Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 01, No. 1 (2012), hal 1 8. MODIFIKASI ARITMETIKA INTERVAL DAN PENERAPANNYA PADA SISTEM PERSAMAANINTERVAL LINEAR Mika Lasni Roha Saragih, Marisi Aritonang, Beni Irawan INTISARI Aljabar linear merupakan salah satu cabang ilmu penting yang dipelajari dalam matematika. Teori matriks merupakan salah satu pokok permasalahan utama yang dibahas dalam aljabar linear. Sebagai penerapannya teori matriks dapat digunakan untuk membantu dalam penyelesaian sistem persamaan linear. Secara umum entri-entri pada suatu matriks dapat berupa bilangan real ataupun bilangan kompleks, tetapi pada perkembangannya entri-entri matriks dapat juga berupa suatu interval. Pada matriks interval operasi-operasi yang berlaku sangat tergantung pada operasi-operasi aritmetika pada interval. Aritmetika interval adalah suatu aritmetika yang didefinisikan atas himpunan interval-interval. Pada aritmetika interval biasa tidak memenuhi sifat distributif, tetapi sifat subdistributif, sedangkan pada modifikasi aritmetika interval memenuhi sifat distributif. Modifikasi aritmetika interval dapat diterapkan untuk penyelesaian sistem persamaan interval linear, pada penelitian ini digunakan aturan Cramer. Kata kunci: Matriks, matriks interval, aritmetika interval. PENDAHULUAN Dalam kehidupan nyata permasalahan interval biasanya muncul pada masalah yang menyangkut ketidakpastian, sebagai contohnya yaitu ketidaktepatan dalam pengukuran data yang tidak bisa diabaikan. Salah satu cara untuk mengatasi ketidakpastian pada kasus tersebut adalah digunakannya interval sebagai alternatif untuk perbaikan nilai-nilai yang mungkin. Sebagai akibatnya, untuk kasuskasus yang melibatkan matriks, penggunaan matriks klasik (matriks dengan entri bilangan real) seperti pada umumnya juga tidak akan sesuai lagi. Untuk mengatasi hal tersebut maka digunakanlah matriks interval. Pada tahun 1965, Hansen menggunakan aritmetika interval dan menerapkannya pada beberapa aplikasi computer [1]. Hal ini menjadi inspirasi dan motivasi bagi para peneliti untuk melakukan penelitian lebih lanjut tentang aritmetika interval [2]. Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit dua bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara kedua-duanya. Dalam operasi interval, bilangan yang dioperasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup, karena hanya berhubungan dengan batas-batas pada interval tersebut. Interval tertutup adalah himpunan semua bilangan yang terdapat dalam interval dengan batas bawah dan batas atas menjadi anggota himpunan. Titik-titik ujung pada suatu interval disebut endpoints. Dalam artikel ini notasi digunakan untuk menyatakan suatu interval dan selanjutnya dinyatakan dengan, dengan adalah batas bawah interval dan adalah batas atas interval. Pada matriks interval operasi-operasi yang berlaku sangat tergantung pada operasi-operasi aritmetika pada interval. Aritmetika interval adalah suatu aritmetika yang didefinisikan atas himpunan interval-interval. Dalam mempelajari interval dikenal istilah himpunan semua interval sejati yang didefinisikan dengan: dan himpunan semua interval tak sejati yang didefinisikan dengan: Dengan adanya interval tak sejati maka invers interval dapat didefinisikan. Sifat-sifat aritmetika interval yang didefinisikan pada tidak berlaku secara umum. Hal tersebut karena interval dengan 1
2 M. LASNI ROHA SARAGIH, M. ARITONANG DAN BENI IRAWAN half-width tidak nol tidak mempunyai invers di. Selanjutnya pada tahun 1980, Kaucher mengusulkan sebuah metode baru yang menggabungkan himpunan interval sejati dan himpunan interval tak sejati yang disebut dengan generalisasi interval dan dinotasikan dengan: Sifat-sifat aljabar yang dipenuhi oleh D dengan operasi penjumlahan dan perkalian interval (tanpa nol) menunjukkan bahwa D merupakan suatu grup. Namun demikian, himpunan D dengan operasi tersebut bukan merupakan ring karena tidak dipenuhinya sifat distributif pada generalisasi interval. Selanjutnya Ganesan dan Veeramani