SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT

dokumen-dokumen yang mirip
SOLUSI POSITIF DARI SISTEM SINGULAR DISKRIT

STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER POSITIF

KETEROBSERVASIAN SISTEM LINIER DISKRIT

REALISASI POSITIF STABIL ASIMTOTIK DARI SISTEM LINIER DISKRIT

KETEROBSERVASIAN SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER

STABILISASI SISTEM KONTROL LINIER DENGAN PENEMPATAN NILAI EIGEN

REALISASI POSITIF STABIL ASIMTOTIK SISTEM LINIER DISKRIT DENGAN POLE KONJUGAT KOMPLEKS

PENYELESAIAN SISTEM DESKRIPTOR LINIER DISKRIT BEBAS WAKTU DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI KANONIK

OBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU

APLIKASI DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR PADA KOMPRESI UKURAN FILE GAMBAR

REALISASI SISTEM LINIER INVARIANT WAKTU

STABILISASI SISTEM KONTROL LINIER INVARIANT WAKTU DENGAN MENGGUNAKAN METODE ACKERMANN

STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU

GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA

KAITAN SPEKTRUM KETETANGGAAN DARI GRAF SEKAWAN

PENGKONSTRUKSIAN BILANGAN TIDAK KONGRUEN

ANALISA STEADY STATE ERROR SISTEM KONTROL LINIER INVARIANT WAKTU

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =

SUATU KRITERIA STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU REGULAR

WARP PADA SEBUAH SEGITIGA

Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks

SOLUSI NON NEGATIF PARSIAL SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU

BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF HUTAN LINIER H t

Invers Tergeneralisasi Matriks atas Z p

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas

BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF K n K m

INJEKSI TOTAL AJAIB PADA GABUNGAN GRAF K 1,s DAN GRAF mk 3 UNTUK m GENAP

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA

METODE PSEUDO ARC-LENGTH DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER TERPARAMETERISASI

PORTOFOLIO ENVELOPE PADA ASET FINANSIAL

BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF K n K m

STABILISASI SISTEM LINIER POSITIF MENGGUNAKAN STATE FEEDBACK

APLIKASI MATRIKS LESLIE UNTUK MEMPREDIKSI JUMLAH DAN LAJU PERTUMBUHAN SUATU POPULASI

MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT. Soleha, Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Surabaya

MATRIKS BENTUK KANONIK RASIONAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMBAGI ELEMENTER INTISARI

BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF C n K m, DENGAN n 3 DAN m 1

BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT

FAKTORISASI LDU PADA MATRIKS NONPOSITIF TOTAL NONSINGULAR

PELABELAN TOTAL AJAIB PADA GABUNGAN GRAF BINTANG DAN BEBERAPA GRAF SEGITIGA

Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:

DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS

SYARAT CUKUP UNTUK OPTIMALITAS MASALAH KONTROL KUADRATIK LINIER

Kata Kunci: Analisis Regresi Linier, Penduga OLS, Penduga GLS, Autokorelasi, Regresor Bersifat Stokastik

PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODA W n

REALISASI UNTUK SISTEM DESKRIPTOR LINIER INVARIANT WAKTU

Generalized Inverse Pada Matriks Atas

SOLUSI REFLEKSIF DAN ANTI-REFLEKSIF DARI PERSAMAAN MATRIKS AX = B

MENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE

HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DENGAN RECTANGLE

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDA LINIER ORDE 1 DENGAN METODE KARAKTERISTIK

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

REALISASI FUNGSI TRANSFER DALAM BENTUK KANONIK TERKONTROL

SPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI KOMPLIT ( ) DENGAN

Penyelesaian Penempatan Kutub Umpan Balik Keluaran dengan Matriks Pseudo Invers

PENGGUNAAN METODE LYAPUNOV UNTUK MENGUJI KESTABILAN SISTEM LINIER

PENJADWALAN KULIAH DENGAN ALGORITMA WELSH-POWELL (STUDI KASUS: JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND)

