: Dasar-dasar Probabilitas, Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia April 13, 2017
1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar 0.7, dilantunkan tiga kali. Misalkan X menyatakan banyaknya muka yang muncul pada tiga kali lantunan. Tentukan fungsi massa peluang dari X.
2. Misalkan dua tim bermain serangkaian permainan, masing-masing saling bebas dimenangkan oleh tim A dengan peluang p dan oleh tim B dengan peluang 1 p. Pemenang permainan ini adalah tim pertama yang memenangkan i permainan. Jika i = 4, tentukan peluang bahwa 7 permainan telah dimainkan. Tunjukkan pula bahwa peluangnya akan maksimal ketika p = 1 2
3. Misalkan dua tim bermain serangkaian permainan, masing-masing saling bebas dimenangkan oleh tim A dengan peluang p dan oleh tim B dengan peluang 1 p. Pemenang permainan ini adalah tim pertama yang memenangkan 4 permainan. Tentukan ekspektasi banyaknya permainan akan dimainkan jika p = 1 2
4. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa 5% dari pemesan tiket tidak datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?
5. Medibank, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 100% biaya kesehatan hingga maksimal 1 juta dolar/th polis. Diketahui total tagihan kesehatan X/th memiliki fungsi peluang: f X (x) = x(4 x), 0 < x < 3 9 Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, tentukan nilai yang mungkin untuk Y! Tentukan ekspektasi dari Y!
6. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70 % pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20 % mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15 % mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car.
7. Kuliah SMT, PSM, dan PPS di jurusan Statistika UII diikuti oleh 50, 75, dan 100 mahasiswa. Dari jumlah tersebut diketahui bahwa 50, 60, dan 70 persen-nya adalah mahasiswa angkatan 2014. Seperti biasa, mahasiswa akan mungkin mengundurkan diri dari perkuliahan tersebut, dengan kemungkinan yang sama. Seorang mahasiswa mengundurkan diri dan dia adalah angkatan 2014. Berapa peluang bahwa mahasiswa tersebut mengambil kuliah PPS?
8. Bono berada di penjara markas Brimop di Kelapa Dua, Depok. Dia ingin melarikan diri namun hal itu tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa jika Bono hendak keluar dari penjara, dia akan menghadapi 3 pintu. Pintu 1 akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu 2 jam. Pintu 2 membawanya ke lorong dan kembali ke penjara dalam waktu 3 jam. Sedangkan pintu ketigalah yang akan membawa Bono bebas. Diasumsikan bahwa Bono memilih pintu-pintu 1,2, dan 3 dengan peluang berturut-turut 0.2, 0.5, dan 0.3. Berapa lama waktu rata-rata yang dibutuhkan Bono untuk bebas?
9. Mimi hendak melakukan penipuan. Di tangannya dia menyimpan sebuah koin yang memiliki sisi M dan B dan sebuah koin lain yang ternyata memiliki 2 sisi M. Kepada Ariz calon korbannya, Mimi mengatakan bahwa dirinyalah sang pemenang apabila muncul M dalam koin yang dimilikinya. Mimi kemudian memilih koin secara acak dan melantunkannya. Ternyata muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? Misal Mimi melantunkan koin yang sama untuk kedua kalinya dan muncul M, berapa peluang koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? Misal Mimi melantunkan koin yang sama untuk ketiga kalinya dan muncul B, berapa peluang koin tsb adalah koin M dan B?
10. Seekor tikus terperangkap dalam sebuah maze. Terdapat dua arah yang harus dipilih oleh tikus tersebut. Jika ia memilih arah kanan, maka ia akan berkeliling di dalam maze selama 3 menit dan kembali ke posisinya semula. Jika ia memilih arah kiri, maka dengan peluang 1 3 ia akan bebas setelah 2 menit berkeliling dan dengan peluang 2 3 ia akan kembali ke posisinya semula setelah 5 menit berkeliling. Asumsikan bahwa ia akan memilih arah kiri atau kanan dengan peluang yang sama, berapa menit yang diharapkan tikus tersebut untuk bebas?
