RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Siti Rohmawati (147785003) Kelas 2014D PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2014

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i DAFTAR ISI.. ii BAB XI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS... 1 11.1 Notasi Fungsi. 1 11.2 Membentuk Fungsi Komposit. 3 11.3 Domain dan Range.. 5 11.4 Urutan Sebagai Fungsi 7 11.5 Membalikkan Funggi.. 8 11.6 Fungsi Satu-Satu.. 9 11.7 Mencari Fungsi Invers. 9 11.8 Menggambar Fungsi Invers. 11 DAFTAR PUSTAKA. 12 ii

BAB XI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Bab ini merupakan penggembangan gagasan fungsi yang terdapat pada Bab 3. Dalam bab ini diperkenalkan tentang macam fungsi aljabar dengan menunjukkan bagaimana menemukan fungsi komposit. Setelah mempelajari bab ini, diharapkan: 1. Dapat menggunakan bahasa dan notasi yang benar terkait dengan fungsi. 2. Tahu kapan fungsi-fungsi dapat dikombinasikan dengan operasi komposisi dan dapat membentuk fungsi komposit. 3. Menghargai bahwa urutan dapat dianggap sebagai fungsi yang domainnya adalah bilangan asli, atau himpunan bagian berturut-turut dari bilangan asli. 4. Tahu kondisi satu-satu' untuk fungsi yang memiliki invers, dan dapat membentuk fungsi invers. 5. Mengetahui hubungan antara grafik fungsi satu-satu dan grafik fungsi inversnya. 11.1 Notasi Fungsi Dalam menggunakan kalkulator untuk menemukan nilai-nilai dari suatu fungsi, terdapat tiga langkah yang terpisah: Langkah 1 Masukkan bilangan ('input'). Langkah 2 Masukkan petunjuk fungsi. Langkah 3 Baca bilangan di layar ('output'). Pada langkah kedua terkadang menggunakan satu kunci, ataupun lebih. a. Menggunakan satu kunci Seperti 'akar kuadrat', 'tanda perubahan' atau 'sinus' Contoh: Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 1

Input Output 4 2 3 [+ ± ] -3 2 [sin] 0.5 Dalam bab ini sin, cos dan tan mengarah pada fungsi-fungsi yang dioperasikan oleh kalkulator dalam mode derajat. Jika anda memasukkan bilangan x, maka output yang diperoleh adalah sin x, cos x atau tan x. b. Menggunakan lebih dari satu kunci Seperti 'kurangi 3', 7 [, 3, =] 4 Pada prinsipnya hal yang terpenting adalah bahwa urutan tombol dalam tanda kurung siku mewakili fungsi. Urutan ini sama apapun bilangan yang anda masukkan sebagai input pada langkah 1. Untuk input umum bilangan x, Anda dapat menulis x [+ ± ] - x x [, 3, =] x 3 Dan seterusnya. Dan untuk fungsi umum, x [ f ] f(x) Dimana f singkatan urutan tombol fungsi. Ungkapan-ungkapan seperti 'fungsi x 2 ', 'fungsi cos x o ', atau 'fungsi f(x)' benarbenar salah; x 2, cos x o dan f(x) adalah simbol untuk output ketika diberikan input x, bukan untuk fungsi itu sendiri. Jika yang dimaksudkan adalah menyebutkan fungsi, maka bahasa yang tepat adalah 'fungsi pangkat', 'fungsi cos' atau 'fungsi f'. Sayangnya hanya beberapa fungsi memiliki nama yang mudah seperti 'pangkat' atau 'cos'. Tidak ada nama sederhana untuk fungsi output yang diberikan oleh ekspresi seperti x 6x + 4. f: x x 6x + 4 Dibaca sebagai 'f adalah fungsi yang mengubah input bilangan x dalam domain ke bilangan output x 2-6x+4' Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 2

contoh 11.1.1 Jika f: x x(5 x), berapakah f(3)? Simbol f (3) singkatan output ketika input 3. Fungsi f mengubah input 3 ke output 3(5-3) = 6. Jadi f (3) = 6. Penggunaan panah untuk menunjukkan hubungan antara input dan output dapat dihubungkan dengan grafik sebuah fungsi. Gambar. 11.1 menunjukkan grafik y = x (5-x), dengan bilangan input 3 pada sumbu x. Panah, yang naik dari titik input dan membelok melalui sudut kanan ketika memotong grafik, menghasilkan bilangan output 6 pada sumbu y. 11.2 Membentuk fungsi komposit Jika Anda ingin menghitung nilai-nilai x 3, Anda mungkin akan menggunakan tombol urutan [-, 3, =, ] dengan tidak bersamaan. Tetapi jika Anda perhatikan dengan teliti, Anda akan melihat bahwa tiga angka muncul pada layar selama proses tersebut. Misalnya, jika Anda menggunakan input 7, layar akan menampilkan pada bilangan masukan Anda 7, maka (setelah memasukkan [-, 3, =]) 4, dan akhirnya (setelah memasukkan ) output 2. Anda mengerjakan dua fungsi, 'kurangi 3' lalu 'akar kuadrat', berturut-turut. Anda bisa mewakili seluruh perhitungan dengan: 7 [, 3, =] 4 2 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 3

