4 Kelas 2 Kelas 1 N3 N4 N3 N4 Gambar 1 Struktur data kelompok dalam pengukuran berulang pada data Metode Statistika BAHAN DAN METODE Bahan Data yang digunakan adalah data nilai capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika tahun 2008/2009 pada beberapa titik waktu yang menjadi peubah respon pada level satu. Peubah penjelas pada level satu adalah waktu ujian. Peubah penjelas level dua adalah IPK TPB, jenis kelamin, dan asal daerah. Jumlah mahasiswa per kelas dan persentase nilai Pengantar Matematika minimal berhuruf mutu B merupakan peubah-peubah penjelas pada level ketiga. Struktur data dapat dilihat pada Gambar 1. Metode Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah: 1. Melakukan konversi nilai capaian Metode Statistika untuk kelas paralel yang nilai maksimumnya melebihi 100. 2. Melakukan analisis deskriptif per kelas paralel untuk mendapatkan gambaran umum data. 3. Mengeksplorasi hubungan antara capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan peubah-peubah penjelasnya secara grafis. 4. Melakukan centering terhadap beberapa peubah penjelas, yaitu mengurangkan data dengan rataannya. 5. Mencari model terbaik yang dapat memodelkan hubungan antara capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan peubah-peubah penjelasnya, dengan tahapan: 1. Memilih struktur intersep acak 2. Memilih struktur efek tetap 3. Memilih struktur kemiringan acak 4. Memasukkan interaksi peubah penjelas antar level ke dalam model 5. Memilih struktur kovarian untuk sisaan pada level satu 6. Menduga komponen ragam capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika berdasarkan model yang telah diperoleh. PEMBAHASAN Deskripsi Data Perkuliahan Metode Statistika tahun 2008/ 2009 terbagi menjadi dua waktu yaitu semester ganjil dan semester genap. Jika waktu yang berdasarkan semester itu diabaikan dan data diamati hanya pada satu angkatan (2007), maka diperoleh jumlah kelas paralel seluruhnya sebanyak 30 kelas. Urutan kelas paralel dapat dilihat pada Lampiran 1. Data yang diamati merupakan data nilai mahasiswa yang terdaftar mengambil mata kuliah Metode Statistika tahun 2008/2009. Secara umum pengambilan nilai dilakukan sebanyak dua kali, yaitu pada saat ujian tengah semester (UTS) dan ujian akhir semester (UAS). Namun ada pula dosen yang memberikan ujian lebih dari dua waktu. Dosen kelas TIN memberikan ujian Metode Statistika sebanyak tiga waktu yaitu ujian 1 saat UTS, ujian 2 (antara UTS dan UAS), dan ujian 3 saat UAS. Selain kelas TIN, kelas paralel AGH memiliki empat waktu pengambilan nilai ujian, yaitu ujian1 (sebelum UTS), ujian 2 (saat UTS), ujian 3 (antara UTS dengan UAS), dan ujian 4 (UAS). Meskipun demikian, perbedaan frekuensi ujian antar kelas paralel tidak menjadi masalah dalam analisis ini.
5 Secara umum kelas paralel Metode Statistika tahun 2008/2009 memiliki rataan jumlah mahasiswa sebanyak 85.13 mahasiswa per kelas, rata-rata persentase Pengantar Matematika minimal B per kelas sebesar 49.12%, rata-rata IPK TPB sebesar 2.86, mayoritas mahasiswa berjenis kelamin perempuan (63%), 76% mahasiswa berasal dari Pulau Jawa, rata-rata nilai UTS setiap mahasiswa sebesar 61.33, dan rata-rata nilai UAS setiap mahasiswa sebesar 56.34 (Lampiran 4). Ilustrasi Keragaman Antar Kelas dan Antar Untuk menggambarkan adanya keragaman antar kelas, dipilih dua kelas yang memiliki rata-rata nilai ujian tertinggi pada setiap waktu ujian yaitu kelas Statistika yang memiliki ratarata UAS tertinggi dan kelas Ilmu Ekonomi yang memiliki rata-rata UTS tertinggi. Kelas Statistika memiliki rata-rata IPK TPB cukup besar yaitu 3.2 dan 71.21% mahasiswanya memiliki nilai mutu Pengantar Matematika minimal B, sedangkan kelas Ilmu Ekonomi memiliki