Integrl Numerik Sunkr E. Gutm, 2013 http://prdoks77.logspot.com Integrl numerik ilh metode untuk menghitung nili integrsi sutu fungsi dlm sutu selng tnp mempedulikn fungsi hsil integrlny dengn menggunkn metode numerik. Jdi, untuk menghitung nili integrl tentu f x = 2 + 5x 3 terhdp x secr numerik, tidk perlu mengethui fungsi F(x). Dlm integrl numerik, digunkn teorem integrl tentu dri sutu fungsi f x terhdp x dlm selng [, ] sm dengn lus derh di wh kurv yng ditsi oleh sumu X, gris x =, dn x =. Dengn demikin, digunkn sutu metode untuk menghitung lusn di wh kurv tdi, dengn pengndin lus derh tdi setr dengn sutu segiempt dengn pnjng Δx = dn tinggi rt-rt ketinggin titik pd kurv, y. Beerp metode yng kn dihs di wh ini ilh metode trpesium, metode Simpson, dn metode Simpson 3/8, dengn perlusn integrl komposit untuk kurv dengn loop yng tidk sederhn. 1. Metode Trpesium (trpezoidl rule) Metode trpesium ilh metode yng pling sederhn dintr tig metode yng dihs di sini. Metode trpesium mengndikn derh lusn yng ditinju erentuk trpesium dengn pnjng Δx = dn dipilih du titik ketinggin ykni tinggi rusuk sejjr msing-msing f = f() dn f x 1 = f() yng erjrk h = Δx. Pd trpesium, L = pnjng tinggi rt rt = Δx y Dengn y = w 0y 0 +w 1 y 1. w w 0 +w 0 dn w 1 msing-msing ilh pemootn untuk tip ketinggin titik 1 yng dimil. Mengingt pd trpesium (du sudut siku-siku) rusuk miringny linier, mk pemootnny sergm, ykni w 0 = w 1 = 1. Dengn demikin, lus derh di wh kurv ilh: Lus = Δx y 0 + y 1 2 + (glt) 1
I = I = f(x) x 1 dx = Δx 2 f + f + O(h3 ) f(x) dx = h 2 f + f x 1 + O(h 3 ) 2. Metode Simpson Jik pd metode trpesium hny dimil du titik ketinggin, mk pd metode simpson dimil tig titik ketinggin yng erjrk sm, h = Δx =. 2 2 Tinggi rt-rt, y = w 0y 0 +w 1 y 1 +w 2 y 2. Titik tinggi yng erd di tengh mendptkn oot w 0 +w 1 +w 2 yng leih tinggi, segimn dpt diliht hw ketinggin rt-rt cenderung mendekti ketinggin pd titik tenghny. Menggunkn fungsi Lgrnge orde-2: P 2 x = x x 1 x x 1 x f + x x 2 x 1 x 1 x f x 1 + x x x 1 2 x f 1 Di mn h =, 0 =, x 1 = + h, = = + 2h. Dengn demikin I = f(x) dx = P 2 (x) dx + R s Di mn R s ilh suku yng mengndung glt komputsi, O(h 5 ). Dri kedu persmn di ts, diperoleh rumus integrl Simpson I = f(x) dx = h 3 f + 4f x 1 + f + O(h 5 ) Dengn demikin, diperoleh pemootn w 0 = 1, w 1 = 4, w 2 = 1. 2
3. Metode Simpson 3/8 Pd metode Simpson 3/8 dipilih empt titik ketinggin pd selng yng erjrk sm, h = Δx 3 3 0 =, x 1 = + h, = + 2h, x 3 = + 3h =. Ketinggin rt-rt ilh y = w 0y 0 +w 1 y 1 +w 2 y 2 +w 3 y 3 w 0 +w 1 +w 2 +w 3, dengn w 0 = 1, w 1 = 3, w 2 = 3, w 3 = 1. Lus derh di wh kurv: I = f(x) dx = Δx y + (glt) x 3 I = f(x) dx = 3h 8 f + 3f x 1 + 3f + f x 3 + O(h 5 ) 4. Metode Bode Metode integrl Bode menggunkn lim titik ketinggin yng erjrk sm, h = Δx 4 = 4 dn tinggi rt-rt, y y = w 0y 0 + w 1 y 1 + w 2 y 2 + w 3 y 3 + w 4 v 4 w 0 + w 1 + w 2 + w 3 + w 4 Dengn w 0 = 7, w 1 = 32, w 2 = 12, w 3 = 32, w 4 = 7, sehingg I = I = f(x) dx = Δx y + (glt) x 4 f(x) dx = 2h 45 7f + 32f x 1 + 12f + 32f x 3 + 7f x 4 + O(h 7 ) 3
5. Integrl Komposit Metode integrl komposit yitu metode menghitung integrsi numerik sutu fungsi dengn memginy dlm selng-selng tertentu menjdi segmen-segmen lusn senyk N, selnjutny segmen-segmen tdi dihitung lusny menggunkn metode trpesium tu Simpson kemudin dijumlhkn untuk menghitung integrsi fungsi. Kren pemgin menjdi segmen-segmen, menggunkn integrl komposit mengruskn kit memut vektor yng merepresentsikn sumu X. Mkin nyk segmen yng diut mk solusi numerik yng diperoleh kn mkin mendekti solusi seenrny. x 1 I = f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx + + f(x) dx x 1 x n 1 Jik lusn tip segmen dihitung menggunkn metode trpesium, diperoleh: I = h 2 f + f x 1 + h 2 f x 1 + f + + h 2 f x n 1 + f x n n 1 I = h 2 f + 2 f(x i ) + f(x n ) i=1 Mislkn kit ingin menghitung integrl fungsi f(x) dlm selng (, ) dengn pemgin selng menjdi 100 upselng (ingt, 100 upselng errti d 100+1 titik). Berikut lgoritmny: 1) ts wh; // definisikn ts wh integrsi 2) ts ts; // definisikn ts ts integrsi 3) h = ( )/100; // definisi ler upselng 4) = // memut vektor X for i = 1, i <= 100 // ernili wl, nik dengn ed h, hingg x i = + h; y i = f(x i); // memut vektor Y (hsil fungsi) end 5) for i = 0, i < 100 // perulngn dri i = 0 hingg 99 u i = (h/2)*(f i + f i+1) // menghitung lusn segmen end 6) L 0 = 0 // menghitung lus totl segmen for i = 1, i <= 100 L i = L i-1 + u i-1; end 7) I = L 100 // diperoleh hsil integrsi = lus totl Jik progrm/hs pemrogrmn yng digunkn mendukung fungsi risn, mk poin (4) dpt dignti dengn x = :h:, tu dlm Mtl menyedikn fungsi x = linspce(,,101). Jik progrm menyedikn fungsi sumsi, mk poin (7) dn (8) dpt dihilngkn dn dignti menjdi I = sum(y) Ptut diingt pul indeks yng digunkn, pkh erjln dri 0 tukh dri 1. Pd lgoritm di ts, indeks erjln dri nol, sehingg vektor X = ( x 1 x 100), jik indeks erjln dri stu, mk vektor X kn menjdi X = (x 1 x 3 x 101) x n 4
Lmpirn: 1. Contoh progrm integrl numerik dengn metode Simpson menggunkn hs C++: Fungsi: y x = 2 + 5x 3. //Integrl Numerik Simpson y skg #include<iostrem> using nmespce std; int min() { int i, kol=3; flot x[kol], y[kol],,, deltx, h, rty, L; chr off; } cout << "Msukkn ts wh () : "; cin >> ; cout << "Msukkn ts ts () : "; cin >> ; deltx = - ; h = deltx/2; x[0] =, x[1] = +h, x[2] = +2*h; for (i=0; i<3; i++){ y[i]=2*x[i]*x[i] + 5*x[i] - 3; // msukkn fungsi } rty = (y[0] + 4*y[1] + y[2])/6; L = deltx*rty; cout << "integrl y(x) = " << L << '\n'; cin >> off; return 0; 5
2. Contoh progrm integrl numerik metode Simpson 3/8 menggunkn Mtl: % Integrl numerik dengn metode Simpson 3/8 = input('msukkn ts wh = '); = input('msukkn ts ts = '); deltx = - ; h = deltx/3; x = [ (+h) (+2*h) ]; y = input('msukkn fungsi y=f(x) : '); y = [1 3 3 1].*y; rty = sum(y)/8; L = deltx*rty; fprintf('integrl fungsi y(x) dri x = %g hingg x = %g ilh %g \n',,, L); 3. Contoh perhitungn integrl numerik metode trpesium komposit menggunkn MS Excel. y x = sin x ; = 2, = 3, h = 0.1 i x(i) y(i) y(i-1) + y(i) (h/2)*(x(i-1) + x(i)) 0 2 3.6371897 1 2.1 3.8067533 7.443943014 0.372197151 2 2.2 3.9131226 7.719875901 0.385993795 3 2.3 3.9447806 7.857903167 0.392895158 4 2.4 3.8906679 7.835448492 0.391772425 5 2.5 3.7404509 7.631118821 0.381555941 6 2.6 3.4847893 7.225240174 0.361262009 7 2.7 3.1155993 6.6003886 0.33001943 8 2.8 2.6263071 5.741906424 0.287095321 9 2.9 2.0120869 4.638393956 0.231919698 10 3 1.2700801 3.282166931 0.164108347 sum 3.298819274 Metode nlitik memerikn solusi sin x dx = cos x + 2x sin x Sehingg + 2 cos x + C 3 sin x dx = 3,30719 2 Dengn progrm Mtl pd lmpirn 2, diperoleh hsil I = L = 3,3091. 6
4. Contoh progrm plot integrl numerik fungsi Pns jenis zt pdt segi fungsi tempertur erdsrkn model Deye dierikn oleh fungsi C V T = 9Nk T3 θ D /T x 4 e x 3 θ D 0 e x 1 2 dx Dengn θ D tempertur Deye (konstnt), N jumlh tom, dn k tetpn Boltzmnn. Plot fungsi C V terhdp T diut dengn memerikn vektor T, memsukkn fungsi dn mengintegrlknny, kemudin diplot. Berikut progrmny menggunkn Mtl. % Perhitungn Pns Jenis Zt Pdt model Deye menggunkn Simpson 3/8 % @Sunkr Ek Gutm, 2011 cler; thet = input('nili thet(deye) = '); tsts = input('ts ts tempertur = '); T = linspce(0,tsts/thet,300); % T = T/thet t = 1./T; h = t/3; = 0.*h; = h; c = 2*h; d = 3*h; y = (3.*h./8).*(0 + 3.*(.^4.*exp()./(exp()-1).^2)... + 3.*(c.^4.*exp(c)./(exp(c)-1).^2) + (d.^4.*exp(d)./(exp(d)-1).^2)); Y = 9.*T.^3.*y; plot(t,y); title('kurv Pns Jenis Zt Pdt (CV) Model Deye'); xlel('tempertur'); ylel('cv (dlm R)'); Dftr Pustk: Surg, Fisik Komputsi: Solusi Prolem Fisik dengn Mtl, Penerit ANDI, Yogykrt, 2005 7