FUNGSI TRIGONOMETRIK MAKALAH Untuk memenuhi tugas matakuliah Fungsi Kompleks yang dibina oleh Ibu Indriati Nurul Hidayah, S.Pd., M,Si Oleh: Kelompok V M. Sihabudin 309312422750 Rino Kitanto 309312426745 Rizki Imansyah Putra 309312422758 Saniagus Munendra 309312417508 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MALANG NOPEMBER 2011
FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRIK Dengan menggunakan rumus euler Maka, Dua persamaan berikut kita eliminasi, Kurangkan, diperoleh Maka, Dengan cara serupa, diperoleh Kedua rumus tersebut dapat dikatakan mewakili bentuk kompleks fungsi nyata sinus dan cosinus. Untuk fungsi kompleks trigonometri, didefinisikan dengan mengganti (pada fungsi nyata trigonometri di atas) dengan, yaitu Definisi Fungsi Kompleks Trigonometri untuk semua bilangan kompleks Empat fungsi trigonometri yang lain didefinisikan : dengan syarat penyebut pada empat bentuk terakhir tidak sama dengan nol.
Contoh Soal Contoh 1 : Tentukan nilai. Jawab : Dengan menggunakan definisi, Contoh 2 : Tentukan yang memenuhi. Jawab : Dengan menggunakan definisi, maka diperoleh : misalkan, maka diperoleh Menggunakan rumus, diperoleh maka, Diperoleh solusinya yaitu
Contoh 3 (soal 10A, halaman 80, nomor 10.11.a) Gunakan definisi fungsi kompleks untuk menuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk a. Jawab : menurut definisi Ingat, identitas euler yaitu, sehingga Dalam bentuk yang diinginkan, maka Contoh 4 (soal 10A, halaman 81, nomor 10.12) Carilah turunan keenam fungsi trigonometrik dan nyatakan dalam suku-suku trigonometrik pula Jawab :
Non Contoh (contoh yang bukan merupakan fungsi kompleks trigonometri) Yaitu, fungsi-fungsi kompleks yang tidak memenuhi definisi fungsi kompleks trigonometri (selain yang didefinisikan pada definisi fungsi kompleks trigonometri) Misalnya, fungsi linear yaitu :, atau fungsi kompleks yang lain, FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK Definisi fungsi kompleks hiperbolik dan Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks Trigonometrik yaitu, dan Penulisan dan dalam bentuk Misalkan, Dengan langkah serupa,
Sifat-sifat Dan Bukti Pada Fungsi Kompleks Trigonometri 1) Karena, maka Karena sesuai definisi karena, maka tentu saja jadi, kedua ruas di logaritma natural kan! Diperoleh, 2) Karena, maka
Karena sesuai definisi maka jadi, kedua ruas dilogaritmanaturalkan! Diperoleh, 3) 4) 5) maka,
6) 7) 8) Perhatikan
9) 10) 11)
Sifat-sifat yang lainnya mengenai fungsi kompleks trigonometri dan fungsi kompleks hiperbolik 12) Identitas dasar Hiperbolik : 13) 14) 15) (soal nomor 10.30.a) Bukti: Perhatikan bahwa Maka, 16) (soal nomor 10.30.b) Perhatikan bahwa Maka,
17) 18) Contoh penggunaan sifat : Gunakan sifat sifat yang telah ada untuk menunjukkan bahwa sin 3z = 3 sin z (cos 2 z sin 2 z) Jawab : sin 3z = sin (2z + z) = (sin 2z)(cos z) + (sin z) (cos 2z) = (2 sin z cos z)(cos z) + (sin z)(cos 2 z sin 2 z) = 2 sin z cos 2 z + sin z cos 2 z sin 3 z = 3 sin z cos 2 z sin 3 z = 3 sin z (cos 2 z sin 2 z)
PERBEDAAN FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRI DAN FUNGSI NYATA TRIGONOMETRI Perbedaan terbesar terletak pada batas nilainya Jika pada fungsi nyata trigonometri kita mengenal untuk (begitu juga untuk cos) Pada fungsi kompleks trigonometri, kita tidak mengenal hal itu (not bounded) Kapan fungsi kompleks trigonometri bernilai real yang besar? Fungsi Sinus Supaya bernilai real yang besar, maka harus 0, sehingga atau Ambil,, maka Supaya bernilai real yang besar, maka tentu saja harus bernilai besar Karena itu fungsi naik untuk, maka pilih adalah bilangan yang sangat besar akan bernilai besar Semakin besar, maka nilai akan semakin bernilai real yang besar Kapan fungsi kompleks trigonometri bernilai real yang kecil? Tentu saja, tinggal memilih, yaitu akan bernilai kecil Hati-hati Hitunglah! Dengan sifat yang sudah kita miliki, maka, karena 30 ini adalah bilangan real (bukan derajat) (jadi, jika menghitung dengan kalkulator, ubah deg menjadi rad)
Ingat, bentuk, dengan