MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn rhny hny positif dn negtif. Vektor diktkn erd di rung n ( R n ) jik vektor terseut mengndung n komponen. Jik vektor erd di R mk diktkn vektor erd di idng, sedngkn jik vektor erd di R 3 mk diktkn vektor erd di rung. Ser geometris, di idng dn di rung vektor merupkn segmen gris errh yng memiliki titik wl dn titik khir. Vektor is dinotsikn dengn huruf keil tel tu huruf keil dengn rus gris Contoh 4.. D C A B Dri gmr dits terliht eerp segmen gris errh ( vektor ) seperti AB, AC dn AD dengn A diseut segi titik wl, sedngkn titik B, C dn D diseut titik khir. Vektor posisi didefinisikn segi vektor yng memiliki titik wl O ( untuk vektor di idng, titik O dlh ( 0,0 )).. Opersi opersi pd vektor A. Penjumlhn du vektor Mislkn u dn v dlh vektor vektor yng erd di rung yng sm, mk vektor ( u + v ) didefinisikn segi vektor yng titik wlny = titik wl u dn titik khirny = titik khir v. Contoh 4.. Perhtikn gmr pd ontoh 4... Mislkn u = AB dn v = BC, jik vektor w didefinisikn segi w = u + v, mk w kn memiliki titik wl = A dn titik khir = C, jdi w merupkn segmen gris errh AC. Alin.si.yhss@fik-uigm.06
B. Perklin vektor dengn sklr Vektor nol didefinisikn segi vektor yng memiliki pnjng = 0. Mislkn u k, k u didefinisikn segi vektor yng pnjngny u kli pnjng u dengn rh : Jik k > 0 Æ serh dengn u Jik k < 0 Æ erlwnn rh dengn u Contoh 4.. Y u u X u C. Perhitungn vektor Dikethui dn vektor vektor di rung yng komponen komponenny dlh = (,, 3 ) dn = (,, 3 ) Mk + = ( +, +, 3 + 3 ) = (,, 3 3 ) k. = ( k, k, k 3 ) Jik = AB kemudin titik koordint A = (,, 3 ) dn B = (,, 3 ) mk = (,, 3 3 ).3 Hsil kli titik, pnjng vektor dn jrk ntr du vektor Hsil kli titik du vektor jik dikethui komponenny Dikethui = (,, 3 ) dn = (,, 3 ), Hsil kli titik ntr vektor dn didefinisikn segi :. =(. )+ (. ) +( 3. 3 ) Hsil kli titik du vektor jik dikethui pnjng vektor dn sudut ntr du vektor Dikethui dn du uh vektor yng memiliki pnjng erturut turut dn sedngkn sudut yng dientuk oleh kedu vektor dlh φ, sudut φ ini terentuk dengn r menggmrkn kedu vektor pd titik wl yng sm. Hsil kli titik ntr vektor dn didefinisikn segi :. = os φ, φ [ 0,π ] Alin.si.yhss@fik-uigm.06
Jdi hsil kli titik du uh vektor erup sklr. Dengn mengethui esrny φ, kn dikethui pkh hsil kli titik kn ernili positif tu negtif. > 0 φ lnip, 0 φ < 90 o. = 0 φ = 90 o, dn sling tegk lurus. < 0 φ tumpul, 90 o < φ 80 o Contoh 4.3. Dikethui = (, 3 ) dn = ( 3k, ) Tentukn nili k gr dn sling tegk lurus! Jw Agr dn sling tegk lurus, mk hruslh. = 0. = 3k +3 = 0 Æ k = Pnjng ( norm ) vektor dn jrk ntr du vektor Pnjng vektor Dengn menggunkn opersi hsil kli titik jik dikethui komponen = (,, 3 ) didptkn hw. = + + 3 () Dri definisi hsil kli titik linny, didptkn hw. = os 0.(), dlm hl ini sudut ntr dn pstilh ernili 0 kren keduny sling erhimpit. Dri persmn dn, didptkn persmn erikut : =. Æ = (. ) / = + + 3.4 Proyeksi orthogonl Dikethui vektor dn dlh vektor vektor pd rung yng sm seperti terliht pd gmr diwh ini : w w Vektor disusun dri du vektor yng sling tegk lurus yitu w dn w, jdi dpt dituliskn = w + w,dri proses pementuknny w jug diseut segi vektor proyeksi orthogonl terhdp kren merupkn Alin.si.yhss@fik-uigm.06 3
