Bab III Model Proses Deformasi Benang Viscoelastis Linear di Lingkungan Fluida Newton III.1 Stress dan Strain Salah satu hal yang penting dalam pengkonstruksian model proses deformasi suatu fluida adalah masalah hubungan antara stress dan strain. Stress adalah suatu gaya tekan yang dimiliki suatu material yang berada di lingkungan material lain. Gaya ini mempengaruhi pergerakan material tersebut. Secara fisis stress dinyatakan sebagai gaya tekan per unit area. Pada kasus ini stress dirumuskan di dalam limit τ = δp δl ) δp τ = lim = dp δl 0 δl dl 3.1) dengan L menyatakan panjang kurva. Strain mengukur seberapa besar material terdeformasi. Misal panjang awal suatu material L 0. Jika material terdeformasi sedemikian sehingga panjangnya berubah menjadi L, maka strain menentukan ukuran perubahan panjang material sebagai atau e LG = L2 L 2 0 2L 2 0 e E = L2 L 2 0 2L 2 dengan e LG dan e E masing-masing menyatakan strain Lagrangian dan strain Eulerian. Dengan demikian ada hubungan antara stress dan strain. Menurut hukum Hooke hubungan tersebut dapat dirumuskan dengan E menyatakan keelastisan suatu material. τ = Ee 3.2)
14 III.2 Transformasi Tensor Tegangan Misalkan P suatu partikel fluida bergerak pada waktu t pada sumbu z dan sumbu r. Oz r dinamakan sistem koordinat konvekted Convected Coordinate), dan P memiliki vektor posisi w. Pergerakan partikel fluida P pada waktu yang sama dapat ditransformasi ke dalam sistem koordinat cartesius Ozr dengan waktu ditandai dengan t, dan vektor posisi ditandai dengan w. Transformasi ini dituliskan sebagai fungsi w = w w, t, t ) dan sebaliknya fungsi x i = x i x i, t, t ) sebaliknya, transformasi pergerakan partikel fluida P dari sistem koordinat Ozr ke sistem koordinat Oz r dituliskan sebagai fungsi ) w = w w, t, t atau ) x i = x i x i, t, t fungsi ini dinamakan fungsi transformasi Displacement Function).
15 Melalui fungsi transformasi, kita dapat menentukan tensor gradien transformasi Displacement Gradient Tensor) w, t, t ) dan Ew, t, t ) dengan komponen kartesius ij w, t, t ) = x ix, t, t ) x j x, t, t) E ij w, t, t) = x ix, t, t) x j x, t, t ) Turunan waktu dari tensor gradien transformasi = t t t E = t ) x i = ) x i = +{ v ) T } x j x j t ) x i = ) xi = {E v ) T } x j x j t Penentuan tensor tegangan pada sistem koordinat konvekted Convected Coordinate) τ d ij = E ij τ d ij ji τij d = x i x τ d j x ij j x i D t = u i xj τ ij + t τ ij + u j x i τ ij x i x j x j x i karena adanya persamaan kekontinuan j u j = 0, maka diperoleh D t = t. III.3 Model Maxwell Linear Suatu benang fluida tak Newton Viscoelastis) linear yang direndam ke dalam lingkungan fluida Newton yang diam mengalami proses deformasi sedemikian sehingga membentuk sutu droplet. Pergerakan ini bekerja pada sistem koordinat silinder r,φ,z), dengan z menyatakan sumbu axis benang, r menyatakan jari-jari silinder, φ merupakan sumbu azimuthal. Benang fluida tak Newton digambarkan sebagai membran silinder tak berhingga yang berjari-jari a d dengan kekentalan η d.
16 Perilaku benang fluida viscoelastis dipengaruhi oleh dua komponen mikroskopis yakni Hookean Spring dan Newton Dashpot. Hookean spring berhubungan dengan keelastisan, dan Newton Dashpot berhubungan dengan kekentalan Jika pada material terjadi perubahan posisi dari suatu partikel displacement field maka pada material tersebut terdapat strain yang dinyatakan dengan ē f = wz + z) wz) z + z) z w z dengan w menyatakan vektor posisi suatu partikel.