Output dari fungsi pertama menjadi masukan kedua. Contoh 11.2.1 Cari output ketika fungsi 'pangkat' dan 'sin' bertindak pada rentetan input dari (a) 30, (b) x (a) 30 [Pangkat] 900 [sin] 0 (b) x [Pangkat] x [sin] sin(x ) Karena dalam (b) input ke fungsi sin adalah x 2, bukan x, maka outputnya adalah sin(x ), bukan sin x. Untuk sebarang input, dan dua fungsi sebarang f dan g, proses akan ditulis: Fungsi ketiga disebut 'fungsi komposit'. x [f] f(x) [g] g f(x) Karena output dari fungsi komposit adalah g(f (x)), fungsi komposit itu sendiri dilambangkan dengan gf. gf dibaca sebagai 'f pertama, maka g'. Menulis fg berarti 'g pertama, maka f', yang hampir selalu berbeda fungsi dari gf. Misalnya, jika Anda mengubah urutan fungsi dalam Contoh 11.2.1 (a), bukan output 0 yang Anda dapatkan, melainkan: 30 [sin] 0,5 [pangkat] 0,25 Contoh 11.2.2 Misalkan f: x x + 3 dan g: x x. Cari gf dan fg. Tunjukkan bahwa hanya ada satu bilangan x sehingga gf(x) = fg (x). Komposit fungsi gf diwakili oleh x [f] x + 3 [g] (x + 3) Dan fg diwakili oleh x [g] x [f] x + 3. Jika gf (x) = fg (x), maka (x + 3) = x + 3, sehingga x + 6x + 9 = x + 3, menghasilkan x = -1. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 4

Anda dapat memeriksa ini dengan kalkulator Anda. 1. Jika Anda memasukkan -1 dan kemudian 'menambah 3' [+, 3, =] diikuti dengan 'pangkat', layar akan menampilkan pada gilirannya -1, 2, 4. 2. Jika Anda mengoperasikan 'pangkat' diikuti dengan 'menambahkan 3', ia akan menampilkan -1, 1, 4. Ketika input adalah -1, outputnya adalah sama meskipun tampilan-tampilan tengahnya berbeda. Contoh 11.2.3 Jika f: x cos x dan: : x, hitung (a) gf(60), (b) gf(90). Dengan input 60, kalkulator akan menunjukkan urutannya 60, 0.5, 2, jadi gf (60) = 2. Dengan input 90, kalkulator akan menampilkan 90, 0 dan kemudian diberi pesan kesalahan! Hal ini karena cos 90 = 0 dan 1/0 tidak didefinisikan. Apa yang terjadi dalam Contoh 11.2.3 (b) adalah bahwa angka 0 ada dalam kisaran fungsi f, tetapi tidak dalam domain g. 11.3 Domain dan Range Ketika Anda melihat huruf x dan y dalam matematika, misalnya dalam sebuah persamaan seperti y = 2x - 10, umumnya dipahami bahwa huruf x dan y melambangkan bilangan real. Tapi kadang-kadang penting untuk benar-benar teliti tentang hal ini. Simbol R digunakan untuk menyingkat 'himpunan bilangan real', dan simbol untuk 'anggota'. Dengan simbol-simbol ini, Anda dapat mempersingkat pernyataan 'x adalah bilangan real', atau 'x anggota himpunan bilangan real', ke x R. Jadi, dapat ditulis f: x 2x 10, x R untuk menunjukkan bahwa f adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan real yang mengubah setiap masukan x ke output 2x-10. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 5