rata-rata IPK TPB yang cukup kecil yaitu sebesar 2.72 dan 67.42 % mahasiswanya memiliki nilai Pengantar Matematika dibawah B. Meskipun kedua kelas itu sama-sama memiliki rata-rata nilai ujian tertinggi, namun terlihat jelas keragaman dari dua kelas tersebut berdasarkan peubah tertentu, sehingga menimbulkan pertanyaan apakah peubah-peubah tersebut memiliki pengaruh terhadap nilai capaian atau tidak (Tabel 1). Tabel1 Keragaman antara kelas Statistika dengan kelas Ilmu Ekonomi Peubah Nilai rata-rata STK IE % PM min B 71.21 32.58 Jumlah 70.00 93.00 IPK TPB 3.20 2.72 % Laki-laki 38.00 25.00 %Luar Jawa 26.00 10.00 UTS 66.00 86.15 UAS 83.68 69.88 Beberapa faktor yang diduga memiliki pengaruh terhadap nilai capaian Metode Statistika terdiri dari peubah kategorik dan numerik. Sebelum dianalisis, dilakukan pengkodean terhadap peubah kategorik yang dapat dilihat pada Lampiran 2. yang berada dalam kelas yang sama akan memiliki kemiripan. Hal ini kemungkinan karena proses seleksi awal masuk departemen, pengaruh dosen, jumlah mahasiswa, suasana kelas, dan faktor lainnya. Gambar 2 menggambarkan ilustrasi keragaman nilai dalam kelas dibandingkan antar kelas, sebagai contoh diambil kelas MSL dan kelas Kimia. 100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 Keterangan axis: 0 = UTS MSL 2 =UTS Kimia 1 = UAS MSL 3 = UAS Kimia Gambar 2 Grafik antara nilai capaian dengan waktu pada dua kelas yang berbeda Nilai capaian dua pasang mahasiswa pada dua kelas berbeda yang terpilih secara acak menunjukkan kemiripan yang lebih besar pada mahasiswa dalam kelas yang sama, dimana kelas yang diwakili dengan bujur sangkar adalah mahasiswa pada kelas MSL dan simbol yang diwakili oleh segitiga adalah mahasiswa pada kelas Kimia. Umumnya perubahan nilai untuk mahasiswa-mahasiswa kelas MSL tidak terlalu besar. Eksplorasi Data Ekplorasi dilakukan untuk mendeteksi keberadaan interaksi antar peubah penjelas, baik antar peubah penjelas dalam level yang sama atau interaksi peubah penjelas antar level yang berbeda. Eksplorasi interaksi bermanfaat dalam pemilihan struktur efek tetap dan penambahan interaksi peubah antar level pada analisis regresi tiga level supaya model yang terbentuk lebih efektif. Interaksi peubah yang terjadi dalam level yang sama adalah interaksi antara IPK TPB dengan asal daerah sedangkan interaksi antar level terjadi pada peubah waktu (level 1) dengan peubah pada level 2 yaitu jenis kelamin. Untuk interaksi antar peubah penjelas lainnya tidak nampak adanya interaksi dalam eksplorasi ini karena plot interaksinya menunjukkan pola yang sejajar (Lampiran 5). Selain mendeteksi interaksi, eksplorasi juga diperlukan untuk mendeteksi adanya keragaman perbedaan nilai karena adanya keragaman pengaruh peubah penjelas antar kelas. Untuk pengaruh IPK TPB misalnya,
6 dilakukan eksplorasi dengan membuat garis regresi antar nilai capaian Metode Statistika (Y) dengan IPK TPB (X) pada setiap kelas paralel, sehingga akan diperoleh 30 garis regresi. Pada eksplorasi garis regresi ini terdeteksi adanya keragaman pengaruh IPK TPB antar kelas berupa keragaman intersep dan kemiringan garis regresi antar kelas (Gambar 3). Sama halnya dengan peubah IPK TPB, intersep dan kemiringan peubah waktu juga beragam antar kelas (Gambar 4). tersarang dalam kelas dengan nilai-p sebesar 0.0000 sehingga untuk analisis selanjutnya digunakan pengaruh intersep acak terhadap kelas dan terhadap mahasiswa dalam kelas (Tabel 2). M1.1 Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas Nilai Capaian 100 80 60 40 20 0 1,50 2,50 3,50 IPK TPB M1.2 Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa dalam kelas Gambar 5 Langkah dalam memilih struktur intersep acak Tabel 2 Hasil perbandingan