PENERAPAN REGRESI LOGISTIK ORDINAL MULTILEVEL TERHADAP NILAI AKHIR METODE STATISTIKA FMIPA IPB IIN MAENA

Transkripsi

1 PENERAPAN REGRESI LOGISTIK ORDINAL MULTILEVEL TERHADAP NILAI AKHIR METODE STATISTIKA FMIPA IPB IIN MAENA DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

2 RINGKASAN IIN MAENA. Penerapan Regresi Logistik Ordinal Multilevel terhadap Nilai Akhir Metode Statistika FMIPA IPB. Dibimbing oleh INDAHWATI dan DIAN KUSUMANINGRUM. Metode Statistika merupakan mata kuliah interdep yang diasuh oleh Departemen Statistika IPB. Pada tahun akademik 2008/2009 terdapat 7 kelas paralel Metode Statistika di FMIPA IPB. Kelas-kelas paralel tersebut membentuk suatu struktur berjenjang (hierarchical), dimana mahasiswa sebagai level kesatu tersarang dalam kelas paralel sebagai level kedua. Pemodelan multilevel diperlukan karena pada struktur berjenjang individu-individu dalam kelompok atau kelas yang sama cenderung mempunyai karakteristik yang mirip sehingga antar amatan pada level yang lebih rendah tidak saling bebas. Nilai akhir Metode Statistika merupakan hasil penilaian dengan skala ordinal, yaitu berupa kategori huruf mutu A, B, C, D dan E, maka regresi multilevel yang dapat diterapkan adalah analisis regresi logistik ordinal multilevel. Peubah penjelas yang berpengaruh nyata terhadap nilai akhir Metode Statistika adalah IPK TPB dan jenis kelamin, dengan keragaman intersep antar kelas paralel pada fungsi logit sebesar Persentase ketepatan klasifikasi yang diperoleh pada model regresi logistik ordinal multilevel adalah 56.85%. Kata kunci : Pemodelan Multilevel, Regresi Logistik Ordinal Multilevel

3 PENERAPAN REGRESI LOGISTIK ORDINAL MULTILEVEL TERHADAP NILAI AKHIR METODE STATISTIKA FMIPA IPB IIN MAENA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

4 Judul : Penerapan Regresi Logistik Ordinal Multilevel terhadap Nilai Akhir Metode Statistika FMIPA IPB Nama : Iin Maena NRP : G Menyetujui : Pembimbing I, Pembimbing II, Ir. Indahwati, M.Si NIP : Dian Kusumaningrum, S.Si, M.Si Mengetahui : Ketua Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si NIP : Tanggal Lulus :

5 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala berkah dan rahmat-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ilmiah ini berjudul Penerapan Regresi Logistik Ordinal Multilevel terhadap Nilai Akhir Metode Statistika FMIPA IPB. Karya ilmiah ini penulis susun sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Penulis menyampaikan terimakasih kepada Ibu Ir. Indahwati, M.Si dan Ibu Dian Kusumaningrum, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, masukan dan arahan selama penulisan karya ilmiah ini. Terimakasih juga kepada Ibu Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS selaku dosen moderator seminar dan Ibu Dra. Itasia Dina S, M.Si sebagai dosen penguji pada saat sidang yang telah memberikan banyak saran dan masukannya kepada penulis. Disamping itu, penulis juga mengucapkan terimakasih kepada seluruh dosen dan staf pengajar Departemen Statistika yang telah memberikan ilmu dan wawasan selama penulis menuntut ilmu di Departemen Statistika serta seluruh staf Departemen Statistika yang telah banyak membantu penulis. Ungkapan terimakasih juga disampaikan kepada kedua orang tua dan seluruh keluarga yang telah memberikan doa, kasih sayang serta dorongan yang tulus baik moril maupun materil. Semoga karya ilmiah ini dapat memberikan manfaat. Bogor, Oktober 2010 Iin Maena

6 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cirebon pada tanggal 22 Februari 1988 dari pasangan Bapak Bani ah dan Ibu Sri Andiyati. Penulis merupakan anak kedua dari empat bersaudara. Tahun 2000 penulis lulus dari SD N 3 Kalitengah Cirebon, kemudian melanjutkan studi di SLTP N I Cirebon Barat hingga tahun Selanjutnya, penulis menyelesaikan pendidikannya di SMA N 2 Cirebon dan lulus pada tahun Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru). Setelah satu tahun menjalani perkuliahan di TPB (Tingkat Persiapan Bersama), pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Statistika, FMIPA IPB dengan mayor Statistika dan minor Ekonomi dan Studi Pembangunan. Selama mengikuti perkuliahan, penulis berkesempatan menjadi Asisten Dosen Mata Kuliah Metode Statistika pada tahun ajaran 2008/2009, serta Mata Kuliah Perancangan Percobaan I pada tahun ajaran 2009/2010. Penulis juga aktif dalam organisasi kemahasiswaan Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta (GSB), yaitu sebagai staf di Department of Science serta aktif di Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) Cirebon, IKC (Ikatan Kekeluargaan Cirebon). Selain itu, penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan seperti Statistika Ria 2008, Welcome Ceremony Statistics (WCS) 2008 dan 2009, serta Pesta Sains Pada tahun 2008 penulis bergabung dengan Lembaga Bimbingan Belajar dan Olah Data Statistics Centre sebagai tenaga pengajar dan tim analisis data. Pada Februari April 2010, penulis melaksanakan kegiatan praktik lapang di Perusahaan Media Planning Group (MPG), Jakarta Selatan.