mengusulkan sebuah aritmetika interval yang memenuhi sifat distributif yang selanjutnya disebut sebagai modifikasi aritmetika interval. Pada artikel ini modifikasi aritmetika interval yang dibahas bukan penemuan baru. Modifikasi aritmetika interval telah dibahas dalam [3], [4]. Apabila modifikasi aritmetika interval diterapkan pada operasi aritmetika matriks interval, maka akan dipenuhi sifat distributif dan assosiatif terhadap perkalian. Selain itu sifat distributif yang dipenuhi pada modifikasi aritmetika interval dapat digunakan untuk menentukan determinan dari suatu matriks interval. Namun sifat tersebut tidak dipenuhi pada aritmetika interval biasa. Berikut ini diberikan contoh bahwa sifat distributif tidak dipenuhi pada aritmetika interval yang belum dimodifikasi. Dimisalkan:, maka: Jadi dapat disimpulkan bahwa atau sifat distributif tidak berlaku pada aritmetika interval biasa. Akan tetapi, jika atau adalah interval simetris, maka. Berikut diberikan contoh yang menyatakan bahwa. Dimisalkan: maka:, dengan Selanjutnya akan diberikan contoh bahwa sifat distributif pada aritmetika interval akan berlaku pada kasus jika dan adalah interval simetris. Dimisalkan: maka: Sehingga dengan dan adalah interval simetris. Berdasarkan contoh yang telah diberikan terlihat bahwa pada aritmetika interval biasa tidak memenuhi sifat distributif, tetapi sifat subdistributif yaitu [5]: Tulisan ini diawali dengan mendefinisikan kembali aritmetika interval yaitu suatu aritmetika yang didefinisikan atas himpunan interval-interval. Jika dinotasikan sebagai salah satu dari operasi untuk aritmetika pada bilangan real x dan y, maka hubungan operasi aritmetika interval dalah [6], [7]:
Modifikasi Aritmetika Interval dan Penerapannya pada Sistem Persamaan Interval Linear 3 Operasi aritmetika interval digunakan dalam pendefinisian modifikasi aritmetika interval dan selanjutnya akan digunakan untuk menentukan determinan dari suatu matriks interval. Determinan tersebut selanjutnya digunakan dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan interval linear dengan menggunakan aturan Cramer. Aturan Cramer merupakan salah satu metode yang biasa digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan memanfaatkan determinan dari matriks koefisien dari SPL. Akan tetapi untuk menghitung penyelesaiannya, harus menghitung banyaknya determinan dari matriks berordo. Aturan Cramer berguna untuk mempelajari sifat-sifat matematika dari suatu penyelesaian tanpa perlu menyelesaikan sistem secara keseluruhan. Suatu SPL dapat dinyatakan ke dalam bentuk persamaan. Apabila, maka punya invers, sehingga penyelesaian dari SPL dapat ditentukan dengan, sehingga mengakibatkan. Pada beberapa kasus aturan Cramer dengan operasi modifikasi aritmetika interval dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan interval linear yang tidak dapat diselesaikan dengan aturan Cramer dengan operasi aritmetika interval biasa. Dalam menyelesaikan sistem persamaan interval linear dengan aturan Cramer determinan dari suatu matriks interval tidak boleh memuat 0 dengan kata lain Untuk menyelesaikan sistem persamaan interval linear perlu diketahui terlebih dahulu tentang aritmetika interval dan sifat-sifatnya. Eldon Hansen [1] memberikan sifat-sifat pada aritmetika interval dan menerapkannya pada beberapa aplikasi komputer, seperti menyelesaikan deret Taylor dan persamaan diferensial. MODIFIKASI ARITMETIKA INTERVAL DAN MATRIKS INTERVAL Dalam artikel ini membahas tentang aritmetika interval, modifikasi aritmetika interval dan matriks interval yang akan digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan n persamaan dan n variabel. 1. Aritmetika Interval Operasi pada interval mengakibatkan untuk setiap dan dapat dibentuk. Sehingga diperoleh sifat-sifat untuk dua interval, dengan dan sebagai berikut [2]: 1. 2. 3. 4. 2. Modifikasi Aritmetika Interval Pada sebuah interval dikenal istilah mid-point yaitu titik tengah interval yang didefinisikan dengan [3]: dan half -width yaitu setengah dari lebar interval yang didefinisikan dengan: Operasi aritmetika interval yang didefinisikan pada terhadap operasi tidak memenuhi sifat distributif. Akan tetapi pada modifikasi aritmetika interval yang didefinisikan pada memenuhi sifat distributif yang dinotasikan dengan sebagai berikut [3],[8]:
