PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU, CHALLENGER PUZZLE, DAN N-QUEENS PROBLEM MENGGUNAKAN INTEGER PROGRAMMING ALI VIKRI

PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU, CHALLENGER PUZZLE, DAN N-QUEENS PROBLEM MENGGUNAKAN INTEGER PROGRAMMING ALI VIKRI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Permainan Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem menggunakan Integer Programming adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2014 Ali Vikri NIM G54080032

ABSTRAK ALI VIKRI. Penyelesaian Permainan Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem menggunakan Integer Programming. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan MUHAMMAD ILYAS. Banyak orang menganggap matematika itu sulit sehingga mereka tidak tertarik untuk mempelajarinya. Menyajikan matematika dalam bentuk teka-teki merupakan salah satu cara untuk menarik orang mempelajari matematika secara tidak langsung. Teka-teki akan mengundang rasa ingin tahu seseorang untuk memecahkan masalah. Ketika seseorang dapat menyelesaikan teka-teki, maka secara tidak langsung dia sebenarnya telah mempelajari matematika. Dalam karya ilmiah ini akan diformulasikan beberapa masalah teka-teki matematika yaitu Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem menggunakan integer programming dan diselesaikan menggunakan LINGO 11.0 Kata kunci: Challenger Puzzle, Integer Programming, N-Queens Problem, Sudoku ABSTRACT ALI VIKRI. Completion Sudoku Games, Puzzles Challenger, and the N-Queens Problem using Integer Programming. Supervised by FARIDA HANUM and MUHAMMAD ILYAS. Many people think that mathematics is complicated so they are not interested to learn it. Presenting mathematics in the form of a puzzle is one way to attract people to study mathematics. The puzzle will attract curiosity of someone to solve problems. When someone can solve the puzzle, then it implies that he in fact has studied mathematics. In this paper, some mathematical puzzles are formulated, such as Sudoku, Puzzle Challenger, and the N-Queens Problem using integer programming and are solved by using LINGO 11.0 Keywords: Challenger Puzzle, Integer Programming, N-Queens Problem, Sudoku

PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU, CHALLENGER PUZZLE, DAN N-QUEENS PROBLEM MENGGUNAKAN INTEGER PROGRAMMING ALI VIKRI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

Judul Skripsi : Penyelesaian Permainan Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem Menggunakan Integer Programming Nama : Ali Vikri NIM : G54080032 Disetujui oleh Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing I Muhammad Ilyas, MSi MSc Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga penelitian dengan judul Penyelesaian permainan Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem menggunakan Integer Programming dapat diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Farida Hanum, M.Si dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi MSc selaku pembimbing, serta Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Februari 2014 Ali Vikri

DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 1 DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH 2 Deskripsi Masalah 2 Formulasi Masalah 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 17 Sudoku 17 Challenger Puzzle 20 N-Queens Problem 21 SIMPULAN 23 DAFTAR PUSTAKA 23 LAMPIRAN 24 RIWAYAT HIDUP 51

DAFTAR GAMBAR Contoh Sudoku yang belum diselesaikan... 2 Contoh grid pada Sudoku... 3 Contoh Challenger Puzzle yang belum diselesaikan... 3 Contoh N-Queens Problem yang belum diselesaikan... 4 Contoh Sudoku Tipe 1... 5 Contoh Sudoku Tipe 2... 6 Contoh Sudoku Tipe 3... 7 Contoh Sudoku Tipe 4... 8 Contoh Sudoku Tipe 5... 9 Contoh Sudoku Tipe 6... 10 Contoh Sudoku Tipe 7... 11 Contoh Challenger Puzzle Tipe A... 12 Contoh Challenger Puzzle Tipe B... 13 Contoh Challenger Puzzle Tipe C... 13 Contoh Challenger Puzzle Tipe D... 14 Posisi untuk penjumlahan sel miring pada N-Queens Problem... 16 Sudoku Tipe 1... 17 Sudoku Tipe 2... 17 Sudoku Tipe 3... 18 Sudoku Tipe 4... 18 Sudoku Tipe 5... 19 Sudoku Tipe 6... 19 Sudoku Tipe 7... 20 Challenger Puzzle Tipe A... 20 Challenger Puzzle Tipe B... 21 Challenger Puzzle Tipe C... 21 Challenger Puzzle Tipe D... 21 N-Queens Problem Tipe I... 22 N-Queens Problem Tipe II... 22 N-Queens Problem Tipe III... 23

1 PENDAHULUAN Latar Belakang Banyak orang menganggap matematika itu sulit sehingga tidak tertarik untuk mempelajarinya. Padahal matematika sama saja dengan pelajaran lainnya jika berminat mempelajarinya. Menyajikan matematika dalam bentuk teka-teki merupakan salah satu jalan untuk menarik orang mempelajari matematika secara tidak langsung. Karena dengan teka-teki ini akan mengundang rasa ingin tahu seseorang untuk memecahkan masalah. Ketika seseorang dapat menyelesaikan teka-teki, maka secara tidak langsng dia sebenarnya telah mempelajari matematika. Riset Operasi dapat digunakan untuk memecahkan masalah pengambilan keputusan dalam dunia nyata. Dengan menguraikan ke dalam tiga unsur berikut, yang pertama mengidentifikasi alternatif misalnya variabel keputusan, yang kedua mengidentifikasi kendala dari masalah, dan yang ketiga mengidentifikasi kriteria objektif. Teknik yang banyak digunakan dalam Riset Operasi ialah Pemrograman Linear. Model Integer Programming adalah kasus khusus dari model Pemrograman Linear di mana variabel keputusan dibatasi menjadi nilai integer. Dalam dunia nyata, salah satu penerapan integer programming ialah penyelesaian teka-teki matematika seperti Sudoku, Challenger Puzzle dan N- Queens Problem. Dalam karya ilmiah ini, masalah penyelesaian teka-teki Sudoku dan Challenger Puzzle dimodifikasi dari artikel yang berjudul Teaching Integer Programming via Sudoku and Other Math Puzzles yang ditulis oleh Daryl L. Santos tahun 2007, sedangkan N-Queens Problem diformulasikan sendiri. Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini ialah memformulasikan beberapa masalah tekateki matematika yaitu Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem menggunakan integer programming dan menyelesaikannya menggunakan LINGO 11.0. TINJAUAN PUSTAKA Pada abad ke-18, seorang ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler, mengembangkan konsep Latin squares. Dalam konsep ini, angka atau simbol dalam kotak hanya akan muncul satu kali di setiap baris atau kolom. Jadi, dalam setiap baris atau kolom tidak ada angka atau simbol yang sama. Kemudian, di Amerika Serikat terdapat permainan teka-teki angka yang dinamakan Number Place. Saat itu, permainan ini dimuat di sebuah majalah terbitan Amerika Serikat, Dell Magaziness, di akhir tahun 1970-an. Teka-teki angka yang dimuat ini merupakan pengembangan dari teka-teki yang dibuat oleh Howard Garnes. Pada pertengahan tahun 1980-an, teka-teki angka ini mulai diperkenalkan di Jepang oleh Maki Kaji. Ia adalah pemilik dari Nikoli, Inc, sebuah perusahaan

2 penerbitan di Jepang. Perusahaan tersebut menerbitkan permainan teka-teki angka di sebuah media cetak khusus teka-teki, Monthly Nikolist. Alhasil, teka-teki ini menjadi terkenal di Jepang. Masyarakat Jepang menamakannya dengan Suji wa dokushin ni kagiru yang kemudian disingkat menjadi Sudoku. Dalam bahasa Jepang, sudoku diambil dari kata su yang artinya angka dan doku berarti sendiri. Artinya, dalam permainan ini, hanya boleh ada satu angka dalam satu baris dan kolom (Asal Usul Puzzle Sudoku 2013). Teka-teki angka lainnya yang juga dibahas dalam karya ilmiah ini, adalah Challenger Puzzle yang dimodifikasi dari (Santos 2007). Pada tahun 1848, Max Bezzel memperkenalkan permainan Eight Queens Puzzle. Franz Nauck mengumumkan solusi pertama pada tahun 1850 serta mengembangkan teka-teki ini menjadi N-Queens Problem. Dalam permainan ini terdapat N ratu pada papan catur berukuran. Sejak itu banyak matematikawan, termasuk Carl Friedrich Gauss, mencoba menyelesaikan masalah Eight Queens Puzzle dan N-Queens Problem (Eight Queens Puzzle 2009). Pada karya ilmiah N-Queens Problem yang dibahas hanya yang berukuran 8 8 dengan 8 ratu catur yang tidak saling menyerang satu sama lain. DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH Deskripsi Masalah 1. Sudoku Sudoku adalah sebuah permainan teka-teki berdasarkan logika dengan kombinasi penempatan angka. Pada permainan Sudoku pemain diminta untuk mengisi kotak, sehingga setiap kotak dapat diisi dengan angka 1 sampai dengan angka n itu sendiri. Pada karya ilmiah ini akan dibahas Sudoku yang berukuran 9 9. Pada permainan ini tiap baris dan tiap kolom diisi angka 1 sampai dengan 9 dan tidak boleh ada angka yang sama. Pada Gambar 1 diberikan contoh Sudoku yang belum memiliki solusi. 2 4 6 8 3 5 7 9 2 1 9 7 8 6 9 9 2 1 5 3 Gambar 1 Contoh Sudoku yang belum diselesaikan Pada Sudoku terdapat grid, yaitu sembilan kotak yang berisi angka 1 sampai dengan 9 tanpa pengulangan angka. Bentuk grid sendiri ada yang beraturan dan ada pula yang acak seperti pada Gambar 2.

