PENERAPAN SOCIALLY OPTIMAL CHOICE FUNCTION DALAM STRATEGI DOMINAN LINA YASMINA MAHBUBAH

PENERAPAN SOCIALLY OPTIMAL CHOICE FUNCTION DALAM STRATEGI DOMINAN LINA YASMINA MAHBUBAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penerapan Socially Optimal Choice Function dalam Strategi Dominan adalah sebenarnya karya saya dengan arahan dari pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2013 Lina Yasmina Mahbubah NIM G54070035

ABSTRAK LINA YASMINA MAHBUBAH. Penerapan Socially Optimal Choice Function dalam Strategi Dominan. Dibimbing oleh SISWANDI dan RETNO BUDIARTI. Permasalahan yang tidak mungkin dihindari oleh setiap orang adalah membuat keputusan. Alternatif pilihan yang ada dapat dibandingkan satu sama lain saat pengambilan keputusan. Hubungan yang mungkin terbentuk saat membandingkan dua alternatif yaitu hubungan preference dan indifference. Socially optimal choice function (SOCF) ialah analisis yang menggabungkan beberapa preferensi atau kepentingan individu untuk mendapatkan keputusan kolektif. Tujuan karya ilmiah ini ialah menerapkan SOCF dalam strategi dominan. Ada sekumpulan n mahasiswa yang melamar beasiswa. Setiap mahasiswa memiliki pembimbing yang berbeda dan ada satu beasiswa per mahasiswa, sehingga jumlah pelamar beasiswa, pembimbing dan beasiswa sama. Urutan peringkat beasiswa akan ditetapkan oleh juri yang terdiri dari seluruh pembimbing. True ranking sudah ditentukan dan diketahui oleh seluruh pembimbing. Preferensi pembimbing dipengaruhi oleh true ranking. Hasil SOCF yang optimal ialah beasiswa yang diterima sesuai dengan true ranking. Telah dibuktikan jika n =3 maka SOCF tidak dapat diimplemetasikan dalam strategi dominan. Kata kunci: preferensi, SOCF, strategi dominan, true ranking ABSTRACT LINA YASMINA MAHBUBAH. Application of Socially Optimal Choice Function in Dominant Strategies. Supervised by SISWANDI and RETNO BUDIARTI. Unavoidable problems by any person are making a decision. There are alternative option that can be compared one to the others in making a decision. Relationship that may be established when comparing two alternatives is namely preference and indifference relations. Socially optimal choice function (SOCF) is analysis to combine some individual preferences or interests to get a collective decision. The purpose of this manuscript is to apply the SOCF in dominant strategies. Supposed n students apply for scholarship. Each student has different supervisors and there is one scholarship per student. So the number of applicants, supervisors and scholarships is similiar. The ranking of students will be determined by a jury consist of all supervisors. True ranking of students has been determined by all supervisors. Supervisors s preference is influenced by true ranking. The outcome of SOCF is the accepted scholarship appropriate by true ranking. It has been proven that if n = 3 then the SOCF cannot be implemented in dominant strategies. Keywords: preference, SOCF, dominant strategy, true ranking

PENERAPAN SOCIALLY OPTIMAL CHOICE FUNCTION DALAM STRATEGI DOMINAN LINA YASMINA MAHBUBAH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

Judul Skripsi : Penerapan Socially Optimal Choice Function dalam Strategi Dominan Nama : Lina Yasmina Mahbubah NIM : G54070035 Disetujui oleh Drs Siswandi, MSi Pembimbing I Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Dra Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Keluargaku tersayang : Bapak dan Mamah (terima kasih atas kasih sayang, kesabaran, kepercayaan, dukungan dan doa yang tiada hentihentinya), kakakku Mba Sovi dan Mas Fauzi (terima kasih atas kasih sayang, motivasi, dukungan serta doanya) dan adik-adikku Husna, Maya dan Nabila (terima kasih atas motivasi, dukungan dan doanya). 2. Drs Siswandi, MSi dan Ir Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing (terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi dan bantuan selama penulisan karya ilmiah ini). 3. Teduh Wulandari Masoed, MSi selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi dan sarannya). 4. Hari Agung, MSi selaku dosen Departemen Ilmu Komputer (terima kasih atas ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, bantuan dan sarannya). 5. Segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 6. Seluruh staf Departemen Matematika (terima kasih atas motivasi dan bantuannya). 7. Teman-teman Matematika angkatan 44 (terima kasih atas semangat, motivasi dan kebersamaannya). 8. Teman-teman seperjuangan : Jubed, Rodiah, Dian, Aslimah, Yulinda, Nohi, Mb Sri, Age, Kokom, Destia, Aini, Pita, Endang, Mb Eva, Dewi, Ovi, Ita, Siska, Devina (terima kasih atas semangat, motivasi, dukungan, inspirasi dan kebersamaannya). 9. Adik-adik kelasku : Tika, Orin, Indah, Ifah, Fathia, Nada, Fikri, Tudrika, Opi, Afifah, Maryam, Biti dan Yuyun (terima kasih atas semangat, dukungan dan kebersamaannya) Penulis menyadari bahwa penulisan karya ilmiah ini masih memiliki kekurangan, oleh karena itu dibutuhkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya. Bogor, Agustus 2013 Lina Yasmina Mahbubah