7 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... vii DAFTAR TABEL... vii DAFTAR LAMPIRAN... vii PENDAHULUAN... 1 Latar Belakang... 1 Tujuan... 1 TINJAUAN PUSTAKA... 1 Model Regresi Multilevel... 1 Regresi Logistik Ordinal Satu Level... 2 Regresi Logistik Ordinal Multilevel... 2 Pemilihan Model Terbaik... 3 Interpretasi Koefisien... 4 METODOLOGI... 4 Data... 4 Metode... 4 HASIL DAN PEMBAHASAN... 5 Analisis Deskriptif... 5 Regresi Logistik Ordinal Satu Level... 6 Regresi Logistik Ordinal Multilevel... 7 Pemilihan Struktur Efek Tetap... 7 Pemilihan Struktur Kemiringan Acak... 7 Pemilihan Model Terbaik... 7 Interpretasi Koefisien... 9 SIMPULAN... 9 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 11

8 vii DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Total persentase perolehan huruf mutu Metode Statistika... 5 DAFTAR TABEL Halaman 1 Fungsi penghubung regresi ordinal Persentase perolehan huruf mutu Metode Statistika Hasil uji perbandingan pada model regresi logistik ordinal satu level Nilai dugaan parameter regresi logistik ordinal satu level Persentase ketepatan klasifikasi model regresi logistik ordinal satu level Hasil uji perbandingan model dalam memilih struktur efek tetap Hasil uji perbandingan model dalam memilih struktur kemiringan acak Nilai dugaan parameter pada model akhir Hasil uji perbandingan model reduksi dengan model akhir Nilai dugaan parameter pada model regresi logistik ordinal multilevel terbaik Nilai dugaan intersep acak Persentase ketepatan klasifikasi model regresi logistik ordinal multilevel Rasio odds model regresi logistik ordinal multilevel... 9 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Deskripsi nilai peubah penjelas untuk setiap kelas (peubah numerik) Deskripsi peubah penjelas untuk setiap kelas (peubah kategorik) dalam persen Deskripsi hubungan antara kategori nilai akhir Metode Statistika dengan masing-masing peubah penjelas Contoh perhitungan nilai peluang untuk model logistik ordinal multilevel... 14

9 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Metode Statistika merupakan mata kuliah interdep yang diasuh oleh Departemen Statistika IPB. Pada tahun akademik 2008/2009, di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) terdapat 7 kelas paralel yang mendapat mata kuliah ini. Setiap kelas paralel umumnya terdiri dari mahasiswa satu departemen dan berada di bawah tanggung jawab Departemen Statistika. Jika melihat kondisi tersebut maka dapat dikatakan bahwa mahasiswa tersarang pada kelas paralel. Struktur seperti ini disebut struktur berjenjang (hierarchical). Struktur berjenjang mengindikasikan bahwa data yang dianalisis berasal dari beberapa level, dimana level yang lebih rendah tersarang pada level yang lebih tinggi. Pada struktur berjenjang ini, individu-individu dalam kelompok yang sama cenderung mempunyai karakteristik yang mirip sehingga antar amatan pada level yang lebih rendah tidak saling bebas. Jika dilakukan pemodelan tanpa memperhatikan struktur berjenjang, maka akan mengakibatkan terjadinya pelanggaran asumsi kebebasan. Pelanggaran ini membuat nilai dugaan galat baku koefisien regresi berbias ke bawah sehingga dalam pengujian hipotesisnya akan cenderung menolak hipotesis nol dan menyimpulkan terdapat hubungan yang signifikan antara peubah bebas dengan peubah responnya (Hox 2002). Oleh karena itu, perlu dilakukan analisis menggunakan pemodelan multilevel, dimana mahasiswa sebagai level kesatu tersarang pada kelas paralel sebagai level kedua. Penelitian mengenai pemodelan multilevel terhadap nilai akhir Metode Statistika berupa data kontinu telah dilakukan oleh Widiyani (2009) dan pada data biner oleh Husniyati (2010). Namun jika melihat nilai akhir Metode Statistika yang merupakan penilaian dengan skala ordinal, maka regresi multilevel yang dapat diterapkan adalah regresi logistik ordinal multilevel. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan dikaji penggunaan analisis regresi logistik ordinal multilevel terhadap peubah respon ordinal berupa huruf mutu dengan lima kategori yaitu A, B, C, D dan E. Tujuan Tujuan penelitian ini adalah : 1. Menerapkan penggunaan model regresi logistik ordinal multilevel. 2. Mengetahui peubah-peubah yang mempengaruhi kategori nilai akhir Metode Statistika. 3. Menduga komponen ragam dari model yang diperoleh. 4. Mengetahui tingkat ketepatan klasifikasi dari model yang diperoleh. TINJAUAN PUSTAKA Model Regresi Multilevel Pemodelan multilevel merupakan suatu teknik statistika yang digunakan untuk menganalisis data dengan struktur berjenjang. Secara umum, model multilevel mempunyai struktur data berjenjang, yaitu peubah respon yang diukur pada level kesatu dan beberapa peubah penjelas yang dapat didefinisikan pada setiap level. Bentuk sederhana dari model regresi multilevel adalah model regresi dua level. Secara matematis, model regresi dua level dengan satu peubah bebas pada level kesatu dapat ditulis sebagai berikut (Hox 2002) :. (1) (i : 1,, n j dan j : 1,, J) dimana: β 0j : intersep pada level dua ke-j β 1j : kemiringan garis pada level dua ke-j : galat yang menyebar N (0, ) j : indeks kelompok pada level dua i : indeks individu pada level satu : respon pada individu ke-i dan kelompok ke-j Pada persamaan (1), koefisien regresi 0 dan 1 memiliki indeks j untuk kelompok pada level dua, yang mengindikasikan bahwa koefisien regresi pada level dua dapat memiliki nilai yang berbeda. Jika terdapat satu peubah penjelas pada level dua, maka keragaman koefisien regresi tersebut dimodelkan melalui persamaan (2), yaitu :. (2) dimana : Z j : peubah penjelas pada level kedua u 0j, u 1j : galat pada level kedua Dengan asumsi u 0j ~N(0, ) dan u 1j ~ N(0, ) serta dan saling bebas (Hox 2002). Gabungan dari persamaan (1) dan (2) dalam notasi matriks dapat dinyatakan pada persamaan (3) yang merupakan model linier campuran (linear mixed model) :