3 Grid beraturan Grid acak Gambar 2 Contoh grid pada Sudoku Sudoku yang dibahas pada karya ilmiah ini, selain bentuk grid-nya ada yang beraturan maupun acak, juga ditambah grid warna tertentu. Sudoku yang memiliki solusi adalah Sudoku yang telah berisi angka 1 sampai dengan 9 pada setiap baris, kolom dan grid sehingga tidak ada angka yang sama. 2. Challenger Puzzle Challenger Puzzle adalah salah satu jenis teka-teki matematika. Pada tekateki ini disediakan seperangkat sel berukuran dan jumlah semua angka di setiap baris, kolom, dan diagonal sudah ditetapkan, serta beberapa sel telah ditentukan nilai awalnya. Pada karya ilmiah ini akan dibahas Challenger Puzzle yang berukuran 4 4 dan 5 5. Aturan Challenger Puzzle yaitu sel-sel yang kosong diisi dengan angka 1 sampai dengan 9 dan angka-angka tersebut boleh berulang sehingga penjumlahan angka di setiap baris, kolom, dan diagonal sesuai dengan angka yang sudah ditetapkan. 16 17 1 16 5 15 3 16 6 19 2 16 2 14 6 4 16 2 7 16 16 16 16 16 16 16 16 17 20 18 Gambar 3 Contoh Challenger Puzzle yang belum diselesaikan Challenger Puzzle yang memiliki solusi adalah Challenger Puzzle yang semua sel nya telah berisi angka dengan penjumlahan yang tepat. Pada Gambar 3 diberikan contoh Challenger Puzzle yang belum memiliki solusi. 3. N-Queens Problem N-Queens Problem adalah masalah menempatkan N ratu pada papan berukuran sehingga tidak ada dua ratu yang menyerang satu sama lain. Dalam permainan catur, ratu bisa bergerak sejauh yang diinginkan, yaitu horizontal, vertikal, atau diagonal. Sebuah papan catur memiliki 8 baris dan 8

4 kolom. Dengan demikian, solusi permainan ini mensyaratkan bahwa tidak ada dua ratu berbagi baris, kolom, atau diagonal yang sama sehingga tidak satupun dari mereka bisa memukul dalam satu gerakan. Gambar 4 merupakan contoh N- Queens Problem yang belum memiliki solusi. Gambar 4 Contoh N-Queens Problem yang belum diselesaikan Formulasi Masalah 1. Sudoku Dalam karya ilmiah ini, masalah sudoku akan diformulasikan ke dalam integer programming. Indeks yang digunakan: i = 1, 2,..., 9 merupakan indeks untuk baris j = 1, 2,..., 9 merupakan indeks untuk kolom k = 1, 2,..., 9 merupakan indeks untuk nilai sel Variabel keputusan didefinisikan sebagai berikut: ( ) { Terdapat 729 variabel biner. Sudoku Tipe 1 Fungsi objektif: Minimumkan Kendala-kendala yang harus dipenuhi ialah 1. Setiap baris harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 2. Setiap kolom harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.,

5 Terdapat = 81 kendala. 3. Setiap grid harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan. Berikut ini akan diberikan contoh gambar Sudoku Tipe 1. Sudoku Tipe 2 Fungsi objektif: Minimumkan Gambar 5 Contoh Sudoku Tipe 1 Kendala-kendala yang harus dipenuhi ialah 1. Setiap baris harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 2. Setiap kolom harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 3. Setiap grid harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.

6 4. Setiap kotak yang berwarna sama pada diagonal berisi angka 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan.,, i+j=10 5. Setiap kotak yang berwarna sama di atas dan di bawah diagonal berisi angka 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan. + + + + + + + + = 1, + + + + + + + + = 1, Berikut ini akan diberikan contoh gambar Sudoku Tipe 2. Sudoku Tipe 3 Fungsi objektif: Minimumkan Gambar 6 Contoh Sudoku Tipe 2 Kendala-kendala yang harus dipenuhi ialah 1. Setiap baris harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 2. Setiap kolom harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 3. Setiap grid harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.

7 4. Kedua diagonal berisi angka 1 sampai dengan 9 tanpa pengulangan.,, i+j=10,, i=j Berikut ini akan diberikan contoh gambar Sudoku Tipe 3. Sudoku Tipe 4 Fungsi objektif: Minimumkan Gambar 7 Contoh Sudoku Tipe 3 Kendala-kendala yang harus dipenuhi ialah 1. Setiap baris harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 2. Setiap kolom harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 3. Setiap grid harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.

8 4. Pada kotak yang berwarna sama berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan. Berikut ini akan diberikan contoh gambar Sudoku Tipe 4. Sudoku Tipe 5 Fungsi objektif: Minimumkan Gambar 8 Contoh Sudoku Tipe 4 Kendala-kendala yang harus dipenuhi ialah 1. Setiap baris harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 2. Setiap kolom harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala.

9 3. Setiap grid harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan. 4. Kedua diagonal berisi angka 1 sampai dengan 9 tanpa pengulangan.,, i+j=10,, i=j Berikut ini akan diberikan contoh gambar Sudoku Tipe 5. Sudoku Tipe 6 Fungsi objektif: Minimumkan Gambar 9 Contoh Sudoku Tipe 5 Kendala-kendala yang harus dipenuhi ialah 1. Setiap baris harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 2. Setiap kolom harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 3. Setiap grid harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.

10 4. Setiap kotak yang berwarna sama pada diagonal berisi angka 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan.,, i+j=10 5. Setiap kotak yang berwarna sama di atas dan di bawah diagonal berisi angka 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan. Berikut ini akan diberikan contoh gambar Sudoku Tipe 6. Sudoku Tipe 7 Fungsi objektif: Minimumkan Gambar 10 Contoh Sudoku Tipe 6 Kendala-kendala yang harus dipenuhi ialah 1. Setiap baris harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala. 2. Setiap kolom harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan., Terdapat = 81 kendala.

11 3. Setiap grid harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan. 4. Pada kotak yang berwarna sama berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan. Berikut ini akan diberikan contoh gambar Sudoku Tipe 7. Gambar 11 Contoh Sudoku Tipe 7 2. Challenger Puzzle Challenger Puzzle yang akan dibahas ada empat macam, yaitu Tipe A, Tipe B, Tipe C, dan Tipe D. Pada karya ilmiah ini, dipilih angka 16 untuk penjumlahan Tipe A, 25 untuk penjumlahan Tipe B, dan sembarang angka untuk penjumlahan pada Tipe C dan Tipe D. Challenger Puzzle Tipe A dan Tipe C terdiri atas 4 baris dan 4 kolom sedangkan Tipe B dan tipe D terdiri atas 5 baris dan 5 kolom.

12 Variabel keputusan : Misalkan : merupakan angka yang berada pada baris i dan kolom j. Berikut ini akan diberikan contoh Challenger Puzzle untuk Tipe A. 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 Gambar 12 Contoh Challenger Puzzle Tipe A Tipe A Indeks : i = 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk baris j = 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk kolom Fungsi objektif Minimumkan Kendala : 1. Jumlah semua angka di setiap kolom adalah 16., j = 1,2,3,4 2. Jumlah semua angka di setiap baris adalah 16., i = 1,2,3,4 3. Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel adalah 16., i = j, i + j = 5 4. Semua bernilai bilangan bulat positif dari 1 sampai 9. {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, Berikut ini diberikan contoh Challenger Puzzle untuk Tipe B.

