STATISTIK PERTEMUAN V

STATISTIK PERTEMUAN V

Variabel Random/ Acak variabel yg nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan/ variabel yang bernilai numerik yg didefinisikan dlm suatu ruang sampel 1. Variabel Random diskrit Variabel random yg tdk mengambil seluruh nilai yg ada dlm sebuah interval/ variabel yg hanya memiliki nilai tertentu 2. Variabel Random kontinu Variabel random yg mengambil seluruh nilai yg ada dlm sebuah interval/ variabel yg dpt memiliki nilai-nilai pd suatu interval tertentu

Pengertian dan Jenis-Jenis Distribusi Teoretis Distribusi teoretis : suatu daftar yg disusun berdasarkan probabilitas dr peristiwa2 bersangkutan Misal : Sebuah mata uang logam dgn permukaan I = A dan permukaan II = B dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoritisnya

Jenis-jenis distribusi teoretis 1. Distribusi teoretis diskrit Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai variabel random diskrit dgn probabilitas terjadinya masing-masing nilai tsb Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi probabilitas/ distribusi dr variabel random diskrit jk memenuhi syarat: a. f() 0, Є R b. f() = 1 c. P(X=) = f()

Contoh soal Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak diambil 3 bola. Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang terambil

Jawab Jumlah titik sampel = C 36 = 20 titik sampel Banyaknya cara mendapatkan bola kuning adalah C 2 Banyaknya cara mendapatkan bola biru adalah Distribusi probabilitasnya P(X=) =

Distribusi yg tergolong ke dlm distribusi ini antara lain : a. Distribusi binomial b. Distribusi hipergeometrik c. Distribusi Poisson

2. Distribusi teoretis kontinu Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai variabel random kontinu dgn probabilitas terjadinya masing-masing nilai tsb Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi probabilitas/ distribusi probabilitas variabel random kontinu, jk memenuhi syarat: a. f() 0, Є R b. f ( ) d 1 c. P ( a X b) f ( ) b a d

Contoh soal : f Suatu variabel random kontinu X yg memiliki nilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi yg dinyatakan oleh : ( ) 2(1 ) 21 Tentukan nilai P(X<2)

Distribusi yg tergolong distribusi teoritis kontinu antara lain : a. Distribusi normal 2 b. Distribusi c. Distribusi F d. Distribusi t

DISTRIBUSI BINOMIAL Suatu distribusi teoretis yg menggunakan variabel random diskrit yg tdr dr dua kejadian yg berkomplementer spt sukses-gagal, ya-tidak, baik-buruk, kepala-ekor dsb Pengambilan sampel dilakukan dgn pengembalian

Ciri-ciri : 1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa spt ya-tidak, sukses-gagal 2. Probabilitas satu peristiwa adl tetap, tidak berubah utk setiap percobaan 3. Percobaannya bersifat independent artinya peristiwa dr suatu percobaan tdk mempengaruhi/ dipengaruhi peristiwa dlm percobaan lainnya 4. Jml/ banyaknya percobaan yg mrp komponen percobaan binomial hrs tertentu

Rumus binomial suatu peristiwa Probabilitas suatu peristiwa dpt dihitung dgn mengalikan kombinasi susunan dgn probabilitas salah satu susunan P( X ) b( ; n, p) C. p. q n n Keterangan : = banyaknya peristiwa sukses n = banyaknya percobaan p = probabilitas peristiwa sukses q = 1- p = probabilitas peristiwa gagal

Contoh soal Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut: a. Mata dadu 5 muncul 1 kali b. Mata dadu genap muncul 2 kali c. Mata dadu 1 atau 4 muncul sebanyak 4 kali

Jawab P= 1/6 ; q= 5/6; n= 4; = 1 (muncul 1 kali) P (X=1) = = 4.(1/6).(5/6)3 = 0.386 P = 3/6; q = ½; n =4; =2 P(=2) = = 6.(1/2)2.(1/2)2 = 0.375

Probabilitas binomial kumulatif Probabilitas dr peristiwa binomial lebih dr satu sukses ) (... 2) ( 1) ( 0) ( ) (. 0 0 n P P P X P X P q p C PBK n n n n