10 2. (3) dimana : Y : vektor peubah respon X : matriks peubah penjelas untuk efek tetap Z : matriks peubah penjelas untuk efek acak β : vektor koefisien efek tetap u : vektor koefisien efek acak ε : vektor galat Asumsinya dapat dinyatakan sebagai berikut : ε ~ N (0, Σ e ) dan u ~ N (0, Σ u ), sedangkan dimana dan adalah threshold model serta merupakan vektor koefisien regresi. Metode pendugaan parameter yang dapat digunakan pada regresi logistik ordinal diantaranya adalah dengan metode Maximum Likelihood. Metode ini dapat dilakukan jika antara amatan yang satu dengan yang lain diasumsikan saling bebas. Fungsi likelihoodnya dapat dinyatakan sebagai (Hosmer & Lemeshow 2000) : dimana : Sedangkan fungsi log likelihood-nya adalah :, dan cov (ε, u) = 0. Pemodelan multilevel dapat diterapkan terhadap data kontinu yang menyebar normal dan data kategorik yang menyebar binomial atau multinomial. Model yang telah dijelaskan di atas adalah model multilevel pada data kontinu yang menyebar normal. Pada data kategorik, model multilevel yang dapat diterapkan adalah model logistik multilevel, yaitu logistik biner multilevel untuk respon biner dan logistik ordinal multilevel untuk respon ordinal. Regresi Logistik Ordinal Satu Level Regresi logistik ordinal digunakan untuk memodelkan hubungan antara peubah respon yang berskala ordinal dengan peubah-peubah penjelasnya. Jika diasumsikan terdapat peubah respon Y berskala ordinal dengan J kategori dan = (x 1, x 2,, x p ) adalah vektor peubah penjelas, maka peluang dari peubah respon kategori ke-j pada peubah penjelas X tertentu dapat dinyatakan dengan P[Y = j x] = dan peluang kumulatifnya adalah (Hosmer & Lemeshow 2000) : Model logit kumulatif didefinisikan dengan: Selanjutnya, untuk memperoleh penduga parameter dari regresi logistik ordinal adalah dengan memaksimumkan fungsi log likelihood tersebut terhadap parameternya. Pada analisis regresi ordinal terdapat lima pilihan fungsi penghubung (link function) seperti yang terdapat pada Tabel 1. Penggunaannya tergantung dari distribusi data yang dianalisis. Logit digunakan pada kebanyakan distribusi data, complementary log-log digunakan untuk data yang mempunyai kecenderungan bernilai tinggi, negative log-log digunakan untuk data yang mempunyai kecenderungan bernilai rendah, probit digunakan jika peubah laten menyebar secara normal, sedangkan cauchit digunakan jika peubah laten mempunyai nilai yang ekstrim. Analisis regresi ordinal yang telah dijelaskan sebelumnya adalah analisis regresi ordinal dengan link function logit atau sering disebut regresi logistik ordinal (Norusis 2010). Tabel 1 Fungsi penghubung regresi ordinal Fungsi Penghubung Bentuk Fungsi Logit Complementary loglog Negative log-log Probit Chauchit Regresi Logistik Ordinal Multilevel Jika data mempunyai struktur berjenjang maka hubungan antara peubah respon yang berskala ordinal dengan peubah-peubah penjelasnya dapat dimodelkan dengan regresi logistik ordinal multilevel. Model multilevel ordinal dapat dinyatakan dalam bentuk linier melalui peubah laten untuk mempermudah

11 3 mendapatkan estimasinya. Misalkan j menunjukkan unit pada level kedua dan i menunjukkan unit pada level kesatu, maka peubah respon yang berskala ordinal (Y) dengan S kategori (s : 1, 2,, S) dinyatakan melalui peubah laten berskala kontinu Ỹ yang mengikuti model : dimana merupakan vektor peubah bebas (termasuk 1 untuk intersep), β merupakan vektor parameter regresi, merupakan galat pada level dua yang diasumsikan menyebar N(0, ), dan merupakan galat pada level satu yang menyebar N(0, σ 2 ). dan diasumsikan saling bebas (Grilli & Pratesi 2002). Peubah respon berskala ordinal (Y) terhubung dengan peubah laten (Ỹ) melalui hubungan sebagai berikut : Y ij = s γ s 1 < Ỹ ij γ s dengan batasan : - = γ 0 γ 1 γ s-1 γ S = dimana thresholds. Sehingga, model peluang bersyarat untuk respon mahasiswa i pada kelas j dapat dinyatakan sebagai : (s : 1,, S-1) dimana z ij merupakan vektor peubah bebas lainnya (termasuk 1 untuk intersep) dan merupakan vektor galat pada level dua yang diasumsikan menyebar N( dengan (dekomposisi Cholesky). Model di atas dapat dituliskan dalam bentuk baku dengan mendefinisikan, sehingga (Hedeker 2007) : Nilai dugaan untuk = P( ) dapat diperoleh dengan melakukan transformasi kebalikan terhadap fungsi logit kumulatifnya, yaitu :.(4) Salah satu metode pendugaan parameter yang dapat digunakan pada model multilevel adalah dengan metode Maximum Likelihood. Fungsi likelihood bersyarat untuk respon vektor y i adalah : dengan : dimana : Selanjutnya dicari fungsi marginal maximum likelihood-nya, yaitu : dimana merupakan fungsi sebaran dari galat level satu yang telah dibakukan ( ), yang juga merupakan invers link function dari model ordinal (Grilli & Pratesi 2002). Jika peluang kumulatif untuk peubah respon dari mahasiswa ke-i pada level kelas ke-j dinyatakan dengan = P( ), maka model regresi logistik ordinal multilevel dengan satu efek acak (single random effect) dapat dinyatakan melalui fungsi logit kumulatif, yaitu : Secara umum, model kumulatif logit dengan banyak efek acak (multiple random effect) dapat dituliskan sebagai berikut : dengan merupakan fungsi kepekatan peluang dari sebaran normal baku (Hedeker 2007). Dugaan parameter diperoleh dengan memaksimumkan fungsi di atas melalui iterasi dengan bantuan PROC GLIMMIX pada software SAS. Pemilihan Model Terbaik Tahapan dalam pemilihan model terbaik menurut Hox (2002) adalah sebagai berikut: 1. Memilih struktur efek tetap, yaitu dengan tahapan sebagai berikut : a. Menganalisis model tanpa peubah penjelas. b. Menganalisis model dengan menambahkan seluruh peubah penjelas di level kesatu. c. Menganalisis model dengan menambahkan seluruh peubah penjelas di level kedua.

