4 76 83 79,5 1 6 6 84 91 87,5 0 19 0 9 99 95,5 1 16 16 100 107 103,5 8 16 108 115 111,5 3 5 15 Σ. c = 5 Oleh karea pajag kelas (I) dar data tersebut adalah 8, maka rata-rataya dapat dtetuka sebaga berkut. = s + c =1 =1 = 87,5+ 5 60.8 = 87,5+3,33 = 90, 83 I Jad, rata-rata dar data tersebut adalah 90,83. 4. Rata-Rata Data Gabuga Sekelompok 1 data memlk rata-rata 1 da sekelompok data memlk rata-rata. Rata-rata dar data kelompok pertama da kedua dapat dyataka sebaga berkut. 1 1 = = 1 1 1 1 = = 13
Rata-rata gabuga dar dua kelompok data tersebut dapat drumuska sebaga berkut. gab gab gab = = jumlah data bayak data + + = + 1 1 1 1 Cotoh Soal 7 Bayak sswa kelas A adalah 30 da kelas B adalah 0 sswa. Nla rata-rata uja matematka kelas A lebh 10 dar kelas B. Jka rata-rata la uja matematka gabuga dar kelas A da kelas B adalah 66, rata-rata la uja matematka kelas B adalah... A. 58 D. 64 B. 60 E. 66 C. 6 Pembahasa: Dketahu: A =30 B =0 A =10+ B gab =66 Dtaya: B =...? Djawab: Rata-rata gabuga drumuska sebaga berkut. gab = + + A A B B A 30. A + 0. B 66 = 30 +0 3300 = 30. A + 0. 330 =3 A +B B B 14
Oleh karea A 330 =3 A + =10+ B, maka: 330 =3 10 + B + 330 =30+3 B + 330 =5 B +30 5 B = 300 B ( ) B B B =60 Jad, rata-rata la uja matematka kelas B adalah 60. Cotoh Soal 8 Nla rata-rata matematka sswa pra adalah 68, da la rata-rata matematka sswa wata adalah 75. Jka rata-rata gabugaya adalah 70, perbadga bayak sswa pra da wata adalah... Pembahasa: Dketahu: p = rata -rata sswa pra = 68 w = rata -rata sswa wata = 75 gab = rata -rata gabuga seluruh sswa = 70 Dtaya: p : w =...? Djawab: Rata-rata gabuga drumuska sebaga berkut. gab + = + p p w w p p.68+ w75 70 = p + w 70 +70 = 68 +75 p =5w p = 5 w w p w p w Jad, perbadga bayak sswa pra da wata adalah 5 :. 15
SUPER "Solus Qupper" Urutka dahulu rata-rataya. p gab w 68 70 75 Ambl selsh blaga berdekata. p gab w 68 70 75 5 Perbadga p : w dapat dperoleh dega cara meylag. p gab w 68 70 5 75 w p Jad, p : w = 5 :. B. Meda Betuk ukura pemusata la yag serg dguaka adalah meda. Pada dasarya, meda dar sekumpula data adalah blaga yag membag data mejad 50% data terkecl da 50% data terbesar. Oleh karea tu, utuk meetuka meda, data harus durutka terlebh dahulu. 1. Meda Data Tuggal Lagkah-lagkah meetuka meda data tuggal adalah sebaga berkut. Lagkah 1. Urutka dataya. Lagkah. Tetuka bayakya data (). Lagkah 3. Tetuka meda dega rumus berkut. +1 Me = data ke - 16
Cotoh Soal 9 Tetuka meda dar data 1,, 8, 11, 6, 10, da 16. Pembahasa: Lagkah 1. Lagkah. Lagkah 3. Urutka dataya. 1,, 6, 8, 10, 11, 16 Tetuka bayakya data. = 7 Tetuka meda dega rumus berkut. +1 Me = data ke - =data ke - 7+1 =data ke -4 Jad, meda dar data tersebut adalah 8. Cotoh Soal 10 Perhatka tabel rekues yag meujukka peroleha la matematka suatu kelas berkut. Nla 3 4 5 6 7 8 9 10 Frekues 6 5 7 8 6 5 4 Meda dar data tersebut adalah... Pembahasa: Tabel rekues tersebut sudah dalam keadaa terurut. Bayak data () dapat dperoleh dar jumlah rekues, yatu sebaga berkut. = = 6 + 5 + 7 + 8 + 6 + 5 + 4 + = 43 Meda adalah data ke- +1, yatu data ke- 44 =. Utuk medapatka la data ke-, guaka rekues kumulat sepert berkut. 17