model dalam memilih struktur intersep acak Gambar 3 Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan IPK TPB Perbandingan model Nilai-P M1.1 dengan M1.2 0.0000 NIlai Capaian 100 80 60 40 20 0 0 0,5 1 1,5 2 Waktu Gambar 4 Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan waktu Analisis Regresi Tiga level Untuk mendapatkan model dugaan regresi tiga level yang terbaik, maka diperlukan beberapa tahapan sebagai berikut: Tahap 1 Memilih struktur intersep acak Pada tahap satu dilakukan pemilihan struktur intersep acak dengan menggunakan metode REML (Gambar 5). Pemilihan struktur intersep ini untuk mengetahui apakah ada keragaman intersep antar mahasiswa jika diketahui terdapat keragaman intersep antar kelas. Hasil uji LRT menyatakan terdapat keragaman intersep antar mahasiswa yang Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa ini dapat memberikan informasi keragaman yang dijelaskan oleh struktur kelas dan struktur mahasiswa, selain itu dapat pula diketahui korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa. Proporsi keragaman nilai capaian yang dapat dijelaskan oleh kelas tanpa dipengaruhi oleh faktor apapun sebesar 20.92% sedangkan proporsi keragaman nilai capaian yang dapat dijelaskan oleh struktur mahasiswa dalam kelas tanpa dipengaruhi oleh faktor apapun sebesar 17.61%. Selain itu dapat diketahui pula bahwa korelasi antara dua mahasiswa yang dipilih secara acak yang berada dalam kelas yang sama adalah sebesar 0.21, sedangkan korelasi intra mahasiswa antara dua nilai ujian yang dipilih secara acak yang berada dalam mahasiswa yang sama sebesar 0.39 (Lampiran 6). Tahap 2 Memilih struktur efek tetap Pemilihan struktur efek tetap bermaksud untuk mendapatkan peubah-peubah penjelas yang memiliki pengaruh yang besar terhadap nilai capaian dengan cara memasukkan satupersatu peubah penjelas setiap levelnya pada model (Gambar 6). Pendugaan parameter pada tahap ini menggunakan metode ML.
7 Berdasarkan hasil perbandingan model dengan menggunakan LRT yang hasilnya disajikan pada Tabel 3, model yang diterima adalah M2.3 dengan peubah penjelas waktu, IPK TPB, jenis kelamin, asal daerah, dan interaksi antara IPK TPB dengan asal daerah. M2.4 tidak dapat diterima karena setelah diuji LRT, peubah penjelas pada level 3 (persentase nilai Pengantar Matematika dan jumlah mahasiswa setiap kelas) tidak berpengaruh terhadap nilai capaian dengan nilai-p sebesar 0.3529. Tidak berpengaruhnya persentase nilai pengantar Matematika terhadap nilai capaian Metode Statistika mungkin disebabkan kurangnya pendalaman logika dan analisis statistika pada mata kuliah Pengantar Matematika sedangkan dalam mata kuliah Metode Statistika sangat dibutuhkan kemampuan tersebut. M2.1 Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa dalam kelas M2.2 Model dengan peubah penjelas pada level 1 (waktu) dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa dalam kelas M2.3 Model 2.2 ditambahkan dengan peubahpeubah penjelas pada level 2 dan interaksinya M2.4 Model 2.3 ditambahkan dengan peubahpeubah penjelas pada level 3 Gambar 6 Langkah dalam memilih struktur efek tetap Tabel 3 Hasil perbandingan model dalam memilih struktur efek tetap Perbandingan model Nilai-P M2.1 dengan M2.2 0.0000 M2.2 dengan M2.3 0.0000 M2.3 dengan M2.4 0.3529 Tahap 3 Memilih struktur kemiringan acak Setelah melakukan tahap dua, dilanjutkan dengan tahap tiga yaitu memilih struktur kemiringan acak yang berpengaruh terhadap model. Pada tahap ini metode yang digunakan adalah pendugaan REML. Awalnya model tanpa pengaruh kemiringan acak dibuat dengan peubah penjelas sesuai dengan Model 2.3 (M3.1), kemudian model tersebut dibandingkan satu persatu dengan: 1. Model dengan kemiringan waktu acak (M3.2) 2. Model dengan kemiringan IPK TPB acak (M3.3) 3. Model dengan kemiringan jenis kelamin acak (M3.4) 4. Model dengan kemiringan asal daerah acak (M3.5) Berdasarkan hasil uji LRT, pengaruh kemiringan acak yang signifikan terhadap model adalah kemiringan waktu, IPK TPB, dan jenis kelamin (Tabel 4). Tabel 4 Hasil uji LRT perbandingan model dalam memilih struktur kemiringan acak Perbandingan model Nilai-P M3.1 dengan M3.2 0.0000 M3.1 dengan M3.3 0.0000 M3.1 dengan M3.4 0.0000 M3.1 dengan M3.5 0.9048 Tahap 4 Memasukkan peubah penjelas yang menjelaskan interaksi peubah antar level Tahap empat adalah tahap pembentukan model dengan efek tetap dan efek acak yang signifikan serta ditambahkan interaksi peubah antar level (M4.1). Interaksi yang dimasukkan dalam model adalah interaksi waktu dengan peubah penjelas yang berada pada level 2 yaitu interaksi waktu dengan jenis kelamin seperti yang dijelaskan pada eksplorasi data sebelumnya. Nilai dugaan efek tetap pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1 dapat dilihat pada Tabel 5, sedangkan nilai dugaan komponen ragamnya disajikan dalam Tabel 6. Tahap 5 Memilih struktur kovarian untuk sisaan pada level satu Langkah terakhir adalah memeriksa apakah nilai-nilai yang ada pada mahasiswa yang sama saling bebas atau tidak saling bebas. Dari model yang diperoleh pada tahap 4 yaitu model dengan asumsi ragam sisaan antar waktu homogen saling bebas (M4.1), kemudian dibuat model pembandingnya yaitu model dengan asumsi keragaman sisaan antar waktu homogen tidak saling bebas (M5.1). Berdasarkan hasil uji hipotesis diketahui bahwa ragam sisaan antar waktu homogen dan saling bebas (Tabel 7). Dengan demikian tidak
8 terbukti ada keterkaitan antar nilai ujian dalam mahasiswa yang sama. Hal ini mungkin disebabkan oleh jumlah titik waktu dominan terlalu sedikit (dua titik), adanya perbedaan tingkat kesulitan antara materi UTS dan UAS, dan kemungkinan dikarenakan adanya perbedaan dosen pada waktu UTS dengan UAS. Dengan demikian Model 4.1 merupakan model terbaik pada data capaian Metode Statistika. Tabel 5 Nilai dugaan efek tetap pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1 Solusi untuk Efek Tetap Efek tetap Nilai duga Nilai -P Intersep 61.4169 <.0001 Waktu -0.9083 0.4406 IPK TPB 15.7099 <.0001 Jk -1.7724 0.0429 Asal daerah -0.6831 0.2136 Ipktpb*Asaldaerah 2.4730 0.0180 Waktu*Jk -2.4332 <.0001 Tabel 6 Nilai dugaan komponen ragam pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1 Pendugaan Parameter Koragam Parameter Nilai Duga Nilai -P Koragam ; 127.65 0.0001, ; -45.6871 0.0042 ; 37.8378 0.0001, ; 3.8581 0.7738, ; -5.0182 0.4991 ; 30.7299 0.0009, ; -13.4195 0.1746, ; 5.6384 0.3014, ; -6.0413 0.2354 ; 11.0338 0.0108 ; 24.9697 <.0001 ; 45.5365 <.0001 127.52 <.0001 Tabel 7 Hasil perbandingan model struktur kovarian untuk sisaan pada level satu Perbandingan model Nilai-P M4.1 dengan M5.1 1.0000 Interpretasi Hasil Model Terbaik Berdasarkan Tabel 5 dapat diketahui bahwa rata-rata nilai capaian Metode Statistika dari mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan, memiliki IPK 2.86, berasal dari Pulau Jawa, dan pada saat UTS sebesar 61.4169. Selain itu terlihat adanya interaksi IPK TPB dengan asal daerah. Hal ini berarti pengaruh IPK TPB terhadap nilai capaian Metode Statistika tergantung dari asal daerah mahasiswanya. Naiknya IPK TPB sebesar satu satuan mengakibatkan rata-rata nilai capaian untuk mahasiswa dari Pulau Jawa meningkat sebesar 15.7099, untuk mahasiswa dari luar Jawa meningkat sebesar 18.1829. Interaksi juga terjadi pada peubah waktu dengan jenis kelamin mahasiswa. Pengaruh waktu ujian terhadap nilai capaian Metode Statistika tergantung pada jenis kelamin. Ratarata nilai