Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi Legendre. Dengn membgi (1) dengn 1 x 2, mk diperoleh bentuk stndr (8), Psl 4.2 yitu y + p x y + q x y = r(x) dengn p x = 2x (1 x 2 ) ; q x = n(n+1) (1 x 2 ) dn r x = 0. Koefisien-koefisien persmn yng dihsilkn dlh nlitik pd x = 0. Jdi dpt kit gunkn metode deret pngkt. (2) y = m x m m =0 y = m m x m 1 & m=1 y = m(m 1) m x m 2 m=2 Substitusikn y dn turunn-turunnny ke dlm (1) dn nytkn konstnt n(n + 1) dengn k, mk kit memperoleh (1 x 2 ) m m 1 m x m 2 2x m m x m 1 + k m x m = 0 m =2 m=1 m=0 Dengn menuliskn pernytn pertm sebgi du deret yng terpish, mk kit memperoleh persmn (1*) m m 1 m x m 2 m(m 1) m x m 2 m m x m m =2 m=2 m =1 + k m x m = 0 m=0 1
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Yng jbrnny dituliskn 2.1 2 + 3.2 3 x + 4.3 4 x 2 + + s + 2 s + 1 s+2 x s + 2.1 2 x 2 s s 1 s x s 2.1 1 x 2.2 2 x 2 2s s x s k 0 + k 1 x + k 2 x 2 + + k s x s + = 0 Kren ini hrus merupkn sutu identits dlm x pbil (2) merupkn penyelesin dri (1), mk jumlh koefisien-koefisien dri setip pngkt x hruslh nol ; kren k = n(n + 1), ini memberikn (3) 2. 2 + n n + 1 0 = 0 koefisien dri x 0 6. 3 + 2 + n n + 1 1 = 0 koefisien dri x 1 Dn umumny, jik s = 2, 3,, (3b) s + 2 s + 1 s+2 + s s 1 2s + n n + 1 s = 0 Sekrng pernytn dlm kurung [... ] dpt dituliskn menjdi s s 1 2s + n n + 1 s 2 + s 2s + n 2 + n s 2 s + n 2 + n s s + 1 + n n + 1 = n s (n + s + 1) Sehingg dpt dituliskn menjdi s + 2 s + 1 s+2 + n s n + s + 1 s = 0 Jdi dri (3) diperoleh s + 2 s + 1 s+2 n s n + s + 1 s (4) s+2 n s n + s + 1 s + 2 s + 1 s (s = 0,1, ) 2
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Ini disebut hubungn rekursi (recurtion reltion) tu rumus rekursi (recurtion formul). Rumus ini memberikn untuk setip koefisien dinytkn dlm koefisien kedu yng mendhuluiny, keculi 0 dn 1 yng merupkn konstnt sebrng. Kit peroleh secr berurutn 2 n(n + 1) 2! o 3 n 1 (n + 2) 3! 1 4 n 2 n + 3 4.3 2 5 n 3 n + 4 5.4 3 = n 2 n n + 1 (n + 3) 4! 0 = n 3 n 1 n + 2 (n + 4) 5! 1 dn seterusny. Dengn memsukkn nili-nili ini ke dlm koefisien-koefisen pd (2), kit memperoleh y x = m x m m =0 = 0 + 1 x + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 + = 0 + 1 x n n + 1 2! + o x 2 n 1 n + 2 3! 1 x 3 + n 3 n 1 n + 2 (n + 4) 5! 1 x 5 + n 2 n n + 1 n + 3 4! 0 x 4 = 0 1 n n + 1 2! x 2 + n 2 n n + 1 n + 3 4! x 4 + + 1 x n 1 n + 2 3! x 3 + n 3 n 1 n + 2 (n + 4) 5! 1 x 5 + 3
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Atu dpt dituliskn sebgi (5) y x = 0 y 1 x + 1 y 2 (x) di mn (6) y 1 x = 1 n n + 1 2! x 2 + n 2 n n + 1 n + 3 4! x 4 + dn (7) y 2 x = x n 1 n + 2 3! x 3 + n 3 n 1 n + 2 (n + 4) 5! 