Fisika Dasa I (FI-321) Topik hai ini (minggu 7) Geak Rotasi Kinematika Rotasi Dinamika Rotasi Kekekalan Momentum Sudut Geak Menggelinding
Kinematika Rotasi
Pepindahan Sudut Riview geak linea: Pepindahan, kecepatan, pecepatan = f, i v = v, a = tt tt Pelu konsep yang sama untuk benda begeak melingka Sepeti sebelumnya: Pelu sebuah sistem acuan tetap (gais) Gunakan sistem koodinat pola
Pepindahan Sudut (lanjutan) Setiap titik pada benda yang begeak melingka tehadap titik O Secaa umum sudut diuku dalam adian θ = s Panjang busu Jai-jai Cat: 360 1 ad = = 57. 3 2π π θ [ad] = θ [deajat] 180
Pepindahan Sudut (lanjutan) Pepindahan sudut didefinisikan sebagai sudut yang dibuat benda yang beotasi selama selang waktu tetentu θ = θ f θ i Setiap titik dalam piingan mengalami pepindahan sudut yang sama dalam selang waktu tetentu
Kecepatan Sudut Kecepatan sudut ata-ata, ω, dai benda tega adalah pebandingan dai pepindahan sudut dengan selang waktu ω = θ t f f θ t i i = θ t
Kecepatan Sudut Kecepatan sudut sesaat (laju) didefinisikan sebagai limit dai laju ata-ata dengan selang waktu mendekati nol ω = lim t 0 θ t = dθ dt Satuan dai laju sudut adalah adian/sec (ad/s) Laju sudut akan menjadi positif jika θ betambah (belawanan aah dengan jaum jam) negatif jika θ bekuang (seaah jaum jam) Animasi 7-1
Pecepatan Sudut Bagaimana jika benda awalnya diam dan kemudian mulai beotasi? Pecepatan sudut ata-ata, α,, dai sebuah benda didefinisikan sebagai pebandingan antaa peubahan laju sudut dengan selang waktu yang dipelukan benda untuk mengalami peubahan laju sudut tesebut: α = ω t Satuannya adalah ad/s² t f f ω i ω t Hal yang sama, pecepatan sudut sesaat: α = lim t 0 i ω = t = dω dt
Catatan tentang kinematika otasi Ketika sebuah benda tega beotasi tehadap sumbu tetap tetentu, tiap bagian dai benda memiliki laju sudut dan pecepatan sudut yang sama Atinya θ, ω,, dan α tidak begantung pada, jaak tiap bagian benda ke sumbu otasi
Latihan 1 1. Roda sepeda beputa 240 putaan/menit. Beapakah kecepatan sudutnya dalam adian/sec? put 1menit 2π ads ω = 240 = 8πadians sec menit 60 sec 1put 25. 1adians 2. Jika oda melambat beatuan dan kemudian behenti dalam waktu 5 sec, beapa pecepatan sudutnya? ω 0 25ad sec 2 = f ω i α = = 5ad sec t 5sec 3. Dalam waktu 5 sec tesebut, beapa putaan yang dialami oda? Jawab : 10 putaan sec
Analogi Antaa Geak Linie dan Geak Rotasi Geak Rotasi Tehadap Sumbu Tetentu dengan Pecepatan Sudut Konstan Geak Linie dengan Pecepatan Konstan ω = ω + αt i v = v + i at 1 θ = ω it + α t 2 2 x = v i t + 1 at 2 2 ω 2 2 i = ω + 2α θ 2 2 v = v + 2a x i
Hubungan Antaa Besaan Sudut dan Besaan Linie Pepindahan Laju s = θ v = ω Pecepatan Setiap titik pada benda yang beotasi memiliki geak sudut yang sama Setiap titik pada benda yang beotasi tidak memiliki geak linie yang sama a = α
Sifat Vekto dai Besaan Sudut Sepeti pada kasus linie, pepindahan, kecepatan dan pecepatan adalah vekto: Menentukan aah positif atau negatif Caa yang mudah dengan menggunakan atuan tangan kanan Genggam sumbu otasi dengan tangan kanan anda Kepalkan jai-jai anda seaah dengan aah otasi Ibu jai (jempol) anda menunjukkan aah ω
Dinamika Rotasi Benda Tega
Tosi Tinjau gaya yang dibutuhkan untuk membuka pintu. Apakah lebih mudah membuka pintu dengan mendoong/menaik jauh dai engsel atau dekat ke engsel? Dekat ke engsel Jauh dai engsel Jauh dai engsel, efek otasi lebih besa! Konsep Fisika: tosi
Tosi τ Tosi,, adalah kecendeungan dai sebuah gaya untuk meotasikan sebuah benda tehadap sumbu tetentu Contoh pada pintu: τ τ = Fd adalah tosi d adalah lengan gaya F adalah gaya
Lengan Gaya Lengan gaya, d, adalah jaak tedekat (tegak luus) dai sumbu otasi ke gais seaah pepanjangan gaya d = L sin Φ
Aah Tosi Tosi adalah besaan vekto Aahnya adalah tegakluus tehadap bidang yang memuat lengan dan gaya Aah dan tanda: Jika gaya cendeung memuta belawanan jaum jam, tosi betanda positif Jika gaya cendeung memuta seaah jaum jam, tosi betanda negatif SI USA & UK Aah Tosi: kelua bidang ketas Satuan Newton mete (Nm) Foot pound (ft lb)
Penulisan Vekto dai Tosi τ = L F τ = FLsin φ = Fd τ = tosi L = vekto posisi titik tangkap gaya F = Gaya yang bekeja pada benda φ = Sudut antaa L dan F d = Lengan gaya = Lsin φ
Bagaiman jika dua atau lebih gaya yang bebeda bekeja pada lengan-lengan gaya?
