BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang menghubungkan dua verteks yang disebut edge. Secara matematis, sebuah graph G didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( V, E), dimana dan V E = himpunan tidak kosong dari verteks verteks (simpul atau titik) = v, v,..., v } { 1 2 n = himpunan tak terurut dari edge (sisi) yang menghubungkan sepasang verteks = e, e,..., e } { 1 2 n Atau dapat dinotasikan dengan G = ( V, E) [1][2][3]. Definisi di atas menyatakan bahwa V (G) Ø dimana V tidak boleh kosong, sedangkan E mungkin kosong sehingga sebuah graph dimungkinkan tidak mempunyai edge satu buah pun tetapi harus memiliki verteks minimal satu.
7 Sebuah Graph Berarah, atau Digraph / Directed Graph G terdiri dari: (i) Sebuah himpunan V = V (G) yang elemen elemennya disebut node (verteks). (ii) Sebuah himpunan E = E(G) dari pasangan pasangan verteks terurut yang disebut busur atau edge berarah (arc) [2][5]. G ( V, E) dituliskan bilamana ingin menegaskan dua bagian dari G. Beberapa pengertian dalam Digraph adalah sebagai berikut: (a) (b) (c) (d) Derajat ke luar (out degree) suatu verteks adalah banyaknya edge yang mulai atau ke luar dari verteks tersebut. Derajat ke dalam (in degree) suatu verteks adalah banyaknya edge yang berakhir atau masuk ke verteks tersebut. Verteks berderajat ke dalam = 0 disebut sumber (source), sedangkan verteks berderajat ke luar = 0 disebut muara (sink) Pengertian jalan (walk), jejak (trail), lintasan (trail), dan cycle (sirkuit) berlaku pula pada Digraph, dimana harus sesuai dengan arah edge. 2.1.2 Defenisi dan Notasi Sebuah graph G dapat digambarkan dengan menggunakan noktah atau titik sebagai verteks dan edge digambarkan dengan suatu garis (lurus atau melengkung) yang menghubungkan dua verteks yang berelasi. Letak verteks dan jarak antara dua verteks serta bentuk garis penghubung kedua verteks tersebut dapat digambarkan secara bebas. Sebuah multigraph G = G( V, E) terdiri dari suatu himpunan V (verteks) dan suatu himpunan E (edge), selain itu E mengandung multiedge, yaitu beberapa edge yang menghubungkan verteks verteks ujung yang sama, dan E mungkin mengandung satu atau lebih loop, yaitu edge yang verteks verteks ujungnya adalah verteks yang sama. Graph graph (multigraph) G = G( V, E) digambarkan dengan setiap verteks v dalam V yang diwakili oleh sebuah noktah dalam setiap edge (sisi) e= { u, v} yang diwakili oleh suatu kurva atau garis yang menghubungkan verteks - verteks ujung u dan v. Suatu graph G yang tidak mengandung loop dan parallel
8 edge disebut Graph Sederhana. Gambar 2.1 adalah sebuah contoh graph sederhana tak berarah dengan himpunan verteks V G) = { v, v, v, v, }, himpunan edge ( 1 2 3 4 v5 E ( G) = { e1, e2, e3, e4}. Gambar 2.2 merupakan sebuah multigraph dimana edge e 3 adalah loop dan edge e 1,e2 adalah edge rangkap. G : e 1 e 3 e 4 e 2 Gambar 2.1 Graph Sederhana Tak Berarah G : e 1 e 2 e 4 Gambar 2.2 Multigraph e 3 Pada suatu graph G = G( V, E), V (G) merupakan himpunan verteks dari G dan E (G) merupakan himpunan edge dari G dan sering disingkat dengan V dan E. Jumlah verteks dari G disebut order dari G. Order n dari G dapat dituliskan dengan n= V. Graph yang ordernya berhingga disebut graph hingga. Sebagai contoh, Gambar 2.3 adalah graph yang mempunyai order sebanyak 6.
