SISTEM BILANGAN DIGITAL Ferry Wahyu Wibowo 1 Jurusan Teknik Informatika, STMIK AMIKOM Yogyakarta, Jl. Ring Road Utara, Condong Catur, Sleman, Yogyakarta Indonesia 1 ferrywahyu@gmail.com 1. Sistem bilangan desimal Sistem bilangan desimal berbasis angka 10, maksudnya bahwa penulisan bilangan menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10. Posisi paling tidak berarti (paling kanan) memiliki sebuah bobot faktor berbasis 10 -n, dan posisi paling berarti (paling kiri) memiliki bobot faktor 10 n dimana untuk notasi 10 n,..., 10 3, 10 2, 10 1, 10 0, 10-1, 10-2, 10-3,..., 10 -n. 2. Sistem bilangan biner Sistem bilangan biner berbasis angka 2, maksudnya bahwa penulisan bilangan hanya menggunakan digit biner (bit) yaitu 0 dan 1. Istilah bit dipakai dalam sistem bilangan biner yang merupakan singkatan dari binary digit. Byte adalah string yang terdiri dari 8 bit. Analoginya seperti sistem desimal yang didasarkan pada bilangan 10 dimana penulisan suatu bilangan hanya digit desimal 10 yaitu 0 sampai 9. Sistem biner dan desimal keduanya merupakan sistem notasi posisional, dimana nilai dalam sistem lainnya tergantung pada penempatannya dengan sebuah bilangan. Bilangan desimal 845, digit 4 menandakan 40; bilangan 9426, digit 4 menandakan 400 (845 = 800 + 40 + 5 ; 9426 = 9000 + 400 + 20 + 6). Nilai digit ditentukan oleh bilangan digit apa dan dimana letaknya. Sistem desimal, digit dalam posisinya berada di kiri nilai desimal yang dikalikan dengan 1 (10 0 ). Posisi dua digit ke kiri nilai desimal dikalikan dengan 10 (10 1 ). Digit di kiri posisi berikutnya dikalikan dengan 100 (10 2 ). Pengali posisional sebagaimana kiri nilai desimal dikalikan 10 pangkat angka berurut naik. Ide yang sama digunakan dalam sistem biner, kecuali pengali posisional merupakan 2 pangkat n (2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8, 2 4 = 16, 2 5 = 32,...). Misalkan, bilangan biner 101 mempunyai persamaan desimal: 2 2 x1 + 2 1 x0 + 2 0 x1 = 4 + 0 + 1 = 5 3. Sistem bilangan oktal Sistem bilangan oktal berbasis angka 8, maksudnya bahwa penulisan bilangan menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Desimal Biner Oktal 0 0000 0 1 0001 1
2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 10 9 1001 11 10 1010 12 4. Sistem bilangan heksadesimal Sistem bilangan heksadesimal berbasis angka 16, maksudnya bahwa penulisan bilangan menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F. Angka 16 merupakan kelipatan 2 sehingga tiap digit heksadesimal dpat diubah langsung ke dalam 4 digit binary. Desimal Biner Oktal Heksadesimal 0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 5. Komplemen bilangan Komplemen digunakan untuk memudahkan operasi pengurangan dan untuk memanipulasi logika. Ada dua macam komplemen untuk setiap sistem bilangan dengan radiks R, yaitu komplemen-r dan komplemen-(r-1). Contoh komplemen 10 dan 9 untuk bilangan desimal dan komplemen 1 dan 2 untuk bilangan biner. 5.1 Komplemen-R Komplemen-R untuk suatu bilangan nyata positif N dengan radiks R dan bagian bulatnya terdiri dari n angka, didefinisikan sebagai: R n N untuk N 0 dan 0 untuk N=0. Contoh : 1. K-10 untuk 43210 10 adalah 10 5-43210 = 56790 2. K-10 untuk 0,098 10 adalah 10 0-0,098 = 0,902. 3. K-10 untuk 765,43 10 adalah 10 3-765,43 = 234,43 4. K-2 untuk 1100110 2 adalah 2 10 7-1100110 2 = 10000000 2-1100110 2 = 0011010 2