13 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 Gambar 13 Contoh Challenger Puzzle Tipe B Tipe B Indeks : i = 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk baris j = 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk kolom Fungsi objektif Minimumkan Kendala : 1. Jumlah semua angka di setiap kolom adalah 25., j = 1,2,3,4,5 2. Jumlah semua angka di setiap baris adalah 25., i = 1,2,3,4,5 3. Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel adalah 25., i = j, i + j = 6 4. Semua bernilai bilangan bulat positif dari 1 sampai 9. {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, Berikut ini diberikan contoh Challenger Puzzle untuk Tipe C. 12 22 17 16 18 24 13 24 12 19 Gambar 14 Contoh Challenger Puzzle Tipe C Tipe C i = 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk baris j = 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk kolom

14 Fungsi objektif Minimumkan Kendala : 1. Jumlah angka di setiap kolom mengikuti angka yang telah ditetapkan. 2. Jumlah angka di setiap baris mengikuti angka yang telah ditetapkan. 3. Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel mengikuti angka yang telah ditetapkan. + + + =12 + + + =19 4. Semua bernilai bilangan bulat positif dari 1 sampai 9. {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, Berikut ini akan diberikan contoh Challenger Puzzle untuk Tipe D. 25 24 29 25 16 21 18 28 20 26 23 29 Gambar 15 Contoh Challenger Puzzle Tipe D Tipe D i = 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk baris j = 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk kolom Fungsi objektif Minimumkan

15 Kendala : 1. Jumlah angka di setiap kolom mengikuti angka yang telah ditetapkan. 2. Jumlah angka di setiap baris mengikuti angka yang telah ditetapkan. 3. Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel mengikuti angka yang telah ditetapkan. + + + + =25 + + + + =29 4. Semua bernilai bilangan bulat positif dari 1 sampai 9. {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 3. N-Queens Problem Indeks : i = 1, 2,..., 8 merupakan indeks untuk baris j = 1, 2,..., 8 merupakan indeks untuk kolom Variabel keputusan : Misalkan : merupakan angka yang berada pada baris i dan kolom j. Fungsi objektif Minimumkan Kendala : 1. Jumlah angka di setiap kolom bernilai 1., j = 1,2,3,4,...,8 2. Jumlah angka di setiap baris bernilai 1., i = 1,2,3,4,...,8 3. Jumlah angka di setiap sel miring bernilai kurang dari atau sama dengan 1., i + j = 3 ( )

16, i + j = 4 ( ), i + j = 5 ( ), i + j = 6 ( ), i + j = 7 ( ), i + j = 8 ( ), i + j = 9 ( ), i + j = 10 ( ), i + j = 11 ( ), i + j = 12 ( ), i + j = 13 ( ), i + j = 14 ( ), i + j = 15 ( ), j = i 6 ( ), j = i 5 ( ), j = i 4 ( ), j = i 3 ( ), j = i 2 ( ), j = i 1 ( ), i = j ( ), j = i + 1 ( ), j = i + 2 ( ), j = i + 3 ( ), j = i + 4 ( ), j = i + 5 ( ), j = i + 6 ( ) Gambar 16 Posisi untuk penjumlahan sel miring pada N-Queens Problem 4. Semua bernilai 0 atau 1. {0,1},

17 HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penyelesaian Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem menggunakan integer programming dan software LINGO 11.0. Sudoku Terdapat tujuh macam tipe Sudoku yang berbeda-beda, akan dibahas satu per satu sesuai dengan tipe nya. 1. Sudoku Tipe 1 Sudoku tipe ini ialah Sudoku yang paling sering ditemukan, karena merupakan Sudoku dasar. Sintaks program LINGO 11.0 dan solusinya dapat dilihat pada Lampiran 1. 4 5 7 6 8 9 4 3 5 7 2 6 8 1 9 2 1 4 7 5 8 2 9 1 3 4 6 7 5 6 7 8 9 5 3 4 6 1 7 8 9 5 3 2 4 5 9 3 1 4 6 5 9 2 3 1 7 4 6 8 1 2 7 3 1 6 4 5 8 2 7 9 3 7 8 3 6 9 2 5 7 8 3 4 6 9 2 5 1 3 8 9 4 6 3 7 8 2 5 1 9 4 6 5 6 9 4 3 2 5 6 9 4 8 1 3 7 9 1 6 3 5 2 9 4 1 6 7 3 5 8 2 Bentuk awal Solusi Gambar 17 Sudoku Tipe 1 2. Sudoku Tipe 2 Sudoku Tipe 2 merupakan Sudoku dengan variasi warna. Pada tipe ini ditambahkan kendala tidak ada pengulangan pada kotak yang memiliki warna yang sama. Sintaks program LINGO 11.0 dan solusinya dapat dilihat pada Lampiran 3. 9 6 2 3 9 4 6 1 2 7 3 8 5 1 5 3 4 6 7 1 8 5 9 3 2 4 6 2 6 4 9 2 5 3 6 8 4 9 1 7 6 9 4 3 7 6 9 1 4 3 8 7 5 2 2 9 1 8 3 5 2 7 9 6 1 8 3 4 3 4 7 2 6 1 3 8 4 7 5 2 6 9 1 7 1 6 3 4 7 2 8 1 9 5 6 3 8 3 4 6 1 9 8 3 5 2 4 6 1 7 9 1 9 3 5 4 2 8 1 6 9 3 7 5 4 2 8 Bentuk awal Solusi Gambar 18 Sudoku Tipe 2

18 3. Sudoku Tipe 3 Sudoku Tipe 3 merupakan Sudoku dengan tambahan kendala tidak ada pengulangan angka pada kedua diagonal Sudoku. Sintaks program LINGO 11.0 dan solusinya dapat dilihat pada Lampiran 4. 3 5 9 2 7 6 4 3 1 5 9 8 2 7 1 2 8 4 6 7 5 9 3 5 9 3 8 4 6 7 5 9 2 3 8 4 6 1 8 4 8 3 6 5 7 2 9 1 4 6 1 3 5 9 4 6 1 3 7 8 2 1 7 6 3 2 1 7 8 9 4 6 3 5 9 8 5 7 2 1 3 4 6 6 2 3 5 1 7 4 6 2 3 8 5 1 7 9 3 9 2 8 3 7 1 9 4 6 2 5 8 Bentuk awal Solusi Gambar 19 Sudoku Tipe 3 4. Sudoku Tipe 4 Sudoku Tipe 4 merupakan Sudoku dengan variasi warna. Selain itu, tidak boleh ada pengulangan angka dalam satu grid dan pada warna yang sama juga tidak boleh ada pengulangan angka. Dibutuhkan ketelitian yang lebih dalam menyelesaikan Sudoku Tipe 4. Sintaks program LINGO 11.0 dan solusinya dapat dilihat pada Lampiran 5. 3 2 8 7 1 5 3 2 6 8 9 7 1 4 9 8 2 3 9 8 4 7 1 5 6 2 3 3 7 6 1 4 3 2 8 9 5 1 5 2 8 1 7 5 9 4 3 2 6 8 6 8 4 9 2 6 1 5 3 7 6 3 1 9 6 2 3 5 7 8 1 4 9 2 3 9 6 8 2 7 4 5 1 4 5 7 2 4 5 8 1 9 6 3 7 2 1 7 5 8 6 2 1 7 3 5 4 9 8 6 Bentuk awal Solusi Gambar 20 Sudoku Tipe 4

5. Sudoku Tipe 5 Sudoku Tipe 5 merupakan Sudoku modifikasi dengan grid acak dan kendala tidak boleh ada pengulangan angka pada kedua diagonal Sudoku. Solusi yang diperoleh melalui LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 6. 4 1 8 3 7 4 9 1 5 8 2 3 6 7 6 7 1 5 9 8 6 4 7 3 1 2 5 9 3 6 9 1 4 2 3 5 6 7 9 8 1 4 9 7 8 6 2 9 7 3 8 4 6 1 2 5 1 6 2 9 3 1 8 6 4 2 5 9 7 3 5 1 3 8 6 7 5 2 1 9 3 4 8 6 6 9 5 7 8 6 1 9 2 5 4 7 3 8 5 4 3 8 9 5 4 7 3 1 8 6 9 2 2 9 7 4 1 3 2 8 9 6 7 5 4 1 Bentuk awal Solusi Gambar 21 Sudoku Tipe 5 19 6. Sudoku Tipe 6 Sudoku Tipe 6 merupakan Sudoku modifikasi dengan kondisi grid acak dengan kendala tidak ada pengulangan pada kotak yang berwarna sama pada sudoku serta sebuah diagonal Sudoku. Solusi yang diperoleh melalui LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 7. 8 1 9 7 3 2 8 5 1 6 9 4 7 3 7 6 3 1 5 7 6 2 3 4 1 8 5 9 5 8 3 6 1 5 9 8 7 3 4 6 2 1 3 4 7 9 8 3 1 4 5 7 2 9 6 8 7 2 8 1 5 4 7 6 2 9 8 3 1 5 9 3 8 6 4 9 3 1 8 5 6 2 4 7 5 6 2 1 9 8 5 7 6 2 3 1 9 4 6 3 1 5 8 6 4 3 9 1 7 5 8 2 2 8 5 7 6 1 2 9 4 8 5 7 3 6 Bentuk awal Solusi Gambar 22 Sudoku Tipe 6