9 G : v 6 Gambar 2.3 Order pada Graph Graph Berarah (Digraph) dikatakan berhingga bila himpunan V dari verteks verteksnya dan himpunan E dari arc nya (edge berarahnya) berhingga. Arc yang menghubungkan verteks u ke verteks v dan verteks v ke verteks u dinamakan arc simetrik, yang dinotasikan dengan e= uv. Setiap verteks v dalam V diwakili oleh sebuah noktah (bulatan kecil) dan setiap arc e= [ u, v] diwakili oleh sebuah panah, yaitu sebuah edge berarah dari verteks awalnya u ke verteks akhirnya v. Sebagai contoh, Gambar 2.4 mewakili Digraph G ( V, E) dimana V = v, v, v, } dan E terdiri dari delapan arc (edge berarah) e = v, ], { 1 2 3 v4 1 [ 1 v4 e = v, ], e = v, ], e = v, ], e = v, ], e = v, ], e = v, ], 2 [ 2 v1 e = v, ]. 8 [ 3 v4 3 [ 2 v1 4 [ 4 v2 5 [ 2 v3 6 [ 4 v3 7 [ 2 v2 D : e 1 e 2 e 3 e 4 e 6 e 8 e 7 e 5 Gambar 2.4 Digraph
10 Sebuah edge e dalam sebuah graph (berarah atau tak berarah) yang menghubungkan verteks dan dikatakan insiden pada dan, serta dan dikatakan insiden pada e. Jika G merupakan suatu graph (tak terarah atau terarah) dengan verteks V dan edge E, ditulis G = ( V, E). Jika dua verteks dan dihubungkan oleh suatu edge e, maka verteks dan dikatakan adjacent (bertetangga) dan edge e insiden dengan kedua verteks yang dihubungkan. G : e 1 e 4 e 5 e 2 e 3 Gambar 2.5 Graph untuk Mengilustrasikan Adjacent dan Insiden Pada Gambar 2.5, verteks yang adjacent adalah dan, dan, dan, dan, dan. Sedangkan edge e 1 insiden dengan dan, e 2 insiden dengan dan, e 3 insiden dengan dan, e 4 insiden dengan dan, dan e 5 insiden dengan dan. Derajat (degree) dari verteks v adalah jumlah edge yang insiden dengan verteks v, dinotasikan dengan deg(v ). Misalkan pada Gambar 2.5, deg( ) = deg( ) = 3 dan deg( ) = deg( ) = 2. Banyaknya edge yang insiden pada verteks v i dalam graph G dimana loop dihitung dua kali disebut degree dari verteks v i. Suatu verteks v i berderajat satu disebut end vertex, sedangkan suatu verteks berderajat nol, dinamakan isolated vertex (verteks terasing). Pada Gambar 2.6 (a), dan adalah end verteks sedangkan adalah isolated vertex. Jika setiap verteks dalam suatu graph G mempunyai derajat yang sama, maka graph tersebut dinamakan graph regular.
