Pengantar : :. MATERI 2 COMBINATIONAL LOGIC Rangkaian digital adalah mrp komponen perangkat keras (hardware) yang memanipulasi informasi biner. Rangkaian diimplementasikan dengan menggunakan transistor-transistor dan antarhubungan dalam peralatan semikonduktor kompleks yang disebut IC Masing-masing rangkaian dasar disebut gerbang lojik Masing-masing gerbang menyelenggarakan operasi lojik tertentu. Keluaran dari gerbang diterapkan sebagai masukan dari gerbang lain untuk membentuk suatu rangkaian digital Logika Biner dan Gerbang : :. Logika Biner: Logika biner berurusan dengan variabel-variabel biner yg mempunyai dua nilai diskrit Variabel biner dinyatakan dengan huruf A, B, C,...dst Nilai diskrit yaitu 0 dan 1 Tiga operasi lojik dasar: 1. AND Dinyatakan dengan titik (dot) atau tanpa operator Misal: Z = X.Y atau Z = XY (dibaca = X AND Y) Z = 1, bhb X dan Y adalah 1 2. OR Dinyatakan dengan tambah (+) Misal: Z = X+Y (dibaca = X OR Y) Z = 0, bhb X dan Y adalah 0 3. NOT Dinyatakan dengan petik tunggal ( ) Misal: Z = X (dibaca = not X ) Materi 2. Combinational Logic 1
Tabel Kebenaran untuk Operasi Lojik Dasar: AND OR NOT X Y Z=X.Y X Y Z=X+Y X X 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 Gerbang Lojik: Gerbang Lojik adalah rangkaian elektronik yang beroperasi pada 1 atau lebih sinyal-sinyal masukan untuk menghasilkan sinyal-sinyal keluaran. Berikut adalah gerbang lojik dijital X 1 1 0 0 Y 1 0 1 0 (AND) X.Y 1 0 0 0 (OR) X+Y 1 1 1 0 (NOT) X 0 0 1 1 Digambarkan dengan simbol grafik: Materi 2. Combinational Logic 2
Aljabar Boolean : :. Aljabar Boolean: Aljabar yang berhubungan dengan variabel2 biner dan operasi2 lojik. Fungsi boolean terdiri dari variabel2 biner yang menunjukkan fungsi Fungsi boolean bisa sama dengan 1 atau 0 Contoh: F = X + Y Z X dan Y Z disebut suku-suku (term) dari fungsi F X, Y, dan Z disebut literal Fungsi F sama dengan 1 jika term X=1 atau term Y Z=1 Term Y Z=1 terjadi bila Y=0 dan Z=1 Kesimpulannya, term F=1 jika term X=1 atau jika Y=0 dan Z=1 Tabel kebenaran untuk fungsi F = X + Y Z X Y Z F = X + Y Z 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Ada 8 kombinasi biner yg mungkin dg meng-assign ke masing-masing tiga variabel X, Y dan Z Berikut gambar diagram rangkaian lojik F = X + Y Z Materi 2. Combinational Logic 3
Identitas Dasar Aljabar Boolean: X+0=X 2. X+1=1 4. X+X=X 6. X+X =1 8. X =X 1. 3. 5. 7. 9. 10. 12. 14. 16. X+Y=Y+X X+(Y+Z) = (X+Y)+Z X.(Y+Z)=X.Y+X.Z (X + Y) = X.Y 11. 13. 15. 17. X.1=X X.0=0 X.X=X X.X =0 X.Y=Y.X X.(Y.Z)=(X.Y).Z X+Y.Z=(X+Y).(X+Z) (X.Y) =X +Y Komutatif Asosiatif Distributif De Morgan Manipulasi Aljabar: Dengan aljabar boolean maka rangkaian digital bisa disederhanakan. Contoh: F = X YZ + X YZ + XZ = X Y(Z+Z ) + XZ [dg identitas 14] = X Y.1 + XZ [dg identitas 7] = X Y + XZ [dg identitas 2] Tabel kebenaran untuk dua fungsi ekuivalen di atas: X Y Z X Z XZ X Y X YZ X YZ X YZ + X YZ + XZ X Y + XZ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 Bila digambarkan fungsi boolean tersebut dengan gerbang lojik: Materi 2. Combinational Logic 4
LATIHAN : :. Buktikan identitas dari pesamaan Boolean berikut, menggunakan manipulasi aljabar: 1. X + XY = X 2. XY + XY = X 3. X + X Y = X + Y 4. (X+Y)(X+Y ) = X 5. X Y + X Y + XY = X + Y 6. A B + B C + AB + B C = 1 7. Y + X Z + XY = X + Y + Z Bentuk Standar: Bentuk standar memuat product terms dan sum terms. Contoh: Product term: XYZ (terdiri dari suatu operasi AND dan 3 literal) Sum term: X+Y+Z (terdiri dari suatu operasi OR dan 3 literal) Minterms dan Maxterms Minterm Suatu product term dimana semua literal (variabel) tepat muncul 1 kali, baik terkomplemen atau tak terkomplemen, disebut minterm. Untuk fungsi dengan n variabel, ada 2 n minterm yang berbeda: X Y Z Product Term Symbol m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 0 0 0 X Y Z m0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 X Y Z m1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 X YZ m2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 X YZ m3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 XY Z m4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 XY Z m5 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 XYZ m6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 XYZ m7 0 0 0 0 0 0 0 1 Materi 2. Combinational Logic 5