20 7. Sudoku Tipe 7 Sudoku Tipe 7 merupakan Sudoku modifikasi dengan kondisi grid acak dan menggunakan variasi warna. Selain itu, ditambahkan kendala tidak ada pengulangan angka pada kotak yang berwarna sama. Solusi yang diperoleh melalui LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 8. 2 4 1 8 3 2 4 6 7 1 9 8 5 3 7 3 5 2 9 7 1 3 8 5 6 2 4 9 5 2 9 3 6 8 5 4 2 9 3 1 7 6 3 5 4 2 1 9 3 7 5 8 4 6 2 1 6 8 4 3 5 6 8 1 4 2 7 9 3 5 9 6 1 8 7 5 2 9 6 3 1 4 8 7 7 1 2 3 8 4 7 5 1 6 2 3 9 8 9 3 8 5 4 1 9 2 3 7 8 5 6 4 3 8 4 7 2 3 6 8 9 4 5 7 1 2 Bentuk awal Solusi Gambar 23 Sudoku Tipe 7 Challenger Puzzle Pada karya ilmiah ini Challenger Puzzle memiliki empat tipe, yaitu Tipe A, Tipe B, Tipe C, dan Tipe D. Tipe A dan Tipe C berukuran 4 4 sedangkan Tipe B dan Tipe D berukuran 5 5. Pada Gambar 12, 13, 14, dan 15 terdapat Challenger Puzzle yang belum dan yang sudah memiliki solusi. Solusi yang diperoleh melalui LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 8, 9, 10, dan 11. 1. Tipe A 16 16 4 16 4 6 2 4 16 3 16 3 5 2 6 16 4 16 3 4 5 4 16 6 7 16 6 1 7 2 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 Bentuk awal Gambar 24 Challenger Puzzle Tipe A Solusi

21 2. Tipe B 25 25 2 6 25 1 2 9 7 6 25 3 25 3 9 9 2 2 25 4 25 5 9 4 6 1 25 25 7 4 1 4 9 25 7 25 9 1 2 6 7 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 Bentuk awal Solusi Gambar 25 Challenger Puzzle Tipe B 3. Tipe C 12 12 5 2 22 5 7 8 2 22 4 17 9 3 4 1 17 6 16 6 2 5 3 16 1 6 18 4 1 7 6 18 24 13 24 12 19 24 13 24 12 19 Bentuk awal Gambar 26 Challenger Puzzle Tipe C Solusi 4. Tipe D 25 25 8 5 24 8 6 3 2 5 24 7 6 29 4 7 3 6 9 29 2 1 25 2 5 9 8 1 25 4 16 1 2 4 3 6 16 8 2 21 3 8 1 7 2 21 18 28 20 26 23 29 18 28 20 26 23 29 Bentuk awal Solusi Gambar 27 Challenger Puzzle Tipe D N-Queens Problem N-Queens Problem adalah permainan untuk menempatkan ratu catur agar tidak saling menyerang satu sama lain. Ada 3 tipe yang diambil dalam contoh kasus ini, yaitu Tipe I, II, dan III. Pada Tipe I diberikan kondisi awal berupa papan catur tanpa ratu catur, sedangkan pada Tipe II dan Tipe III terdapat beberapa ratu catur. Papan catur sebelah kiri pada Gambar 12, 13, dan 14 merupakan kondisi awal, sedangkan yang di sebelah kanan merupakan papan catur yang sudah memiliki solusi. Solusi yang diperoleh melalui LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 13, 14, dan 15.

22 1. Tipe 1 Bentuk awal Solusi Gambar 28 N-Queens Problem Tipe I 2. Tipe II Bentuk awal Solusi Gambar 29 N-Queens Problem Tipe II

23 3. Tipe III Bentuk awal Solusi Gambar 30 N-Queens Problem Tipe III SIMPULAN Sudoku, Challenger Puzzles, dan N-Queens Problem dapat diformulasikan menggunakan integer programming dan diselesaikan menggunakan LINGO 11.0 DAFTAR PUSTAKA Asal Usul Puzzle Sudoku. 2013. [diunduh 7 Oktober 2013]; Tersedia pada: http://www.blackits.net/id/art-and-culture/the-origins-of-the-sudokupuzzle.html Eight Queens Puzzle. 2009. [diunduh 9 Oktober 2013]; Tersedia pada: http://www.reachinformation.com/define/eight%20queens%20puzzle.aspx#s12 Santos DL. 2007. Teaching Integer Programming via Sudoku and Other Math Puzzles. Di dalam: Bayraksan G, Lin W, San Y, Wysk R, editor. Proceedings of the 2007 Industrial Engineering Reseacrh Conference. Norcross, United States (US). Institute of Industrial Engineers. hlm 1060-1065.

24 Lampiran 1 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 1 dan solusinya model: sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/; LINK(row,col,val):X; endsets X(1,1,4)=1;X(1,3,5)=1;X(1,4,7)=1;X(1,6,6)=1;X(1,7,8)=1;X(1,9,9)=1;X(2,2,2)=1;X(2,4,1)=1;X(2, 6,4)=1;X(2,8,7)=1;X(2,9,5)=1;X(3,1,6)=1;X(3,3,7)=1; X(3,4,8)=1;X(3,5,9)=1;X(3,6,5)=1;X(3,7,3)=1;X(3,9,4)=1;X(4,1,5)=1;X(4,2,9)=1;X(4,4,3)=1;X(4, 5,1)=1;X(4,7,4)=1;X(4,8,6)=1;X(5,1,1)=1;X(5,6,2)=1; X(5,7,7)=1;X(5,9,3)=1;X(6,1,7)=1;X(6,2,8)=1;X(6,3,3)=1;X(6,5,6)=1;X(6,6,9)=1;X(6,7,2)=1;X(6, 8,5)=1;X(7,1,3)=1;X(7,3,8)=1;X(7,7,9)=1;X(7,8,4)=1; X(7,9,6)=1;X(8,2,5)=1;X(8,3,6)=1;X(8,4,9)=1;X(8,5,4)=1;X(8,8,3)=1;X(9,1,9)=1;X(9,3,1)=1;X(9, 4,6)=1;X(9,6,3)=1;X(9,7,5)=1;X(9,9,2)=1; Min=X(1,1,1); @FOR(row(i):@FOR(val(k):@SUM(col(j):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(val(k):@SUM(row(i):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(row(i):@SUM(val(k):X(i,j,k))=1)); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k )))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(row(i):@FOR(val(k):@FOR(col(j):@BIN(X(i,j,k))))); end end Solusi Sudoku Tipe 1 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X( 1, 1, 4) 1.000000 0.000000 X( 1, 2, 3) 1.000000 0.000000 X( 1, 3, 5) 1.000000 0.000000 X( 1, 4, 7) 1.000000 0.000000 X( 1, 5, 2) 1.000000 0.000000 X( 1, 6, 6) 1.000000 0.000000 X( 1, 7, 8) 1.000000 0.000000 X( 1, 8, 1) 1.000000 0.000000 X( 1, 9, 9) 1.000000 0.000000 X( 2, 1, 8) 1.000000 0.000000