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 LANDASAN TEORI 2 PEMBAHASAN 5 Implementasi dalam Strategi Dominan 7 SIMPULAN 11 Simpulan 11 DAFTAR PUSTAKA 11 LAMPIRAN 12 RIWAYAT HIDUP 28

DAFTAR TABEL 1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c} 6 2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c} 8 3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan N={a,b,c} 8 4 Bagian yang relevan dari mekanisme Γ D 9 DAFTAR LAMPIRAN 1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} 12 2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} 16 3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} 20 4 Fungsi preferensi bagi agen d yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} 24

PENDAHULUAN Latar Belakang Permasalahan yang tidak mungkin dihindari oleh setiap orang adalah membuat keputusan, diantaranya adalah membuat keputusan untuk memilih sekolah, mencari pekerjaan, membeli barang, memilih pakaian dan lain-lain. Dalam pengambilan keputusan, alternatif pilihan yang ada dapat dibandingkan satu sama lain. Hubungan yang mungkin terbentuk saat membandingkan dua alternatif yaitu hubungan preference dan indifference. Dua alternatif disebut memiliki hubungan preference jika salah satu dari dua alternatif tersebut memiliki nilai yang lebih dari alternatif lainnya. Alternatif pilihan disebut indifference jika dua alternatif tersebut setara atau sama dengan alasan tertentu. Socially optimal choice function merupakan analisis yang menggabungkan beberapa preferensi individu dan kepentingan atau kesejahteraan untuk mendapatkan keputusan kolektif. Beberapa agen memutuskan masalah kepentingan kolektif. Agen merupakan sekumpulan orang atau berupa organisasi yang membuat pilihan diantara satu atau beberapa objek. Objek dalam social choice function disebut alternatif dan kumpulan alternatif diasumsikan sebagai himpunan. Permasalahan social choice muncul ketika sekumpulan agen diminta memilih satu pilihan dari himpunan alternatif. Karya ilmiah ini merupakan rekonstuksi dari karya ilmiah Amoros et al. (2002) yang berjudul The Scholarship Assignment Problem. Karya ilmiah ini membahas sistem penetapan urutan beasiswa. Penetapan urutan beasiswa memiliki tujuan sosial. Tujuan sosial yang digunakan adalah untuk menetapkan beasiswa pertama diberikan kepada mahasiswa terbaik pertama, beasiswa terbaik kedua kepada mahasiswa terbaik kedua dan seterusnya. Asumsi yang digunakan adalah setiap mahasiswa memiliki pembimbing yang berbeda dan ada satu beasiswa per mahasiswa, sehingga jumlah mahasiswa, pembimbing dan beasiswa sama. Urutan peringkat beasiswa akan ditetapkan oleh juri yang terdiri dari seluruh pembimbing. Hasil urutan peringkat penerima beasiswa (true ranking) sudah ditentukan dan diketahui oleh seluruh pembimbing. Preferensi pembimbing dipengaruhi oleh true ranking. Karya ilmiah ini mencoba membuat prosedur agar beasiswa yang diterima sesuai dengan true ranking meskipun pembimbing mendahulukan mahasiwa yang lebih disukai untuk mendapatkan beasiswa terbaik. Karya ilmiah ini ini fokus pada masalah implementasi khusus dengan karakteristik sebagai berikut : 1. Himpunan alternatif adalah himpunan suluruh kemugkinan peringkat (permutasi) yang diberikan oleh kumpulan agen. Setiap peringkat diartikan sebagai penyerahan beasiswa. 2. Aturan pilihan sosial adalah hasil pemetaan himpunan peringkat/ranking. Dalam hal ini disebut aturan fungsi pilihan sosial yang optimal/ socially optimal choice function (SOCF). 3. True ranking diamati oleh semua penentu. Himpunan semua penentu disebut dengan himpunan agen. 4. Preferensi adalah sebuah kondisi yang memenuhi hal berikut ini :