11 G : G : (a) (b) Gambar 2.6 (a) End Vertex dan Isolated Vertex (b) Null Graph Suatu graph G tanpa edge disebut null graph. Dengan kata lain, null graph adalah suatu graph dengan semua verteksnya berderajat nol. Akibatnya, setiap verteks pada null graph adalah isolated vertex. Gambar 2.6 (b) merupakan sebuah null graph dengan empat verteks. Suatu graph sederhana dimana setiap dua verteks yang berlainan dihubungkan dengan sebuah edge dinamakan Graph Lengkap (complete graph). Graph Lengkap dengan m verteks dinotasikan dengan Graph Lengkap dengan empat verteks. K m. Gambar 2.7 berikut merupakan sebuah Gambar 2.7 Graph Lengkap K 4 Jumlah edge pada Graph Lengkap K m dengan m verteks adalah 1 ( K ) = m( m 1) 2 E m Sehingga pada Gambar 2.7, jumlah edge Graph Lengkap K 4 adalah 1 1 E( K m ) = m( m 1) = (4)(4 1) = 6 edge. 2 2
12 Sebuah jalan (walk) W pada graph G dengan panjang n dari verteks a ke b adalah barisan verteks a = v, 0, e1, v1, e2, v2, e3, v3,..., vn 1, en vn = b, dimana n 0 yang terdiri dari verteks dan edge di G yang diawali dan diakhiri dengan verteks sedemikian hingga v, ) adalah edge di G untuk setiap i = 0,1,2,..., n 1. ( 1 v i + 1 sebagai Jalan ini menghubungkan verteks v 0 dan v v... v 0 1 n. Jalan dikatakan tertutup jika n v n dan dapat juga dinotasikan v 0 = v dan terbuka jika v0 v n. Suatu jalan yang barisan verteksnya tidak ada pengulangan dinamakan lintasan (path), tetapi jika yang berbeda adalah edge-nya, maka jalan tersebut disebut jejak (trail). Lintasan adalah jejak akan tetapi tidak semua jejak adalah lintasan. Cycle (sirkuit) didefinisikan sebagai jalan tertutup dengan barisan verteks yang berbeda. Dengan kata lain, cycle adalah suatu lintasan tertutup. Gambar 2.8 menjelaskan bahwa jalan v4 v5 v2 v1 v5 v3 adalah jejak tetapi bukan lintasan, sedangkan v1 v4 v5 v2 v3 adalah lintasan dan v 1 v5 v3 v2 v1 adalah cycle. G : 1 e e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 Gambar 2.8 Walk pada Graph 2.2 Graph Terhubung dan Komplemen Graph Graph H dikatakan subgraph dari graph G jika setiap verteks di H termuat di dalam G dan setiap edge dari H mempunyai verteks ujung yang sama dengan edge dari G.
13 Pada Gambar 2.9, G 1 adalah subgraph dari G dan G 2 bukan merupakan subgraph dari G karena terdapat edge v3 di G 2 yang bukan merupakan elemen dari E (G). G : 1 : G 1 v : G 2 Gambar 2.9 Graph dan Subgraph Suatu graph G dikatakan graph terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasangan verteks di dalam G terdapat paling sedikit satu lintasan. Sebaliknya jika dalam graph G terdapat pasangan verteks yang tidak mempunyai lintasan, maka graph yang demikian disebut graph tak terhubung. Dalam suatu graph tak terhubung memungkinkan terdapat dua atau lebih graph terhubung. Setiap graph terhubung dari graph tak terhubung disebut komponen. Dapat juga dikatakan bahwa komponen dari graph G adalah subgraph terhubung maksimal dari G. Jadi, setiap graph terhubung hanya mempunyai satu komponen sedangkan untuk graph tak terhubung memiliki setidaknya dua komponen. Untuk lebih jelas, dapat dilihat pada Gambar 2.10.