capaian Metode Statistika dari UTS ke UAS pada mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan menurun sebesar 1.8166, sedangkan penurunan rata-rata nilai capaian pada mahasiswa yang berjenis kelamin lakilaki sebesar 6.683. Rata-rata nilai capaian Metode Statistika pada mahasiswa berjenis kelamin laki-laki selalu lebih rendah dari mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan. Pada saat UTS, rata-rata nilai mahasiswa lebih rendah 1.7724 dari mahasiswinya, sedangkan pada saat UAS, rata-rata nilai capaian mahasiswa laki-laki lebih rendah 6.6388 dari rata-rata nilai mahasiswa perempuannya. Berdasarkan Tabel 6, keragaman nilai tidak hanya terjadi antar kelas, keragaman nilai juga terjadi antar mahasiswa dalam kelas dan antar waktu dalam mahasiswa dalam kelas. Keragaman nilai Metode Statistika antar kelas pada mahasiswa yang memiliki IPK TPB 2.86, berjenis kelamin perempuan yang berasal dari Pulau Jawa pada saat UTS sebesar 127.65. Nilai koragam antara intersep dan kemiringan waktu sebesar -45.6871 yang signifikan menandakan adanya hubungan negatif antara intersep dengan kemiringan waktu. Perbedaan nilai antara UTS dan UAS untuk kelas-kelas dengan intersep rendah lebih besar dari pada kelas-kelas yang memiliki intersep tinggi, demikian pula sebaliknya. Adapun keragaman perbedaan nilai UTS dan UAS antar kelas sebesar 37.8378. Begitu pula dengan IPK TPB dan jenis kelamin, kedua faktor tersebut juga dapat menimbulkan keragaman perbedaan nilai antar kelas. Keragaman kemiringan IPK TPB antar kelas sebesar 30.7299, sedangkan keragaman perbedaan nilai antara laki-laki dan perempuan antar kelas sebesar 11.0338.
9 Dari Tabel 6 juga terlihat adanya keragaman perbedaan nilai antara UTS dan UAS antar mahasiswa dalam kelas sebesar 45.5365, dan keragaman nilai antar waktu dalam mahasiswa dalam kelas sebesar 127.52. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap nilai capaian Metode Statistika adalah IPK TPB, jenis kelamin mahasiswa, interaksi IPK TPB dengan asal daerah dan interaksi antara waktu dengan jenis kelamin mahasiswa. Waktu, IPK TPB dan jenis kelamin yang berbeda-beda menimbulkan keragaman perbedaan nilai antar kelas. Namun keragaman nilai tidak hanya terjadi antar kelas saja, keragaman juga terjadi antar mahasiswa dalam kelas dan keragaman antar waktu dalam mahasiswa dalam kelas. Keragaman nilai terbesar adalah keragaman nilai Metode Statistika antar kelas pada mahasiswa yang memiliki IPK TPB 2.86, berjenis kelamin perempuan yang berasal dari Pulau Jawa dan pada waktu UTS sebesar 127.65. Saran Pada data struktur berjenjang, amatanamatan yang berada dalam kelompok yang sama cenderung mirip. Namun dalam penelitian ini, keterkaitan antara nilai UTS dan nilai UAS dalam mahasiswa yang sama tidak nampak. Hal ini kemungkinan dikarenakan banyaknya titik waktu pada data pengamatan berulang terlalu sedikit. Supaya korelasi antara nilai ujian dalam mahasiswa yang sama dapat terlihat, maka sebaiknya titik waktu pada data pengamatan berulang diperbanyak, dengan kata lain perlu penambahan frekuensi ujian. DAFTAR PUSTAKA [Anonim].http://tramss.data.archive.ac.uk/doc umentation/mlwin [23 Desember 2008, 10:02:20] Goldstein H. 1999. Multilevel Statistical Models. Institute of Education, Multilevel Model Project, London. Hox J. 2002. Multilevel Analysis : Techniques and Applications. New Jersey : Lawrence Erlbaum Associates, Inc. Tantular B. 2009. Penerapan Model Regresi Linier Multilevel pada Data Pendidikan dan Data Nilai Ujian. [Tesis]. Bogor: Program Pascasarjana. Institut Pertanian Bogor. West B.T., K.B. Welch, dan A.T. Galecki. 2007. Linear Mixed Models : A Practical Guide Using Statistical Software. New York : Chapman & Hall.