Tosi Neto Tosi neto adalah jumlah semua tosi yang dihasilkan oleh semua gaya Ingat untuk menghitung aah kecendeungan otasi Belawanan aah dengan aah jaum jam tosi positif Seaah dengan jaum jam tosi negatif
Latihan 2 Tentukan tosi neto: N 4 m 2 m Diketahui: Beat: w 1 = 500 N w 2 = 800 N Lengan: d 1 =4 m d 2 =2 m 500 N 800 N Dicai: Στ =? τ = (500 N)(4 m) + ( )(800 N)(2 m) = + 2000 N m 1600 N m = + 400 N m Rotasi akan belawanan jaum jam
Sejauh ini: tosi neto sama dengan nol. Bagaimana jika tidak?
Tosi dan Pecepatan Sudut Ketika benda tega mengalami tosi neto tidak nol ( 0), maka akan mengalami pecepatan sudut Pecepatan sudut bebanding luus dengan tosi neto Hubungannya analogi dengan F = ma Hukum II Newton Animasi 7-2
Tosi dan Pecepatan sudut (lanjutan) F t F t = = ma t ( ma ), kalikan t dengan pecepatan tangensial : a t = α, so F t = 2 m α τ = Iα tosi τ Begantung pada benda dan sumbu otasi. Dinamakan momen inesia I. Satuan: kg m 2 2 I Σm i i Pecepatan sudut bebanding tebalik dengan analogi massa dalam sistem yang beotasi
Contoh: Momen Inesia dai Cincin Unifom Bayangkan Cincin tebagi atas sejumlah bagian kecil, m 1 Bagian kecil ini bejaak sama dai sumbu I = Σm 2 = i i Benda Kontinu: I = 2 dm MR 2
Momen Inesia yang Lain
Teoema Sumbu Sejaja Momen Inesia tehadap sumbu sembaang I, dimana sumbu sembaang tesebut sejaja dengan sumbu otasi yang melalui pusat masa benda adalah I = I pm + Mh 2 M : Massa total benda h : jaak antaa sumbu otasi sembaang dengan sumbu otasi pusat massa Latihan 3: 1. Cai momen inesia batang homogen yang panjangnya L apabila diputa tehadap sumbu otasi yang tegak luus batang yang melalui titik ujungnya! 2. Cai momen inesia cincin homogen yang jejainya R tehadap sumbu otasi yang tegak luus cincin dan melalui salah satu titik pada cincin tesebut!
Hukum II Newton untuk Benda Beotasi Pecepatan sudut bebanding luus dengan tosi neto Pecepatan sudut bebanding tebalik dengan momen inesia benda Σ τ = Iα Tedapat pebedaan yang penting antaa momen inesia dan massa inesia: momen inesia begantung pada kuantitas matei dan distibusinya Momen inesia juga begantung pada posisi sumbu otasi
Enegi Total Sistem yang Beotasi Sebuah benda yang beotasi tehadap sumbu tetentu dengan laju sudut ω, mempunyai enegi kinetik otasi ½Iω 2 (coba anda tuunkan!!!) Konsep enegi dapat digunakan untuk penyedehanaan analisis geak otasi Kekekalan enegi mekanik ( EK + EK + EP ) = ( EK + EK + t g i t EP g ) f Ingat, ini untuk gaya konsevatif, tidak ada gaya disipasi sepeti gaya gesek
Latihan 4 8 m Y 1 2 4 3 6 m X Sebuah benda tega tedii dai empat buah patikel bemassa m 1 = 2 kg, m 2 = 3 kg, m 3 = 4 kg dan m 4 = 5 kg. Masing-masing benda dihubungkan dengan batang yang massanya masing-masing 1 kg. Tentukan enegi kinetik sistem ketika beputa dengan kecepatan sudut 2 ad/s tehadap sumbu: a. X b. Y c. Z
Latihan 5 Roda bejejai 0,5 m dapat beputa pada sumbu hoisontal melalui sumbu pusatnya. Momen inesianya tehadap sumbu tesebut adalah 2 kg m 2. a. Apabila tali yang dililitkan pada oda ditaik dengan tegangan tetap 10 N, tentukan pecepatan sudut, kecepatan sudut dan enegi kinetik oda pada t = 2 s. Pada t = 0 oda diam. (Petunjuk: gunakan Hk. II Newton) T b. Bila oda tesebut diputa dengan menggantungkan beban be massa 2 kg di ujung tali di atas, tentukan kecepatan beban saat beban tuun sejauh 2 m! (Petunjuk: gunakan Hk. Kekekalan Enegi Mekanik)