hsil proyeksi ser orthogonl vektor terhdp, sedngkn w diseut segi komponen dri yng tegk lurus terhdp. Kren w merupkn hsil proyeksi di mk dpt dituliskn w = k, nili k ini kn menentukn rh dn pnjng dri w. Jik sudut ntr dn dlh tumpul, mk tentuny nili k kn negtif ini jug errti rh w kn erlwnn dengn rh. Menghitung w Untuk menghitung w, hrus dihitung terleih dhulu nili k. Dengn menggunkn turn hsil kli titik, diperoleh :. = ( w + w ). = w. ( kren w dn sling tegk lurus mk w. = 0 ) = w = k = k Jdi k =. os θ os 0 ( sudut yng dientuk dlh 0 tu 80 ) w = k =. dn w = w Pnjng dri w dlh. Contoh 4.4. Dikethui = ( 4,,3 ) dn = ( 4,, ) Tentukn. Vektor proyeksi tegk lurus dri terhdp!. Pnjng dri vektor proyeksi terseut!. Komponen dri yng tegk lurus terhdp! Jw. Mislkn w dlh vektor proyeksi tegk lurus dri terhdp, mk w = k sedngkn k =. = (4.4 +. + 3. ) = = 4 + + ( ) 4 Jdi w = ½ ( 4,, ) = (,, ). 3. Pnjng w dlh = = 4 6. Mislkn w merupkn komponen dri yng tegk lurus terhdp, mk w = w = ( 4,,3 ) (,, ) = (,0, ) Alin.si.yhss@fik-uigm.06 4
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn jjrn genjng, dn turn poligon. 4. Menghitung pengurngn vektor. 5. Menghitung pnjng vektor dlm rung. II. MATERI A. PENGERTIAN Vektor dlh sutu kuntit/esrn yng mempunyi esr dn rh. Ser grfis sutu vektor ditunjukkn segi potongn gris yng mempunyi rh. Besr tu keilny vektor ditentukn oleh pnjng tu pendekny potongn gris. Sedngkn rh vektor ditunjukkn dengn tnd nk pnh. A B AB= Dlm gmr vektor di smping, titik A diseut titik wl (initil point) dn titik P diseut titik terminl (terminl point). Pd gmr terseut vektor dpt ditulis dengn ergi r seperti, AB r, tu. Pnjng vektor jug dpt ditulis dengn ergi r seperti AB, AB, r,, tu. Disini kit kn memki simul AB tu untuk menytkn vektor dn AB tu untuk menytkn esrn (modulus) dri vektor terseut. Contoh vektor mislny lintsn, keeptn, pereptn, dn gy. Sklr dlh sutu kuntit yng mempunyi esrn tetpi tidk mempunyi rh. Sutu sklr dlh ilngn nyt dn ser simolik dpt ditulis dengn huruf keil. Opersi sklr mengikuti turn yng sm dengn turn opersi ljr elementer. Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perennn Hlmn
B. VEKTOR SATUAN Y Q j Untuk menggmrkn sutu vektor pd sistem koordint krtesen diperlukn vektor stun. Vektor (0,) j P i dri titik (0,0) smpi titik (,0) dlh vektor stun i. Vektor dri (0,0) i (,0) X titik (0,0) smpi titik (0,) dlh vektor stun j. Arh vektor i positif sesui dengn rh sumu X positif. Arh vektor j positif sesui dengn rh sumu Y positif. Pd gmr diseelh ini vektor dengn titik wl P dn titik khir Q diurikn menjdi du vektor yitu vektor i dn j. Vektor dn diseut komponen vektor. Besrn dn diseut komponen sklr. Ser simolis vektor dn komponenny ditulis = i + j C. ALJABAR VEKTOR Aljr vektor dlh opersi pd du tu leih dri vektor yng meliputi penmhn, pengurngn dn perklin. Opersi vektor dpt dilkukn mellui komponen-komponen sklrny.. Kesmn Du vektor Du vektor diktkn sm pil pnjng sert rhny sm. = jik = dn rh = rh Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perennn Hlmn
. Vektor Negtif Vektor mempunyi ukurn sm dengn vektor tetpi rhny erlwnn. Jik vektor = - mk = -. Vektor negtif sering diseut segi vektor invers. = 3. Perklin Vektor dengn Sklr Jik k ilngn rel yng positif, mk k u dlh vektor yng pnjngny k u dn mempunyi rh yng sm dengn u. Sedngkn k u dlh vektor yng pnjngny k u tetpi rh erlwnn dengn u. u k u 4. Penjumlhn Vektor ) Aturn Segitig Perhtikn gmr di smping. Jik AB dn BC mewkili dn mk AC diktkn penjumlhn vektor +. + ) Aturn Jjrn Genjng AB dn DC mewkili vektor BC dn AD mewkili vektor, mk AC = + tu AC = +. + + Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perennn Hlmn 3