Nla 3 4 5 6 7 8 9 10 Frekues 6 5 7 8 6 5 4 Kumulat 6 11 18 6 Data Data 1-6 Data 1-6 1-11 Data 1-18 Jad, meda data tersebut adalah 6.. Meda Data Berterval Meda data berterval dapat dtetuka dega mecar la pada terval yag terletak palg tegah. Meda terletak pada kelas yag megadug la. Kta bsa megaggap adalah bayak data sebelum kelas meda, sedagka kum dega kum merupaka rekues kumulat sebelum kelas meda adalah bayak data yag damat kum d kelas meda. Semetara dega m merupaka rekues kelas meda adalah m kum propors la data pada kelas meda. Dega pajag kelas yag sama I, I m meujukka pecaha yag bersesuaa dega poss meda. Jka dtambahka dega T b (tep bawah kelas meda), aka dperoleh la meda. Utuk lebh jelasya, perhatka rumus berkut. 1 Me = Tb + m kum I Keteraga: T b = batas bawah kelas meda p; da p = 0,5 jka la dyataka dalam blaga bulat da 0,05 jka la dyataka dalam blaga desmal 1 agka d belakag koma. 18
Cotoh Soal 11 Tetuka meda dar data tgg bada sswa berkut. Tgg Bada 140 144 6 145 149 8 150 154 10 155 159 5 160 164 4 164 169 3 Pembahasa: Tetuka dahulu bayak dataya. = = 6 + 8 + 10 + 5 + 4 + 3 = 36 Kemuda, tetuka kelas meda. Kelas meda adalah kelas yag megadug data ke- jelasya, perhatka tabel berkut. atau data ke-18. Utuk lebh Tgg Bada kum 140 144 6 6 145 149 8 14 = F kum 150 154 10 4 letak data ke-18 155 159 5 F m = 10 160 164 4 164 169 3 I = 5 = 36 Oleh karea dataya dyataka dalam blaga bulat, maka tep bawah kelas meda adalah sebaga berkut. T b = 150 0,5 = 149,5 19
Dega demka, medaya dapat dtetuka sebaga berkut. 1 kum Me = Tb + I m 1.36 14 = 149,5+ 5 10 =149,5+ = 151,5 Jad, meda dar data tersebut adalah 151,5. SUPER "Solus Qupper" Bayak data = = 36 Meda adalah data ke- kelas ke-3. atau data ke-18. Dega demka, meda terletak pada Tgg Bada Berlaku: 140 144 6 145 149 8 14 data 150 154 10 uruta ke-4 dar 10 data = 4 I 10 5 = 4 10 = Dega demka, dperoleh: Me = T b + = 149,5 + = 151,5 Jad, meda dar data tersebut adalah 151,5. 0
Cotoh Soal 1 Perhatka hstogram berkut. 15 11 8 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 berat bada Meda dar data berat bada tersebut adalah... Pembahasa: Tetuka dahulu bayakya data (). = = 8 + 11 + 15 + 8 = 4 Kemuda, tetuka kelas meda. Kelas meda adalah kelas yag megadug data ke- jelasya, perhatka hstogram berkut. atau data ke-1. Utuk lebh F m 15 34 kelas meda 11 8 8 19 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 F kum T b I = 10 berat bada 1
Dega demka, medaya dapat dtetuka sebaga berkut. 1 kum Me = Tb + I m 1 19 = 50,5+ 10 15 = 50,5+1,33 = 51, 83 Jad, meda dar data tersebut adalah 51,83. C. Modus Modus adalah ukura pemusata data yag laya dapat dperoleh dega melhat data yag palg serg mucul atau memlk rekues terbesar. 1. Modus Data Tuggal Data tuggal atau data tuggal yag dyataka dalam betuk tabel rekues sagat mudah dtetuka modusya. Jka dalam sekumpula data tuggal terdapat dua data yag rekuesya sama-sama palg besar, kedua data tersebut dapat mejad modus. Sekumpula data yag memlk dua modus sepert damaka bmodus. Namu, jka dalam sekumpula data terdapat lebh dar dua modus, damaka multmodus. Cotoh Soal 13 Datar gaj dar 10 orag karyawa adalah sebaga berkut. 500.000, 600.000, 750.000, 750.000, 800.000, 600.000, 900.000, 1.000.000, 600.000, 800.000 Modus dar data tersebut adalah... Pembahasa: Oleh karea yag bergaj 600.000 palg bayak d atara yag la, yatu 3 orag, maka modus dar data tersebut adalah 600.000.