4 M. LASNI ROHA SARAGIH, M. ARITONANG DAN BENI IRAWAN dengan: adalah endpoints pada interval yang didefinisikan terhadap aritmetika interval biasa. Operasi pada interval mengakibatkan untuk setiap dan dapat dibentuk. Sehingga menghasilkan aturan untuk dua interval, dengan dan, yaitu: 1. Penjumlahan dengan. 2. Pengurangan dengan. 3. Perkalian dengan : 4. Pembagian 5. Perkalian interval dengan sebuah skalar Selanjutnya diberikan teorema yang menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi pada dua buah interval [8]. Teorema 2 Diberikan, dengan,, dan memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: (i). (ii). (iii). dan jika dan hanya jika atau (iv). dan, dengan Selanjutnya diberikan teorema yang menyatakan berlakunya sifat distributif pada aritmetika interval [4]
Modifikasi Aritmetika Interval dan Penerapannya pada Sistem Persamaan Interval Linear 5 Teorema 3 Dimisalkan (i). (ii). adalah tiga interval, maka: Bukti: Akan dibuktikan bagian (i) yaitu, sedangkan untuk bagian (ii) dapat dibuktikan dengan langkah yang sama. Berdasarkan definisi penjumlahan dan perkalian modifikasi aritmetika interval dan berdasarkan definisi mid-point diperoleh ruas kanan sama dengan ruas kiri yaitu: Karena ruas kanan sama dengan ruas kiri, maka dapat disimpulkan bahwa sifat distributif pada aritmetika interval terpenuhi. 3. Operasi Aritmetika pada Matriks Interval Operasi aritmetika interval dapat digunakan sebagai dasar untuk mendefinisikan operasi aritmetika pada matriks interval. Berikut adalah operasi aritmetika pada matriks interval [3]. Jika (i). (ii). (iii) (iv). (v). dengan:, maka: Berikut ini diberikan teorema sifat-sifat dari operasi matriks dan keterkaitannya dengan mid-point dan half-width [8]. Teorema 4 Jika (i). (ii).. (iii).., maka: dan. dan Jika, maka matriks interval dan dikatakan ekivalen dan dinotasikan dengan. Jika dan, maka. Jika, maka disebut matriks interval nol dan dinotasikan dengan. Dengan demikian jika dan, maka. Demikian juga jika dan, maka
6 M. LASNI ROHA SARAGIH, M. ARITONANG DAN BENI IRAWAN. Jika, maka dikatakan matriks interval tidak nol. Selanjutnya jika, maka disebut matriks interval identitas dan dinotasikan dengan. Dengan demikian jika dan, maka. Demikian juga jika dan, maka. Berikut ini diberikan teorema yang menyatakan sifat assosiatif pada modifikasi aritmetika interval [8]. Teorema 5 Dimisalkan. Perkalian matriks interval memenuhi sifat assosiatif terhadap modifikasi aritmetika interval, yaitu:. Selanjutnya diberikan teorema yang menyatakan sifat distributif terhadap penjumlahan matriks interval [8]. Teorema 6 Dimisalkan. Perkalian matriks interval memenuhi sifat distributif terhadap penjumlahan matriks interval, yaitu: 4. Determinan Matriks Interval Definisi determinan matriks interval berordo sama halnya dengan definisi pada determinan matriks berordo dengan entri-entrinya berupa bilangan real ataupun kompleks. Berikut ini diberikan definisi determinan dari matriks interval, sebagai berikut [3]: Definisi 7 Jika adalah sebarang matriks interval berordo, maka determinan matriks interval adalah sebagai berikut: dengan adalah kofaktor dari. Sebuah matriks interval berordo mempunyai invers jika, selanjutnya diberikan definisi dari invers matriks interval. Definisi 8 [8] Sebuah matriks interval berordo mempunyai invers jika dan dinotasikan dengan: Berikut ini diberikan teorema dari sistem persamaan interval linear. Teorema 9 [8] Diberikan sebuah sistem persamaan interval linear. Jika matriks interval berordo punya invers, maka dapat diperoleh penyelesaian dari, dengan dan matriks interval dengan mengganti kolom dari dengan vektor. Selanjutnya diberikan contoh penerapan dari Teorema 9 dengan menggunakan modifikasi aritmetika interval.