12 4 2. Memilih struktur kemiringan acak (slope) dengan cara menguji keragaman kemiringan pada setiap peubah penjelas di level individu. 3. Menyusun model terbaik dengan cara menambahkan interaksi antara peubah penjelas level kedua dan peubah penjelas level kesatu yang memiliki keragaman kemiringan yang signifikan. Pembandingan dua model dilakukan dengan menggunakan nilai Devians (Deviance) atau Likelihood Ratio Test (LRTs). Statistik uji yang digunakan adalah (West et al. 2007) : dimana L tersarang adalah nilai fungsi kemungkinan pada model tersarang, L penuh adalah fungsi kemungkinan pada model penuh, dan df adalah derajat bebas model (selisih jumlah parameter antara model penuh dengan model tersarang). Misal untuk membandingkan dua model M1 dan M2 dimana M1 merupakan model tanpa peubah penjelas yang tersarang pada M2 yang merupakan model penuh dengan p peubah penjelas, maka hipotesis yang digunakan adalah : H0 : model tanpa peubah penjelas (M1) H1 : model dengan p peubah penjelas (M2) Jika H0 ditolak maka M2 lebih cocok dibandingkan dengan M1. Interpretasi Koefisien Interpretasi untuk model regresi logistik ordinal dapat dilakukan dengan menggunakan nilai rasio oddsnya. Misalkan untuk peubah X yang berskala nominal (x 1 dan x 2 ), rasio odds pada kategori Y s merupakan perbandingan antara x 1 dan x 2 yang dirumuskan sebagai berikut (Agresti 1990) : dengan i : 1, 2,, p (p = banyaknya peubah penjelas) dan s = 1, 2,, S-1. Parameter β i diartikan sebagai perubahan nilai fungsi logit yang disebabkan oleh perubahan satu unit peubah penjelas ke-i yang disebut log odds, (misalnya antara x 1 dan x 2 ) yang dinotasikan sebagai : Sehingga didapatkan penduga untuk rasio odds ( ) sebagai berikut (Agresti 1990): Untuk peubah bebas kategorik, jika rasio odds bernilai > 1, maka odds saat x 1 lebih besar daripada odds saat x 2 atau dengan kata lain akan selalu lebih besar dari. Sehingga dapat dikatakan, saat x 1 peluang untuk lebih besar daripada saat x 2. Untuk peubah penjelas x berskala kontinu, odds saat x mengalami kenaikan 1 unit adalah sebesar kali odds saat x belum mengalami kenaikan. Jika nilai rasio odds tersebut bernilai > 1, maka peluang untuk saat x mengalami kenaikan adalah lebih besar dari saat x belum mengalami kenaikan. Untuk peubah kontinu berskala besar, diperlukan perubahan unit sebesar c untuk interpretasinya, dengan rasio odds sebesar. METODOLOGI Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data nilai akhir mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika yang berupa huruf mutu pada tahun 2008/2009 dari tujuh departemen di FMIPA IPB. Peubah respon berupa huruf mutu, yaitu A, B, C, D, dan E. Skor untuk masing-masing kategori adalah A = 5, B = 4, C = 3, D = 2 dan E = 1. Sedangkan peubah penjelas yang terdapat pada setiap level meliputi : Level kesatu (mahasiswa) : 1. IPK TPB mahasiswa (skala 0 4) 2. Jenis kelamin (JK) mahasiswa 0 : perempuan 1 : laki-laki 3. Asal daerah (AD) 0 : Jawa 1 : Luar Jawa Level kedua (kelas paralel): 1. Persentase nilai mutu Pengantar Matematika (PM) minimal B 2. Jumlah mahasiswa tiap kelas paralel Metode Tahapan yang dilakukan pada penelitian ini adalah: 1. Melakukan analisis statistika deskriptif terhadap data. 2. Mencari nilai dugaan parameter regresi logistik ordinal satu level untuk semua kelas paralel dengan menggunakan program SAS PROC GENMOD. 3. Mencari nilai dugaan parameter regresi logistik ordinal multilevel dengan

