Interval Estimation Tjipto Juwono, Ph.D. May 13, 2016 TJ (SU) Interval Estimation May 2015 1 / 17
Pendahuluan Point Estimator Perhatikan MPC pada persamaan regresi Ŷ i = ˆβ 1 + ˆβ 2 X i = 2.3121+0.5231X i (1) Estimasi ˆβ2 = 0.5231 pada persamaan (1) merupakan satu angka saja. Tidak ada angka lain. Karena itu disebut sebagai Point Estimator Estimasi ˆβ2 merupakan satu estimasi tunggal dari β 2 yang tidak diketahui. Estimasi tunggal tersebut diperoleh dari satu set sampling, dan kemungkinan besar harganya berbeda dengan harga yang sesungguhnya (β 2 ), walaupun mean dari sampling berulang diekspektasi mempunyai harga yang sama dengan harga sesungguhnya. TJ (SU) Interval Estimation May 2015 2 / 17
Pengertian Confidence Interval Definisi Confidence Interval Confidence Interval Pr( ˆβ 2 δ β 2 ˆβ 2 +δ) = 1 α (2) Pr( ˆβ 2 δ β 2 ˆβ 2 +δ) Probabilitas bahwa interval tersebut memuat β 2. PERHATIKAN! Probabilitas di atas bukanlah probabilitas bahwa β 2 berada di antara ( ˆβ 2 δ) dan ( ˆβ 2 +δ)! α level of significance Bagaimana cara menghitung δ? Kita perlu menghitung t terlebih dahulu. TJ (SU) Interval Estimation May 2015 3 / 17
Pengertian Confidence Interval Contoh Confidence Interval Contoh Level of significance α = 0.05 (5%) Confidence interval: 1 α = 0.95 (95%) Pr( 2.3 β 2 5.1) Probabilitas yang dinyatakan dengan confidence interval bukanlah probabilitas β 2 berada pada interval tersebut. Jadi jika anda membayangkan grafik di kiri ini, maka anda keliru. Grafik ini merupakan gambaran yang keliru tentang arti dari confidence interval. TJ (SU) Interval Estimation May 2015 4 / 17
Pengertian Confidence Interval Menuliskan Confidence Interval Kita bisa menuliskan interval ini sebagai berikut: ( ˆβ 2 δ) β 2 ( ˆβ 2 +δ), atau ˆβ 2 ±δ TJ (SU) Interval Estimation May 2015 5 / 17
Menghitung t Cara Menghitung Z Definisi Z Z = Estimator Parameter Standard Error of Estimator Z = ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) = ( ˆβ 2 β 2 ) (Xi X) 2 σ (3) TJ (SU) Interval Estimation May 2015 6 / 17
Menghitung t Pengertian Z Ingat: Y i = β 1 +β 2 X i +u i. Di sini, u i terdistribusi secara normal. Akibatnya, ˆβ1, ˆβ2 juga terdistribusi secara normal. Sehingga Z pada Pers. (3) merupakan variabel normal standard. Dengan demikian, kita dapat membuat pernyataan probabilistik tentang β 2 asalkan variance populasi σ 2 yang sebenarnya diketahui. Jika µ dan σ 2 diketahui maka luas di bawah grafik normal di antara µ±σ adalah sekitar 68%. Luasan µ±2σ adalah sekitar 95% Luasan µ±3σ adalah sekitar 99.7% Tetapi σ 2 biasanya tidak diketahui. Dalam prakteknya, σ 2 digantikan oleh estimator ˆσ 2. Karena itu Z digantikan oleh t. TJ (SU) Interval Estimation May 2015 7 / 17
Menghitung t Cara Menghitung t Definisi t t = Estimator Parameter Estimated Standard Error of Estimator t = ˆβ 2 β 2 estimated se( ˆβ 2 ) = ( ˆβ 2 β 2 ) (Xi X) 2 ˆσ (4) variabel t yang didefinisikan di Pers. (4) mengikuti distribusi-t dengan df = n 2. TJ (SU) Interval Estimation May 2015 8 / 17