Cotoh Soal 14 Berkut adalah data bayakya cabag dar perusahaa A, B, C, D, da E. 00 cabag, 300 cabag, 401 cabag, 500 cabag, 150 cabag Modus dar data tersebut adalah... Pembahasa: Oleh karea tdak ada data yag sama, maka modus dar data tersebut tdak ada. Cotoh Soal 15 Data la ulaga matematka Jo selama 1 semester adalah sebaga berkut. 8, 8, 6, 7, 7, 9, 9, 10, 8, 7, 10 Modus dar data tersebut adalah... Pembahasa: Oleh karea terdapat dua la yag sama-sama memlk rekues palg besar, yatu 7 da 8, maka modus dar data tersebut adalah 7 da 8. Sekumpula data damaka bmodus.. Modus Data Berterval Modus data berterval tdak dapat dtetuka haya dega melhat rekues terbesarya saja. Hal dsebabka karea dataya dyataka dalam betuk terval. Semetara modus harus berupa data dalam terval yag memlk rekues terbesar. Perhatka gambar berkut. 1 3 a b Mo c d Dega demka, modus dar data tersebut adalah Mo = b +. 3
Utuk meetuka la, guaka prsp kesebagua pada segtga. d 1 = 1 3 = d I Berlaku: d d 1 = l di 1 d 1 = d d 1 + d= di 1 ( d1+ d) = d1i d 1 = I d1+ d Dega demka, dperoleh: Mo = b+ d1 = b + d + d 1 I Dega megguaka otas lebh umum, rumus utuk meetuka modus data berterval adalah sebaga berkut. d1 Mo = Tb + d + d 1 I Keteraga: T b = tep bawah kelas modus; d 1 = selsh rekues kelas modus dega rekues kelas sebelumya; 4
d = selsh rekues kelas modus dega rekues kelas setelahya; da I = pajag kelas. Cotoh Soal 16 Perhatka hstogram berkut. 1 10 9 6 10,5 tgg bada 130,5 140,5 150,5 160,5 Modus dar data tersebut adalah... Pembahasa: Modus terletak pada kelas ke-3, sehgga: T b = 140,5 d 1 = 1 10 = d = 1 9 = 3 I = 150,5 140,5 = 10 Dega demka, dperoleh: d 1 Mo = Tb + I d1+ d = 140,5+ +3 10 = 144,5 Jad, modus dar data tersebut adalah 144,5. Cotoh Soal 17 Perhatka tabel data usa peduduk suatu RW berkut. 5
Usa 0 5 10 6 11 15 1 17 16 18 3 8 4 9 14 30 35 16 36-41 4 4 47 0 48 53 16 54 59 1 Modus dar data tersebut adalah... Pembahasa: Modus terletak pada kelas ke-7, sehgga: T b = 36 0,5 = 35,5 d 1 = 4 16 = 8 d = 4 0 = 4 I = 6 0 = 6 Dega demka, dperoleh: d 1 Mo = Tb + I d1+ d 8 = 35,5+ 8+4 6 = 39,5 Jad, modus dar data tersebut adalah 39,5. D. Rata-Rata, Modus, da Meda Pemlha ukura pemusata dalam meetuka deskrps data aka berbeda-beda tergatug dega kods data tersebut. Rata-rata tdak selalu mejad ukura yag 6
tepat utuk medeskrpska data apabla ada la data yag tdak basa atau tdak wajar. Perhatka data upah pekerja berkut. Pekerja 1 3 4 5 6 7 Upah 1.500.000 1.800.000 1.600.000 1.400.000 1.500.000 9.000.000 1.000.000 Rata-rata dar data tersebut adalah Rp4.114.86,00. Jka kta meyataka bahwa upah pekerja sudah sejahtera karea sudah d atas UMR (msal UMR Rp3.000,00), kta salah. Hal karea beberapa pekerja memlk upah d bawah UMR. Dega demka, pegguaa rata-rata utuk medeskrpska data tersebut tdak tepat. Ukura pemusata yag tepat dguaka adalah meda, yatu Rp1.600.000,00 atau modus, yatu Rp1.500.000,00. Sama halya dega rata-rata, modus tdak tepat djadka ukura utuk medeskrpska data apabla data tersebut bmodus atau multmodus. Berkut adalah sat-sat rata-rata, meda, da modus. 1. Rata-rata yag terpegaruh oleh la data yag sagat besar atau sagat kecl tdak tepat utuk medeskrpska data.. Meda dguaka utuk meetuka apakah suatu data masuk dalam 50% data terbesar atau 50% data terkecl. 3. Meda sedkt terpegaruh oleh la-la data yag ekstrm. 4. Modus dguaka utuk data kuattat maupu kualtat. 5. Nla modus tdak selalu uk. Sekumpula data bsa memlk modus lebh dar satu. Utuk jes data yag memlk modus lebh dar satu, modus tdak tepat djadka ukura utuk medeskrpska data. 7