13 5 menggunakan program SAS PROC GLIMMIX. 4. Mengonfirmasi hasil regresi logistik ordinal satu level dengan multilevel. 5. Menentukan model ordinal multilevel terbaik yang dapat memodelkan hubungan antara nilai akhir mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan peubah-peubah penjelasnya. 6. Menduga komponen ragam nilai akhir mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika. 7. Menghitung nilai ketepatan klasifikasi dari model yang diperoleh. HASIL DAN PEMBAHASAN Analisis Deskriptif Mahasiswa yang menjadi objek penelitian adalah mahasiswa FMIPA angkatan 44 yang mengikuti kelas Metode Statistika di FMIPA IPB yaitu sebanyak 445 orang. Departemen Biologi tidak diikutsertakan karena mahasiswa Departemen Biologi baru mendapatkan mata kuliah Metode Statistika pada semester tujuh. Tabel 2 Persentase perolehan huruf mutu Metode Statistika Kelas A B C D E STK GFM KIM MTK ILKOM FIS BKM Persentase perolehan nilai akhir Metode Statistika berupa huruf mutu A, B, C, D, dan E dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 menunjukkan bahwa kelas-kelas yang cenderung mendapatkan kategori nilai yang baik adalah STK, KIM, FIS, ILKOM, dan BKM. Hal ini terlihat dari tingginya perolehan nilai A dan B. Namun untuk kelas ILKOM, persentase mahasiswa dengan huruf mutu D dan E cukup besar, yaitu mencapai 11.24%. Sedangkan untuk kelas GFM dan MTK cenderung memperoleh kategori nilai yang rendah. Hal ini terlihat dari banyaknya mahasiswa yang mendapat nilai C dan D. Persentase perolehan nilai akhir Metode Statistika secara keseluruhan dapat dilihat pada Gambar 1. Berdasarkan Gambar 1 mayoritas mahasiswa mendapatkan kategori nilai B, yaitu sebesar 37.75%, sedangkan mahasiswa yang mendapatkan kategori nilai A, C, dan D berturut-turut sebesar 29.66%, 26.74%, dan 5.39%. Mahasiswa yang mendapatkan kategori nilai E hanya dua orang atau sebesar 0.45%. Persentase E D C B A Gambar 1 Total persentase perolehan huruf mutu Metode Statistika. Deskripsi mengenai nilai peubah penjelas untuk setiap kelas paralel dapat dilihat pada Lampiran 1 dan Lampiran 2. Lampiran 1 menunjukkan bahwa rata-rata nilai IPK TPB adalah sebesar 2.99 dengan rata-rata jumlah mahasiswa per kelas sebanyak 73 mahasiswa dan rata-rata persentase nilai mutu Pengantar Matematika minimal B per kelas sebesar 65.39%. Berdasarkan Lampiran 2, hampir seluruh kelas didominasi oleh mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan, kecuali MTK dan ILKOM. Secara keseluruhan sebesar 54.61% mahasiswa berjenis kelamin perempuan dan 45.39% berjenis kelamin lakilaki. Sebagian besar mahasiswa berasal dari Jawa, yaitu sebesar 78.43%, sedangkan sisanya 21.57% berasal dari luar Jawa. Hubungan antara kategori nilai akhir Metode Statistika (huruf mutu) dengan masing-masing peubah penjelas dapat dilihat pada Lampiran 3. Dari Lampiran 3 dapat dilihat bahwa mahasiswa perempuan cenderung mendapatkan kategori nilai yang lebih baik daripada mahasiswa laki-laki. Mahasiswa yang berasal dari Jawa mendapatkan kategori nilai sedikit lebih baik dibandingkan dengan mahasiswa yang berasal dari luar Jawa, walaupun ada dua mahasiswa dari Jawa yang mendapatkan nilai E. Untuk analisis deskriptif, IPK TPB dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok IPK < 2.75, , dan IPK 3.5. Sedangkan untuk peubah persentase nilai Pengantar Matematika minimal B dan jumlah mahasiswa tiap kelas paralel dikelompokkan menjadi dua, yaitu kelompok di atas nilai rata-rata dan di bawah nilai rata-rata. Berdasarkan pengelompokan IPK dapat dilihat bahwa semakin besar nilai IPK TPB maka kategori nilai yang diperoleh semakin baik. Hal ini terlihat dari banyaknya

14 6 mahasiswa dengan IPK TPB diatas 3.5 yang mendapatkan kategori nilai A. Semakin besar persentase nilai Pengantar Matematika minimal B di suatu kelas paralel (di atas 65%) tidak memperbesar proporsi mahasiswa mendapatkan nilai yang lebih baik jika dibandingkan dengan kelas paralel yang memiliki nilai Persentase Pengantar Matematika minimal B di bawah 65%. Hal ini terlihat pada kelas KIM dengan persentase nilai Pengantar Matematika minimal B sebesar 58.67%, mahasiswa cenderung memperoleh nilai A dan B. Sedangkan pada kelas MTK yang memiliki persentase nilai Pengantar Matematika minimal B sebesar 76.71% (Lampiran 1), mahasiswanya mempunyai kecenderungan mendapatkan nilai C dan D sebanyak 67.12% (Tabel 2). Kelas paralel yang memiliki jumlah mahasiswa di atas 73 mempunyai kecenderungan mendapatkan kategori nilai yang lebih baik daripada kelas paralel yang jumlah mahasiswanya di bawah 73. Hal ini dikarenakan sebagian besar dari kelas paralel merupakan kelas besar, sehingga tidak terlalu terlihat pengaruh dari jumlah mahasiswa tiap kelas paralel terhadap nilai akhir Metode Statistika. Regresi Logistik Ordinal Satu Level Hasil analisis regresi logistik ordinal satu level memperlihatkan bahwa model dengan semua peubah penjelas lebih baik jika dibandingkan dengan model tanpa peubah penjelas dan model dengan peubah penjelas pada level mahasiswa. Hasil uji perbandingannya dapat dilihat pada Tabel 3. Tabel 3 Hasil uji perbandingan pada model regresi logistik ordinal satu level -2 log Likelihood Deviance Nilai p Model tanpa peubah penjelas Model dengan peubah penjelas pada level satu Model dengan semua peubah penjelas Dari Tabel 3 dapat dijelaskan bahwa hasil perbandingan antara model tanpa peubah penjelas dengan model yang ditambahkan peubah penjelas pada level mahasiswa menghasilkan nilai p sebesar 0.000, artinya model dengan peubah penjelas level satu lebih baik daripada model tanpa peubah penjelas. Selanjutnya, model dengan peubah penjelas level satu dibandingkan dengan model yang ditambahkan seluruh peubah penjelas. Nilai p yang dihasilkan dari perbandingan ini adalah sebesar 0.000, sehingga dapat disimpulkan bahwa model yang terbaik adalah model dengan semua peubah penjelas. Hal ini dikarenakan semua peubah penjelas yang dimasukkan kedalam model memberikan pengaruh yang signifikan. Tabel 4 Nilai dugaan parameter regresi logistik ordinal satu level Penduga Galat Baku Nilai p Intercept Intercept Intercept <.0001 Intercept <.0001 jk : ad : ipk <.0001 pm <.0001 jmlh <.0001 Hasil pendugaan parameter regresi logistik ordinal satu level dapat dilihat pada Tabel 4. Berdasarkan Tabel 4 dapat dilihat bahwa semua peubah penjelas memberikan hasil yang signifikan terhadap kategori nilai akhir Metode Statistika pada taraf 5%, kecuali asal daerah yang nyata pada taraf 10%. Hasil ini mengonfirmasi pernyataan sebelumnya bahwa pengabaian struktur berjenjang cenderung membawa kepada penolakan hipotesis nol. Tabel 5 Aktual Persentase ketepatan klasifikasi model regresi logistik ordinal satu level Prediksi E D C B A Persentase Benar E D C B A Persentase Benar Keseluruhan Dari model yang diperoleh dapat dihitung nilai peluang untuk masing-masing kategori nilai dan dapat diketahui ketepatan klasifikasinya. Ketepatan klasifikasi untuk model regresi logistik ordinal satu level dapat dilihat pada Tabel 5. Tabel 5 menunjukkan bahwa secara keseluruhan model yang terbentuk memiliki persentase ketepatan klasifikasi sebesar 51.46%.