14 (a) Graph Terhubung 1 komponen (b) Graph Tak Terhubung 2 komponen Gambar 2.10 (a) Graph Terhubung (b) Graph Tak Terhubung Misalkan ada dua graph G 1 dan G 2, dimana himpunan verteks V ( G1 ) dan himpunan verteks V G ) saling asing begitu juga himpunan edge E G ) dan ( 2 himpunan edge E ( G2 ). Gabungan dari G 1 dan G 2 dinotasikan G1 G2 adalah graph dengan himpunan verteks V G 1 G ) = V G ) V ( ) dan himpunan edge ( 2 ( 1 G2 E( G 1 G2 ) = E G ) E( ). Sebagai contoh, perhatikan gabungan graph pada ( 1 G2 Gambar 2.11 dimana V G ) = { v, v, v, v, } dan V G ) = { v, v, v, } sehingga ( 1 1 2 3 4 v5 ( 2 1 2 3 v4 V ( G 1 G2 ) = v, v, v, v, v } { v, v, v, } = v, v, v, v, }. { 1 2 3 4 5 1 2 3 v4 { 1 2 3 4 v5 ( 1 G 1 G 2 G1 G2 Gambar 2.11 Gabungan Graph Komplemen pada suatu graph sederhana G dinotasikan G, adalah graph dengan himpunan verteks yang sama dengan himpunan verteks di G. Dengan kata lain V ( G) = V ( G) dan verteks u dan v di G adalah adjacent jika dan hanya jika
15 verteks u dan v di G tidak adjacent. Banyaknya edge dari graph komplemen suatu graph G adalah E( G) = E( K m ) E( G) 1 dimana K m adalah graph lengkap dengan m verteks dan E( K m ) = m( m 1). 2 Contoh graph dan komplemennya dapat dilihat pada Gambar 2.12. G Gambar 2.12 Graph dan Komplemennya G Definisi komplemen suatu graph G memberikan beberapa akibat, yaitu: 1. Jika G suatu graph lengkap, maka G adalah null graph 2. Untuk setiap graph G, berlaku G G adalah graph lengkap 2.3 Pohon (Tree) Acyclic Graph adalah suatu graph G tanpa cycle (sirkuit). Pohon adalah suatu acyclic graph yang terhubung. Dengan demikian, suatu pohon tidak memuat edge yang parallel dan loop karena itu pohon juga merupakan graph sederhana. Apabila suatu graph terdiri dari beberapa komponen berupa pohon, maka graph yang demikian disebut forest (hutan). Sebagai contoh, lihat Gambar 2.13.
16 (a) (b) Gambar 2.13 Pohon dan Forest Keterangan: (a) Pohon dengan 9 verteks (b) Forest dengan 4 komponen Teorema 2.3.1 pohon T. Terdapat satu dan hanya satu lintasan antara pasangan verteks dalam sebuah Bukti : Akan dibuktikan bahwa lintasannya tunggal. Karena T pohon, maka T adalah graph terhubung, sehingga paling sedikit terdapat satu lintasan untuk setiap pasangan verteks di dalam T. Andaikan di antara dua verteks a dan b pada T terdapat dua atau lebih lintasan yang berbeda, maka gabungan dua lintasan yang berbeda akan membentuk cycle. Pernyataan ini kontradiksi dengan teorema 2.3.1. Karena itu haruslah lintasan yang menghubungkan setiap pasangan verteks pada T adalah tunggal. m Teorema 2.3.2 Jika di dalam suatu graph G terdapat lintasan yang tunggal di antara setiap dua verteks berbeda, maka G adalah pohon.
17 Bukti : Eksistensi dari sebuah lintasan di antara pasangan verteks menjamin G adalah graph terhubung. Selanjutnya suatu graph akan memuat cycle jika di dalam graph tersebut paling sedikit terdapat sepasang verteks ( a, b), sedemikian hingga ada dua atau lebih lintasan yang berbeda antara a dan b. Karena G hanya mempunyai lintasan yang tunggal antara setiap pasangan verteks, maka G tidak mempunyai cycle. Jadi G adalah graph terhubung tanpa cycle atau dapat dikatakan juga bahwa G adalah pohon. m Teorema 2.3.3 Suatu pohon dengan n verteks mempunyai n 1 edge. Bukti : Secara induksi, untuk n = 1,2, 3 dan 4, teorema ini benar (lihat Gambar 2.13 (b)). Selanjutnya diasumsikan bahwa teorema ini berlaku untuk pohon dengan jumlah verteks lebih kecil dari n. Andaikan T adalah pohon dengan n verteks. Ambil edge e k pada