17 Pada Newtonian Dashpot terjadi shear stress τ = η ud z = η ) dw = η d ) w z dt dt z dengan demikian = η d dt e f = η e f τ = η e f 3.3) Berdasarkan hukum Hooke pada Hookean spring berlaku persamaan τ = Ee s 3.4) tanda bar menyatakan suatu tensor dan tanda tebal bold) menyatakan vektor. Berdasarkan model Maxwell bahwa kedua komponen mikroskopis Hookean Spring dan Newtonian Dashpot tersusun secara seri pada suatu material, digambarkan sebagai berikut: dan dirumuskan e = e s + e f 3.5) sehingga diperoleh hubungan antara tensor strain dan tensor stress ηė = λd t + 1) τ dengan λ = η dan ė merupakan rate-of-strain tensor atau dapat dinyatakan E dengan ė = u d + u d) ) T. Dengan demikian diperoleh persamaan dasar constitutive equation) dari fluida viscoelastis 1 + λd t ) τ d = η d u d + u d) T ) 3.6) turunan waktu D t menyatakan turunan waktu convected time derivative. Pada model Maxwell Linear, turunan waktu convected time derivative dinyatakan
18 dengan D t = t. Simbol d menyatakan benang fluida viscoelastis berada pada fase dispersi. 1 + λ t ) τ d = η d u d + u d) T ) 3.7) 3.8) Pada fluida lingkungannya, yakni fluida Newton, tensor tegangan fluidanya memenuhi persamaan 4.7) dengan λ = 0. Dengan demikian persamaan Maxwell linear dituliskan τ c = η c u c + u c ) T ) 3.9) Selanjutnya, kita akan melakukan penskalaan scaling) untuk model 4.8)-4.9) agar terbentuk suatu persamaan yang tidak berdimensi. III.4 Penskalaan Model Penskalaan scaling) adalah suatu proses yang membawa suatu persamaan berdimensi menjadi persamaan tak berdimensi. Proses ini sangat penting dilakukan karena penskalaan akan membentuk suatu persamaan menjadi persamaan bersifat umum. Dengan demikian memudahkan kita dalam menentukan solusi dari suatu persamaan. Melalui proses penskalaan ini, kita memperoleh parameter-parameter yang terlibat dalam proses deformasi benang fluida Viscoelastis menjadi droplet. Dimensi dan notasi dimensi yang biasa digunakan adalah Panjang L), Massa M), dan waktut). Sistem satuan dimensi untuk dimensi tersebut adalah sistem CGS Centimeter-Gram-Second) dan sistem MKS Meter-Kilogram- Second). Parameter-parameter yang terlibat dalam kasus ini ialah kekentalan η), tegangan permukaan σ), dan jari-jari benang a d ). Melalui persamaan 2.3),
19 kita dapat merumuskan η = F A w t z σ = F 2 = MT s a d = L ) = ML 1 T 1 τ = F A = ML 1 T 2 u = LT 1 F menyatakan gaya, A menyatakan luas permukaan, s jarak, u kecepatan, dan w vektor posisi. Dengan demikian kita memperoleh komponen kecepatan dan stress dalam bentuk tak berdimensi r = a d r ; u = σ η c u ; τ = σ a d τ ; t = ad η τ t 3.10) dengan mensubstitusi persamaan 2.8) ke persamaan 2.6), diperoleh persamaan benang fluida viscoelastis dan fluida Newton yang tak berdimensi ) 1 + De t ) τ d = η u d + u d ) T atau dengan τ c = η i u c j ) + j u c i 3.11) η = ηd η ; λ = η λσ ; De = 3.12) c E a d η c λ menyatakan waktu relaksasi fluida, De dinamakan bilangan Deborah. Melalui persamaan 2.10)-2.12), kita dapat menentukan karakter jenis fluida. Fluida Newton lebih kental dibanding dengan fluida Tak-Newton, dan keelastisannya lebih besar dibanding dengan kekentalannya. Hasil ini terlihat dari nilai Deborah fluida yang sangat kecil. III.5 Persamaan Stokes Nonhomogen Suatu benang fluida Tak Newton viscoelastis) direndam ke dalam fluida Newton yang diam. Kedua fluida diasumsikan saling immiscible sehingga kedua
20 fluida tidak akan bercampur dan membentuk suatu interface. Kita asumsikan ada gaya tekan pressure dari fluida Newton. Beberapa saat kemudian benang viscoelastis terdeformasi menjadi untaian beberapa droplet Breaking up process). Proses deformasi ini disebabkan karena adanya tegangan permukaan Surface tension). Proses pembentukan droplet ini dapat diilustrasikan sebagai berikut: Gambar di atas mengilustrasikan proses berikut: akibat arus geser Shear flow) yang terjadi di sekitar benang fluida viscoelastis, jari-jari benang fluida viscoelastis ini akan mengecil. Setelah arus geser dihentikan, bentuk interface awal dinyatakan sebagai pergerakan perturbasi. Bentuk interface awal ini dipengaruhi oleh tegangan permukaan σ pada lapis batas antara benang fluida viscoelastis dengan fluida Newton akan menjadi dominan. Pengaruh tegangan permukaan ini menyebabkan benang fluida viscoelastis akan mencapai bentuk yang memiliki energi permukaan paling minimum. Bentuk dengan energi permukaan minimum ini akan ditandai sebagai untaian droplet yang berbentuk butiran-butiran bola. Selain tegangan permukaan parameter-parameter lain yang mempengaruhi proses deformasi ini adalah perbandingan antara kekentalan benang fluida viscoelastis η d dan kekentalan fluida Newton η c, dan perbandingan antara kekentalan η dan keelastisan E.