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI DOOLITTLE

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2

Matematika Teknik INVERS MATRIKS

PEMBUKTIAN RUMUS BENTUK TUTUP BEDA MUNDUR BERDASARKAN DERET TAYLOR

MODEL DINAMIKA CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN

GENERALIZED INVERSE. Musafir Kumar 1)

ORDER UNSUR DARI GRUP S 4

Sifat Strong Perron-Frobenius Pada Solusi Positif Eventual Sistem Persamaan Differensial Linier Orde Satu

PENYELESAIAN MASALAH PEMROGRAMAN LINIER BILANGAN BULAT MURNI DENGAN METODE REDUKSI VARIABEL

SOLUSI NON NEGATIF MASALAH NILAI AWAL DENGAN FUNGSI GAYA MEMUAT TURUNAN

PRA A -MODUL ATAS PRA A -ALJABAR DAN ALJABAR IF-THEN-ELSE ATAS PRA A -ALJABAR

ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR

METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS

MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR

KARAKTERISTIK G-HOMOMORFISMA SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH MEGA PARAMITASARI

ANALISIS LAX PAIR DAN PENERAPANNYA PADA PERSAMAAN KORTEWEG-DE VRIES

SIFAT-SIFAT DINAMIK DARI MODEL INTERAKSI CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN

PENENTUAN UKURAN CONTOH DAN REPLIKASI BOOTSTRAP UNTUK MENDUGA MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA

INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN

PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG

MATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL. Anis Fitri Lestari. Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK

KARAKTERISASI GRAF POHON DENGAN BILANGAN KROMATIK LOKASI 3

PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA SUBDIVISI GRAF BINTANG

Pasangan Baku Dalam Polinomial Monik

EKSISTENSI DAN KONSTRUKSI GENERALISASI

KONVOLUSI DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DENGAN PARAMETER BERBEDA

PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN n GANJIL, n 3

PELABELAN TOTAL (a, d)-titik ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM P (n, 3) DENGAN n GANJIL, n 7

BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF POHON n-ary LENGKAP

BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF KEMBANG API F n,2 DAN F n,3 DENGAN n 2

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR. Oleh : DEWI YULIANTI

Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1

DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT

GRAF RAMSEY (K 1,2, C 4 )-MINIMAL DENGAN DIAMETER 2

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER INTERVAL DENGAN METODE DEKOMPOSISI TUGAS AKHIR. Oleh : YULIA DEPEGA

PEMBUKTIAN BENTUK TUTUP RUMUS BEDA MAJU BERDASARKAN DERET TAYLOR

PERBANDINGAN METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DAN METODE SOR UNTUK MENDAPATKAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Merintan Afrina S ABSTRACT

PENENTUAN HARGA OPSI CALL TIPE EROPA MENGGUNAKAN METODE TRINOMIAL

PENENTUAN SUATU GRUP KUOSIEN FUZZY DARI SUATU GRUP

Part II SPL Homogen Matriks

METODE BENTUK NORMAL PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN RAYLEIGH

ON SOLUTIONS OF THE DISCRETE-TIME ALGEBRAIC RICCATI EQUATION. Soleha Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Transkripsi:

Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 103 108 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT RASITA ANAS Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, rasitaanas@rocketmail.com Abstrak. Pada tulisan ini akan diuraikan tentang bagaimanakah solusi dari persamaan Leontief diskrit dengan menggunakan invers Drazin dan sistem singular diskrit. Untuk C singular sistem Cx n+1 = (I L+C)x n d n, tidak mempunyai solusi. Hal ini disebabkan adanya kondisi awal yang tidak dapat memberikan solusi untuk sistem. Kondisi awal yang dapat memberikan solusi untuk sistem disebut sebagai kondisi awal yang konsisten [4]. Perlu diperhatikan bahwa solusi x n untuk sistem mungkin positif atau mungkin saja non positif. Solusi x n dikatakan positif jika x in > 0 untuk setiap i = 1, 2,, n dan dikatakan non positif jika x in 0 untuk setiap i = 1, 2,, n. Jika solusi x n untuk sistem adalah positif maka x n dikatakan solusi positif dari persamaan Leontief. Dengan Teorema yang diberikan, diperoleh syarat cukup untuk kepositifan dari solusi persamaan Leontief diskrit. Kata Kunci: Invers Drazin, persamaan Leontief, sistem singular diskrit 1. Pendahuluan Diberikan suatu sistem persamaan beda linier (linear difference equation) sebagai berikut: Cx n+1 = (I L + C)x n d n, n Z +, di mana I R r r adalah matriks identitas, C, L R r r dan d n, x n R r. Sistem di atas dapat ditulis sebagai: Cx n+1 = Ex n d n, n Z + (1.1) di mana E = (I L + C). Notasi R r r menyatakan himpunan matriks-matriks riil berukuran r r, R r r + menyatakan himpunan matrik-matriks riil berukuran r r yang entri-entrinya non negatif, R r r menyatakan himpunan matrik-matriks riil berukuran r r yang entri-entrinya non positif, R r r ++ menyatakan himpunan matriks-matriks riil berukuran r r di mana entri-entrinya adalah bilangan riil positif, R r menyatakan himpunan vektor berdimensi r, Z + menyatakan himpunan bilangan bulat non negatif, dan C menyatakan himpunan bilangan kompleks. Jika matriks L = [l ij ] memenuhi: 0 l ij 1, 1 i, j r, Σ r i=1l ij 1, 1 j r. 103

104 Rasita Anas Maka persamaan (1.1) disebut sebagai persamaan Leontief. Jika C adalah matriks non singular, maka solusi dari sistem (1.1) adalah : x n = C 1 [(I L + C) n x 0 + (I L + C) n i 1 d i ], (1.2) untuk suatu vektor v R. Untuk C singular, sistem (1.1) mungkin tidak mempunyai solusi. Hal ini disebabkan adanya kondisi awal yang tidak dapat memberikan solusi untuk sistem (1.1). Kondisi awal yang dapat memberikan solusi untuk sistem (1.1) disebut sebagai kondisi awal yang konsisten. Perlu diperhatikan bahwa solusi x n untuk sistem (1.1) mungkin positif atau mungkin saja non positif. Solusi x n dikatakan positif jika x in > 0 untuk setiap i = 1, 2,, n dan dikatakan negatif jika x in < 0 untuk setiap i = 1, 2,, n. Jika solusi x n untuk sistem (1.1) adalah positif maka x n dikatakan solusi positif dari persamaan Leontief. 2. Solusi Positif dari Persamaan Leontief Diskrit Asumsikan bahwa matriks C adalah singular dan det(λc E) 0 untuk suatu λ C, maka ada λ C sedemikian sehingga (λc E) 1 ada. Dengan mengalikan sistem (1.1) dengan (λc E) 1, maka (λc E) 1 Cx n+1 = (λc E) 1 Ex n (λc E) 1 d n Ĉx n+1 = Êx n d n (2.1) dengan Ĉ = (λc E) 1 C, Ê = (λc E) 1 E, d n = (λc E) 1 d n. Untuk λ = 1, pada sistem Cx n+1 = (I L + C)x n berlaku λc (C + I L) = (λ 1)C + L 1 = (L I). Karena (I l) 1 ada maka (λc (C + I L)) 1 ada. Selanjutnya, misalkan Ĉ = (λc E) 1 C = (λc (C + I L)) 1 C = ( I + L) 1 C = (I L) 1 C (2.2) Ê = (λc E) 1 E = (λc (C + I L)) 1 (C + I L) = (I L) 1 (I L + C) = I (I L) 1 C = Ĉ I.