2 (1) Setiap pembimbing ingin perwakilan mahasiswanya mendapatkan beasiswa yang paling baik. (2) Setiap pembimbing menginginkan sisa beasiswa lainnya diberikan sesuai dengan true ranking. Mekanisme yang digunakan untuk penerapan SOCF yaitu mekanisme dalam strategi dominan. Tujuan Penelitian Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah menerapkan socially optimal choice function dalam strategi dominan. LANDASAN TEORI Dalam menyelesaikan karya ilmiah ini digunakan beberapa definisi sebagai berikut. Definisi 1(Himpunan Ganda Cartesian) Misalkan X himpunan sembarang. Himpunan ganda Cartesian pada X didefinisikan sebagai X X= { x, y : x, y X}. Definisi 2 (Relasi) (Kurtz 1992) Misalkan X himpunan sembarang. Relasi R pada X didefinisikan sebagai himpunan bagian dari himpunan ganda Cartesian X X, ditulis R X X. Definisi 3 (Relasi preferensi) (Kurtz 1992) Misalkan X himpunan sembarang. Relasi R X X, didefinisikan strict preference merupakan sebuah relasi x y x y bukan y x. Relasi memenuhi tiga kondisi : Complete : x, y X, jika x y atau y x atau keduanya, Transitive : x, y, z X, jika x y dan y z maka x z, Reflexive : x X, x x. (Crosetto 2009) Definisi 4 (Preferensi agen yang selfish) Misalkan N merupakan himpunan dari n mahasiswa yang melamar beasiswa, Π merupakan himpunan seluruh kemungkinan peringkat mahasiswa di N, Π dan i N, Ρ i merupakan posisi mahasiswa i dalam peringkat. Misalkan R menyatakan kelas dari relasi-relasi preferensi yang didefinisikan atas Π yang memenuhi sifat complete, transitive dan reflexive.

Sebuah fungsi preferensi dari agen i yaitu, i : Π R dengan agen bersikap selfish jika t Π dan, Π dengan Ρ i < Ρ i maka i t. Definisi 5 (Preferensi agen yang unprejudiced) 3 (Amoros et.al 2002) Sebuah fungsi preferensi dari agen i, yaitu i : Π R. Suatu agen didefinisikan bersikap unprejudiced dengan agen lain jika t Π, dan, Π, memenuhi tiga kondisi berikut : (1), (2) i N, = i N Ρ i = Ρ i, (3) j, k N,, jika Ρ j t < Ρ k t maka Ρj < Ρ k, sehingga i t. (Amoros et.al 2002) Definisi 6 (Total linear order) Misalkan himpunan individu, M = 1,, m. Setiap individu memiliki total linear preorder di himpunan alternatif yang feasible, A = {1,, p} sehingga individu tesebut dapat menentukan pilihan mereka. Himpunan linear preorder A dinotasikan sebagai L A. Sebuah total linear preorder untuk agen i, i L(A) merupakan antisymmetric, transitive dan total, yaitu i M:, i memenuhi : (1) antisymmetric : a, b A jika a i b dan b i a maka a = b, (2) transitive : a, b, c A: jika a i b dan b i c maka a i c, (3) total : a, b A a i b atau b i a. Definisi 7 (Preference profil) (Lindeneg 2001) Sebuah preference profil 1,, m yaitu pemetaan dari M ke L(A) M. Definisi 8 (Social welfare function) (Lindeneg 2001) Social welfare function adalah sebuah pemetaan w L(A) M L(A) dengan w 1,, m = swf L(A) merupakan kumpulan preferensi ke dalam total linear preorder A. Definisi 9 (Social choice function) (Lindeneg 2001) Social choice function merupakan analisis yang menggabungkan preferensi individu dan kepentingan atau kesejahteraan untuk mendapatkan keputusan kolektif. Misalkan X suatu himpunan, x X, sebuah social choice function adalah aturan f L(X) M X yang memetakan elemen f 1,, m X ke beberapa preferensi individu dalam L(X) M. (Lindeneg 2001)

4 Definisi 10 (Mekanisme) Sebuah mekanisme Γ merupakan pasangan berurut S, g, dengan S = iεn S i adalah rekomendasi urutan penerima beasiswa dari agen i, dan g S Π adalah fungsi hasil. Definisi 11 (Strategi Dominan) (Amoros et.al 2002) Strategi dominan adalah sebuah strategi terbaik yang terlepas dari strategi yang dipilih orang lain. Definisi 12 (State of the world) (Salvatore 2006) Misalkan Ϝ ms menunjukkan kelas fungsi preferensi yang moderately n selfish. Profil dalam fungsi preferensi dinotasikan dengan Ϝ ms. State of the world adalah daftar fungsi-fungsi preferensi dan urutan true ranking yang diamati n oleh seluruh agen, dinotasikan (, t ) Ϝ ms Π. Misalkan ξ ms adalah kelas dari state of the world. Profil relasi preferensi dapat diterima, jika terdapat beberapa state of the world (, t ) ξ ms sehingga t sesuai dengan relasi preferensi. Definisi 13 (Implementasi SOCF dalam strategi dominan) (Amoros et.al 2002) Sebuah mekanisme Γ dan sebuah state of the world, t ξ ms, dengan D Γ, t menunjukkan himpunan strategi dominan yang mengimplementasikan SOCF dari Γ, t. (Amoros et.al 2002) Definisi 14 (Mekanisme yang memenuhi kesetimbangan strategi dominan) Misalkan Γ = S, g merupakan sebuah mekanisme. Dikatakan bahwa s S merupakan kesetimbangan strategi dominan dari Γ yang memenuhi state of the world, t ξ ms jika i N, s i S i dan s i S i maka g(s i, s i) t i g(s i, s i). (Amoros et.al 2002)