X( 2, 2, 2) 1.000000 0.000000 X( 2, 3, 9) 1.000000 0.000000 X( 2, 4, 1) 1.000000 0.000000 X( 2, 5, 3) 1.000000 0.000000 X( 2, 6, 4) 1.000000 0.000000 X( 2, 7, 6) 1.000000 0.000000 X( 2, 8, 7) 1.000000 0.000000 X( 2, 9, 5) 1.000000 0.000000 X( 3, 1, 6) 1.000000 0.000000 X( 3, 2, 1) 1.000000 0.000000 X( 3, 3, 7) 1.000000 0.000000 X( 3, 4, 8) 1.000000 0.000000 X( 3, 5, 9) 1.000000 0.000000 X( 3, 6, 5) 1.000000 0.000000 X( 3, 7, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 8, 2) 1.000000 0.000000 X( 3, 9, 4) 1.000000 0.000000 X( 4, 1, 5) 1.000000 0.000000 X( 4, 2, 9) 1.000000 0.000000 X( 4, 3, 2) 1.000000 0.000000 X( 4, 4, 3) 1.000000 0.000000 X( 4, 5, 1) 1.000000 0.000000 X( 4, 6, 7) 1.000000 0.000000 X( 4, 7, 4) 1.000000 0.000000 X( 4, 8, 6) 1.000000 0.000000 X( 4, 9, 8) 1.000000 0.000000 X( 5, 1, 1) 1.000000 0.000000 X( 5, 2, 6) 1.000000 0.000000 X( 5, 3, 4) 1.000000 0.000000 X( 5, 4, 5) 1.000000 0.000000 X( 5, 5, 8) 1.000000 0.000000 X( 5, 6, 2) 1.000000 0.000000 X( 5, 7, 7) 1.000000 0.000000 X( 5, 8, 9) 1.000000 0.000000 X( 5, 9, 3) 1.000000 0.000000 X( 6, 1, 7) 1.000000 0.000000 X( 6, 2, 8) 1.000000 0.000000 X( 6, 3, 3) 1.000000 0.000000 X( 6, 4, 4) 1.000000 0.000000 X( 6, 5, 6) 1.000000 0.000000 X( 6, 6, 9) 1.000000 0.000000 X( 6, 7, 2) 1.000000 0.000000 X( 6, 8, 5) 1.000000 0.000000 X( 6, 9, 1) 1.000000 0.000000 X( 7, 1, 3) 1.000000 0.000000 X( 7, 2, 7) 1.000000 0.000000 X( 7, 3, 8) 1.000000 0.000000 X( 7, 4, 2) 1.000000 0.000000 X( 7, 5, 5) 1.000000 0.000000 X( 7, 6, 1) 1.000000 0.000000 X( 7, 7, 9) 1.000000 0.000000 X( 7, 8, 4) 1.000000 0.000000 X( 7, 9, 6) 1.000000 0.000000 X( 8, 1, 2) 1.000000 0.000000 X( 8, 2, 5) 1.000000 0.000000 X( 8, 3, 6) 1.000000 0.000000 X( 8, 4, 9) 1.000000 0.000000 X( 8, 5, 4) 1.000000 0.000000 25

26 X( 8, 6, 8) 1.000000 0.000000 X( 8, 7, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 8, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 9, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 1, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 2, 4) 1.000000 0.000000 X( 9, 3, 1) 1.000000 0.000000 X( 9, 4, 6) 1.000000 0.000000 X( 9, 5, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 6, 3) 1.000000 0.000000 X( 9, 7, 5) 1.000000 0.000000 X( 9, 8, 8) 1.000000 0.000000 X( 9, 9, 2) 1.000000 0.000000 Lampiran 2 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 2 dan solusinya model: sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/; LINK(row,col,val):X; endsets X(1,1,9)=1;X(1,3,6)=1;X(1,5,2)=1;X(1,7,3)=1;X(1,9,5)=1;X(2,2,1)=1;X(2,4,5)=1;X(2,6,3)=1;X(2, 8,4)=1;X(2,9,6)=1; X(3,1,2)=1;X(3,4,6)=1;X(3,6,4)=1;X(3,7,9)=1;X(4,1,6)=1;X(4,2,9)=1;X(4,4,4)=1;X(4,5,3)=1;X(4, 7,7)=1;X(5,2,2)=1; X(5,4,9)=1;X(5,6,1)=1;X(5,7,8)=1;X(5,8,3)=1;X(6,1,3)=1;X(6,3,4)=1;X(6,4,7)=1;X(6,6,2)=1;X(6, 7,6)=1;X(6,9,1)=1; X(7,2,7)=1;X(7,5,1)=1;X(7,8,6)=1;X(7,9,3)=1;X(8,1,8)=1;X(8,2,3)=1;X(8,5,4)=1;X(8,6,6)=1;X(8, 7,1)=1;X(8,9,9)=1; X(9,1,1)=1;X(9,3,9)=1;X(9,4,3)=1;X(9,6,5)=1;X(9,7,4)=1;X(9,8,2)=1;X(9,9,8)=1; MIN=X(1,1,1); @FOR(row(i):@FOR(val(k):@SUM(col(j):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(val(k):@SUM(row(i):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(row(i):@SUM(val(k):X(i,j,k))=1)); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k )))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):(X(1,9,k)+X(2,8,k)+X(3,7,k)+X(4,6,k)+X(5,5,k)+X(6,4,k)+X(7,3,k)+X(8,2,k)+X(9, 1,k))=1); @FOR(val(k):(X(5,7,k)+X(6,6,k)+X(7,5,k)+X(8,6,k)+X(9,7,k)+X(8,8,k)+X(7,9,k)+X(6,8,k)+X(7, 7,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,3,k)+X(2,2,k)+X(2,4,k)+X(3,1,k)+X(3,3,k)+X(3,5,k)+X(4,2,k)+X(4,4,k)+X(5, 3,k))=1);

27 @FOR(row(i):@FOR(val(k):@FOR(col(j):@BIN(X(i,j,k))))); end Solusi Sudoku Tipe 2 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X( 1, 1, 9) 1.000000 0.000000 X( 1, 2, 4) 1.000000 0.000000 X( 1, 3, 6) 1.000000 0.000000 X( 1, 4, 1) 1.000000 0.000000 X( 1, 5, 2) 1.000000 0.000000 X( 1, 6, 7) 1.000000 0.000000 X( 1, 7, 3) 1.000000 0.000000 X( 1, 8, 8) 1.000000 0.000000 X( 1, 9, 5) 1.000000 0.000000 X( 2, 1, 7) 1.000000 0.000000 X( 2, 2, 1) 1.000000 0.000000 X( 2, 3, 8) 1.000000 0.000000 X( 2, 4, 5) 1.000000 0.000000 X( 2, 5, 9) 1.000000 0.000000 X( 2, 6, 3) 1.000000 0.000000 X( 2, 7, 2) 1.000000 0.000000 X( 2, 8, 4) 1.000000 0.000000 X( 2, 9, 6) 1.000000 0.000000 X( 3, 1, 2) 1.000000 0.000000 X( 3, 2, 5) 1.000000 0.000000 X( 3, 3, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 4, 6) 1.000000 0.000000 X( 3, 5, 8) 1.000000 0.000000 X( 3, 6, 4) 1.000000 0.000000 X( 3, 7, 9) 1.000000 0.000000 X( 3, 8, 1) 1.000000 0.000000 X( 3, 9, 7) 1.000000 0.000000 X( 4, 1, 6) 1.000000 0.000000 X( 4, 2, 9) 1.000000 0.000000 X( 4, 3, 1) 1.000000 0.000000 X( 4, 4, 4) 1.000000 0.000000 X( 4, 5, 3) 1.000000 0.000000 X( 4, 6, 8) 1.000000 0.000000 X( 4, 7, 7) 1.000000 0.000000 X( 4, 8, 5) 1.000000 0.000000 X( 4, 9, 2) 1.000000 0.000000 X( 5, 1, 5) 1.000000 0.000000 X( 5, 2, 2) 1.000000 0.000000 X( 5, 3, 7) 1.000000 0.000000 X( 5, 4, 9) 1.000000 0.000000 X( 5, 5, 6) 1.000000 0.000000 X( 5, 6, 1) 1.000000 0.000000 X( 5, 7, 8) 1.000000 0.000000 X( 5, 8, 3) 1.000000 0.000000 X( 5, 9, 4) 1.000000 0.000000

28 X( 6, 1, 3) 1.000000 0.000000 X( 6, 2, 8) 1.000000 0.000000 X( 6, 3, 4) 1.000000 0.000000 X( 6, 4, 7) 1.000000 0.000000 X( 6, 5, 5) 1.000000 0.000000 X( 6, 6, 2) 1.000000 0.000000 X( 6, 7, 6) 1.000000 0.000000 X( 6, 8, 9) 1.000000 0.000000 X( 6, 9, 1) 1.000000 0.000000 X( 7, 1, 4) 1.000000 0.000000 X( 7, 2, 7) 1.000000 0.000000 X( 7, 3, 2) 1.000000 0.000000 X( 7, 4, 8) 1.000000 0.000000 X( 7, 5, 1) 1.000000 0.000000 X( 7, 6, 9) 1.000000 0.000000 X( 7, 7, 5) 1.000000 0.000000 X( 7, 8, 6) 1.000000 0.000000 X( 7, 9, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 1, 8) 1.000000 0.000000 X( 8, 2, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 3, 5) 1.000000 0.000000 X( 8, 4, 2) 1.000000 0.000000 X( 8, 5, 4) 1.000000 0.000000 X( 8, 6, 6) 1.000000 0.000000 X( 8, 7, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 8, 7) 1.000000 0.000000 X( 8, 9, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 1, 1) 1.000000 0.000000 X( 9, 2, 6) 1.000000 0.000000 X( 9, 3, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 4, 3) 1.000000 0.000000 X( 9, 5, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 6, 5) 1.000000 0.000000 X( 9, 7, 4) 1.000000 0.000000 X( 9, 8, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 9, 8) 1.000000 0.000000 Lampiran 3 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 3 dan solusinya model: sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/; LINK(row,col,val):X; endsets X(1,3,3)=1;X(1,5,5)=1;X(1,6,9)=1;X(1,8,2)=1;X(1,9,7)=1; X(3,2,5)=1;X(3,3,9)=1;X(3,5,3)=1;X(3,6,8)=1;X(3,7,4)=1; X(3,8,6)=1;X(4,1,8)=1;X(4,9,4)=1;X(5,4,6)=1;X(5,5,1)=1; X(5,6,3)=1;X(6,2,1)=1;X(6,3,7)=1;X(6,7,6)=1;X(6,8,3)=1; X(8,2,6)=1;X(8,3,2)=1;X(8,4,3)=1;X(8,6,5)=1;X(8,7,1)=1; X(8,8,7)=1;X(9,1,3)=1;X(9,4,9)=1;X(9,7,2)=1;X(9,9,8)=1; Min=X(1,1,1); @FOR(row(i):@FOR(val(k):@SUM(col(j):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(val(k):@SUM(row(i):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(row(i):@SUM(val(k):X(i,j,k))=1)); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1);