Menghitung t Mengapa Z diganti t? Z diganti t Z t σ ˆσ (5) TJ (SU) Interval Estimation May 2015 9 / 17
Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t Pr( t α/2 t t α/2 ) = 1 α (6) t diperoleh dari Pers. (4), sedangkan t α/2 diperoleh dari distribusi-t dengan level of significance α/2 dan df = n 2. ±t α/2 disebut nilai kritis t pada level of significance α/2. TJ (SU) Interval Estimation May 2015 10 / 17
Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t [ Pr t α/2 ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) t α/2 Pr[ˆβ2 t α/2 se( ˆβ 2 ) β 2 ˆβ 2 +t α/2 se( ˆβ ] 2 ) ] = 1 α = 1 α (7) Pers. (7) merupakan 100(1 α) percent confidence interval untuk β 2, yang dapat dituliskan: ˆβ 2 ±t α/2 se( ˆβ 2 ) (8) TJ (SU) Interval Estimation May 2015 11 / 17
Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t untuk β 1 [ Pr t α/2 ˆβ 1 β 1 se( ˆβ 1 ) t α/2 Pr[ˆβ1 t α/2 se( ˆβ 1 ) β 2 ˆβ 1 +t α/2 se( ˆβ ] 1 ) ] = 1 α = 1 α (9) Pers. (9) merupakan 100(1 α) percent confidence interval untuk β 1, yang dapat dituliskan: ˆβ 1 ±t α/2 se( ˆβ 1 ) (10) TJ (SU) Interval Estimation May 2015 12 / 17
Contoh CONTOH Table 1: X Y 80 70 100 65 120 90 140 95 160 110 180 115 200 120 220 140 240 155 260 150 Data fiktif weekly family income X dan weekly family expenditure Y. Buat analisa regresi, dan plot hasilnya. Jelaskan plot tersebut dengan menggunakan teori Keynes Susunlah 95% confidence interval untuk data pada Tabel 1 di samping. TJ (SU) Interval Estimation May 2015 13 / 17
Contoh Daftar Rumus se( ˆβ 2 ) = se( ˆβ 1 ) = ˆσ (X X) 2 [ X 2 n (X X) 2 (Y Ŷ) 2 ] ˆσ r = (X X)(Y Ȳ) (n 1)s x s y ˆβ 2 = r s y s x ˆβ 1 = Ȳ ˆβ 2 X ˆσ = n 2 [ Pr t α/2 ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) t α/2 Pr[ˆβ2 t α/2 se( ˆβ 2 ) β 2 ˆβ 2 +t α/2 se( ˆβ ] 2 ) ] = 1 α = 1 α TJ (SU) Interval Estimation May 2015 14 / 17
Contoh Contoh y 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 50 100 150 200 250 300 x Menurut Keynes, orang menaikkan konsumsinya jika pendapatannya bertambah, namun pertambahan konsumsi lebih kecil daripada pertambahan pendapatan. Marginal propensity to consume (MPC) lebih besar dari nol, tetapi lebih kecil dari satu; 0 < β 2 < 1. ˆβ 2 = 0.5091 Ŷ = 24.4545+0.5091X TJ (SU) Interval Estimation May 2015 15 / 17
Contoh Contoh ˆβ 2 = 0.5091 ˆβ 1 = 24.4545 se( ˆβ 2 )= 0.0357 se( ˆβ 1 )= 6.4138 r = 0.9808, r 2 = 0.9621 t critical = 2.3059 t critical se( ˆβ 2 )=2.3059 0.0357 = 0.0824 t critical se( ˆβ 1 )=2.3059 6.4138 = 14.7903 ˆβ 2 ±t α/2 se( ˆβ 2 ) = 0.5091±0.0824 0.4267 β 2 0.5915 ˆβ 1 ±t α/2 se( ˆβ 1 ) = 24.4545±14.7903 9.6642 β 1 39.2448 TJ (SU) Interval Estimation May 2015 16 / 17
TUGAS Dikumpulkan Jum at 27 Mei 2016 (sesudah UTS). 1 Download data INPUT1.xls dari http://blog.complexminds.net. (a) Buat analisa regresi (gunakan excel!) lengkap dan buat plotnya. (b) Susun 95% confidence interval. 2 (Pertanyaan sama seperti no 1, bandingkan hasilnya dengan no 1): X Y 7.00 49.6889 17.00 109.4747 23.00 73.4039 34.00 182.4335 44.00 191.9322 55.00 210.9488 70.00 257.3999 79.00 261.5319 89.00 281.8802 98.00 376.9975