Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 202 Jenjang SMP Bidang Matematika Bagian A : Soal Isian Singkat. Sebuah silinder memiliki tinggi 5 cm dan volume 20 cm 2. Luas permukaan bola terbesar yang mungkin diletakkan ke dalam silinder tersebut adalah... Jawaban : 6 cm Karena bola berada dalam silinder maka jari - jari bola sama dengan jari - jari alas silinder. Misalkan jari - jari alas silinder adalah r. Karena tinggi silinder 5 cm dan volumenya 20 cm 2 maka luas alas silinder = πr 2 = 20 5 = 4 cm2. Padahal luas permukaan bola = 4πr 2 = 4 4 = 6 cm 2. 2. Jumlah tiga buah bilangan adalah 9. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing - masing dikurangi, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio : 3. Jika bilangan kedua dan bilangan ketiga masing - masing ditambah 3, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio 5 : 6. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah... Jawaban : 6 Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah a, b, c dengan a < b < c, maka diperoleh a + b + c = 9 () a b = 3 b + 3 c + 3 = 5 6 Dari ketiga persamaan di atas didapat 3a = b + 2 (2) 5c = 6b + 3 (3) a + b + c = 9 5a + 5b + 5c = 285 5(b + 2) + 5b + 3(6b + 3) = 285 38b = 266 b = 7 karena b = 7 maka a = 3 dan c = 9. Sehingga c a = 9 3 = 6. 3. Jika + 4 + 9 + 6 + 25 + = a, maka 9 + 25 + 49 + =... Jawaban : 3 4 a
Misal N = 9 + 25 + 49 +, maka + 4 + 9 + 6 + 25 + = a + 4 + 6 + 36 + + 9 + 25 + 49 + = a + ( + 4 4 + ) 9 + + N = a + 4 a + N = a N = 3 4 a 4. Lima belas bilangan prima pertama dituliskan berturut - turut pada lima belas kartu. Jika semua kartu tersebut diletakkan dalam sebuah kotak dan kemudian diambil secara acak dua buah kartu berturut - turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan yang tertulis merupakan bilangan prima adalah... Jawaban : 2 35 Pasangan bilangan prima yang jumlahnya juga merupakan bilangan prima di antara lima belas bilangan prima yang pertama adalah (2, 3), (2, 5), (2, ), (2, 7), (2, 29) dan (2, 4). Jika kartu pertama terambil angka 2 maka kartu kedua harus salah satu dari 3, 5,, 7, 29 atau 4 sehingga peluangnya adalah 5 6 4 = 35. Jika kartu pertama terambil angka 3, 5,, 7, 29 atau 4 maka kartu kedua harus angka 2 sehingga peluangnya adalah 6 5 4 = 35. Jadi, peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan yang tertulis merupakan bilangan prima adalah 35 + 35 = 2 35. 5. Perhatikan gambar bangun datar setengah lingkaran dengan diameter AD dan pusat lingkaran M berikut. Misalkan B dan C adalah titik - titik pada lingkaran sedemikian sehingga AC BM dan BD memotong AC di titik P. CAD = s, maka besar sudut CP D =... Jika besar 2
B P C A M D Jawaban : 2 s + 45 AMB = 90 s dan ADB = 2 AMB = 45 2 s. CP D = CAD + ADB = s + 45 2 s = 2 s + 45 6. Lima angka yakni, 2, 3, 4, dan 5 dapat disusun semuanya tanpa pengulangan menjadi 20 bilangan berbeda. Jika bilangan - bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang menempati urutan ke- 75 adalah... Jawaban : 4325 Perhatikan, Jika angka pertama adalah maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24 Jika angka pertama adalah 2 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24 Jika angka pertama adalah 3 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24 Oleh karena itu, banyak bilangan yang dimulai dengan angka, 2, atau 3 adalah 24 + 24 + 24 =72. Selanjutnya mudah dilihat bahwa bilangan ke- 73 adalah 4235, bilangan ke-74 yaitu 4253 dan bilangan ke-75 ialah 4325. 7. Diketahui + k habis dibagi 3, + 2k habis dibagi 5, dan + 8k habis dibagi 7. Jika k adalah bilangan bulat positif maka nilai terkecil untuk k adalah... Jawaban : 62 Dari keterangan pada soal kita punya, k = 3x + 2 2k = 5y + 4 8k = 7z + 6 untuk suatu bilangan bulat x, y, z. 3
Substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua diperoleh, 2(3x + 2) = 5y + 4 6x + 4 = 5y + 4 6x = 5y karena 5 tidak membagi 6 maka haruslah 5 membagi x. Dengan demikian x = 5m untuk suatu bilangan bulat m. Substitusikan x = 5m ke pers. pertama, diperoleh k = 3(5m) + 2 = 5m + 2. Selanjutnya substitusikan nilai k = 5m + 2 ke pers. ketiga, didapat 8(5m + 2) = 7z + 6 20m + 6 = 7z + 6 20m = 7z 0 m = 7z 9m 7 3 m + 3 = 7z 9m 7 perhatikan ruas kanan habis dibagi 7 sehingga ruas kiri juga harus habis dibagi 7. Dengan kata lain m + 3 = 7n m = 7n 3 dengan n merupakan bilangan bulat. Substitusikan nilai m = 7n 3 ke k = 5m + 2 sehingga didapat k = 5(7n 3) + 2 = 05n 43 karena k adalah bilangan bulat positif maka nilai terkecil dari k yaitu 62 diperoleh ketika n =. 8. Jika p = 200 2 +20 2 dan q = 202 2 +203 2, maka nilai sederhana dari adalah... Jawaban : 684525 Misalkan n = 200 maka didapat 2(p + q) + 4pq p = n 2 + (n + ) 2 = 2n 2 + 2n + dan q = (n + 2) 2 + (n + 3) 2 = 2n 2 + 0n + 3 sehingga diperoleh 2p = 2(2n 2 + 2n + ) = 4n 2 + 4n + = (2n + ) 2 dan 2q = 2(2n 2 + 0n + 3) = 4n 2 + 20n + 25 = (2n + 5) 2 4
Selanjutnya kita peroleh 2(p + q) + 4pq = (2p )(2q ) = (2n + ) 2 (2n + 5) 2 = (2n + )(2n + 5) = 402 4025 = 684525 9. Jika a dan b adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x 2 7x = 0, maka 3a 2 nilai dari 4b 7 + 3b2 adalah... 4a 7 Jawaban : 2 6 Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar - akar persamaan kuadrat diperoleh, a + b = 7 4 dan ab = 4 Selain itu karena a adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x 2 7x = 0 kita peroleh, 4a 2 7a = 0 a(4a 7) = 0 4a 7 = a demikian pula 4b 7 = b. Oleh karena itu didapat 3a 2 4b 7 + 3b2 4a 7 = 3a2 b + 3b2 a = 3a 2 b + 3ab 2 = 3ab(a + b) ( = 3 )( 7 4 4) = 2 6 0. Pada gambar berikut, kedua ruas garis putus - putus yang sejajar membagi persegi menjadi tiga daerah yang luasnya sama. Jika jarak kedua garis putus - putus tersebut adalah cm, maka luas persegi adalah... cm 2. 5
Jawaban : 3 Perhatikan gambar berikut! D F C x A E y B Misalkan panjang sisi persegi adalah a. Misalkan pula CE = x dan BE = y. Berdasarkan keterangan soal luas jajar genjang AECF adalah 3 a2. Padahal kita tahu pula luas jajar genjang AECF = x = x, maka didapat x = 3 a2. Demikian pula pada EBC berlaku Luas EBC = 3 a2 2 BE BC = 3 a2 2 y a = 3 a2 y = 2 3 a Selanjutnya dengan dalil pythagoras pada EBC didapat, y 2 + a 2 = x 2 ( 2 3 a ) 2 + a 2 = ( 3 a2 ) 2 4 9 a2 + a 2 = 9 a4 3 9 = 9 a2 a 2 = 3 6
Jadi, luas persegi adalah 3 cm 2. Bagian B : Soal Uraian. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi persamaan berikut : 2 x + 3 x 4 x + 6 x 9 x = Jawaban : Misalkan 2 x = m dan 3 x = n maka persamaan pada soal equivalen dengan m + n m 2 + mn n 2 = m 2 + n 2 mn m n + = 0 dengan sedikit manipulasi diperoleh persamaan ( (m n) 2 + (m ) 2 + (n ) 2) = 0 2 sehingga m = n = atau dengan kata lain 2 x = 3 x = yang hanya dipenuhi jika dan hanya jika x = 0. Jadi, satu - satunya penyelesaian persamaan pada soal adalah x = 0. 2. Pada gambar berikut, sembilan lingkaran kecil dalam lambang olimpiade akan diisi masing - masing dengan bilangan, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9. Tentukan pengisian tersebut sehingga jumlah bilangan di dalam setiap lingkaran besar adalah 4. Jawaban : Misalkan penyelesaian dari soal adalah seperti pada gambar di bawah ini: Kita tahu bahwa a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45 dan karena jumlah di dalam 7
setiap lingkaran besar adalah 4, kita peroleh (a + b) + (b + c + d) + (d + e + f) + (f + g + h) + (h + i) = 5 4 b + d + f + h + 45 = 70 b + d + f + h = 25 Selain itu, a + b = h + i = 4. Padahal dari sembilan bilangan tersedia yang jumlahnya 4 hanya 5 + 9 dan 6 + 8. Dengan memperhatikan b + d + f + h = 25, maka yang mungkin adalah b = 9 dan h = 6 (dalam hal ini jika b = 6 dan h = 9 sama saja karena simetris). Karena b = 9 dan h = 6 berarti d + f = 0. Dari sisa angka yanga ada, yang jumlahnya 0 hanya 3 + 7 maka diperoleh d = 3 dan f = 7. Angka - angka sisanya yaitu a, c, e, g, h menyesuaikan agar diperoleh jumlah 4 pada lingkaran besar. Salah satu penyelesaiannya adalah seperti berikut : 3. Diketahui ABC dengan AB = 25 cm, BC = 20 cm dan AC = 5 cm. Jika titik D terletak pada sisi AB sedemikian sehingga perbandingan luas ADC dan ABC 8