29 @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k )))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):(X(1,9,k)+X(2,8,k)+X(3,7,k)+X(4,6,k)+X(5,5,k)+X(6,4,k)+X(7,3,k)+X(8,2,k)+X(9, 1,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,1,k)+X(2,2,k)+X(3,3,k)+X(4,4,k)+X(5,5,k)+X(6,6,k)+X(7,7,k)+X(8,8,k)+X(9, 9,k))=1); @FOR(row(i):@FOR(val(k):@FOR(col(j):@BIN(X(i,j,k))))); end Solusi Sudoku Tipe 3 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X( 1, 1, 6) 1.000000 0.000000 X( 1, 2, 4) 1.000000 0.000000 X( 1, 3, 3) 1.000000 0.000000 X( 1, 4, 1) 1.000000 0.000000 X( 1, 5, 5) 1.000000 0.000000 X( 1, 6, 9) 1.000000 0.000000 X( 1, 7, 8) 1.000000 0.000000 X( 1, 8, 2) 1.000000 0.000000 X( 1, 9, 7) 1.000000 0.000000 X( 2, 1, 1) 1.000000 0.000000 X( 2, 2, 2) 1.000000 0.000000 X( 2, 3, 8) 1.000000 0.000000 X( 2, 4, 4) 1.000000 0.000000 X( 2, 5, 6) 1.000000 0.000000 X( 2, 6, 7) 1.000000 0.000000 X( 2, 7, 5) 1.000000 0.000000 X( 2, 8, 9) 1.000000 0.000000 X( 2, 9, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 1, 7) 1.000000 0.000000 X( 3, 2, 5) 1.000000 0.000000 X( 3, 3, 9) 1.000000 0.000000 X( 3, 4, 2) 1.000000 0.000000 X( 3, 5, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 6, 8) 1.000000 0.000000 X( 3, 7, 4) 1.000000 0.000000 X( 3, 8, 6) 1.000000 0.000000 X( 3, 9, 1) 1.000000 0.000000 X( 4, 1, 8) 1.000000 0.000000 X( 4, 2, 3) 1.000000 0.000000 X( 4, 3, 6) 1.000000 0.000000

30 X( 4, 4, 5) 1.000000 0.000000 X( 4, 5, 7) 1.000000 0.000000 X( 4, 6, 2) 1.000000 0.000000 X( 4, 7, 9) 1.000000 0.000000 X( 4, 8, 1) 1.000000 0.000000 X( 4, 9, 4) 1.000000 0.000000 X( 5, 1, 5) 1.000000 0.000000 X( 5, 2, 9) 1.000000 0.000000 X( 5, 3, 4) 1.000000 0.000000 X( 5, 4, 6) 1.000000 0.000000 X( 5, 5, 1) 1.000000 0.000000 X( 5, 6, 3) 1.000000 0.000000 X( 5, 7, 7) 1.000000 0.000000 X( 5, 8, 8) 1.000000 0.000000 X( 5, 9, 2) 1.000000 0.000000 X( 6, 1, 2) 1.000000 0.000000 X( 6, 2, 1) 1.000000 0.000000 X( 6, 3, 7) 1.000000 0.000000 X( 6, 4, 8) 1.000000 0.000000 X( 6, 5, 9) 1.000000 0.000000 X( 6, 6, 4) 1.000000 0.000000 X( 6, 7, 6) 1.000000 0.000000 X( 6, 8, 3) 1.000000 0.000000 X( 6, 9, 5) 1.000000 0.000000 X( 7, 1, 9) 1.000000 0.000000 X( 7, 2, 8) 1.000000 0.000000 X( 7, 3, 5) 1.000000 0.000000 X( 7, 4, 7) 1.000000 0.000000 X( 7, 5, 2) 1.000000 0.000000 X( 7, 6, 1) 1.000000 0.000000 X( 7, 7, 3) 1.000000 0.000000 X( 7, 8, 4) 1.000000 0.000000 X( 7, 9, 6) 1.000000 0.000000 X( 8, 1, 4) 1.000000 0.000000 X( 8, 2, 6) 1.000000 0.000000 X( 8, 3, 2) 1.000000 0.000000 X( 8, 4, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 5, 8) 1.000000 0.000000 X( 8, 6, 5) 1.000000 0.000000 X( 8, 7, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 8, 7) 1.000000 0.000000 X( 8, 9, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 1, 3) 1.000000 0.000000 X( 9, 2, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 3, 1) 1.000000 0.000000 X( 9, 4, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 5, 4) 1.000000 0.000000 X( 9, 6, 6) 1.000000 0.000000 X( 9, 7, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 8, 5) 1.000000 0.000000 X( 9, 9, 8) 1.000000 0.000000

31 Lampiran 4 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 4 dan solusinya model: sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/; LINK(row,col,val):X; endsets X(1,2,3)=1;X(1,3,2)=1;X(1,5,8)=1;X(1,7,7)=1;X(1,8,1)=1; X(2,1,9)=1;X(2,2,8)=1;X(2,8,2)=1;X(2,9,3)=1;X(3,5,3)=1; X(4,1,1)=1;X(4,3,5)=1;X(4,7,2)=1;X(4,9,8)=1;X(5,5,6)=1; X(6,1,6)=1;X(6,3,3)=1;X(6,7,1)=1;X(6,9,9)=1;X(7,5,2)=1; X(8,1,4)=1;X(8,2,5)=1;X(8,8,7)=1;X(8,9,2)=1;X(9,2,1)=1; X(9,3,7)=1;X(9,5,5)=1;X(9,8,8)=1;X(9,9,6)=1; Min=X(1,1,1); @FOR(row(i):@FOR(val(k):@SUM(col(j):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(val(k):@SUM(row(i):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(row(i):@SUM(val(k):X(i,j,k))=1)); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#le#3:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k )))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#le#6#and#i#ge#4:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#3:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#le#6#and#j#ge#4:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j) j#ge#7:@sum(row(i) i#ge#7:x(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):(X(1,1,k)+X(1,4,k)+X(1,7,k)+X(4,1,k)+X(4,4,k)+X(4,7,k)+X(7,1,k)+X(7,4,k)+X(7, 7,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,2,k)+X(1,5,k)+X(1,8,k)+X(4,2,k)+X(4,5,k)+X(4,8,k)+X(7,2,k)+X(7,5,k)+X(7, 8,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,3,k)+X(1,6,k)+X(1,9,k)+X(4,3,k)+X(4,6,k)+X(4,9,k)+X(7,3,k)+X(7,6,k)+X(7, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(2,1,k)+X(2,4,k)+X(2,7,k)+X(5,1,k)+X(5,4,k)+X(5,7,k)+X(8,1,k)+X(8,4,k)+X(8, 7,k))=1); @FOR(val(k):(X(2,2,k)+X(2,5,k)+X(2,8,k)+X(5,2,k)+X(5,5,k)+X(5,8,k)+X(8,2,k)+X(8,5,k)+X(8, 8,k))=1); @FOR(val(k):(X(2,3,k)+X(2,6,k)+X(2,9,k)+X(5,3,k)+X(5,6,k)+X(5,9,k)+X(8,3,k)+X(8,6,k)+X(8, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(3,1,k)+X(3,4,k)+X(3,7,k)+X(6,1,k)+X(6,4,k)+X(6,7,k)+X(9,1,k)+X(9,4,k)+X(9, 7,k))=1); @FOR(val(k):(X(3,2,k)+X(3,5,k)+X(3,8,k)+X(6,2,k)+X(6,5,k)+X(6,8,k)+X(9,2,k)+X(9,5,k)+X(9, 8,k))=1); @FOR(val(k):(X(3,3,k)+X(3,6,k)+X(3,9,k)+X(6,3,k)+X(6,6,k)+X(6,9,k)+X(9,3,k)+X(9,6,k)+X(9, 9,k))=1); @FOR(row(i):@FOR(val(k):@FOR(col(j):@BIN(X(i,j,k))))); End