Modifikasi Aritmetika Interval dan Penerapannya pada Sistem Persamaan Interval Linear 7 Contoh 10 Diberikan sistem persamaan interval. Penyelesaian: Berdasarkan Teorema 9, oleh karena ada tiga variabel pada sistem persamaan interval linear, maka dapat dibentuk matriks, yaitu: Berdasarkan Definisi 7, diperoleh nilai determinan sebagai berikut: Selanjutnya diperoleh penyelesaian dari sistem persamaan interval linear sebagai berikut: Jadi penyelesaian dari sistem persamaan interval linear tersebut adalah: Apabila pada Contoh 10 diterapkan pada aritmetika interval biasa, maka akan diperoleh: Karena, maka matriks tidak mempunyai invers, sehingga untuk mencari penyelesaian dari sistem persaman interval linear tersebut tidak dapat dilakukan. PENUTUP Pada modifikasi aritmetika interval, maka matriks interval dikatakan mempunyai invers dan selanjutnya bisa dicari penyelesaian dari suatu sistem persaman interval linear, sedangkan pada operasi aritmetika interval biasa maka matriks interval dikatakan tidak mempunyai invers, sehingga tidak bisa dicari penyelesaian dari suatu sistem persaman interval linear dengan metode Cramer. Modifikasi aritmetika interval dapat diterapkan untuk penyelesaian sistem persamaan interval linear, pada penelitian ini menggunakan aturan Cramer. Aturan Cramer dapat digunakan apabila. DAFTAR PUSTAKA [1] Hansen E. Interval Arithmetic With Some Application for Digital Computers. California: Lockheed Missiles dan Space Company. 1965.
8 M. LASNI ROHA SARAGIH, M. ARITONANG DAN BENI IRAWAN [2] Suprajitno H. Solving Multiobjective Linear Programming Problem Using Interval Arithmetic. Applied Mathematical Sciences. 2012; 6(80): 3959 3968. [3] Nirmala T, Datta D, Kushawaha H.S, Ganesan K. Inverse Matrix: A New Approach. Applied Mathematical Sciences. 2011; 5 (13): 607-624. [4] Ramesh G dan Ganesan K. Interval Linear Programming with Generalized Interval Arithmetic. International Journal of Scientific dan Enginering Research. 2011; 2(11):1-8 [5] Chiao K.P. Inclusion Monotonic Property of Courant-Fischer Minimax Characterization of Interval Eigenproblem for Symmetric Matrices. Tamsui Oxford Journal of Mathematical Sciences Aletheia University. 1999; 15; 11-22. [6] Moore R. E Baker, Kearfott, Beker RJ, Cloud MJ. Introduction to interval analysis, SIAM Society for Industrial and Applied Mathematics. 2009. [7] Hansen E dan Walster G.W. Global Optimization Using Interval Analysis. Second Edition. Revised and Expanded. 2004. [8] Ganesan K. On Some Properties of Interval Matrices. International Journal of Computational and Mathematical Sciences. 2007; 1(2) ; 92-99. MIKA LASNI ROHA SARAGIH: Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, micha_saragih@yahoo.co.id. MARISI ARITONANG: Program studi Agribisnis/sosial ekonomi pertanian FAPERTA UNTAN, Pontianak, hetty_aritonang@ymail.com. BENI IRAWAN: Program studi Sistem Komputer FMIPA UNTAN, Pontianak, benicsc@yahoo.com