Relsi Ekuivlensi dn Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Semester Gnjil 01 Jum t, 1.11.01 Dosen pengsuh: Kurni Sputr ST, M.Sc Emil: kurni.sputr@gmil.com Jurusn Informtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Syih Kul FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 1
Relsi Ekuivlensi (Equivlence Reltions) FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Pengertin Relsi Ekuivlensi Definisi Relsi Seuh relsi R yng homogen tu unry pd himpunn M dlh suset dri R M M. Relsi R selin dpt ditulis dengn m 1, m R dpt jug ditulis dengn m 1 R m. Contoh Relsi:, R FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Pengertin Relsi Ekuivlensi Relsi Ekuivlensi Relsi ekuivlensi R pd himpunn M dlh relsi dri R M M yng memiliki properti segi erikut: Relsi R diktkn reflexive jik (, ) R, dimn M. Relsi R diktkn symmetric jik (, ) R dn (, ) R. Relsi R diktkn trnsitive jik (, ) R dn (, c) R dn dpt direlsikn jug dengn (, c) R. Note: Elemen, dn c pd M dlh serng. FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Pengertin Relsi Ekuivlensi Reflexive: (, ) R Symmetric: (, ) R dn (, ) R Trnsitive: c (, ) R dn (, c) R dn (, c) R FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Kels Ekuivlensi (Equivlence Clsses) Kels Ekuivlensi Dikethui R dlh relsi ekuivlensi pd himpunn M dn m M. Kels ekuivlensi [m] R dri m dlh himpunn: [m] R = n M (n, m) R} Kels ekuivlensi di ts dpt jug ditulis dengn [m] jik relsi yng dimksud sudh jels. FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Kels Ekuivlensi (Equivlence Clsses) Properti Kels Ekuivlensi Dikethui R dlh relsi ekuivlensi pd himpunn M dn m M. Mk kn erlku kondisi: [m 1 ] R = [m ] R tu [m 1 ] R [m ] R = dimn untuk M erlku kondisi: M = [m] R m M Du uh kels ekuivlensi is kn sm tu is jug terpish. Kedu kels ekuivlensi terdpt di dlm himpunn M. Dengn kt lin kels ekuivlensi dlh prtisi/gin dri himpunn M. FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 7
Teori Bhs dn Automt Acceptnce Equivlence Relsi Ekuivlensi 1, Apkh utomt di ts dpt disederhnkn? FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 8
Teori Bhs dn Automt Acceptnce Equivlence Relsi Ekuivlensi Stte dn dlh cceptnce equivlence. Sm hlny pd stte dn, stte-stte terseut dpt digungkn., 1 / /, FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 9
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Acceptnce Equivlence Definisi Acceptnce Equivlence Dikethui seuh DFA dengn M = (Z, Σ, δ, z 0, E). Du uh stte z 1, z Z diktkn cceptnce equivlence jik semu word w Σ dn kondisi erikut hrus terpenuhi: δ z 1, w E δ (z, w) E FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 10
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Ekuivlensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivlence) Selin pd stte, cceptnce equivlence jug dpt dilkukn pd word. Hl ini dpt dilkukn dengn menggunkn ekuivlensi Myhill-Nerode. Definisi Ekuivlensi Myhill-Nerode Dikethui seuh hs L, dimn word x, y Σ. Relsi ekuivlensi L dpt didefinisikn dengn x L y if nd only if (iff) untuk semu z Σ hrus memenuhi kondisi (xx L yy L) FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 11
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Ekuivlensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivlence) Dikethui L = k k k N}. Apkh kondisi di wh ini memenuhi hs L di ts? L? L? L? L? Spesifiksikn kels ekuivlensi Myhill-Nerode pd hs erikut ini: L 1 = w, # w ggggg} L 1 = w,, c ttttt ttttttt dddd sssssss } FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 1
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Ekuivlensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivlence) Ekuivlensi Myhill-Nerode dn Bhs Regulr Seuh hs L Σ diktkn regulr, iff L memiliki kels ekuivlensi erhingg/finite. FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 1
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Ekuivlensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivlence) L regulr L memiliki kels ekuivlensi erhingg/finite. Dikethui hs L dn utomt M = (Z, Σ, δ, z 0, E) dlh DFA, dimn T M = L. Relsi ekuivlensi M didefinisikn dengn: x M y δ z 0, x = δ z 0, y dimn x, y Σ Jumlh kels ekuivlensi M sm dengn jumlh stte yng mmpu dicpi pd utomt M, tu dpt jug diseut dengn erhingg/finite. FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 1
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Ekuivlensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivlence) Selnjutny, kit dpt memuktikn hw x M y kn sm dengn x L y. Asumsikn x M y kemudin pilih serng z Σ. Pstikn kondisi erikut ini terpenuhi: xx L δ z 0, xx E δ (δ z 0, x, z) E δ (δ z 0, y, z) E δ (z 0, yy) E yy E (Definisi hs yng is diterim) (Definisi δ ) x R M y (Definisi δ ) (Definisi hs yng is diterim) Mk kondisi x L y dpt terpenuhi. Dengn demikin, M terhuung dengn semu word pd L dn memiliki kels ekuivlensi yng sm seperti L. Jdi L memiliki kels ekuivlensi yng finite. FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 1
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Ekuivlensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivlence) L memiliki kels ekuivlensi erhingg/finite L regulr Disumsikn L memiliki kels ekuivlensi erhingg/finite. Automt finite M 0 = (Z, Σ, δ, z 0, E) untuk L dpt dikonstruksikn, dimn definisiny dlh segi erikut: Z = w L w Σ } (Definisi hs yng is diterim) z 0 = [ε] L E = w L w L} δ w L, = [ww] L FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 1
