MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013

Daftar Isi 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi 1 1.1 Fungsi Distribusi.......................... 1 1.2 Unsur Peluang........................... 3 1.3 Ekspektasi.............................. 5 1.4 Distribusi Bivariat......................... 6 1.5 Distribusi Bersyarat........................ 8 1.6 Fungsi Pembangkit Momen.................... 10 i

BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi 1.1 Fungsi Distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah... 2. Misalkan X peubah acak dengan support S = [a, b], b > 0. Misalkan peluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang selang. Dengan kata lain, P (x 1 X x 2 ) = λ (x 2 x 1 ), untuk a x 1 x 2 b. Untuk menentukan λ, misalkan x 1 = a dan x 2 = b. Maka, P (a X b) = 1 = λ (b a) λ = 1/(b a) Fungsi distribusinya adalah... Peubah acak X dikatakan berdistribusi Uniform, X U(a, b). Sifat-sifat fungsi distribusi: F () = 0 dan F ( ) = 1 1

F merupakan fungsi tidak turun; F (a) F (b) untuk a b F adalah fungsi kontinu kanan; lim ϵ 0 + F (x + ϵ) = F (x) Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x). Jika b a, maka P (a < X b) = F (b) F (a) Untuk setiap x, P (X = x) = lim ϵ 0 + P (x ϵ < X ) = F (x) F (x ) (Perhatikan notasi F (x ) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu kiri) Definisi: Distribusi dari peubah acak X dikatakan KONTINU jika fungsi distribusi disetiap x kontinu dan fungsi distribusi tersebut dapat diturunkan. Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). Misalkan g(x) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g 1 (y) ada. Misalkan Y = g(x). Fungsi distribusi dari Y adalah... Misalkan g(x) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g 1 (y) ada. Misalkan Y = g(x). Fungsi distribusi dari Y adalah... Misalkan X U(0, 1) dan Y = g(x) = hx + k, h < 0. Maka X = g 1 (Y ) = F X (x) = F Y (y) = Y Latihan: 1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi F X (x) yang naik murni. Misalkan Y = F X (X). Tentukan distribusi dari Y. 2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U(0, 1). Misalkan F X (x) fungsi distribusi yang naik murni dari X. Tentukan fungsi distribusi dari peubah acak F 1 X (U). 3. Misalkan U 1, U 2,..., U n sampel acak dari U(0, 1). Bangkitkan sampel acak dari F X (x) (ambil contoh misalnya untuk F X (x) = 1 e λ x, x > 0) MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). Misalkan Y = g(x) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsi yang monoton, F Y (y) = P (Y y) = P (g(x) y) dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g 1 (y) digunakan untuk menentukan F Y (y) dengan menggunakan F X (g 1 (y)). Untuk X U( 1, 2) dan g(x) = Y = X 2, kita dapatkan fungsi distribusi dari Y : F Y (y) = 1.2 Unsur Peluang Misalkan X peubah acak kontinu, x bilangan positif kecil. Definisikan h(a, b) = def P (a X a + b) = F X (a + b) F X (a) Untuk h(x, x) = P (x X x + x), maka deret Taylor-nya disekitar x = 0 adalah dimana h(x, x) = F (x + x) F (x) = h(x, 0) + d d x h(x, x) x=0 x + o( x) lim x 0 = = o( x) x = 0 Fungsi df (x) = [ ] d dx F (x) x disebut DIFERENSIAL. Dalam statistika, diferensial dari fungsi distribusi adalah UNSUR PELUANG (yang merupakan pendekatan terhadap h(x, x)). Unsur peluang adalah fungsi linier dari d dx F (x). MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.

Contoh: Misalkan F (x) = 1 e 3x untuk x 0. Apakah F (x) suatu fungsi distribusi? Hitung unsur peluang di x = 2. Cari pendekatan untuk P (2 X 2.01). Densitas rata-rata pada selang (x, x + x) didefinisikan: def P (x X x + x) Density rata-rata = x Sedangkan fungsi densitas peluang atau fungsi peluang (f.p) di x adalah limit densitas rata-rata saat x 0: f.p = f(x) = def = = lim x 0 = d dx F (x) P (x X x + x) x Catatan: Unsur peluang dituliskan sebagai df (x) = f(x) x. Sifat-sifat fungsi peluang: f(x) 0 untuk semua x f(x) = 1 Hubungan antara fungsi peluang dan fungsi distribusi: f(x) = d dx F (x) F (x) = x f(u)du P (a < X < b) =... =... =... = F (b) F (a) = b a f(x)dx Latihan: 1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 e λx, maka f(x) = 2. Jika X U(a, b) maka F (x) = dan f(x) = 3. *Misalkan f(x) = c/(1 + x 2 ) untuk < x < dan c konstanta. Fungsi f(x) tak negatif dan (1 + x2 ) 1 dx = π. Berapa nilai c agar f(x) menjadi fungsi peluang? Tentukan fungsi distribusinya. MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f(x) dan Y = g(x) fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y : f Y (y) = f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) untuk support Y = g(x). Komponen J(y) = d dy g 1 (y) adalah transformasi Jacobian. Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yang terpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X U( 1, 2) dan Y = g(x) = X 2. Maka untuk y [0, 1], terdapat 2 fungsi invers yaitu, dan satu fungsi invers untuk y (1, 4] yaitu. Fungsi peluang dari Y adalah f(y) = 1.3 Ekspektasi Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f(x). ekspektasi dari X, jika ada, adalah Nilai harapan atau E(X) = µ X = f(x)dx Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga. Misalkan X p.a. dengan f.p. f(x). Maka nilai harapan/ekspektasi dari g(x), jika ada, adalah. E[g(X)] = g(x)f(x)dx Operator integral bersifat linier. Jika g 1 (X) dan g 2 (X) fungsi-fungsi yang memiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka E[ag 1 (X) + bg 2 (X) + c] = ae[g 1 (X)] + be[g 2 (X)] + c MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.