Contoh soal Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas : a. Paling banyak 2 org lulus b. Yang akan lulus antara 2 sampai 3 c. Paling sedikit 4 diantaranya lulus

Jawab a) n =5 ; p =0.7 ; q =0.3; = 0,1,dan 2 P( <2 )= P(=0)+P(=1)+P(=2) b) n =5 ; p = 0.7; q=0.3; = 2 dan 3 P(2<<3) = P(=2) + P(=3) c) n = 5; p = 0.7; q=0.3; = 4 dan 5 P(X>4) = P(=4) + P(=5)

Rata-rata, Varians, Simpangan Baku Distribusi Binomial rata rata ( ) n. p var ians ( 2 ) n. p. q simpanganbaku ( ) n. p. q

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Menggunakan variabel diskrit dgn 2 kejadian yg berkomplementer Pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian P( X ) h( ; N, n, k) N k n N n Keterangan : N = ukuran populasi n = ukuran sampel k = banyaknya unsur yg sama pd populasi = banyaknya peristiwa sukses C k C C

Contoh soal Sebuah kotak berisi 50 bola, 5 diantaranya pecah. Apabila diambil 4 bola, berapa probabilitas dua diantaranya pecah? N = 50 ; n=4; k=5; =2

Distribusi hipergeometrik dpt diperluas. Jk dr populasi yg berukuran N terdpt unsur yg sama yi k1, k2, dan dlm sampel berukuran n terdpt unsur yg sama 1, 2,... Dgn k1+k2+ = N dan 1+2+ =n, distribusi hipergeometrik dirumuskan : P( X,,...) 2 1 C k 1 1 C C N n k 2 2

DISTRIBUSI POISSON Distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X yi banyaknya hasil percobaan yg tjd dlm suatu interval wkt tertentu/ di suatu daerah tertentu

Ciri-ciri Banyaknya hsl percobaan yg tjd dlm suatu interval wkt/ suatu daerah tertentu tdk tgt pd banyaknya hsl percobaan yg tjd pd interval wkt/ daerah lain yg terpisah Probabilitas tjdnya hsl percobaan slm suatu interval wkt yg singkat/ dlm suatu daerah kecil, sebanding dgn panjang interval wkt/ besarnya daerah tsb dan tdk bergantung pd banyaknya hsl percobaan yg tjd di luar interval wkt/ daerah tsb Probabilitas lebih dr satu hsl percobaan yg tjd dlm interval wkt yg singkat/ dlm daerah yg kecil dpt diabaikan

Distribusi Poisson byk digunakan dlm hal: Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa mnrt satuan wkt, ruang, luas, panjang tertentu spt menghitung probabilitas dr : 1. Banyaknya telepon per menit/ banyaknya mobil yg lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan 2. Banyaknya bakteri dlm 1 tetes/ 1 L air 3. Banyaknya kesalahan ketik per halaman 4. Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama seminggu Menghitung distribusi probabilitas binomial apabila nilai n besar (n 30) dan p kecil (p<0,1)

Rumus probabilitas poisson suatu peristiwa P( X )! Keterangan : rata rata terjadinya suatu bilangan alam 2,71828 peristiwa

Contoh soal Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tsb mengikuti distribusi poisson, berapa probabilitas untuk penjualan berikut? a. 0 lampu TL b. 3 lampu TL

Probabilitas terjadinya suatu kedatangan dirumuskan: P( X ) t ( t)! Keterangan : t tingkat keda tan gan rata banyaknya satuan waktu banyaknya keda tan rata gan dalam t per satuan waktu satuan waktu

Probabilitas distribusi poisson kumulatif ) (... 2) ( 1) ( 0) ( ) (! 0 0 n X P X P X P X P X P PPK n n

Contoh soal Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tsb mengikuti distribusi poisson. a. Tentukan probabilitas penjualan paling banyak 2 lampu b. Andaikata persediaan lampu sisa 3, berapa probabilitas permintaan lebih dari 3 lampu

Distribusi poisson sbg pendekatan distribusi binomial P( X ) ( np) np.!