5 PEMBAHASAN Misalkan N merupakan himpunan dari n mahasiswa yang melamar beasiswa. Alternatif sosial merupakan peringkat penerima beasiswa dari unsur N, Misalkan Π merupakan himpunan semua kemungkinan peringkat penerima beasiswa dalam N. Untuk semua Π dan i N, didefinisikan Ρ i sebagai posisi siswa i dalam peringkat. Setiap siswa i N memiliki pembimbing yang berbeda. Peringkat beasiswa diputuskan oleh kumpulan pembimbing mahasiswa. Agen i menunjukkan mahasiswa i dan pembimbingnya. Asumsi yang digunakan bahwa terdapat true ranking mahasiswa, t Π, yang diketahui oleh semua agen. Alternatif sosial yang optimal adalah pemberian beasiswa kepada mahasiswa diterima sesuai dengan true ranking. Untuk mendapatkan penerimaan beasiswa dengan socially optimal choice function (SOCF), keputusan tersebut dibuat oleh agen. Sebuah mekanisme Γ merupakan pasangan berurut S, g, dengan S = iεn S i adalah daftar rekomendasi urutan penerima beasiswa dari agen i (untuk tiap agen merekomendasikan satu), dan g S Π adalah fungsi hasil. Daftar rekomendasi dinyatakan dengan s S. Untuk semua agen i N dan semua daftar rekomendasi s S, misalkan s i menyatakan rekomendasi dari agen i dan s i S i = j N\{i} S j merupakan semua rekomendasi dari agen selain agen i. Misalkan R menyatakan kelas dari relasi-relasi preferensi yang didefinisikan atas Π yang memenuhi sifat complete, transitive dan reflexive. Setiap agen i N mempunyai fungsi preferensi i : Π R, yang masing-masing berhubungan dengan true ranking t Π. Relasi preferensi t i R, dengan t i menyatakan relasi strict preferensi yang berkaitan dengan t i. Sebagai contoh misalkan N = a, b maka Π = a, b, b, a. Sebuah fungsi relasi yang mungkin untuk agen a adalah a, b t a b, a jika t = a, b dan b, a t a a, b jika t = b, a. Ada dua asumsi yang digunakan untuk fungsi preferensi bagi agen. Asumsi pertama bahwa agen bersikap selfish dalam penetapan urutan beasiswa, yaitu ketika membandingkan dua hasil urutan penerimaan beasiswa, tiap agen memilih salah satu, sehingga agen tersebut berada dalam posisi lebih baik. Oleh karena itu, didefinisikan agen i mempunyai fungsi preferensi, i : Π R dengan agen bersikap selfish jika t Π dan, Πdengan Ρ i < Ρ i, maka t i. Asumsi kedua, jika diberikan posisi yang sudah ditentukan untuk suatu agen, seluruh agen harus dibuat sedekat mungkin dengan true ranking, yaitu dengan mendefinisikan N, = i N Ρ i = Ρ i. N, adalah himpunan agen yang mendapat posisi yang sama dalam peringkat dan. Misalkan agen i mempunyai fungsi preferensi, i : Π R dan didefinisikan agen bersikap unprejudiced dengan agen lain, jika t Π, dan, Π, memenuhi tiga kondisi berikut : 1., 2. i N, = i N Ρ i = Ρ i, 3. j, k N,, jika Ρ t j < Ρ t k maka Ρj < Ρ k,

6 sehingga i t. Fungsi preferensi bersifat moderately selfish ketika memenuhi dua asumsi di atas yaitu preferensi yang selfish dan unprejudiced. Untuk memperjelas akan diberikan contoh. Contoh 1 : Misalkan N = {a, b, c, d}. Himpunan peringkat yang mungkin adalah sebagai berikut : Π = {(a,b,c,d), (a,b,d,c), (a,c,b,d), (a,c,d,b), (a,d,b,c), (a,d,c,b), (b,c,d,a), (b,c,a,d), (b,d,a,c), (b,d,c,a), (b,a,d,c), (b,a,c,d), (c,d,a,b), (c,d,b,a), (c,a,b,d), (c,a,d,b), (c,b,a,d), (c,b,d,a), (d,a,b,c), (d,a,c,b), (d,b,a,c), (d,b,c,a), (d,c,a,b), (d,c,b,a)}. Andaikan fungsi preferensi agen d adalah : Π R merupakan moderately selfish, lebih lengkap dapat dilihat pada tabel di Lampiran 4. Agen d bersikap selfish ditunjukkan dengan c, d, b, a t d a, b, d, c, pada Lampiran 4 kolom kedua ( t = (a, b, c, d)) baris kedua belas c, d, b, a dan baris ketiga belas a, b, d, c. Begitu pula untuk baris pertama d, a, b, c dan baris kedua d, a, c, b memenuhi kondisi selfish. Dapat diperhatikan juga untuk kolomkolom lain dengan t yang berbeda. Agen d juga memiliki preferensi yang unprejudiced. Misalkan t = (a, b, c, d), = b, d, c, a dan = c, d, b, a. Agen d memenuhi tiga kondisi preferensi yang unprejudiced. Pertama, kedua ada i N, = i N Ρ i = Ρ i yaitu N, = {a, d} dan ketiga b, c N,, jika Ρ t b < Ρ t c maka Ρb < Ρ c, memenuhi t d. Posisi b < c dalam t dan sehingga b, d, c, a t d (c, d, b, a). Akan tetapi, kondisi moderately selfish tidak cukup kuat menetapkan c, d, a, b t d (b, d, c, a) atau b, d, c, a t d (c, d, a, b) karena urutan posisi a dan d berbeda. Fungsi preferensi bagi agen a, b dan c yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} dapat dilihat pada Lampiran 1, Lampiran 2 dan Lampiran 3. Moderate selfishness merupakan pembatas yang jelas pada domain/daerah fungsi preferensi yang dapat diterima. Untuk kasus tiga agen terdapat fungsi preferensi yang unik bagi tiap agen yang memenuhi kondisi ini. Contoh 2 : Misalkan N = {a,b,c}. Himpunan urutan peringkat yang mungkin adalah Π= {(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)}. Tabel 1 menunjukkan fungsi preferensi terhadap agen a yang bersifat moderate selfishness. Tiap kolom menggambarkan strict preferensi yang berkaitan dengan true ranking yang berbeda. Tabel 1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c} (a,b,c) (b,a,c) (b,c,a) (a,c,b) (c,a,b) (c,b,a) (a,b,c) (a,b,c) (a,b,c) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) (a,b,c) (a,b,c) (a,b,c) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a)