15 7 Jika dilakukan analisis regresi ordinal dengan mencoba beberapa link function maka hasil dari regresi ordinal dengan link function logit memiliki nilai ketepatan klasifikasi yang sedikit lebih baik. Secara berturut-turut nilai ketepatan klasifikasi regresi ordinal untuk link function complementary log-log, negative loglog, probit dan cauchit adalah 51.01, 49.66, 51.24, dan Hal tersebut merupakan salah satu pertimbangan dalam memilih link function logit untuk analisis regresi ordinal ini. Regresi Logistik Ordinal Multilevel Pembentukan model terbaik dalam regresi logistik ordinal multilevel memerlukan beberapa tahapan. Tahapan pertama adalah memilih struktur efek tetap, kemudian memilih struktur kemiringan acak, dan tahapan yang terakhir adalah menyusun model terbaik dengan menambahkan interaksi antara peubah penjelas level kedua dan peubah penjelas level kesatu yang memiliki keragaman kemiringan yang signifikan. Pemilihan Struktur Efek Tetap Metode pendugaan parameter yang digunakan dalam pemilihan struktur efek tetap adalah metode Maximum Likelihood dengan pendekatan Gauss - Hermite Quadrature. Adapun tahapan dalam memilih struktur efek tetap adalah dengan membentuk model-model intersep acak sebagai berikut : 1. Model tanpa peubah penjelas (M1.1). 2. Model dengan menambahkan seluruh peubah penjelas di level kesatu (M1.2). 3. Model dengan menambahkan seluruh peubah penjelas, baik di level kesatu maupun di level kedua (M1.3). Pemilihan model terbaik dilakukan dengan membandingkan model-model yang terbentuk, yaitu menggunakan nilai Deviance. Hasil uji perbandingannya dapat dilihan pada Tabel 6. Tabel 6 Hasil uji perbandingan model dalam memilih struktur efek tetap -2 log Likelihood Deviance Nilai p M M M Tabel 6 memperlihatkan bahwa hasil perbandingan antara M1.1 dengan M1.2 menghasilkan nilai p sebesar sehingga model yang dipilih adalah M1.2. Sementara itu, hasil perbandingan antara M1.2 dengan M1.3 menghasilkan nilai p sebesar Artinya, peubah penjelas level kedua yang ditambahkan pada M1.3 tidak memberikan hasil yang signifikan. Oleh karena itu, model terbaik pada tahapan pemilihan struktur efek tetap adalah M1.2, yaitu model dengan peubah penjelas pada level kesatu yang meliputi jenis kelamin, asal daerah, dan IPK TPB. Pemilihan Struktur Kemiringan Acak Setelah diperoleh model intersep acak terbaik, tahapan selanjutnya adalah memilih model dengan menambahkan efek kemiringan acak pada M1.2. Metode pendugaan parameter yang digunakan masih sama seperti dalam pemilihan struktur efek tetap, yaitu metode Maximum Likelihood dengan pendekatan Gauss - Hermite Quadrature. Model-model yang akan dibentuk pada tahapan ini adalah : 1. Model dengan intersepnya saja yang acak (M2.1). 2. Model dengan intersep acak dan kemiringan asal daerah acak (M2.2). 3. Model dengan intersep acak dan kemiringan jenis kelamin acak (M2.3). 4. Model dengan intersep acak dan kemiringan IPK TPB acak (M2.4). Tabel 7 Hasil uji perbandingan model dalam memilih struktur kemiringan acak Deviance Nilai p M2.1 dengan M = M2.1 dengan M = M2.1 dengan M = Tabel 7 menunjukkan bahwa hasil perbandingan ketiganya tidak ada yang signifikan. Sehingga dapat disimpulkan model yang terbaik sampai tahap ini adalah M2.1, yaitu model dengan peubah penjelas pada level kesatu dan intersepnya saja yang acak. Pemilihan Model Terbaik Tahapan selanjutnya adalah menambahkan interaksi antara peubah penjelas level kedua dan peubah penjelas level kesatu yang memiliki keragaman kemiringan yang signifikan. Dari langkah kedua, didapatkan hasil bahwa tidak ada satupun kemiringan acak yang signifikan. Oleh karena itu, tidak ada interaksi yang dimasukkan ke dalam model. Dari tahapan pemilihan model yang telah dilakukan, diperoleh model akhir terbaik yaitu model dengan peubah penjelas pada level