21 Pergerakan perturbasi diasumsikan dalam arah radial saja, yang dikenal dengan asumsi axissimetris sehingga sumbu azimuthal diabaikan. Fluida diasumsikan bersifat tak mampat incompressible). Dengan asumsi ini diperoleh persamaan kontinuitas Persamaan Stokes): i u i = 0, x S; i = 1, 2 3.13) dan persamaan tensor tegangan total stress tensor) π ij yang memenuhi j π ij = 0, x S; i = 1, 2 3.14) dengan tensor tegangan total didekomposisikan dari tekanan isotropik P dan tensor tegangan tambahan τ ij. π ij = P δ ij + τ ij 3.15) yang mana P menyatakan tekanan isotropik, τ ij menyatakan tensor tegangan tambahan dan memenuhi persamaan konstitutif 2.10)-2.11). Persamaan kostitutif tak-newton untuk tensor tegangan di dalam domain S l) dinyatakan dengan 1 + De t ) τij d = η ) i vj d + j vi d 3.16) dan persamaan konstitutif Newton untuk tensor tegangan τ ij di luar domain S l) τij c = η ) i u c j + j u c i 3.17) dengan i u c j + j u c i) menyatakan tensor rate-of-strain. Dari persamaan 2.15)- 2.16) diperoleh persamaan Stokes Nonhomogen. η jj u d i i P = De j t τ d ij 3.18) III.6 Kondisi Awal Proses deformasi benang, kita asumsikan sebagai pergerakan partikel fluida yang mengalami gangguan perturbasi dalam arah radial saja asumsi axissimetris), sehingga pergerakan partikel hanya dipandang pada dua dimensi Ox 1 x 2.
22 Pemberian kondisi awal terbagi menjadi dua, yakni pemberian posisi awal dan pemberian tensor tegangan awal. Posisi awal Pada daerah batas dibagi menjadi empat daerah. Daerah S 1 diberi posisi x 2 = 0. Daerah S 2 diberi posisi x 1 = L. Daerah S 3 diberi posisi x 2 = a d 1 + ɛe 1) ikx. Sedang pada daerah S4 diberi posisi x 1 = 0. Tensor tegangan awal τ ij = Qδ ij parameter k pada persamaan 4.19) masing-masing menyatakan bilangan gelombang yang bernilai real. Untuk x 1 > 0, maka benang akan terdeformasi menjadi droplet. Pada persamaan 4.13)-4.14) yang dilengkapi dengan penyelesaian kondisi pada lapis batas interface), yakni kekontinuan kecepatan, kekontinuan tensor tegangan geser, dan ketidakkontinuan tekanan normal akibat adanya tegangan permukaan. III.7 Kondisi Batas Jenis fluida yang berbeda, secara fisis kita menyatakan sebagai jenis material yang berbeda pula. Pada material, kita membahas masalah bodi Bodies), konfigurasi configuration), dan pergerakan material Motion). Material disebut juga sebagai bodi material. Suatu bodi material dikatakan kontinu, jika setiap titik geometri di bodi material bersesuaian dengan titik material. Ini berarti bahwa setiap titik di bodi material memiliki massa jenis positif ρ > 0). Dengan demikian bodi kontinu B dapat dinyatakan sebagai himpunan titik material, dituliskan P B. Daerah domain B pada waktu tertentu di ruang Euclid berdimensi tiga R 3 dinamakan sebagai konfigurasi material G di B. Secara umum G dinyatakan sebagai fungsi terhadap waktu G = Gt)). Himpunan konfigurasi {Gt) : t I} selama interval waktu tertentu dinamakan pergerakan material I R. Setiap elemen G, dituliskan x G R 3 merupakan vektor posisi dari titik material P B pada waktu tertentu t dengan