Tepatnya, fungsi tidak sepenuhnya ditentukan kecuali Anda menyatakan domain serta aturan untuk memperoleh output dari input. Untuk fungsi di atas range-nya juga R, meskipun tidak perlu diyatakan dengan menggambarkan fungsi. Kita tahu dari bab 3 bahwa untuk beberapa fungsi domainnya hanya bagian dari R, karena ekspresi f(x) hanya bermakna untuk beberapa x R. Himpunan bilangan real yang f(x) nya memiliki arti akan disebut 'domain asli' f. Dengan kalkulator, jika Anda memasukkan bilangan yang tidak dalam domain asli, maka output akan menunjjukkan tampilan 'error'. Untuk fungsi akar kuadrat, misalnya, domain aslinya adalah himpunan bilangan real positif dan nol, sehingga Anda menulis Akar pangkat : x x, di mana x R dan x 0. Jika Anda diberi fungsi yang dijelaskan oleh rumus tetapi tidak ada domain dinyatakan, Anda harus mengasumsikan bahwa domain yang dimaksud adalah domain asli. Contoh 11.3.1 Cari range masing-masing fungsi (a) sin, dengan domain asli R, (b) sin, dengan domain x R dan 0 <x <90. Dari grafik y = sin x, ditunjukkan pada gambar. 11.2, Anda dapat membaca dari rentang: (a) Untuk x R, rangenya adalah y R, 1 y 1. (b) Untuk x R, 0 < x < 90, kisaran adalah y R, 0 < y < 1 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 6

Contoh 11.3.1 telah menggunakan huruf x dalam menggambarkan domain, dan y untuk range. Aturan umumnya adalah: Untuk membentuk fungsi komposit gf, domain D dari f harus dipilih sehingga seluruh range f termasuk dalam domain dari g. fungsi gf kemudian didefinisikan sebagai gf: x g (f (x)), x D. 11.4 Urutan sebagai fungsi Tidak semua fungsi memiliki domain himpunan bilangan real atau interval terbatas bilangan real. Sebagai contoh, fungsi memiliki himpunan bilangan asli {1, 2, 3,...} untuk domainnya. Himpunan ini dilambangkan dengan simbol N. Beberapa game (seperti catur dan Scrabble) yang dimainkan di papan dikesampingkan dalam kotak. Jika papan memiliki kotak r masing-masing cara, maka jumlah kotak adalah r 2. Jadi ini mendefinisikan fungsi f: r r, di mana r N. Ini adalah fungsi yang berbeda dari f: x x, di mana r R, Karena jumlah kotak masing-masing cara harus bilangan bulat. Anda dapat membuat daftar nilai-nilai yang berurutan dari f (r): f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 9, f (4) = 16, f (5) = 25,... Perhatikan bahwa angka-angka ini adalah tepat berurutan (a) dalam bagian 8.1. ini menunjukkan bahwa urutan dapat dianggap sebagai fungsi yang domainnya adalah N. Beberapa urutan hanya memiliki jumlah terbatas istilah. Anggaplah, misalnya, bahwa Anda memiliki 6 koin identik, dan f(r) menunjukkan sejumlah cara membagi koin ke dalam r tumpukan. Jadi f (2) = 3, karena Anda dapat memiliki tumpukan koin 1 dan 5 koin, 2 koin dan 4 koin, atau 3 koin dan 3 koin. Dapat dibuktikan bahwa f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 3, f (4) = 2, f (5) = 1, dan f (6) = 1; Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 7

tapi f (r) tidak ada artinya untuk r > 6. Oleh karena itu domain fungsi adalah himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6}, yang merupakan bagian dari angka berturut-turut di N. Sebuah urutan dapat didefinisikan sebagai fungsi yang domain di N atau bagian berturut-turut N. Untuk notasi urutan u r biasanya digunakan lebih sering daripada f (r), tapi itu hanya untuk kenyamanan. Perbedaan yang penting antara N dan R adalah bahwa, untuk setiap bilangan asli r, ada 'nomor berikutnya'. Inilah yang memungkinkan untuk menggunakan definisi induktif untuk menggambarkan urutan. Tidak ada cara yang sebanding mendefinisikan fungsi f (x), di mana x R, karena tidak ada hal seperti 'bilangan real berikutnya. 11.5. Membalikkan fungsi Jika kakak Anda adalah 2 tahun lebih tua dari Anda, maka Anda 2 tahun lebih muda dari dia. Untuk mendapatkan usianya dari Anda yang Anda gunakan fungsi 'tambahkan 2'; untuk mendapatkan usia Anda dari miliknya Anda mengurangi 2 '. Fungsi 'tambahkan 2' dan 'mengurangi 2' dikatakan fungsi invers satu sama lain. Artinya, 'kurangi 2' adalah fungsi kebalikan dari 'tambahkan 2' (dan sebaliknya). Kebalikan dari fungsi f dinotasikan dengan simbol f -1. Jika f menjadikan bilangan input x menjadi bilangan output y, maka f -1 menjadikan y ke x. Contoh 11.5.1 Cari nilai-nilai cos -1 y ketika (a) y = 0.5, (b) y = -1 (c) y = 1,5. Menggunakan [cos ] kunci dengan input 0.5, -1, 1.5 pada gilirannya memberikan output 60, 180, dan pesan kesalahan! Jadi, dalam modus derajat, (a) cos -1 0,5 = 60, (b) cos -1 (- 1) = 180, tetapi (c) cos - 1 1,5 tidak ada artinya. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 8