16 8 kesatu dan intersepnya saja yang acak. Hasil pendugaan parameternya dapat dilihat pada Tabel 8. Dari Tabel 8 dapat dilihat bahwa peubah penjelas jenis kelamin dan IPK TPB memberikan hasil yang signifikan pada taraf 5%. Karena masih terdapat peubah penjelas yang tidak signifikan, yaitu asal daerah maka dilakukan pereduksian terhadap model akhir dengan cara mengeliminasi peubah asal daerah dari model. Tabel 8 Nilai dugaan parameter pada model akhir Penduga Galat Baku Nilai p Intercept Intercept Intercept Intercept <.0001 ad : jk : ipk < Tabel 9 Hasil uji perbandingan model reduksi dengan model akhir -2 log Likelihood Deviance Nilai p M.Reduksi M.Akhir Hasil uji perbandingan antara model hasil reduksi dengan model akhir dapat dilihat pada Tabel 9. Uji perbandingan tersebut menghasilkan nilai p sebesar Sehingga model terbaik yang dipilih adalah model hasil reduksi. Tabel 10 Nilai dugaan parameter pada model regresi logistik ordinal multilevel terbaik Penduga Galat Baku Nilai p Intercept Intercept Intercept Intercept <.0001 jk : ipk < Hasil pendugaan parameter dari model logistik ordinal multilevel terbaik dapat dilihat pada Tabel 10. Berdasarkan Tabel 10, peubah jenis kelamin dan IPK TPB memberikan pengaruh yang signifikan terhadap kategori nilai akhir Metode Statistika. Sehingga model terbaik yang dapat dibentuk adalah : dengan s = 1, 2, 3, 4 dan j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Nilai negatif pada koefisien regresi peubah jenis kelamin menunjukkan bahwa mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan cenderung memperoleh kategori nilai yang lebih tinggi. Sedangkan nilai negatif pada koefisien regresi peubah IPK TPB berarti semakin tinggi IPK TPB maka mahasiswa cenderung mendapatkan kategori nilai yang lebih baik. Model di atas menunjukkan adanya perbedaan antar kelas paralel dengan keragaman intersep pada fungsi logit sebesar Adapun nilai dugaan untuk intersep acak dari masingmasing kelas dapat dilihat pada Tabel 11 di bawah ini. Tabel 11 Nilai dugaan intersep acak Kelas Penduga Intersep STK Intersep GFM Intersep KIM Intersep MTK Intersep ILKOM Intersep FIS Intersep BKM Dari Tabel 11 dapat dilihat bahwa nilai dugaan intersep acak untuk kelas STK, KIM, FIS, dan BKM memiliki nilai koefisien negatif. Artinya, mahasiswa di kelas ini mempunyai peluang yang lebih tinggi untuk mendapatkan nilai dengan kategori baik. Hal sebaliknya terjadi untuk kelas-kelas dengan koefisien intersep positif. Hasil ini sesuai dengan hasil yang didapatkan dari analisis deskriptif pada Tabel 2. Hasil analisis regresi logistik ordinal multilevel memperlihatkan bahwa peubah penjelas yang berpengaruh secara sifnifikan terhadap kategori nilai akhir Metode Statistika adalah peubah jenis kelamin dan IPK TPB. Hasil ini berbeda dengan hasil analisis regresi logistik ordinal satu level, dimana hampir semua peubah penjelas yang dimasukkan kedalam model memberikan pengaruh yang signifikan. Dari model yang diperoleh dapat dihitung nilai peluang untuk masing-masing kategori nilai dan dapat diketahui ketepatan klasifikasinya. Contoh perhitungan nilai peluang untuk model logistik ordinal multilevel dapat dilihat pada Lampiran 4.