1 x 5 + Deret ini konvergen untuk x < 1. Kren (6) memut hny pngkt-pngkt genp dri x sedngkn (7) hny memut pengkt-pngkt gnjil dri x, mk hsil bgi y 1 y 2 bukn sutu konstnt, sehingg y 1 dn y 2 tidk sebnding, jdi merupkn penyelesin bebs liner. Sehingg (5) merupkn penyelesin umum (1) pd selng 1 < x < 1. Polinom Legendre Dlm bnyk penerpn, prmeter n dlm persmn Legendre merupkn bilngn bult tk negtif. Mk rus knn (4) dlh nol jik s = n, sehingg n+2 = 0, n+6 = 0, Jdi bilngn n genp, y 1 (x) disederhnkn menjdi sutu polinom berderjt n. Bil n bilngn gnjil, diperoleh hsil yng sm untuk y 2 (x). Polinom-polinom ini, diklikn dengn sutu konstnt, disebut polinom Legendre. Kren polinom-polinom itu dlm prktek, kit kn membhsny lebih terinci. Untuk keperlun ini, kit selesikn (4) untuk s, diperoleh 4
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id (8) s s + 2 (s + 1) n s (n + s + 1) s+2 (s n 2) Kit dpt menytkn semu koefisien-koefisien yng tk-dihilngkn dlm koefisien n dri pngkt x yng pling tinggi pd polinom. Koefisien n mul-mul msih sebrng. Bisny kit mengmbil n = 1 jik n = 0 dn (9) n = 2n! 1.3.5 (2n 1) 2 n = (n!) 2 n! n = 1,2, Pengmbiln n ini dilkukn gr semu polinom ini mempunyi nili 1 jik x = 1. (9*) n 2 n 2 + 2 n 2 + 1 n n 2 n + n 2 + 1 n(n 1) n 2+2 2(2n 1) n n n 1 2n! 2 2n 1 2 n n! 2 n n 1 2n 2n 1 2n 2! 2 2n 1 2 n n n 1! n n 1 n 2! yitu 2n 2! n 2 2 n n 1! n 2! Dengn cr yng sm, n 4 n 4 + 2 (n 4 + 1) n n 4 (n + n 4 + 1) n 4+2 n 2 (n 3) 4(2n 3) n 2 n 2 (n 3) 4(2n 3) 2n 2!. 2 n n 1! n 2! = n 2 (n 3) 2n 2! 4(2n 3)2 n n 1! n 2! = n 2 n 3 2n 2 2n 3 (2n 4)! 4 2n 3 2 n n 1 n 2 n 3 (n 4)! n 2! = 2(n 1) 4. 2 n n 2! n 4! 5
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id yitu n 4 = 2n 4! 2 n 2! n 2! n 4! Dengn cr yng sm pul n 6 n 6 + 2 (n 6 + 1) n n 6 (n + n 6 + 1) n 6+2 n 4 (n 5) 6(2n 5) n 4 n 4 (n 5) 6(2n 5) 2n 4!. 2 n 2! n 2! n 4! n 4 (n 5) 2n 4! 6(2n 5)2 n 2! n 2! n 4! n 4 n 5 2n 4 2n 5 (2n 6)! 6 2n 5 2 n 2! n 2 n 3! n 4 n 5 (n 6)! 2 n 2 2n 6! 6. 2 n 2! n 2 n 3! n 6! yitu 2n 6! n 6 2 n 3! n 3! n 6)! dn seterusny. Umumny jik n 2m > 0, (10) n 2m = ( 1) m 2n 2m! 2 n m! n m! n 2m! Penyelesin persmn diferensil Legendre (1) yng dihsilkn disebut polinom Legendre berderjt n dn dinytkn oleh P n (x). Dn (10) diperoleh (11) M P n x 1 m 2n 2m! 2 n m! n m! n 2m! m=0 x n 2m = 2n! 2n 2! 2 n (n!) 2 xn 2 n 1! n 1! n 2! xn 2 + 6
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id dimn M = n 2 tu (n 1), yng merupkn sutu bilngn bult. 2 Khususny (Gmbr 83). (11 ) P 0 x = 1 P 1 x = x P 2 x = 1 3 (3x2 1) P 3 x = 1 2 (5x3 3x) P 4 x = 1 8 (35x4 30x 2 + 3) P 5 x = 1 8 (63x5 70x 3 + 15x) dn seterusny. Ini disebut ortogonlits polinom-polinom Legendre. 7
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Contoh Sol: Dengn menggunkn (11 ), kn dibuktikn dengn substitusi bhw P 0,, P 5 memenuhi persmn Legendre Penyelesin: P 0 x = y 0 = 1 P 1 x = y 1 = x P 2 x = y 2 = 1 3 (3x2 1) P 4 x = y 3 = 1 8 (35x4 30x 2 + 3) P 3 x = y 4 = 1 2 (5x3 3x) P 5 x = y 5 = 1 8 (63x5 70x 3 + 15x) Dftr Pustk Kreyszic,Erwin. Advnced Engineering Mthemtics.6 th Edition 1993. United Sttes : John Wiley & Sons,Inc 8