T dengan verteksverteks ujung v i dan v j kecuali v j. Teorema 2.3.1 menjamin tidak ada lintasan antara v i dan e k. Karena itu penghapusan e k mengakibatkan T menjadi graph tak terhubung, seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2.14 berikut. Selanjutnya T ek menagkibatkan T menjadi dua komponen yang mana setiap komponennya adalah pohon, katakanlah T 1 dan T 2. T 1 dan T 2 masing masing mempunyai verteks lebih kecil dari n. Dengan menggunakan asumsi di atas, maka T ek terdiri dari n verteks dan n 2 edge. Jadi T mempunyai tepat n 1 edge. m
18 v j T 2 e k T 1 v i Gambar 2.14 Pohon T dengan n Verteks Teorema 2.3.4 T. Suatu graph terhubung dengan n verteks dan n 1 edge adalah sebuah Pohon Bukti : Andaikan T suatu graph terhubung dengan n verteks dan n 1 edge, akan ditunjukkan bahwa T tidak memuat cycle. Andaikan T memuat cycle secara intuitive dapat dilihat bahwa untuk menghubungkan n verteks yang berbeda, minimum diperlukan n 1 edge, jadi bila T memuat cycle satu buah saja, hal ini mengakibatkan T mempunyai isolated verteks atau T terdiri dari dua komponen; keduanya kontradiksi dengan T terhubung, maka harus ada T yang tidak memuat cycle. m Sebagai contoh, ambil graph dengan empat verteks pada Gambar 2.15 yang menjelaskan keadaan di atas. (a) Tidak sesuai asumsi (edge = verteks)
19 (b) Terdapat isolated vertex (c) Forest (d) Pohon Gambar 2.15 Graph Dengan Empat Verteks 2.4 Graph Bipartit Lengkap Sebuah graph G = ( V, E) terdiri dari dua bagian (dua pihak), jika himpunan verteks V dapat dibagi menjadi dua subhimpunan V 1 dan V 2 sehingga setiap edge dalam E insiden (menempel) pada satu verteks di V 1 dan satu verteks dalam V 2 [3][10]. Graph ini disebut juga sebagai Graph Bipartit. V 1 V 2 Gambar 2.16 Graph Bipartit
20 Graph dalam Gambar 2.16 adalah bipartit karena jika misalkan V 1 = { v1, v2, v3} dan V 2 = { v4, v5}, setiap edge terhubung pada satu verteks dalam V 1 dan satu verteks dalam V 2. Definisi di atas tidak menyatakan bahwa andaikan adalah sebuah verteks di V 1 dan sebuah verteks di V 2 maka terdapat sebuah edge di antara dan. Sebagai contoh pada Gambar 2.16, masing masing edge terhubung pada satu verteks di V = v, v, } dan satu verteks di V = v, } akan 1 { 1 2 v3 2 { 4 v5 tetapi tidak semua edge di antara verteks V 1 dan V 2 berada dalam graph, contohnya edge v, ) tidak ada. ( 1 v5 Graph Bipartit Lengkap pada m dan n verteks dinotasikan dengan K m, n, adalah graph sederhana yang himpunan verteksnya dibagi menjadi himpunan V 1 dengan m verteks dan V 2 dengan n verteks di mana terdapat sebuah edge di antara setiap pasangan verteks dan dengan berada di dalam V 1 dan berada di dalam V 2. Gambar 2.17 merupakan ilustrasi dari sebuah Graph Bipartit Lengkap K 2, 4 dengan m = 2 dan n = 4. V 1 V 2 Gambar 2.17 Graph Bipartit Lengkap K 2, 4
21 2.5 Graph Bintang Graph Bintang adalah Graph Bipartit Lengkap 1 atau K n, 1. Graph Bintang K, n dinotasikan dengan S dengan m = n+ 1, dimana 1 verteks berderajat n disebut m verteks sentral dan n verteks berderajat 1 disebut verteks daun. Contoh Graph Bintang S 5 dapat dilihat pada Gambar 2.18 dimana n = 4 sehingga m = n+ 1 = 4+ 1= 5. v 0 Gambar 2.18 Graph Bintang S 5 2.6 Graph Bintang Rangkap Dua Sebuah pohon T dikatakan bintang rangkap dua bila terdiri dari dua Graph Bintang S n dan S m, di mana kedua verteks sentralnya saling adjacent, dinotasikan S n, m (selanjutnya akan ditulis Graph Bintang Rangkap Dua). Contoh Graph Bintang Rangkap Dua S3, 3 dapat dilihat pada Gambar 2.19 berikut.