11.6 Fungsi Satu-satu Masalah muncul setiap kali Anda mencoba untuk mencari sebuah fungsi yang memiliki output yang sama untuk lebih dari satu input. Dalam matematika, ambiguitas tidak dapat diterima. Satu-satunya fungsi yang memiliki fungsi invers adalah fungsi-fungsi yang setiap output dalam range berasal dari hanya satu input. Fungsinya ini dikatakan satu-satu'. Sebuah fungsi f didefinisikan untuk beberapa domain D adalah satu-satu jika, untuk setiap bilangan y di range R dari f hanya ada satu bilangan x D sehingga y = f (x). fungsi dengan domain R didefinisikan oleh f : y x, di mana y = f (x), adalah fungsi inverse dari f. Definisi ini diilustrasikan dalam gambar. 11.3, yang ditarik untuk memastikan bahwa fungsi f adalah satu-satu. Fungsi f -1 f dan ff -1 disebut fungsi identitas karena input dan output mereka adalah identik. Tapi ada perbedaan halus antara kedua fungsi komposit, karena domain mereka mungkin tidak sama; yang pertama memiliki domain D dan yang kedua memiliki domain R. 11.7 Mencari fungsi invers Untuk fungsi yang sangat sederhana mudah untuk menuliskan bentuk fungsi inversnya. Kebalikan dari 'tambahkan 2' adalah 'mengurangi 2', sehingga f: x x + 2, x R memiliki invers f : x x 2, x R. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 9

Perhatikan bahwa kebalikannya bisa juga ditulis sebagai f : y y 2, y R. Anda kadang-kadang dapat memecah fungsi yang lebih rumit menjadi sebuah mata rantai langkah sederhana. Contoh 11.7.1 Cari invers dari f: x 2x + 5, x R Perhatikan dulu bahwa f adalah satu-satu, dan rangenya adalah R. Metode 1 Anda dapat memecah fungsi sebagai x [ganda] [tambahkan 5] 2x + 5. Untuk menemukan f -1, ke belakang melalui rantai (baca dari kanan ke kiri): (x 5) [setengah] [kurangi 5] x Jadi f = x (x 5), x R. Metode 2 Jika y = 2x + 5, y 5 = 2x yang memberikan x = (y 5). Jadi fungsi invers f = x (x 5), x R Dua jawaban yang sama, meskipun menggunakan huruf yang berbeda. Contoh 11.7.3 Tentukan invers dari fungsi f(x) =, di mana x R dan x 2. Hal ini tidak jelas bahwa fungsi ini salah-salah, atau apa yang rentang adalah. Namun, dengan menggunakan metode kedua dan menulis f(x) =, y(x 2) = x + 2, yx 2y = x + 2, yx x = 2y + 2, x(y 1) = 2(y + 1), x = ( ). Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 10

Hal ini menunjukkan bahwa, kecuali y = 1, hanya ada satu nilai x untuk setiap nilai y. Jadi f harus menjadi salah satu-satu, sehingga fungsi invers ada, dan f : y ( ), dimana y R dan y 1 11.8 Menggambar fungsi invers. Gambar. 11.8 menunjukkan grafik y = f (x), dimana f adalah fungsi satu satu dengan domain D dan range R. Karena f ada, dengan domain R dan range D, Anda dapat juga menulis persamaan sebagai x = f (y). Anda dapat menganggap Gbr. 11.8 sebagai grafik kedua f dan f. Tapi kadang-kadang Anda ingin menarik grafik f dalam bentuk yang lebih konvensional, seperti y = f (x) dengan domain sepanjang sumbu x. Untuk melakukan ini, Anda harus menukar sumbu x dan y, yang Anda lakukan dengan merefleksikan grafik pada Gambar. 11,8 di garis y = x. (Pastikan bahwa Anda memiliki skala yang sama pada kedua sumbu!) maka sumbu x tercermin dalam sumbu y dan sebaliknya, dan grafik dari x = f (y) tercermin dalam grafik y = f (x). Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 11.9. Jika f adalah satu-satu fungsi, grafik y = f (x) dan y = f (x) adalah cerminan dari satu sama lain dalam garis y = x. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 11

DAFTAR PUSTAKA Neill, Hugh dan Douglas Quadling. 2002. Advance Level Mathematics: Pure Mathematics 1. Cambridge: Cambridge University Press. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 12