32 Solusi Sudoku Tipe 4 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X( 1, 1, 5) 1.000000 0.000000 X( 1, 2, 3) 1.000000 0.000000 X( 1, 3, 2) 1.000000 0.000000 X( 1, 4, 6) 1.000000 0.000000 X( 1, 5, 8) 1.000000 0.000000 X( 1, 6, 9) 1.000000 0.000000 X( 1, 7, 7) 1.000000 0.000000 X( 1, 8, 1) 1.000000 0.000000 X( 1, 9, 4) 1.000000 0.000000 X( 2, 1, 9) 1.000000 0.000000 X( 2, 2, 8) 1.000000 0.000000 X( 2, 3, 4) 1.000000 0.000000 X( 2, 4, 7) 1.000000 0.000000 X( 2, 5, 1) 1.000000 0.000000 X( 2, 6, 5) 1.000000 0.000000 X( 2, 7, 6) 1.000000 0.000000 X( 2, 8, 2) 1.000000 0.000000 X( 2, 9, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 1, 7) 1.000000 0.000000 X( 3, 2, 6) 1.000000 0.000000 X( 3, 3, 1) 1.000000 0.000000 X( 3, 4, 4) 1.000000 0.000000 X( 3, 5, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 6, 2) 1.000000 0.000000 X( 3, 7, 8) 1.000000 0.000000 X( 3, 8, 9) 1.000000 0.000000 X( 3, 9, 5) 1.000000 0.000000 X( 4, 1, 1) 1.000000 0.000000 X( 4, 2, 7) 1.000000 0.000000 X( 4, 3, 5) 1.000000 0.000000 X( 4, 4, 9) 1.000000 0.000000 X( 4, 5, 4) 1.000000 0.000000 X( 4, 6, 3) 1.000000 0.000000 X( 4, 7, 2) 1.000000 0.000000 X( 4, 8, 6) 1.000000 0.000000 X( 4, 9, 8) 1.000000 0.000000 X( 5, 1, 8) 1.000000 0.000000 X( 5, 2, 4) 1.000000 0.000000 X( 5, 3, 9) 1.000000 0.000000 X( 5, 4, 2) 1.000000 0.000000 X( 5, 5, 6) 1.000000 0.000000 X( 5, 6, 1) 1.000000 0.000000 X( 5, 7, 5) 1.000000 0.000000 X( 5, 8, 3) 1.000000 0.000000 X( 5, 9, 7) 1.000000 0.000000 X( 6, 1, 6) 1.000000 0.000000 X( 6, 2, 2) 1.000000 0.000000 X( 6, 3, 3) 1.000000 0.000000 X( 6, 4, 5) 1.000000 0.000000 X( 6, 5, 7) 1.000000 0.000000

33 X( 6, 6, 8) 1.000000 0.000000 X( 6, 7, 1) 1.000000 0.000000 X( 6, 8, 4) 1.000000 0.000000 X( 6, 9, 9) 1.000000 0.000000 X( 7, 1, 3) 1.000000 0.000000 X( 7, 2, 9) 1.000000 0.000000 X( 7, 3, 6) 1.000000 0.000000 X( 7, 4, 8) 1.000000 0.000000 X( 7, 5, 2) 1.000000 0.000000 X( 7, 6, 7) 1.000000 0.000000 X( 7, 7, 4) 1.000000 0.000000 X( 7, 8, 5) 1.000000 0.000000 X( 7, 9, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 1, 4) 1.000000 0.000000 X( 8, 2, 5) 1.000000 0.000000 X( 8, 3, 8) 1.000000 0.000000 X( 8, 4, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 5, 9) 1.000000 0.000000 X( 8, 6, 6) 1.000000 0.000000 X( 8, 7, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 8, 7) 1.000000 0.000000 X( 8, 9, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 1, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 2, 1) 1.000000 0.000000 X( 9, 3, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 4, 3) 1.000000 0.000000 X( 9, 5, 5) 1.000000 0.000000 X( 9, 6, 4) 1.000000 0.000000 X( 9, 7, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 8, 8) 1.000000 0.000000 X( 9, 9, 6) 1.000000 0.000000 Lampiran 5 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 5 dan solusinya model: sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/; LINK(row,col,val):X; endsets X(1,1,4)=1;X(1,3,1)=1;X(1,5,8)=1;X(1,7,3)=1;X(1,9,7)=1; X(2,2,6)=1;X(2,4,7)=1;X(2,6,1)=1;X(2,8,5)=1;X(2,9,9)=1; X(3,2,3)=1;X(3,4,6)=1;X(3,6,9)=1;X(3,8,1)=1;X(3,9,4)=1; X(4,1,9)=1;X(4,2,7)=1;X(4,4,8)=1;X(4,6,6)=1;X(4,8,2)=1; X(5,1,1)=1;X(5,3,6)=1;X(5,5,2)=1;X(5,7,9)=1;X(5,9,3)=1; X(6,2,5)=1;X(6,4,1)=1;X(6,6,3)=1;X(6,7,8)=1;X(6,9,6)=1; X(7,1,6)=1;X(7,3,9)=1;X(7,5,5)=1;X(7,7,7)=1;X(7,9,8)=1; X(8,1,5)=1;X(8,2,4)=1;X(8,4,3)=1;X(8,6,8)=1;X(8,8,9)=1; X(9,2,2)=1;X(9,4,9)=1;X(9,6,7)=1;X(9,8,4)=1;X(9,9,1)=1; MIN=X(1,1,1); @FOR(row(i):@FOR(val(k):@SUM(col(j):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(val(k):@SUM(row(i):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(row(i):@SUM(val(k):X(i,j,k))=1)); @FOR(val(k):(X(1,1,k)+X(2,1,k)+X(2,2,k)+X(3,1,k)+X(3,2,k)+X(3,3,k)+X(4,1,k)+X(4,2,k)+X(5, 1,k))=1);

34 @FOR(val(k):(X(1,2,k)+X(1,3,k)+X(1,4,k)+X(1,5,k)+X(1,6,k)+X(2,3,k)+X(2,4,k)+X(2,5,k)+X(3, 4,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,7,k)+X(1,8,k)+X(1,9,k)+X(2,7,k)+X(2,8,k)+X(2,9,k)+X(3,7,k)+X(3,8,k)+X(3, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(4,3,k)+X(5,2,k)+X(5,3,k)+X(5,4,k)+X(6,1,k)+X(6,2,k)+X(6,3,k)+X(6,4,k)+X(6, 5,k))=1); @FOR(val(k):(X(2,6,k)+X(3,5,k)+X(3,6,k)+X(4,4,k)+X(4,5,k)+X(4,6,k)+X(5,5,k)+X(5,6,k)+X(6, 6,k))=1); @FOR(val(k):(X(4,7,k)+X(4,8,k)+X(4,9,k)+X(5,7,k)+X(5,9,k)+X(6,7,k)+X(6,9,k)+X(7,7,k)+X(7, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(7,1,k)+X(7,2,k)+X(7,3,k)+X(8,1,k)+X(8,2,k)+X(8,3,k)+X(9,1,k)+X(9,2,k)+X(9, 3,k))=1); @FOR(val(k):(X(7,4,k)+X(7,5,k)+X(7,6,k)+X(8,4,k)+X(8,5,k)+X(8,6,k)+X(9,4,k)+X(9,5,k)+X(9, 6,k))=1); @FOR(val(k):(X(5,8,k)+X(6,8,k)+X(7,8,k)+X(8,7,k)+X(8,8,k)+X(8,9,k)+X(9,7,k)+X(9,8,k)+X(9, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,1,k)+X(1,4,k)+X(1,7,k)+X(4,1,k)+X(4,4,k)+X(4,7,k)+X(7,1,k)+X(7,4,k)+X(7, 7,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,2,k)+X(1,5,k)+X(1,8,k)+X(4,2,k)+X(4,5,k)+X(4,8,k)+X(7,2,k)+X(7,5,k)+X(7, 8,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,3,k)+X(1,6,k)+X(1,9,k)+X(4,3,k)+X(4,6,k)+X(4,9,k)+X(7,3,k)+X(7,6,k)+X(7, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(2,1,k)+X(2,4,k)+X(2,7,k)+X(5,1,k)+X(5,4,k)+X(5,7,k)+X(8,1,k)+X(8,4,k)+X(8, 7,k))=1); @FOR(val(k):(X(2,2,k)+X(2,5,k)+X(2,8,k)+X(5,2,k)+X(5,5,k)+X(5,8,k)+X(8,2,k)+X(8,5,k)+X(8, 8,k))=1); @FOR(val(k):(X(2,3,k)+X(2,6,k)+X(2,9,k)+X(5,3,k)+X(5,6,k)+X(5,9,k)+X(8,3,k)+X(8,6,k)+X(8, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(3,1,k)+X(3,4,k)+X(3,7,k)+X(6,1,k)+X(6,4,k)+X(6,7,k)+X(9,1,k)+X(9,4,k)+X(9, 7,k))=1); @FOR(val(k):(X(3,2,k)+X(3,5,k)+X(3,8,k)+X(6,2,k)+X(6,5,k)+X(6,8,k)+X(9,2,k)+X(9,5,k)+X(9, 8,k))=1); @FOR(val(k):(X(3,3,k)+X(3,6,k)+X(3,9,k)+X(6,3,k)+X(6,6,k)+X(6,9,k)+X(9,3,k)+X(9,6,k)+X(9, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,9,k)+X(2,8,k)+X(3,7,k)+X(4,6,k)+X(5,5,k)+X(6,4,k)+X(7,3,k)+X(8,2,k)+X(9, 1,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,1,k)+X(2,2,k)+X(3,3,k)+X(4,4,k)+X(5,5,k)+X(6,6,k)+X(7,7,k)+X(8,8,k)+X(9, 9,k))=1); @FOR(row(i):@FOR(val(k):@FOR(col(j):@BIN(X(i,j,k))))); end Solusi Sudoku Tipe 5 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X( 1, 1, 4) 1.000000 0.000000 X( 1, 2, 9) 1.000000 0.000000 X( 1, 3, 1) 1.000000 0.000000 X( 1, 4, 5) 1.000000 0.000000 X( 1, 5, 8) 1.000000 0.000000 X( 1, 6, 2) 1.000000 0.000000