22 S dengan n = 3 S, dengan m = 3 n, Gambar 2.19 Graph Bintang Rangkap Dua m 2.7 Lintasan Terpendek (Shortest Path) Persoalan mencari lintasan terpendek di dalam graph merupakan salah satu persoalan optimasi. Graph yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graph berbobot (weighted graph), yaitu graph yang setiap edge-nya diberikan suatu nilai atau bobot. Bobot pada edge suatu graph dapat menyatakan jarak antar kota, waktu pengiriman pesan, ongkos pengangkatan, dan sebagainya. Asumsi yang digunakan di sini adalah semua bobot bernilai positif. Kata terpendek berbeda beda maknanya tergantung pada jenis persoalan yang akan diselesaikan. Namun, secara umum terpendek berarti meminimasi bobot pada suatu lintasan di dalam graph. Ada beberapa macam persoalan lintasan terpendek, antara lain: (a) Lintasan terpendek antara dua verteks tertentu. (b) Lintasan terpendek antara semua pasangan verteks. (c) Lintasan terpendek dari verteks tertentu ke semua verteks yang lain. (d) Lintasan terpendek antara dua verteks yang melalui beberapa verteks tertentu. Pada dasarnya, jenis persoalan (a) mirip dengan persoalan (c), karena pencarian lintasan terpendek pada jenis persoalan (c) dapat dihentikan bila verteks tujuan yang dikehendaki sudah ditemukan lintasan terpendeknya.
23 2.8 Eksentrisitas Eksentrisitas ec (v) pada verteks v dalam graph G adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari verteks v ke setiap verteks di G, dapat dituliskan ec ( v) = max { d ( u, v) } u V (G) Radius r (G) dari G adalah eksentrisitas minimum pada setiap verteks di G, dan dapat dituliskan r( G) = min{ ec( v) v V} sedangkan diameter dari G dinotasikan dengan dia(g) adalah eksentrisitas minimum pada setiap verteks di G, dapat dituliskan dia( G) = max{ ec( v) v V}. Verteks v disebut verteks sentral jika ec (v) = r (G). Sentral dari G dinotasikan dengan cen( G ) adalah subgraph pada G yang terbentuk dari verteks sentral. Verteks v dikatakan verteks eksentrik dari u jika jarak dari v ke u sama dengan verteks eksentrik dari u, dapat dituliskan d ( v, u) = ec( u). v 6 v 7 v 8 Gambar 2.20 Pohon Dengan Tujuh Verteks Pada Gambar 2.20 dianggap setiap edge berbobot satu satuan, maka dapat ditentukan bahwa: ec ( ) = 5 dengan verteks eksentrik v 7 ec ( ) = 4 dengan verteks eksentrik v 7 ec ( ) = 3 dengan verteks eksentrik v 7 ec ( ) = 3 dengan verteks eksentrik dan v 8 ec ( ) = 4 dengan verteks eksentrik dan v 8
24 ec ( v 6 ) = 4 dengan verteks eksentrik dan v 8 ec ( v 7 ) = 5 dengan verteks eksentrik dan v 8 ec ( v 8 ) = 5 dengan verteks eksentrik v 7 Setelah verteks eksentrik dari setiap verteks v di graph G diperoleh, maka antara verteks v dengan verteks eksentriknya dihubungkan oleh sebuah arc. Graph yang dihasilkan disebut Eksentrik Digraph. Eksentrik Digraph ED(G) didefinisikan sebagai graph yang mempunyai himpunan verteks yang sama dengan himpunan verteks di G atau V ( ED( G)) = V ( G), dimana terdapat edge berarah (arc) yang menghubungkan verteks u ke v jika v adalah verteks eksentrik dari u. Untuk lebih jelasnya berikut diberikan sebuah contoh graph sembarang G (6,7) dan Eksentrik Digraph-nya pada Gambar 2.21 dan Gambar 2.23. G : v 6 Gambar 2.21 Graph Sembarang G (6,7) Pada Gambar 2.21 dianggap bahwa setiap edge berbobot satu satuan, sehingga dapat ditentukan verteks eksentrik dari setiap verteks v pada graph sembarang G (6,7) yang dinyatakan dalam Tabel 2.1. Eksentrik Digraph dari graph sembarang G (6,7) diperoleh dengan menghubungkan sebuah arc pada setiap verteks v dengan verteks eksentriknya, dinyatakan pada Gambar 2.22.