11. Dalam suatu survey, setiap responden akan ditanya dua buah pertanyaan (sensitif dan tidak sensitif). a. Apakah Anda lahir pada bulan April? b. Apakah Anda seorang pecinta sesama jenis? Jika muncul MUKA maka responden menjawab pertanyaan (a). Hasil survey menunjukkan ada 7% dari seluruh responden yang menjawab YA. Berapa peluang seorang responden, yang menjawab pertanyaan (b), menjawab YA?
12. Hanin akan mengikuti 3 ujian A,B,C. Informasi yang ada adalah sebagai berikut: a. Hanin pasti akan lulus minimal di salah satu ujian b. Peluang Hanin lulus ujian A, peluang Hanin lulus ujian B, dan peluang Hanin lulus ujian C adalah sama c. Peluang Hanin lulus ujian A dan B, peluang Hanin lulus ujian B dan C, peluang Hanin lulus ujian A dan C adalah sama d. Peluang Hanin lulus ujian A atau B adalah 0.9 e. Peluang Hanin lulus ujian paling banyak 2 dari 3 ujian tersebut adalah 0.6 Hitung peluang Hanin lulus ujian A.
13. Misalkan tiga orang bermain dengan cara melantunkan koin. Jika keluaran dari salah satu dari mereka berbeda maka permainan berakhir. Jika tidak, maka lantunan koin diulang. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut! Jika koin mempunyai peluang muncul MUKA 1 4, hitung peluang bahwa permainan berakhir pada lantunan koin pertama.
14. Tes darah di suatu lab akan 95% efektif dalam mendeteksi suatu penyakit tertentu jika penyakit itu ada. Namun demikian, tes tersebut juga memberikan hasil positif yang salah pada 1% orang sehat yang dites. Jika 0.5% dari populasi mengidap penyakit tertentu tsb, tentukan peluang bahwa seseorang menderita penyakit itu jika hasil tes positif.
15. A dan B secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan A mengenai sasaran adalah 0.6 sedang peluang tembakan B (bebas dari tembakan A) mengenai sasaran 0.5. Diberikan bahwa hanya ada sebuah tembakan yang mengenai target, berapa peluang bahwa itu adalah tembakan B?
1. Fungsi massa peluang X P (X = 0) = (0.3) 3 = 0.027 P (X = 1) = 3(0.3) 2 (0.7) = 0.189 P (X = 2) = 3(0.3)(0.7) 2 = 0.441 P (X = 3) = (0.7) 3 = 0.343
2. Total 7 permainan akan dimainkan jika dari 6 permainan pertama menghasilkan 3 kali menang dan 3 kali kalah. Maka ( ) 6 P (X = 7) = p 3 (1 p) 3 3 Turunannya adalah d dp P (X = 7) = 20 [ 3p 2 (1 p) 3 p 3 3(1 p) 2] = 0 60p 2 (1 p) 2 [1 2p] = 0 p = 1 2
3. Misalkan X menyatakan banyaknya permainan yang dimainkan P (X = 4) = P (X = 5) = P (X = 6) = P (X = 7) = E[X] = 7 i P (X = i) = i=4
4. Misalkan X merupakan peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yang tidak datang (peluang sukses), maka X B(52, 0.05) Banyaknya yang tidak datang adalah 5% 52 = 2.6 sehingga peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang adalah jika paling sedikit ada 2 orang yang tidak datang yaitu P (X 2) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1)]
5. Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, maka nilai yang mungkin untuk Y adalah dan ekspektasi Y adalah E(Y ) = 1 0 Y = min{x, 1} 3 x f X (x) dx + 1 1.f X (x) dx
6. Misalkan LS kejadian mengasuransikan lebih dari satu mobil dan Sp kejadian mengasuransikan sports car. Diketahui P (LS) = 0.7, P (Sp) = 0.2, P (Sp LS) = 0.15, maka P (Sp) = P (Sp LS)P (LS) + P (Sp LS c )P (LS c ) Jadi, P (Sp LS c ) = Akibatnya, P (Sp c LS c ) = Jadi, P (Sp c LS c ) = P (Sp c LS c ) P (LS c ) =
7. Misalkan: Maka SM T : kejadian mahasiswa mengikuti kuliah SMT P SM : kejadian mahasiswa mengikuti kuliah PSM P P S : kejadian mahasiswa mengikuti kuliah PPS M D14 : kejadian mahasiswa mengundurkan diri dan angkatan 2014 P (SMT ) = 50 75 100, P (P SM) =, P (P P S) = 225 225 225 P ( 14 SMT ) = 0.5, P ( 14 P SM) = 0.6, P ( 14 P P S) = 0.7 P ( 14 ) = P ( 14 SMT )P (SMT ) + P ( 14 P SM)P (P SM) + P ( 14 P P S)P (P P S)
Setiap mahasiswa punya peluang yang sama untuk mengundurkan diri, artinya P ( 14 ) = P (MD14). P (P P S MD14) = P (P P S MD14) P (MD14)
8. Misalkan X : waktu rata-rata untuk bebas P 1 : memilih pintu 1 P 2 : memilih pintu 2 P 3 : memilih pintu 3 maka E(X P 1 ) = 2 + E(X) E(X P 2 ) = 3 + E(X) E(X P 3 ) = 0
Sehingga E(X) = E(X P 1 ) P (P 1 ) + E(X P 2 ) P (P 2 ) + E(X P 3 ) P (P 3 ) E(X) = (2 + E(X)) 0.2 + (3 + E(X)) 0.5 + 0 (0.3) E(X) = 0.4 + 0.2 E(X) + 1.5 + 0.5 E(X) E(X) = 1.9 + 0.7 E(X) 0.3E(X) = 1.9 E(X) = 6.333 jam
9. Misalkan K 1 : koin baik (MB) K 2 : koin tidak baik (MM) P (K 1 M) = P (K 1 M) P (M) P (M K 1 ) P (K 1 ) = P (M K 1 ) P (K 1 ) + P (M K 2 ) P (K 2 ) = 1 2. 1 2 1 2. 1 2 + 1. 1 2 = 1 3
P (K 1 MM) = P (K 1 MM) P (MM) P (K 1 MMB) = P (K 1 MMB) P (MMB)
10. Misalkan N : menyatakan jumlah menit yang dibutuhkan tikus untuk bebas L : menyatakan arah kiri yang dipilih oleh tikus R : menyatakan arah kanan yang dipilih oleh tikus maka P (L) = P (R) = 1 2 E(N) = E(N L)P (L) + E(N R)P (R) = E(N L) 1 2 + E(N R)1 2 = 1 [ 1 2 3 (2) + 2 ] (5 + E(N)) 3 + 1 [3 + E(N)] 2
11. Misalkan Y : kejadian responden menjawab YA A : kejadian responden menjawab pertanyaan (a) B : kejadian responden menjawab pertanyaan (b) P (Y ) = P (Y dan A) + P (Y dan B) = P (Y A)P (A) + P (Y B)P (B) 0.07 = 1 12 1 1 + P (Y B) ( 2 2 P (Y B) = 0.07 1 12 1 ) 2 = 0.0566 2
12. Diketahui P (A) = P (B) = P (C) P (A B) = P (B C) = P (A C) P (A B) = 0.9 1 P (A B C) = 0.6
13. S = {O i K j, i = 1, 2, 3,... j = M, B} P (permainan berakhir) = 1 P (permainan berlanjut) = 1 [P (MMM) + P (BBB)]
14. Misalkan A : kejadian orang mengidap penyakit tertentu B : kejadian hasil tes positif Diketahui P (B A) = 95% P (B A c ) = 1% P (A) = 0.5% P (A c ) = 99.5%
P (B) = P (B dan A) + P (B dan bukan A)
15. Diketahui P (A) = 0.6 P (B) = 0.5 P (kena target) = 0.5 Maka P (B 1 kena target) P (B 1 kena target) = P (1 kena target) P (B dan bukan A) = P (B dan bukan A) + P (A dan bukan B) P (B) P (A c ) = P (B) P (A c ) + P (A) P (B c )
Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.