X( 1, 7, 3) 1.000000 0.000000 X( 1, 8, 6) 1.000000 0.000000 X( 1, 9, 7) 1.000000 0.000000 X( 2, 1, 8) 1.000000 0.000000 X( 2, 2, 6) 1.000000 0.000000 X( 2, 3, 4) 1.000000 0.000000 X( 2, 4, 7) 1.000000 0.000000 X( 2, 5, 3) 1.000000 0.000000 X( 2, 6, 1) 1.000000 0.000000 X( 2, 7, 2) 1.000000 0.000000 X( 2, 8, 5) 1.000000 0.000000 X( 2, 9, 9) 1.000000 0.000000 X( 3, 1, 2) 1.000000 0.000000 X( 3, 2, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 3, 5) 1.000000 0.000000 X( 3, 4, 6) 1.000000 0.000000 X( 3, 5, 7) 1.000000 0.000000 X( 3, 6, 9) 1.000000 0.000000 X( 3, 7, 8) 1.000000 0.000000 X( 3, 8, 1) 1.000000 0.000000 X( 3, 9, 4) 1.000000 0.000000 X( 4, 1, 9) 1.000000 0.000000 X( 4, 2, 7) 1.000000 0.000000 X( 4, 3, 3) 1.000000 0.000000 X( 4, 4, 8) 1.000000 0.000000 X( 4, 5, 4) 1.000000 0.000000 X( 4, 6, 6) 1.000000 0.000000 X( 4, 7, 1) 1.000000 0.000000 X( 4, 8, 2) 1.000000 0.000000 X( 4, 9, 5) 1.000000 0.000000 X( 5, 1, 1) 1.000000 0.000000 X( 5, 2, 8) 1.000000 0.000000 X( 5, 3, 6) 1.000000 0.000000 X( 5, 4, 4) 1.000000 0.000000 X( 5, 5, 2) 1.000000 0.000000 X( 5, 6, 5) 1.000000 0.000000 X( 5, 7, 9) 1.000000 0.000000 X( 5, 8, 7) 1.000000 0.000000 X( 5, 9, 3) 1.000000 0.000000 X( 6, 1, 7) 1.000000 0.000000 X( 6, 2, 5) 1.000000 0.000000 X( 6, 3, 2) 1.000000 0.000000 X( 6, 4, 1) 1.000000 0.000000 X( 6, 5, 9) 1.000000 0.000000 X( 6, 6, 3) 1.000000 0.000000 X( 6, 7, 4) 1.000000 0.000000 X( 6, 8, 8) 1.000000 0.000000 X( 6, 9, 6) 1.000000 0.000000 X( 7, 1, 6) 1.000000 0.000000 X( 7, 2, 1) 1.000000 0.000000 X( 7, 3, 9) 1.000000 0.000000 X( 7, 4, 2) 1.000000 0.000000 X( 7, 5, 5) 1.000000 0.000000 X( 7, 6, 4) 1.000000 0.000000 X( 7, 7, 7) 1.000000 0.000000 X( 7, 8, 3) 1.000000 0.000000 X( 7, 9, 8) 1.000000 0.000000 X( 8, 1, 5) 1.000000 0.000000 35

36 X( 8, 2, 4) 1.000000 0.000000 X( 8, 3, 7) 1.000000 0.000000 X( 8, 4, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 5, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 6, 8) 1.000000 0.000000 X( 8, 7, 6) 1.000000 0.000000 X( 8, 8, 9) 1.000000 0.000000 X( 8, 9, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 1, 3) 1.000000 0.000000 X( 9, 2, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 3, 8) 1.000000 0.000000 X( 9, 4, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 5, 6) 1.000000 0.000000 X( 9, 6, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 7, 5) 1.000000 0.000000 X( 9, 8, 4) 1.000000 0.000000 X( 9, 9, 1) 1.000000 0.000000 Lampiran 6 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 6 dan solusinya model: sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/; LINK(row,col,val):X; endsets X(1,2,8)=1;X(1,4,1)=1;X(1,6,9)=1;X(1,8,7)=1;X(1,9,3)=1; X(2,1,7)=1;X(2,2,6)=1;X(2,4,3)=1;X(2,6,1)=1;X(2,8,5)=1; X(3,1,5)=1;X(3,3,8)=1;X(3,5,3)=1;X(3,7,6)=1;X(3,9,1)=1; X(4,1,3)=1;X(4,3,4)=1;X(4,5,7)=1;X(4,7,9)=1;X(4,9,8)=1; X(5,2,7)=1;X(5,4,2)=1;X(5,6,8)=1;X(5,8,1)=1;X(5,9,5)=1; X(6,1,9)=1;X(6,2,3)=1;X(6,4,8)=1;X(6,6,6)=1;X(6,8,4)=1; X(7,2,5)=1;X(7,4,6)=1;X(7,5,2)=1;X(7,7,1)=1;X(7,8,9)=1; X(8,1,6)=1;X(8,3,3)=1;X(8,5,1)=1;X(8,7,5)=1;X(8,8,8)=1; X(9,2,2)=1;X(9,5,8)=1;X(9,6,5)=1;X(9,7,7)=1;X(9,9,6)=1; MIN=X(1,1,1); @FOR(row(i):@FOR(val(k):@SUM(col(j):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(val(k):@SUM(row(i):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(row(i):@SUM(val(k):X(i,j,k))=1)); @FOR(val(k):(X(1,1,k)+X(2,1,k)+X(2,2,k)+X(3,1,k)+X(3,2,k)+X(3,3,k)+X(4,1,k)+X(4,2,k)+X(5, 1,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,2,k)+X(1,3,k)+X(1,4,k)+X(1,5,k)+X(1,6,k)+X(2,3,k)+X(2,4,k)+X(2,5,k)+X(3, 4,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,7,k)+X(1,8,k)+X(1,9,k)+X(2,7,k)+X(2,8,k)+X(2,9,k)+X(3,7,k)+X(3,8,k)+X(3, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(4,3,k)+X(5,2,k)+X(5,3,k)+X(5,4,k)+X(6,1,k)+X(6,2,k)+X(6,3,k)+X(6,4,k)+X(6, 5,k))=1); @FOR(val(k):(X(2,6,k)+X(3,5,k)+X(3,6,k)+X(4,4,k)+X(4,5,k)+X(4,6,k)+X(5,5,k)+X(5,6,k)+X(6, 6,k))=1); @FOR(val(k):(X(4,7,k)+X(4,8,k)+X(4,9,k)+X(5,7,k)+X(5,9,k)+X(6,7,k)+X(6,9,k)+X(7,7,k)+X(7, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(7,1,k)+X(7,2,k)+X(7,3,k)+X(8,1,k)+X(8,2,k)+X(8,3,k)+X(9,1,k)+X(9,2,k)+X(9, 3,k))=1); @FOR(val(k):(X(7,4,k)+X(7,5,k)+X(7,6,k)+X(8,4,k)+X(8,5,k)+X(8,6,k)+X(9,4,k)+X(9,5,k)+X(9, 6,k))=1);