Dapat dilihat Tabel 1, untuk kolom pertama ( t = (a, b, c)), baris pertama dan kedua (a,b,c) dan (a,c,b), agen a memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish akibatnya a, b, c t a a, c, b. Begitu pula di baris ketiga dan keempat, agen a juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish yaitu b, a, c t a c, a, b. Selanjutnya baris kelima dan keenam, agen a juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish akibatnya b, c, a t a (c, b, a). Begitupun seterusnya untuk kolom kedua dan ketiga. Untuk kolom keempat ( t = (a, c, b)), baris pertama dan kedua (a,c,b) dan (a,b,c) agen a selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish akibatnya a, c, b t a a, b, c. Begitu pula di baris ketiga dan keempat, agen a juga memenuhi kondisi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish yaitu c, a, b t a b, a, c. Selanjutnya baris kelima dan keenam, agen a juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish yaitu c, b, a t a (b, c, a). Akan tetapi, kondisi moderately selfish tidak cukup kuat untuk menetapkan a, b, c t a c, a, b atau b, a, c t a c, b, a karena posisi a dan b berbeda. Misalkan Ϝ ms menunjukkan kelas fungsi preferensi yang moderately selfish. n Profil dalam fungsi preferensi dinotasikan dengan Ϝ ms. State of the world adalah daftar fungsi-fungsi preferensi dan urutan true ranking yang diamati oleh n seluruh agen, dinotasikan (, t ) Ϝ ms Π. Misalkan ξ ms adalah kelas dari state of the world. Profil relasi preferensi dapat diterima, jika terdapat beberapa state of the world (, t ) ξ ms sehingga t sesuai dengan relasi preferensi. Selanjutnya himpunan profil relasi preferensi yang dapat diterima dinotasikan dengan R. Jika diberikan state of the world dan mekanisme maka agen-agen harus membuat keputusan tentang rekomendasi urutan penerima beasiswa. Hal ini mengikuti standar prosedur teori implementasi melalui konsep kesetimbangan dalam teori game. Contoh 1 dan contoh 2 di atas mengikuti konsep tersebut. Pada karya ilmiah ini kesetimbangan strategi dominan yang akan dibahas. Misalkan Γ = S, g merupakan sebuah mekanisme. Dikatakan bahwa s S merupakan kesetimbangan strategi dominan dari Γ yang memenuhi state of the world, t ξ ms jika i N, s i S i dan s i S i maka g(s i, s i) t i g(s i, s i). Selanjutnya kesetimbangan tersebut dilambangkan dengan D Γ, t. Selanjutnya untuk mengimplementasikan SOCF dinotasikan fungsi Φ ξ ms Π yang menghubungkan state of the world dari penerima beasiswa sesuai dengan true ranking, yaitu (, t ) ξ ms berlaku Φ, t = t. Sebuah mekanisme Γ = S, g mengimplementasikan SOCF pada kesetimbangan strategi dominan yaitu jika, t ξ ms maka g D Γ, t = t. Implementasi dalam Strategi Dominan Implementasi dalam strategi dominan diasumsikan dengan n 3. Seperti yang telah dibahas sebelumnya bahwa moderate selfishness merupakan pembatas yang jelas dalam domain preferensi. Dalam contoh 2, ketika tidak ada pembatas daerah maka terdapat 6! = 720 relasi preferensi yang berbeda-beda atas Π, hanya 7