Momentum Sudut dan Kekekalan Momentum Sudut
Momentum Sudut Seupa dengan hubungan antaa gaya dan momentum dalam sistem linie, kita dapat tunjukan hubungan antaa tosi dan momentum sudut Momentum sudut didefinisikan sebagai L = I ω τ = d L dt F = d p dt (bandingkan dengan ) Jika tosi neto nol, momentum sudut konstan Penyataan Kekekalan momentum sudut : Momentum sudut dai sebuah sistem adalah kekal ketika tosi neto ekstenal yang bekeja pada sistem adalah nol Ini tejadi ketika: Σ τ = 0, L = L atau I ω = I ω i f i i f f
Latihan 6 Seoang penai ski es beputa dengan kedua lengannya telentang (anggap tidak ada gaya gesekan). Kemudian dia menaik kedua lengan dan meapatkan pada tubuhnya. Dibandingkan dengan enegi kinetik otasi awal, enegi kinetik otasi setelah penai tesebut menaik lengannya hauslah benilai a. sama b. lebih besa c. lebih kecil
Geak Menggelinding
1. Geak Menggelinding Muni (tanpa selip) P R A Ө P Geakannya meupakan kombinasi antaa geak otasi tehadap pusat massa P dan geak tanslasi dai pusat massa P tesebut A x = s = R Ө Posisi, kecepatan dan pecepatan pusat massa oda yang menggelinding muni: x = Rθ v a p p dx = dt dv = dt p dθ = R = Rω dt dω = R = Rα dt
Lanjutan Geak Menggelinding Muni b P c a Kecepatan titik a, P dan c tehadap tanah adalah v a, v p dan v c, beapa besa dan kemana aahnya! v v v a P c = v = v = v at PT ct = v = v = v ap PP cp + v + v + v Bagaimana dengan kecepatan titik b! v v b b = v = bt ωr = v 2 bp = + v PT PT PT PT ω AB = ωr( iˆ) + ωr(ˆ) i = 0 = 0+ ωr(ˆ) i = ωr (ˆ) i = ω AP(ˆ) i = ωr(ˆ) i + ωr(ˆ) i = ω2r (ˆ) i = ω AC(ˆ) i = ωr( ˆ) j + ωr(ˆ) i Dai hasil di atas, geak ini dapat dipandang sebagai: Geak otasi muni oda tehadap sumbu sesaat yang melalui titik sentuh a dengan kecepatan sudut ω Sehingga enegi kinetik oda yang menggelinding adalah K = ½ I a ω 2 dengan I a adalah momen inesia oda tehadap sumbu yang melalui a
Lanjutan Geak Menggelinding Muni Teoema Sumbu Sejaja: I a = I PM + M R 2, maka Enegi Kinetik (K) menjadi K = ½ ( I PM + M R 2 ) ω 2 = ½ I PM ω 2 + ½ M R 2 ω 2 K = + ½ I PM ω 2 ½ M v 2 pm Enegi kinetik otasi tehadap pusat massa Enegi kinetik tanslasi pusat massanya Kesimpulan Enegi kinetik total benda yang menggelinding adalah jumlah dai enegi kinetik otasi tehadap pusat massa dan enegi kinetik tanslasi pusat massanya
Latihan 6 h x Ө Andaikan oda mula-mula diam, kemudian begeak menggelinding muni (tanpa selip). Jika oda beupa tabung pejal seba sama, hitung beapa pecepatan tuunnya pusat massa tabung pejal tesebut dengan menggu- nakan: a. Hk. Kekekalan enegi mekanik b. Hk. Newton c. Bagaimana syaat tejadinya geak menggelinding muni pada bidang miing tsb. (cai hubungan antaa Ө dan µ s )
2. Geak Menggelinding Tegelinci (selip) N f = µ k N Pesamaan-pesamaan yang belaku: M g cosө Ө M g sinө Mg sinθ f f N = µ = k N τ = fr = = Mg cosθ Iα Ma p Dengan substitusi dipeoleh: a α p = g (sinθ µ = µ k k MgR cosθ I cosθ) Telihat bahwa antaa a P dan α tidak tedapat hubungan yang sedehana sepeti ketika pada kasus menggelinding muni
PR Buku Tiple Jilid I Hal 311-315315 no. 54, 61, 63, 86