17 9 Sedangkan hasil klasifikasi dapat dilihat pada Tabel 12. Pada Lampiran 4, diuraikan bagaimana caranya untuk mendapat nilai dugaan peluang kumulatif seorang mahasiwa masuk kategori tertentu, yaitu dengan menggunakan persamaan 4. Misalkan, seorang mahasiswa dari Departemen Statistika berjenis kelamin perempuan dengan nilai IPK TPB sebesar 3.67 maka diperoleh nilai peluang kumulatif atau peluang mahasiswa tersebut mendapatkan kategori nilai kurang dari atau sama dengan E sebesar Peluangnya untuk mendapatkan kategori nilai kurang dari atau sama dengan D adalah sebesar Peluangnya untuk mendapatkan kategori nilai kurang dari atau sama dengan C adalah sebesar Sedangkan peluangnya untuk mendapatkan kategori nilai kurang dari atau sama dengan B adalah sebesar Dari hasil tersebut, dapat dihitung peluang untuk masing-masing kategori nilai, yaitu = , = , = , = , dan = Sehingga dapat disimpulkan bahwa seorang mahasiswa yang berasal dari kelas STK dengan jenis kelamin perempuan dan nilai IPK TPB sebesar 3.67 akan mendapatkan kategori nilai A karena peluang untuk masuk kategori ini paling besar. Tabel 12 Persentase ketepatan klasifikasi model regresi logistik ordinal multilevel Aktual Prediksi E D C B A Persentase Benar E D C B A Persentase Benar Keseluruhan Tabel 12 menunjukkan bahwa secara keseluruhan model yang terbentuk memiliki persentase ketepatan klasifikasi sebesar 56.85%. Nilai ini lebih besar daripada ketepatan klasifikasi pada model regresi logistik ordinal satu level. Sehingga dapat disimpulkan bahwa model logistik ordinal multilevel memberikan hasil yang lebih baik daripada model regresi logistik ordinal satu level. Hasil pengklasifikasian di atas menunjukkan bahwa kesalahan klasifikasi yang terjadi cenderung mengarah pada kategori yang lebih tinggi. Hal ini dikarenakan peubah penjelas yang paling berpengaruh adalah IPK TPB, dimana semakin tinggi IPK TPB maka mahasiswa akan cenderung mendapatkan kategori nilai yang lebih baik. Sedangkan rata-rata nilai IPK TPB ini cukup tinggi, yaitu sebesar 2.99, sehingga ada kecenderungan pengklasifikasian ke kategori yang lebih tinggi. Sebagai contoh, dua orang mahasiswa yang mendapatkan kategori E mempunyai IPK TPB sebesar 2.22 dan Hasil pengklasifikasian dari kedua mahasiswa tersebut adalah C dan B. Besarnya salah klasifikasi ini diduga karena masih terdapat peubah-peubah penjelas lainnya yang juga berpengaruh terhadap nilai akhir Metode Statistika yang tidak dimasukkan ke dalam model. Interpretasi Koefisien Interpretasi koefisien untuk model regresi logistik ordinal dapat dilakuan dengan menggunakan nilai rasio oddsnya. Nilai rasio odds beserta selang kepercayaannya dapat dilihat pada Tabel 13. Tabel 13 Rasio odds model regresi logistik ordinal multilevel Peubah Penduga Rasio Odds SK 95% bagi Rasio Odds Lower Upper jk ipk Berdasarkan selang kepercayaan 95% dari nilai rasio odds, dapat dijelaskan bahwa mahasiswa yang berjenis kelamin laki-laki mempunyai peluang untuk mendapatkan kategori nilai yang lebih baik kali dibandingkan dengan mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan. Setiap penurunan IPK TPB sebesar 0.01 satuan maka peluang mahasiswa untuk mendapatkan kategori nilai yang lebih baik menjadi kali dibandingkan sebelum mengalami penurunan. SIMPULAN Berdasarkan regresi logistik ordinal multilevel, peubah penjelas yang berpengaruh nyata terhadap nilai akhir Metode Statistika adalah IPK TPB dan jenis kelamin, dengan keragaman intersep antar kelas paralel pada fungsi logit sebesar Model regresi

18 10 logistik ordinal multilevel memberikan ketepatan klasifikasi yang lebih tinggi dibandingkan model regresi logistik ordinal satu level. Untuk meningkatkan ketepatan klasifikasi, perlu dicari peubah-peubah lain yang dapat menjelaskan keragaman perolehan nilai Metode Statistika. DAFTAR PUSTAKA Agresti A Categorical Data Analysis. New Jersey : John Wiley and Sons. Grilli L, Pratesi M Weighted Estimation in Multilevel Ordinal Models to Allow for Informativeness of the Sampling Design. ricerca/pubblicazioni.pdf [14 Mei 2010]. Hedeker D Multilevel models for ordinal and nominal variables. Di dalam: Leeuw J de, Meijer E, editor. Handbook of Multilevel Analysis. New York : Springer. hlm Hosmer DW, Lemeshow S Applied Logistic Regression. Ed ke-2. New York : John Wiley and Sons. Hox J Multilevel Analysis Techniques and Applications. New Jersey : Lawrence Erlbaum Associates, Inc. Husniyati I Penerapan regresi logistik biner multilevel terhadap nilai akhir metode statistika tahun 2008/2009 [skripsi]. Bogor : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Norusis MJ SPSS Statistics Guides: Ordinal Regression. com/pdf/aspc_v13.pdf [20 Agustus 2010]. West BT, Welch KB, Galecki AT Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software. New York : Chapman & Hall. Widiyani W Pengkajian model regresi dua level terhadap capaian nilai akhir metode statistika tahun 2008/2009 [skripsi]. Bogor : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

19 LAMPIRAN

20 12 Lampiran 1 Deskripsi nilai peubah penjelas untuk setiap kelas (peubah numerik) Kelas Rata-rata IPK TPB Persentase PM Jumlah Mahasiswa STK GFM KIM MTK ILKOM FIS BKM Rata-rata Lampiran 2 Deskripsi peubah penjelas untuk setiap kelas (peubah kategorik) dalam persen Kelas Jenis Kelamin Asal Daerah Perempuan Laki-laki Jawa Luar Jawa STK GFM KIM MTK ILKOM FIS BKM All

21 13 Lampiran 3 Deskripsi hubungan antara kategori nilai akhir Metode Statistika dengan masingmasing peubah penjelas Persentase Perempuan Jenis Kelamin 6.9 Laki-laki E D C B A Persentase Jawa Asal Daerah Luar Jawa E D C B A IPK TPB E Persentase <2,75 2,75-3,5 3,5 D C B A Persentase Persentase PM Minimal B < E D C B A Persentase Jumlah Mahasiswa < E D C B A

22 14 Lampiran 4 Contoh perhitungan nilai peluang untuk model logistik ordinal multilevel Model terbaik yang dapat dibentuk : Persamaan untuk memperoleh nilai-nilai peluang kumulatif (persamaan 4) : Misalkan diketahui mahasiswa berasal dari kelas STK dengan jenis kelamin perempuan dan nilai IPK TPB sebesar 3.67 maka akan mendapatkan nilai-nilai dugaan logit kumulatif sebesar : Sehingga diperoleh nilai-nilai peluang kumulatifnya dengan menggunakan persamaan 4, hasilnya adalah sebagai berikut : Sedangkan peluang untuk masing-masing kategori nilai adalah sebagai berikut : Sehingga dapat disimpulkan bahwa seorang mahasiswa yang berasal dari kelas STK dengan jenis kelamin perempuan dan nilai IPK TPB sebesar 3.67 akan mendapatkan kategori nilai A karena memiliki peluang yang paling besar.