8 dua dari keseluruhan kemungkinan relasi preferensi, yang sesuai dengan kondisi moderate selfishness untuk agen a yaitu a,b,c = b,a,c = b,c,a dan a,c,b = c,a,b = c,b,a, sebagaimana yang terdapat pada Tabel 1. Teorema Jika n = 3 maka SOCF tidak dapat diimplementasikan dalam strategi dominan. Bukti : Kondisi moderate selfish bagi agen a sebagaimana sebelumnya pada Tabel 1, untuk kondisi moderate selfish bagi agen b dan c dapat dilihat di Tabel 2 dan Tabel 3 berikut. Tiap kolom pada Tabel 2 dan Tabel 3 menggambarkan strict preferensi yang berkaitan dengan true ranking yang berbeda. Tabel 2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c} (b,a,c) (a,b,c) (a,c,b) (b,c,a) (c,b,a) (c,a,b) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (a,b,c) (a,b,c) (a,b,c) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (a,b,c) (a,b,c) (a,b,c) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) Tabel 3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan N={a,b,c} (c,a,b) (a,c,b) (a,b,c) (c,b,a) (b,c,a) (b,a,c) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) (a,b,c) (a,b,c) (a,b,c) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (a,b,c) (a,b,c) (a,b,c) Misalkan N = {a,b,c}. Andaikan,, ξ ms menjadi fungsi preferensi yang moderate selfish bagi agen a, b dan c berturut-turut. Ada dua relasi preferensi yang sesuai dengan moderate selfishness bagi agen a, b, dan c yaitu : untuk agen a : 1 a,b,c b,a,c b,c,a a = = dan 2 a,c,b c,a,b c,b,a a = =, untuk agen b : 1 b,a,c a,b,c a,c,b b = = dan 2 b,c,a c,b,a b = = (c,a,b) b, untuk agen c : 1 c,a,b a,c,b a,b,c c = = dan 2 c,b,a b,c.,a b,a,c c = =. Himpunan profil yang dapat diterima dari relasi-relasi preferensi tidak memiliki struktur hasil kali Cartesian, karena ditentukan dengan true ranking (misalnya 1 a, 2 b, 1 c R, tetapi ( 1 a, 2 b, 1 c ) R ). R merupakan kelas dari relasi-relasi preferensi yang didefinisikan atas Π yang memenuhi sifat complete, transitive dan reflexive dan R adalah himpunan profil relasi preferensi yang dapat diterima.

Andaikan didefinisikan terdapat sebuah mekanisme Γ D = S, g yang mengimplementasikan Φ dalam strategi dominan. Misalkan s 1 i S i merupakan strategi dominan untuk agen i maka relasi preferensi bagi i adalah 1 i, begitu pula untuk s 2 i S i maka relasi preferensi bagi i adalah 2 i. Selanjutnya, Γ D mengimplementasikan Φ dalam strategi dominan, bagian yang relevan pada Γ D ditunjukkan dalam Tabel 4. 9 Tabel 4 Bagian yang relevan dari mekanisme Γ D Pemain b dan c s 1 1 b s c s 2 1 b s c s 1 2 b s c s 2 2 b s c Pemain a 1 s a (a,b,c)? (b,a,c) (b,c,a) 2 s a (a,c,b) (c,a,b)? (c,b,a) Dapat dilihat bahwa (s 1 a, s 1 b, s 1 c ) S bersesuaian dengan profil relasi preferensi ( 1 a, 1 b, 1 c ) R n sehingga dapat ditulis sebagai berikut : 1 s a = (a,b,c) a = (b,a,c) (b,c,a) a = 1 s b = (b,a,c) b = (a,b,c) (a,c,b) b = 1 s c = (c,a,b) c = (a,c,b) (a,b,c) c = sehingga bagian yang relevan untuk s 1 a, s 1 1 b, s c adalah (a,b,c). Begitu pula untuk s 2 a, s 1 1 b, s c bersesuaian dengan profil relasi preferensi 2 a, 1 b, 1 c sehingga dapat ditulis sebagai berikut : 2 s a = (a,c,b) a = (c,a,b) (c,b,a) a = 1 s b = (b,a,c) b = (a,b,c) (a,c,b) b = 1 s c = (c,a,b) c = (a,c,b) (a,b,c) c = sehingga bagian yang relevan untuk s 2 a, s 1 1 b, s c adalah (a,c,b). Kemudian untuk s 2 a, s 2 1 b, s c bersesuaian dengan profil relasi preferensi 2 a, 2 b, 1 c, sehingga dapat ditulis sebagai berikut : 2 s a = (a,c,b) a = (c,a,b) (c,b,a) a = 2 s b = (b,c,a) b = (c,b,a) (c,a,b) b = 1 s c = (c,a,b) c = (a,c,b) (a,b,c) c = sehingga bagian yang relevan untuk s 2 a, s 2 1 b, s c adalah (c,a,b). Kemudian untuk s 1 a, s 1 2 b, s c bersesuaian dengan profil relasi preferensi 1 a, 1 b, 2 c, sehingga dapat ditulis sebagai berikut : 1 s a = (a,b,c) a = (b,a,c) (b,c,a) a = 1 s b = (b,a,c) b = (a,b,c) (a,c,b) b = 2 s c = (c,b,a) c = (b,c,a) (b,a,c) c = sehingga bagian yang relevan untuk s 1 a, s 1 2 b, s c adalah (b,a,c). Kemudian untuk s 1 a, s 2 2 b, s c bersesuaian dengan profil preferensi 1 a, 2 b, 2 c, sehingga dapat ditulis sebgai berikut : 1 s a = (a,b,c) a = (b,a,c) (b,c,a) a = 2 s b = (b,c,a) b = (c,b,a) (c,a,b) b = s c 2 = (c,b,a) = (b,c,a) = (b,a,c)