25 Tabel 2.1 Eksentrisitas dan Verteks Eksentrik dari Graph Sembarang G(6,7) Verteks Eksentrisitas Verteks Eksentrik v ec v ) = 3 v 6 1 2 ( 1 v ec v ) = 2,v6 ( 2 ec ( ) = 3 v 6 v ec v ) = 2,v6 4 ( 4 ec ( ) = 2,v3 v 6 ec ( v 6 ) = 3,v3 G : v 6 Gambar 2.22 Eksentrik Digraph Dari Graph Sembarang G(6,7) Sementara itu: r( G) = min{ ec( v) v V} = 2 dia( G) = max{ ec( v) v V} = 3 cen( G ) = Gambar 2.23 Sentral dari Graph Sembarang G (6,7) Dengan demikian, Eksentrik Digraph dari Graph Sembarang G (6,7) (lihat Gambar 2.21) merupakan Graph Komplemen dari Graph Sembarang G (6,7), atau
26 dapat dituliskan bahwa ED ( G(6,7)) = G(6,7) (lihat Gambar 2.22) karena verteks v i dan v untuk i, j = 1,2,..., 6 dimana i j pada Graph Sembarang G (6,7) adjacent j jika dan hanya jika verteks v i dan Komplemen G (6,7) tidak adjacent. v untuk i, j = 1,2,..., 6 dimana i j pada Graph j Contoh berikutnya, diberikan sebuah Graph Sembarang G (7,8) pada Gambar 2.24. G : v 6 v 7 Gambar 2.24 Graph Sembarang G (7,8) Untuk mendapatkan verteks eksentrik dari Graph Sembarang G (7,8) pada Gambar 2.24, dilakukan pencarian verteks eksentrik dari Graph Sembarang G (7,8) dengan menggunakan Tabel 2.2 berikut.
27 Tabel 2.2 Eksentrisitas dan Verteks Eksentrik dari Graph Sembarang G (7,8) Verteks Eksentrisitas 1 Verteks Eksentrik v ec v ) = 3 v 7 ( 1 ec ( ) = 3 ec ( ) = 3 v 7 v ec v ) = 3, v 7 4 ( 4 ec ( ) = 2, v2, v7 v 6 ec ( v 6 ) = 2, v3, v4 v 7 ec ( v 7 ) = 3, v3, v4 ED (G(7,8) = G (7,8) v 6 v 7 Gambar 2.25 Eksentrik Digraph dari Graph Sembarang G (7,8)
28 Sementara itu, Cen (G) = min{ ec( v) v V} = v 6 Gambar 2.26 Sentral dari Graph Sembarang G (7,8) Dengan demikian, Eksentrik Digraph dari Graph Sembarang G (7,8) (lihat Gambar 2.24) merupakan Graph Komplemen dari Graph Sembarang G (7,8), atau dapat dituliskan bahwa ED ( G(7,8)) = G(7,8) (lihat Gambar 2.25) karena verteks v i dan v untuk i, j= 1,2,..., 7 dimana i j pada Graph Sembarang G (7,8) (lihat j Gambar 2.24) adjacent jika dan hanya jika verteks v i dan v untuk i, j= 1,2,..., 7 j dimana i j pada Graph Komplemen G (7,8) tidak adjacent (lihat Gambar 2.25).