Contoh/Latihan: 1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapannya ada maka E(X) = c. 2. Misalkan X U(a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrik disekitar (a + b)/2. 3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang f(x) = 1 [ ], σπ 1 + (x µ)2 σ 2 dengan µ, σ konstanta yang memenuhi µ < dan σ (0, σ). Tunjukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinya bukanlah µ. 4. Misalkan X Exp(λ). Nilai harapan/ekspektasi dari X adalah... 1.4 Distribusi Bivariat Suatu fungsi f X,Y (x, y) dikatakan fungsi peluang bivariat jika f X,Y (x, y) 0, untuk semua x, y f X,Y (x, y) dx dy = 1 Jika f X,Y (x, y) fungsi peluang bivariat maka F X,Y (x, y) = P (X x, Y y) = x y f X,Y (u, v) dvdu Sifat-sifat fungsi distribusi bivariat: 1. F X,Y (x, ) = F X (x) 2. F X,Y (, y) = F Y (y) 3. F X,Y (, ) = 1 4. F X,Y (, y) = F X,Y (x, ) = F X,Y (, ) = 0 5. f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y (x, y) MA3081 Stat.Mat. 6 K. Syuhada, PhD.

f X,Y (x, y) x y adalah unsur peluang bersama, P (x X x + x, y Y y + y) = f X,Y (x, y) x y + o( x y) Contoh/Latihan: 1. Jika (X, Y ) U(a, b, c, d) maka f X,Y (x, y) = 2. Untuk soal no 1 di atas, misalkan a = c = 0, b = 4, d = 6 maka P (2.5 X 3.5, 1 Y 4) = P (X 2 + Y 2 > 16) = 3. Jika f X,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) untuk x (0, 1) dan y (0, 1). Tentukan P (X + Y < 1). Untuk menentukan fungsi peluang marginal, integralkan peubah yang tidak diinginkan : f X (x) = f X,Y (x, y) dy f Y (y) = f X,Y (x, y) = f X,Y (x, y) dx f W,X,Y,Z (w, x, y, z) dwdz Pada fungsi peluang f X,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) diperoleh f X (x) = f Y (y) = dan ekspektasi E(g(X, Y )) = E(X) = g(x, y) f X,Y (x, y) dx dy = MA3081 Stat.Mat. 7 K. Syuhada, PhD.

1.5 Distribusi Bersyarat Misalkan f X,Y (x, y) adalah fungsi peluang bersama, maka fungsi peluang Y, diberikan X = x, adalah f Y X (y x) = def f X,Y (x, y), f X (x) asalkan f X (x) > 0. Contoh: Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama maka f X,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1, f X (x) = E(X r ) = f Y (y) = E(Y r ) = f X Y (x y) = f Y X (y x) = E(X r Y = y) = E(Y r X = x) = Misalkan (X, Y ) adalah peubah acak berpasangan dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Pandang persoalan memprediksi Y setelah X = x terobservasi. Prediktor dinotasikan sebagai ŷ(x). Prediktor terbaik didefinisikan sebagai fungsi Ŷ (X) yang meminimumkan ] 2 E [Y Ŷ (X) = Prediktor terbaik adalah ŷ(x) = E(Y X = x). Contoh/Latihan: (y ŷ(x)) 2 f X,Y (x, y) dydx 1. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama f X,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1, MA3081 Stat.Mat. 8 K. Syuhada, PhD.

maka f Y X (y x) = ŷ(x) = 2. Misalkan (Y, X) berdistribusi normal bivariat dengan E(Y ) = µ Y, E(X) = µ X, V ar(y ) = σ 2 Y, V ar(x) = σ2 X, Cov(X, Y ) = ρ X,Y σ X σ Y. Distribusi bersyarat Y, diberikan X, adalah (Y X = x) 3. Tunjukkan bahwa ] E X [f Y X (y X) = f Y (y) 4. Buktikan E X {E [ ]} [ ] h(y ) X = E h(y ) 5. Buktikan ] V ar(y ) = E X [V ar(y X) [ ] + V ar E(Y X) 6. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama Maka f X,Y (x, y) = 3y2 x 3, 0 < y < x < 1 f Y (y) = E(Y r ) =, E(Y ) =, V ar(y ) = f X (x) = f Y X (y x) = E(Y r X = x) =, E(Y X = x) =, V ar(y X = x) = V ar(e(y X)) = E(V ar(y X)) = MA3081 Stat.Mat. 9 K. Syuhada, PhD.

1.6 Fungsi Pembangkit Momen Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah M X (t) = E(e tx ) = e tx f(x)dx, asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidak ada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkit momen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang M X (t) = G X (e t ) asalkan G X (t) ada untuk t disekitar 1. Jika M X (t) adalah fungsi pembangkit peluang maka M X (0) = 1. Contoh/Latihan: 1. Jika f X (x) = λe λx I 0, (x), maka M X (t) = 2. Jika M X (t) ada maka M a+bx (t) = 3. Jika X i, i = 1,..., n saling bebas, M Xi (t) ada untuk setiap i, dan S = Xi, maka M S (t) = 4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memiliki fungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkit momen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jika fungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebut secara unik menentukan distribusinya. Beri contoh. 5. Pandang turunan dari M X (t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apa yang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen orde tinggi? 6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contoh distribusi Geometrik dengan parameter p. MA3081 Stat.Mat. 10 K. Syuhada, PhD.

7. Misalkan Y U(a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk mendapatkan momen pusat (( E((Y µ Y ) 2 ) = E Y a + b ) r ) 2 MA3081 Stat.Mat. 11 K. Syuhada, PhD.