10 sehingga bagian yang relevan untuk s 1 a, s 2 2 b, s c adalah (b,c,a). Selanjutnya untuk s 2 a, s 2 2 b, s c bersesuaian dengan profil preferensi 2 a, 2 b, 2 c, sehingga dapat ditulis sebagai berikut : 2 s a = (a,c,b) a = (c,a,b) (c,b,a) a = 2 s b = (b,c,a) b = (c,b,a) (c,a,b) b = 2 s c = (c,b,a) c = (b,c,a) (b,a,c) c = sehingga bagian yang relevan untuk s 2 a, s 2 2 b, s c adalah (c,b,a). Profil strategi ( s 1 a, s 2 b, s 1 c ) S yang bersesuaian dengan profil preferensi ( 1 a, 2 b, 1 c ) R n dapat ditulis sebagai berikut : 1 s a = (a,b,c) a = (b,a,c) (b,c,a) a = 2 s b = (b,c,a) b = (c,b,a) (c,a,b) b = 1 s c = (c,a,b) c = (a,c,b) (a,b,c) c = dapat terlihat bahwa tidak ada bagian yang relevan untuk s 1 a, s 2 b, s 1 c. Begitu pula untuk s 2 a, s 1 2 b, s c yang bersesuaian dengan profil preferensi 2 a, 1 b, 2 c, dapat ditulis sebagai berikut : 2 s a = (a,c,b) a = (c,a,b) (c,b,a) a = 1 s b = (b,a,c) b = (a,b,c) (a,c,b) b = 2 s c = (c,b,a) c = (b,c,a) (b,a,c) c = dapat dilihat bahwa tidak ada bagian yang relevan untuk s 2 a, s 1 b, s 2 c, sehingga mekanisme tidak dapat diimplementasikan dalam strategi dominan. Profil strategi (s 1 a, s 2 b, s 1 c ) S dan (s 2 a, s 1 b, s 2 c ) S masing-masing bersesuaian dengan profil relasi preferensi ( 1 a, 2 b, 1 c ) R n dan ( 2 a, 1 b, 2 c ) R n. Akan tetapi, profil tersebut tidak bersesuaian dengan beberapa kemungkinan true ranking, yaitu ( 1 a, 2 b, 1 c ) R dan ( 2 a, 1 b, 2 c ) R. Untuk g(s 1 a, s 2 b, s 1 c ) dapat diperinci dengan pernyataan berikut : Pernyataan 1. Dapat dilihat bahwa s 2 a, s 2 1 b, s c D Γ D,,a,b dan g (s 2 a, s 2 b, s 1 c ) = c, a, b, sehingga g (s 1 a, s 2 b, s 1 c ) a, b, c, a, c, b ; selain itu, g (s 1 a, s 2 b, s 1 c ) (c,a,b) a g (s 2 a, s 2 b, s 1 c ), hal tersebut kontradiksi. Pernyataan 2. Dapat dilihat bahwa s 1 a, s 1 1 b, s c D Γ D,,b,c dan g(s 1 a, s 1 b, s 1 c ) = a, b, c, sehingga g (s 1 a, s 2 b, s 1 c ) b, a, c, b, c, a ; selain itu, g (s 1 a, s 2 b, s 1 c ) (a,b,c) b g (s 1 a, s 1 b, s 1 c ), hal tersebut kontradiksi. Pernyataan 3. Dapat dilihat bahwa s 1 a, s 2 2 b, s c D Γ D,,c,a dan g (s 1 a, s 2 b, s 2 c ) = b, c, a, sehingga g (s 1 a, s 2 b, s 1 c ) c, a, b, c, b, a ; selain itu, g (s 1 a, s 2 b, s 1 c ) (b,c,a) c g (s 1 a, s 2 b, s 2 c ), hal tersebut kontradiksi. Pernyataan 1, 2, dan 3 menunjukkan hasil fungsi yang kontradiksi dengan definisi.