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Ekuivlensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivlence) Dri δ w L, = [ww] L diikuti oleh δ w L, u = [ww] L. Mk kondisiny menjdi: x L(M 0 ) δ [ε], x E [x] E x E (Definisi hs yng is diterim) (Definisi Finl stte) Sehingg T M 0 = L FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 17
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Ekuivlensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivlence) Dengn metode MyHill-Nerode kit dpt memuktikn seuh hs regulr tu tidk regulr. Contoh: Bhs L = k k k 0} memiliki kels ekuivlensi tk hingg dn tidk regulr. Bhs L = n m c m n, m 1} { m c n n, m 1} memiliki kels ekuivlensi tk hingg dn tidk regulr. (Kedu hs di ts dpt jug diuktikn dengn pumping lemm) FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 18
Teori Bhs dn Automt Relsi Ekuivlensi Ekuivlensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivlence) Jik dikethui M 0 dlh DFA yng dikonstruksi dri kels ekuivlensi. Untuk serng utomt M dimn T M = T M 0, mk memenuhi kondisi erikut: M L = M0 Artiny hw M 0 is dikonstruksi dri M dengn menggungkn stte kels ekuivlensi. Dengn kt lin, M 0 dlh DFA miniml dri hs L. Semu DFA miniml yng ersl dri stu hs yng sm mk DFA terseut kn sm (wlupun dengn stte yng ered). FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 19
Automt Miniml FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 0
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Bgimn crny untuk mengethui hw seuh DFA diktkn miniml tnp melkukn konstruksi kels ekuivlensi? Solusi: Dengn cr menggungkn stte yng memiliki cceptnce equivlence. Seelum melkukn penggungn stte, hl yng pertm sekli dilkukn dlh menentukn terleih dhulu stte yng tidk cceptnce equivlence (stte finl dn stte non finl), dn dilnjutkn dengn melkukn pencrin stte yng non cceptnce equivlence. FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 1
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Algoritm Automt Miniml Input: DFA M Output: Himpunn stte cceptnce equivlence 1. Hpus stte yng tidk dpt dijngku dri strt stte.. Butlh tel psngn stte {z, z }, dimn z z.. Beri tnd psngn stte z, z dimn z E dn z E. Note: z, z tidk cceptnce equivlence.. Untuk psngn yng tidk dieri tnd {z, z } dn dimn Σ, lkukn pengecekn pkh {δ z,, δ(z, )} sudh pernh dieri tnd. Jik y, tndi {z, z }.. Ulngi lngkh di ts smpi tidk mungkin dieri ditndi lgi.. Untuk psngn {z, z } yng elum dieri tnd, errti z dn z dlh cceptnce equivlence. FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 1, 1 But tel untuk semu psngn stte FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 1, 1 1 1 1 1 1 (1) Tndi psngn stte finl dn stte non finl FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 1, 1 1 1 1 1 1 () Beri tnd {, } kren δ, = 1, δ, = dn {1, } sudh ditndi FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 1, 1 1 1 1 1 1 () Beri tnd {, } kren δ, = 1, δ, = dn {1, } sudh ditndi FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 1, 1 1 1 1 1 1 () Beri tnd {, } kren δ, = 1, δ, = dn {1, } sudh ditndi FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 7
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 1, 1 1 1 1 1 1 () Beri tnd {, } kren δ, = 1, δ, = dn {1, } sudh ditndi FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 8
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 1, 1 1 1 1 1 1 () Beri tnd {1, } kren δ 1, =, δ, = dn {, } sudh ditndi FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 9
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 1, 7 1 1 1 1 1 1 (7) Beri tnd {1, } kren δ 1, =, δ, = dn {, } sudh ditndi FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 0
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 1, 8 7 1 1 1 1 1 1 (8) Beri tnd {1, } kren δ 1, =, δ, = dn {, } sudh ditndi FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01 1
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 9 1, 8 7 1 1 1 1 1 1 (9) Beri tnd {1, } kren δ 1, =, δ, = dn {, } sudh ditndi FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 9 1, 8 7 1 1 1 1 1 1 Psngn stte yng tersis {, } dn {, } tidk is ditndi kren cceptnce equivlent. FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Gunkn lgoritm utomt miniml pd utomt erikut: 1, 1 / / Psngn stte yng tersis {, } dn {, } tidk is ditndi kren cceptnce equivlent.,, 9 8 7 1 1 1 1 1 1 FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Automt Miniml Hint penggunn lgoritm utomt miniml: Butlh seuh tel dimn setip psngn stte hny d stu. Secr vertikl,, n dn secr horizontl 1, n 1. Spesifiksikn psngn mn yng telh dieri tnd. FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01
Referensi Teori Bhs dn Automt Referensi 1. Hopcroft, Motwni, Ullmn: Introduction to Automt Theory, Lnguges, nd Computtion. Addison-Wesley, 001. Jmes A. Anderson: Automt Theory with Modern Applictions, Cmridge University Press, 00.. Uwe Schöning: Theoretische Informtik kurzgefßt. Spektrum, 008. (. Auflge) FMIPA Informtik Universits Syih Kul Semester Gnjil 01