Solusi umum dari (2.1) diberikan oleh: Solusi Positif dari Persamaan Leontief Dinamis Diskrit 105 x n = (ĈD (Ĉ I))nĈĈD x 0 ĈD (ĈD (Ĉ I))n j 1 (I L) 1 d j j=0 k 1 + (I ĈĈD ) (Ĉ(Ĉ I)D ) i (Ĉ I)D (I L) 1 d n+i, n 1 (2.3) x n pada persamaan (2.3) adalah solusi dari persamaan (2.1). Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa x n tak negatif, untuk n = 1, 2,, N. Teorema berikut merupakan syarat cukup untuk kepositifan dari solusi persamaan Leontief diskrit. Teorema 2.1. [3] Misalkan terdapat matriks C, L, I R r r sedemikian sehingga (i) Semua elemen diagonal dari Ĉ tidak nol dan tidak sama dengan satu. (ii) Semua elemen diagonal dari ĈD adalah tidak nol. (iii) Ĉ 0, ĈD 0 dan Ê 0. (iv) d i 0 dan x 0 0. Misalkan juga di mana dan x n = L n (x 0 ) + z k (n), (2.4) L n (x 0 ) = (ĈD Ê) n ĈĈD x 0 + ĈD (ĈD Ê) n i 1 di (2.5) k 1 z k (n) = (I ĈĈD ) (ĈÊD ) i Ê D dn+i. Maka x n > 0 untuk 1 n N dan vektor x 0 memenuhi x 0 (I ĈĈD ) k 1 (ĈÊD ) i (ÊD )( d n+i ) + [(ĈD ) min ] n i [(Ê) min] n i 1 r n i+1 d i (d max (ĈD )) n+1 (d max (Ê))n d max (Ĉ). Bukti. x n > 0 jika dan hanya jika L n (x 0 ) + z k (n) 0, yaitu (ĈD Ê) n ĈĈD x 0 ÂD (ĈD Ê) n i 1 di z k (n). (2.6) Dari [3], diperoleh bahwa Ĉ 0 dan ĈD 0, sehingga Selain itu karena x 0 0, maka diperoleh ĈĈD d max (Ĉ)d max(ĉd )I. (2.7) ĈĈD x 0 d max (Ĉ)d max(ĉd )x 0. (2.8) Dari [3] diperoleh bahwa Ĉ 0 dan Ê 0, sehingga (ĈD Ê) n (d max (ĈD )) n (d max (Ê))n I. (2.9)

106 Rasita Anas Dari (2.8) dan (2.9) diperoleh (ĈD Ê) n ĈĈD x 0 (d max (ĈD )) n+1 (d max (Ê))n d max (Ĉ)x 0. (2.10) Berdasarkan [5] diperoleh 0 (ĈD Ê) n i 1 (( ĈD)( Ê))n i 1 Karena ĈD 0, maka (2.11) menjadi ( ĈD ) max ( Ê) max) n i 1 r n i 1+1 [( ĈD ) max ( Ê) max] n i 1 r n i. (2.11) ( ĈD )(ĈD Ê) n i 1 r( ĈD ) max (ĈD Ê) n i 1 max r( ĈD ) max [( ĈD ) max ( Ê) max] n i 1 r n i Karena d i 0, maka (2.12) menjadi = [( ĈD ) max ] n i [( Ê) max] n i 1 r n i+1. (2.12) ( ĈD )(ĈD Ê) n i 1 di [( ĈD ) max ] n i [( Ê) max] n i 1 r n i+1 di. (2.13) Oleh karena itu ( ĈD ) (ĈD Ê) n i 1 di [( ĈD ) max ] n i [( Ê) max] n i 1 r n i+1 di. (2.14) Karena ( ĈD ) max = (ĈD ) min dan ( Ê) max = (Ê) min, maka (2.14) menjadi ( ĈD ) (ĈD Ê) n i 1 di [(ĈD ) min ] n i [(Ê) min] n i 1 r n i+1 di. (2.15) Dari (2.10) dan (2.15) maka disimpulkan bahwa (2.6) memenuhi (d max (ĈD )) n+1 (d max (Ê))n d max (Ĉ)x 0 Σ [(ĈD ) min ] n i [(Ê) min] n i 1 d i r n i+1 atau dapat ditulis, k 1 + (I ĈĈD ) (ĈĈD ) i Ê D dn+i, x 0 (I ĈĈD ) k 1 (ĈÊD ) i (ÊD )( d n+i ) + [(ĈD ) min ] n i [(Ê) min] n i 1 r n i+1 d i (d max (ĈD )) n+1 (d max (Ê))n d max (Ĉ) Contoh. Misalkan diberikan suatu sistem Cx n+1 = Ex n d n di mana, 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 0.45 18 + 2n L = 0.4 0.1 0.5, C = 0 0 0, d n = 32 + 3n. 0.3 0.5 0.2 0.6 0.8 0.9 57 + n