adalah 4 : 25, tentukan panjang CD. Jawaban : Perhatikan sketsa di bawah ini! B D E C A Tarik garis CE yaitu garis tinggi ABC dari titik E. Sehingga diperoleh 2 AC BC = AB CE 2 5 20 = 25 CE CE = 2 Kemudian dengan pythagoras pada ACE diperoleh AE = 9. Selain itu ingat juga bahwa sehingga AD AB Luas ADC = Luas ABC = 4 25 AD = 4 4 AB = 25 = 4 25 25 Oleh karena itu, DE = AD AE = 4 9 = 5 cm. Perhatikan juga CDE adalah segitiga siku - siku. Dengan demikian dengan dalil pythagoras pada CDE didapat CD = 3. 4. Dari hasil sensus diketahui bahwa penduduk suatu kota tak lebih dari 0000 orang dan anak - anak 20% lebih banyak daripada penduduk dewasa. Jika anak laki - laki 0% lebih banyak daripada anak perempuan, serta di antara penduduk dewasa terdapat 5% lebih banyak perempuan. Tentukan jumlah terbesar yang mungkin dari penduduk kota tersebut. Jawaban : Misalkan, N : jumlah seluruh penduduk D : jumlah penduduj dewasa 9
A : jumlah penduduk anak - anak D L : jumlah laki - laki dewasa D P : jumlah perempuan dewasa A L : jumlah anak laki - laki A P : jumlah anak - anak perempuan Selanjutnya berdasarkan keterangan pada soal diperoleh : A = D + 0, 2D =, 2D tetapi karena A + D = N maka N = A + D =, 2D + D = 2, 2D, sehingga D =, 2 N dan A = 2, 2 2, 2 N Dengan cara yang sama diperoleh A L = A P + 0, A P =, A P tetapi karena A L + A P = A maka A = A L + A P =, A P + A P = 2, A P sehingga A P = 2, A = 2,, 2 2, 2 N = 20 77 N A L =, A P =, Demikian pula dengan cara yang sama diperoleh : 2, A =, 2,, 2 2, 2 N = 2 7 N D P = D L + 0, 5D L =, 5D L tetapi karena D L + D P = D maka D = D L + D P = D L +, 5D L = 2, 5D L sehingga D L = 2, 5 D = 2, 5 2, 2 N = 00 43 N D P =, 5 2, 5 D =, 5 2, 5 2, 2 N = 5 43 N Karena A L, A P, D L dan D P merupakan bilangan bulat positif maka haruslah N merupakan kelipatan dari 7 43 = 33. Karena N < 0000 maka nilai N terbesar yang mungkin adalah N = 3 33 = 9933. Jadi, banyak penduduk terbesar yang mungkin di kota tersebut adalah 9933. 5. Diketahui sebuah bilangan rasional positif kurang dari yang dinyatakan dalam pecahan biasa dalam bentuk paling sederhana. Jika hasil kali pembilang dan penyebut dari bilangan rasional tersebut adalah 20! = 2 3 4 20. Tentukan semua bilangan yang dimaksud. Jawaban : Misalkan bilangan rasional yang dimaksud adalah a dengan a < b dan F P B(a, b) = b serta ab = 20! Perhatikan karena F P B(a, b) = maka keduanya tidak memiliki faktor prima yang sama. Selain itu kita punya 20! = 2 8 3 8 5 4 7 2 3 7 9. Selanjutnya untuk mempermudah penulisan, misalkan a = 2 8, a 2 = 3 8, a 3 = 5 4, a 4 = 7 2, a 5 =, a 6 = 3, a 7 = 7 dan a 8 = 9. Ada lima kasus yang mungkin yaitu : 0
i. ii. a b = 8 a n Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan jelas hanya. 8 min a i, a n a b = n i 8 max a i, n i a n iii. Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C 8 = 8. 8 min a i a j, a n a b = n i,j 8 max a i a j, n i,j a n iv. Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C2 8 = 28. 8 min a i a j a k, a n a b = n i,j,k 8 min a i a j a k, n i,j,k a n v. Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C3 8 = 56. 8 min a i a j a k a l, a n a b = n i,j,k,l 8 max a i a j a k a l, n i,j,k,l a n Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C8 4 2! = 35. Oleh karena itu bilangan rasional yang dimaksud ada sebanyak +8+28+56+35 = 28.
Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via email ke tutur.w87@gmail.com Terima kasih. My Webblog : http://mathematic-room.blogspot.com 2