) Aturn Polygon Penjumlhn tig vektor tu leih dpt dilkukn dengn menggunkn turn poligon. + + + 5. Selisih Du Vektor Selisih du rh vektor dn, dinytkn segi, dpt dipndng segi penjumlhn vektor dengn invers vektor yitu vektor. Mislkn = mk = +( ) Ser digrm selisih du vektor terseut seperti gmr erikut. = 6. Vektor Nol Jik vektor = mk = 0. 0 diseut vektor nol. Vektor nol tidk mempunyi esr dn rhny tk tentu. Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perennn Hlmn 4
Dlm ljr vektor, mislkn vektor = mk erlku turn : ). = jik dn hny jik ). m. = m. i = i dn j = j i + m. j untuk m sutu sklr ). + = ( + ) i + ( + ) j d). - = ( - ) i + ( - ) j i + j dn vektor = i + j e).. = 0 jik = 0 tu = 0 tu tegk lurus dengn f). i. i = j. j = dn i. j = 0 g).. = ( i + j ). ( i + j ) = h). = + i). = r tn ( / ) j).. = os γ. +. D. VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI Z r P Vektor OP disefinisikn oleh komponenkomponeny : sepnjng OX X O L Y sepnjng OY sepnjng OZ Mislkn mk : i = vektor stun dlm rh OX j = vektor stun dlm rh OY k = vektor stun dlm rh OZ OP = i + j + k OL = + dn OP = OL + Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perennn Hlmn 5
OP = + + jdi r = i + j + k Contoh penyelesin sol :. Dikethui vektor = 3i + 4j dn vektor = i + j. Hitunglh hrg-hrg : + ; + ; ; ;. ; sudut ; sudut ;. dn.. Jw : Dri vektor dn terseut dpt dikethui hw = 3 ; = 4 ; = dn =, sehingg diperoleh : ). + = ( + ) i + ( + ) j = ( 3 + ) i + ( 4 + ) j = 5i + 5j ). + = ( + ) i + ( + ) j = ( + 3 ) i + ( + 4 ) j = 5i + 5j ). = ( ) i + ( ) j = ( 3 ) i + ( 4 ) j = i + 3 j d). = ( ) i + ( ) j = ( 3 ) i + ( 4 ) j = -i 3j e). = + = 3 + 4 = 9 6 = 5 + = 5 + f). = + = + = 4 = 5 g). Sudut dlh = r tn ( / ) = r tn ( 4/3 ) = 53,30 tu = 53 7 48.36 h). Sudut dlh ß = r tn ( / ) = r tn ( ½ ) = 6,56505 tu ß = 6 33 54,8 i).. =. +. = 3. + 4. = 6 + 4 = 0 j).. =. +. =. 3 +. 4 = 6 + 4 = 0 Jwn i). dn j). dpt jug menggunkn turn. =. os γ. dlm hl ini γ dlh sudut ntr dn. Dengn turn terseut diperoleh :. =. os γ = 5 5 os ( - ß) = 5. 5 os (53,3 6,56) = 5. 5 os 6,57 = 5. 5. 0,894479 = 0 Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perennn Hlmn 6
. =. os γ = 5. 5 os (ß - ) 5. 5 os (-6,57) = 0. Dikethui vektor-vektor, dn seperti di wh ini. Lukislh ser grfis opersi vektor : - +. dn 3-0,5( - ). Jw : - +. = + (- ) +. + 3-0,5( - ) = 3 + [-0,5{ + (- )}] 3 3 + [-0,5{ + (- )}] /( +(- ) Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perennn Hlmn 7
Sol-sol vektor :. Gmrlh vektor-vektor diwh ini pd koordint krtesen. ). = 4i+5j ). = -4i+5j ). = -4i 5j d). d = 4i 5j. Gmrlh dn tuliskn dlm entuk vektor i +j yng memiliki ketentun segi erikut :. Dri titik sumu ( 0, 0 ) ke titik ( ; -3 ). Dri titik ( ; 3 ) ke titik ( 4 ; ). Mempunyi esr 6 dengn rh 50 3. Dikethui vektor =,5 i + 3 j dn vektor = - 5j Hitunglh :. +... 4. Vektor = 3i + 4j ; vektor = i + 5j dn vektor = -5i + 3j. Hitunglh :. +. + +... 5. Hitunglh kerj yng dilkukn vektor 6i + 8j pd vektor i + 3j. 6. tentukn esrny sudut pd vektor-vektor i + j ; i 3j dn 5j. 7. Vektor = i + 5j, vektor = -5i 7j dn vektor = 3i 7j. Gmrlh :.. +. 0.5 (. ). + +3 Jurusn Pendidikn Teknik Sipil & Perennn Hlmn 8