Sebuah fungsi: F = X Y Z + X YZ + XY Z + XYZ = m0 + m2 + m5 + m7 dapat ditulis dengan: F(X,Y,Z) = Σm(0,2,5,7) Maxterm Suku jumlah yang memuat semua variabel dalam terkomplemen atau tak terkomplemen, disebut maxterm. Untuk fungsi dengan n variabel, ada 2 n maxterm yang berbeda: X Y Z Sum Term Symbol M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 0 0 0 X+Y+Z M0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 X+Y+Z M1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 X+Y +Z M2 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 X+Y +Z M3 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 X +Y+Z M4 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 X +Y+Z M5 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 X +Y +Z M6 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 X +Y +Z M7 1 1 1 1 1 1 1 0 Maxterm merupakan minterm yang dikomplemenkan. Contoh: m3 = (X YZ) = X+Y +Z = M3 Sebuah fungsi: F = X Y Z + X YZ + XY Z + XYZ = m0 + m2 + m5 + m7 dapat ditulis dengan: F(X,Y,Z) = Σm(0,2,5,7) Materi 2. Combinational Logic 6
Fungsi: F(X,Y,Z) = Σm(0,2,5,7) Jika kita komplemenkan, F F = X Y Z + X YZ + XY Z + XYZ = m1 + m3 + m4 + m6 F (X,Y,Z) = Σm(1,3,4,6) F = F F = (X Y Z + X YZ + XY Z + XYZ ) = (X+Y+Z ) (X+Y +Z ) (X +Y+Z) (X +Y +Z) = M1.M3.M4.M6 dapat ditulis dengan: F(X,Y,Z) = ΠM(0,2,5,7) Sum of Product Adalah ekspresi aljabar standar dimana fungsi merupakan jumlah dari perkalian. Contoh: F = Y + X YZ + XY G = AB + CD + CE dll Product of Sum Adalah ekspresi aljabar standar dimana fungsi merupakan perkalian dari penjumlahan. Contoh: F = X(Y + Z)(X + Y + Z ) Materi 2. Combinational Logic 7
Menyederhanakan dengan K- MAP Map adalah diagram yang dibentuk dari bujursangkarbujursangkar dengan masing-masing bujursangkar mewakili 1 minterm dari fungsi Map ini dikenal dengan Karnaugh Map Ekspresi-ekspresi tersederhana yang dihasilkan oleh Map selalu dalam bentuk sum of product atau product of sum. Map dengan dua variabel Fungsi boolean dengan 2 variabel maka ada 4 minterm Ada 4 bujursangkar Contoh: X\Y 0 1 X\Y 0 1 0 m0 M1 0 X Y X Y 1 m2 M3 1 XY XY X\Y 0 1 X\Y 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 F(X,Y) = Σm(3) F = XY F(X,Y) = Σm(1,2,3) F = X + Y Pada Map tersebut, merupakan jumlahan lojik untuk 3 minterm: = m1 + m2 + m3 = X Y + XY + XY = X + Y Map dengan tiga variabel Fungsi boolean dengan 3 variabel maka ada 8 minterm Ada 8 bujursangkar Contoh: X\YZ 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 0 X Y Z X Y Z X YZ X YZ m4 m5 m7 m6 1 XY Z XY Z XYZ XYZ Materi 2. Combinational Logic 8
X\YZ 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 F(X,Y,Z) = Σm(2,3,4,5) F = X Y + XY X\YZ 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 F(X,Y,Z) = Σm(0,2,4,6) F = XZ + X Z F = Z Map dengan empat variabel Fungsi boolean dengan 4 variabel maka ada 16 minterm Ada 16 bujursangkar Digambarkan: AB\CD 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 M13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10 Catatan Fungsi boolean dengan 2 variabel (4 minterm) 1 bujursangkar 2 literal 2 bujursangkar 1 literal Fungsi boolean dengan 3 variabel (8 minterm) 1 bujursangkar 3 literal 2 bujursangkar 2 literal 4 bujursangkar 1 literal 8 bujursangkar nilai lojik 1 Fungsi boolean dengan 4 variabel (16 minterm) 1 bujursangkar 4 literal 2 bujursangkar 3 literal 4 bujursangkar 2 literal 8 bujursangkar 1 literal 16 bujursangkar nilai lojik 1 Materi 2. Combinational Logic 9
LATIHAN : :. 1. Perlihatkan dengan menggunakan tabel kebenaran, validitas identitas-identitas berikit: a. (XYZ) = X + Y + Z b. X + YZ = (X+Y)(X+Z) 2. Sederhanakan ekspresi-ekspresi boolean berikut: a. ABC + ABC + A B b. (A + B) (A + B ) c. BC + B(AD + AD ) d. (A + B + AB )(AB + A C + BC) 3. Kurangi ekspresi-ekspresi Boolean ke sejumlah literal yang ditentukan: a. X Y + XYZ + X Y ke tiga literal b. X + Y(Z + (X + Z) ) ke dua literal c. W X(Z +Y Z) + X(W + W YZ) ke satu literal d. (AB + A B )(C D + CD) + (AC) ke empat literal 4. Menggunakan teorema DeMorgan, nyatakan fungsi: F = ABC + A C + A B a. hanya dengan menggunakan operasi AND dan komplemen b. hanya dengan menggunakan operasi OR dan komplemen 5. Sederhanakan fungsi-fungsi boolean berikut menggunakan Karnaugh-map: a. F(A,B,C) = Σm(1,3,6,7) b. F(X,Y,Z) = Σm(0,1,2,4,6) c. F(A,B,C,D) = Σm(1,5,9,12,13,15) d. X Z + XZ + X YZ e. XZ + W XY + WXY + W YZ + WY Z Materi 2. Combinational Logic 10