11 SIMPULAN Simpulan SOCF merupakan salah satu cara yang digunakan untuk membuat prosedur urutan penerima beasiswa. SOCF tidak dapat diimplementasikan dalam strategi dominan, jika n = 3. DAFTAR PUSTAKA Amoros P, Luis C, Benardo M. 2002. The Scholarship Assignment Problem. Games and Economic Behavior 38: 1-18. Crosetto P. 2009. Preference, W.A.R.P, Consumer Choice [Internet]. [diunduh 2013 Feb 5]. Tersedia pada: http://paolocrosetto.files.wordpress.com/2010/10/ pset1_solution_handout.pdf. Lindeneg K. 2001. Social Choice and Game Theory in Allocation Mechanism. [Internet]. [diunduh 2012 Apr 17]. Tersedia pada: http://www.econ.ku.dk/ Research/Publications/Forskningsregister/Lindenegnote.pdf. Kurtz DC. 1992. Foundations of Abstract Mathematics. New York (US): Mac Graw Hill. Salvatore D. 2006. Schaum s Outlines : Mikroekonomi. Ed ke-4. Sitompul R dan Munandar H, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Schaum s Outlines: Microeconomics.

12 Lampiran 1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} (a,b,c,d) (b,a,c,d) (b,c,a,d) (b,c,d,a) (a,b,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c)

13 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} (lanjutan) (a,c,b,d) (c,a,b,d) (c,b,a,d) (c,b,d,a) (a,c,d,b) (c,d,a,b) (c,d,b,a) (c,a,d,b)

14 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} (lanjutan) (a,d,b,c) (d,a,b,c) (d,b,ac ) (d,b,c,a) (d,c,a,d) (d,c,a,d) (d,c,a,d) (d,c,a,d)

Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} (lanjutan) (a,d,c,b) (d,a,cb ) (d,c,a,b) (d,c,b,a) 15

16 Lampiran 2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} (b,a,d,c) (a,b,d,c) (a,d,b,c) (a,d,c,b) (b,d,c,a) (d,b,c,a) (d,c,a,b) (d,c,b,a)

17 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} (lanjutan) (c,a,b,d) (a,b,c,d) (a,b,d,c) (a,c,b,d) (b,c,a,d) (c,a,b,d) (c,a,d,b) (c,b,a,d)

18 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} (lanjutan) (b,d,a,c) (d,a,b,c) (d,a,c,b) (d,b,a,c) (d,c,a,d) (d,c,a,d) (d,c,a,d) (d,c,a,d)

Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} (Lanjutan) (b,d,c,a) (d,b,c,a) (d,c,a,b) (d,c,b,a) 19

20 Lampiran 3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} (c,a,b,d) (a,b,c,d) (a,b,d,c) (a,c,b,d) (c,a,d,b) (a,d,b,c) (a,d,c,b) (a,c,d,b)

21 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan (lanjutan) N={a,b,c,d} (c,b,a,d) (b,a,d,c) (b,a,c,d) (b,c,a,d) (c,b,d,a) (b,c,a,d) (b,d,a,c) (b,d,c,a)

22 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan (lanjutan) N={a,b,c,d} (c,d,a,b) (d,a,b,c) (d,a,c,b) (d,c,a,b)

23 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan (lanjutan) N={a,b,c,d} (c,d,b,a) (d,b,a,c) (d,b,c,a) (d,c,b,a)

24 Lampiran 4 Fungsi preferensi bagi agen d yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d} (d,a,b,c) (a,b,c,d) (a,b,d,c) (a,d,b,c) (d,a,b,c) (a,c.b.d) (a,c,d,b) (a,d,c,b)

25 Fungsi preferensi bagi agen d yang moderately selfish dengan (lanjutan) N={a,b,c,d} (d,b,a,c) (b,a,d,c) (b,a,c,d) (b,d,a,c) (d,b,c,a) (b,c,d,a) (b,c,a,d) (b,d,c,a)

26 Fungsi preferensi bagi agen d yang moderately selfish dengan (lanjutan) N={a,b,c,d} (d,c,a,b) (c,d,a,b) (c,a,b,d) (c,a,d,b)

27 Fungsi preferensi bagi agen d yang moderately selfish dengan (lanjutan) N={a,b,c,d} (d,c,b,a) (c,d,b,a) (c,b,a,d) (c,b,d,a)

28 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 28 Januari 1989, dari pasangan H. Ir. Pudji Puryono dan Hj. Siti Rohimah. Penulis merupakan anak ketiga dari enam bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikannya di MA Husnul Khotimah pada tahun 2007. Pada tahun yang sama penulis diterima di IPB melalui jalur Undangan Seleksi Mahasiswa IPB (USMI) dan tercatat sebagai mahasiswa Matematika Institut Pertanian Bogor pada tahun 2007. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif dalam LDK Al-Hurriyyah sebagai staf Moeslimah Center of IPB (MoCI) (2007-2008) sekarang keputrian, DPM FMIPA IPB sebagai sekretaris dan komisi I (2008-2009). Selain itu penulis pernah menjadi panitia Masa Perkenalan Mahasiswa Baru (MPKMB) sebagai Penanggung Jawab Kelompok (PJK) (2008), PQR Al-Hurriyyah divisi konsumsi (2008), SALAM ISC divisi LINK (2009) dan panitia G-FORCE sebagai squad guardian