23 ruang asal O R 3. Pergerakan bodi material pada selang waktu tertentu dinamakan kondisi kinematik, dan bentuk konfigurasi material pada satu waktu tertentu dinamakan kondisi dinamik. Pada kasus ini, kondisi batas untuk lapis batas interface kedua material yang berbeda, kita mengaplikasikan kekontinuan kecepatan, kondisi dinamik untuk tegangan stress), dan kondisi kinematik yang menyatakan permukaan fluida viscoelastis sebagai permukaan material. a. Kekontinuan Kecepatan Pada interface tidak mengalami lompatan kecepatan yang accros terhadap interface. Peristiwa ini menunjukkan pada interface berlaku kekontinuan kecepatan, dan dituliskan [ u ] = 0 3.19) akibatnya u d = u c 3.20) dengan u = ux 1, x 2, t) menyatakan kecepatan pada interface x 2 = x 2 x 1, t) dengan fungsi gangguan yang diberikan oleh bagian real gx 1, t) dengan gx 1, t) = ɛa d e ikx 1 a d menyatakan jari-jari fluida Tak-Newton, dan i menyatakan bilangan satuan imajiner. Jika x 1 bernilai positif, maka benang akan terdeformasi menjadi droplet, sedang jika x 1 bernilai negatif maka benang cenderung tak terdeformasi. b. Kondisi Dinamik Kondisi dinamik untuk tegangan menjelaskan tentang kekontinuan komponen tangensial g dan ketidakkontinuan komponen normal dari vektor
24 tegangan g. Ketidakkontinuan ini diakibatkan adanya tegangan permukaan pada interface sedemikian sehingga fluida terdeformasi membentuk droplet. Misal e x1, e x2, dan merupakan unit vektor basis di sumbu axial dan sumbu radial, maka unit vektor normal n x1 e x1 + n x2 e x2 ) pada interface. Misal pada surface benang viscoelastis dinyatakan dengan x 2 x 1, t) = a d 1 + ɛfx 1, t)) n = = ) e x1 ɛa d f e φ φ ɛa d f e z z ) 2 1 + ɛa d f φ + ɛa d f z e r ɛ f φ e φ ɛa d f ) z e z maka diperoleh dua unit vektor tangen pada interface yang mengalami perturbasi t 1 = ɛa d f φ e r + e φ + Oɛ 2 ) t 2 = ɛa d f z e r + e z + Oɛ 2 ) Setiap vektor tegangan g pada interface linier dengan vektor normal n sedemikian sehingga jika g R 3, maka terdapat pemetaan atau tensor tegangan total τn R 3 ) 2 g = τn kekontinuan komponen tangensial tegangan dan ketidakkontinuan komponen normal tegangan dituliskan [ π ij t j ] = 0 3.21) 1 [ π ij n j ] = σ + 1 ) n i 3.22) R 1 R 2 [ π ij n j ] = σκn i 3.23)
25 σ menyatakan tegangan permukaan dalam satuan Newton/meter), dan R 1 dan R 2 merupakan prinsip radii kurvatur 1 = R 1 1 R 2 = 1 + x 2 2 + 2 x 2 2 + 2 x 2 x 2 1 x 2 x 1 ) 2 ) 3/2 x 2 φ ) 2 2 x x2 1 φ 2 ) ) 2 3/2 x 1 φ c. Kondisi kinematik Adanya kondisi batas memperlihatkan perubahan bentuk silinder tiap detiknya. Perubahan bentuk silinder ini memperlihatkan proses deformasi benang fluida viscoelastis menjadi droplet. Kondisi kinematik tersebut S dapat dinyatakan dengan dx i dt = u i; x i St) 3.24)