Solusi Positif dari Persamaan Leontief Dinamis Diskrit 107 Akan ditentukan vektor x 0, sedemikian sehingga sistem tersebut adalah positif. Perhatikan bahwa, Ĉ = (I L) 1 C 8.3617 11.149 12.543 = 9 12 13.5 9.5106 12.681 14.266 maka 6.9732 10 3 9.2977 10 3 1.0460 10 2 Ĉ D = 7.5055 10 3 1.0007 10 2 1.1258 10 2 7.9313 10 3 1.0575 10 2 1.1897 10 2 dan (Ê) = (Ĉ I) 9.3617 11.149 12.543 = 9 13 13.5 9.5106 12.681 15.266 sehingga diperoleh 6.794 10 3 9.0295 10 3 1.0158 10 2 (Ê)D = 7.2889 10 3 9.7406 10 3 1.0933 10 2. 7.7024 10 3 1.0270 10 2 1.1576 10 2 Selanjutnya, Untuk n = 1, diperoleh d n = (I L) 1 d n 53.830n 954.90 = 60.0n 1070.0 58.936n 1098.1. x 0 (I ĈĈD )(ĈÊD ) 0 Ê D d 1 + [(ĈD ) min ][(Ê) min] 0 r 2 d 0 (d max (ĈD )) 2 (d max (Ê))dmax(Ĉ) 26861 30116 30891 26861 Misalkan x 0 = 30116. Maka solusi untuk x n di mana n = 1, 2, 3, 4 adalah 30891 28187 29030 29897 30756 x 1 = 30338, x 2 = 31245, x 3 = 32179, x 4 = 33103. 32060 33018 34005 34982

108 Rasita Anas 36861 Misalkan x 0 = 40116. Maka solusi untuk x n dengan n = 1, 2, 3, 4 adalah 42891 38455 39594 40766 39189 x 1 41390, x 2 = 42615, x 3 = 43877, x 4 = 42181. 43739 45034 46367 44574 3. Kesimpulan Solusi x n dari sistem persamaan Leontief diskrit adalah positif jika nilai x 0 memenuhi, Cx n+1 = Ex n d n, n Z + x 0 (I ĈĈD ) k 1 (ĈÊD ) i (ÊD )( d n+i ) + [(ĈD ) min ] n i [(Ê) min] n i 1 r n i+1 d i (d max (ĈD )) n+1 (d max (Ê))n d max (Ĉ), asalkan (i) Semua elemen diagonal dari Ĉ tidak nol dan tidak sama dengan satu. (ii) Semua elemen diagonal dari ĈD adalah tidak nol. (iii) Ĉ 0, ĈD 0 dan Ê 0. (iv) d i 0 dan x 0 0. 4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Muhafzan, Bapak Zulakmal, M.Si, Bapak Drs. Syafruddin M.Si dan Bapak Narwen, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Anton, H. dan C. Rorres. 1991. Aljabar Linier Elementer Edisi 8. Jilid 1. Erlangga. Jakarta. [2] Campbell, S.L. 1979. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover. New York. [3] Jodar, L dan Merello, P. 2010. Positive Solution of Discrete Dynamic Leontief Input-Output Model with Possibly Singular Capital Matrix. Mathematical and Computer Modelling. 52 : 1081 1087. [4] Kaczorek, T. 1992. Linear Control Systems Volume 1. Research Studies Press LTD, England. [5] R. Bellman. 1970. Introduction to Matriks Analysis. McGraw-Hill. New York.

2024 © DocPlayer.info Pengaturan dan alat privasi | Ketentuan | Tanggapan