5. K-2 untuk 0,1010 2 adalah 2 0-0,1010 2 = 0,0110 2 Komplemen-10 diperoleh dengan cara : 1. Membiarkan semua 0 pada kedudukan yang terendah tidak berubah. 2. Mengurangi semua angka pada kedudukan yang lebih tinggi dengan 9. Komplemen-2 diperoleh dengan cara : 1. Membiarkan semua 0 pada LSB dan 1 yang pertama dari kanan tidak berubah. 2. Mengubah semua 1 yang lain menjadi 0 dan 0 menjadi 1. 5.2 Komplemen-(R-1) Komplemen-(R-1) untuk N bilangan positif yang bagian bulatnya terdiri dari n angka serta bagian pecahannya m angka, didefinisikan sebagai : R n -R -m -N. Contoh : 1. K-9 untuk 43210 10 adalah 10 5-10 0-43210 = 99999-43210 = 56789 2. K-9 untuk 0,9876 10 adalah 10 0-10 -4-0,9876 = 0,9999-0,9876 = 0,0123 3. K-1 untuk 0,0110 2 adalah 2 10 0-2 10-4 -0,0110 2 = 0,1111 2-0,0110 2 = 0,1001 2 6. Sandi Biner Sandi biner dibentuk dari n bit dengan 2 n kemungkinan cara menyusun bit yang berlainan (2 n kombinasi). Macam-macam sandi biner yaitu sandi BCD, sandi Excess (XS-3), sandi 8, 4, -2, -1, sandi Gray dan sandi alfanumerik. 6.1 Sandi BCD Sandi BCD menggunakan 4 bit biner untuk merepresentasikan satu digit desimal. Kelebihannya adalah konversinya mudah dan sering digunakan pada aplikasi finansial. Kekurangannya adalah penggunaan bit yang boros (4 bit dapat menunjukkan `16 nilai yang berbeda, tapi hanya 10 nilai yang digunakan). Jenis-jenis sandi BCD yang lain adalah 8421 BCD, 4221 BCD dan 5421 BCD. Konversi desimal ke BCD BCD ekuivalen untuk desimal 171,625 adalah : 1 7 1, 6 2 5 0001 0111 0001, 0110 0010 0101 Konversi BCD ke desimal Desimal ekuivalen untuk 00101001,01001000 adalah 0010 1001, 0100 1000 2 9, 4 8 6.2 Sandi Excess 3 (XS-3) Sandi Excess 3 (XS-3) maksudnya adalah kelebihan tiga diperoleh dari nilai binernya ditambah tiga. Misal untuk nilai 23 diubah ke bentuk sandi XS-3, 2 3 +3 +3
5 6 =0101 =0110 Sandi 8, 4, -2, -1 Sandi 8, 4, -2, -1 menggunakan bobot negatif. Misal : sandi 0110 = 0x8 + 1x4 + 1x (-2) + 0x(-1) = 4 2 = 2 6.3 Sandi Gray Sandi Gray hanya 1 bit yang berubah dalam dua kode yang berurutan, setengah bagian atas (kode desimal 5-9) merupakan bayangan cermin dari setengah bagian bawah (kode desimal 0-4) kecuali untuk bit ke-4 dari kanan (reflective). Sandi ini berguna dalam industri kontrol. Tabel memperlihatkan sandi Gray tersebut dan proses penyusunannya. - Konversi biner ke sandi Gray Tahapannya : 1. Mulai dengan bit MSB biner. MSB sandi Gray sama dengan MSB biner 2. Bit kedua yang terdekat ke MSB pada sandi Gray didapat dengan menambahkan MSB dan MSB kedua dari biner dan mengabaikan carry-nya. 3. Bit ketiga MSB pada sandi Gray dengan menambahkan MSB kedua dan ketiga pada biner dan mengabaikan carry-nya. 4. Proses ini berlanjut hingga sampai ke LSB sandi Gray. - Konversi sandi Gray ke sandi biner Tahapannya : 1. Mulai dengan bit MSB. MSB biner sama dengna MSB sandi Gray 2. Bit kedua yang dekat ke MSB pada biner didapat dengan menambahkan MSB biner dan MSB kedua dari sandi Gray dan mengabaikan carry-nya. 3. Bit ketiga MSB pada biner dengan menambahkan MSB kedua biner dan ketiga pada sandi Gray dan mengabaikan carry-nya. 4. Proses ini berlanjut sampai ke LSB biner. 6.4 Sandi Alfanumerik Mengolah data yang berupa huruf tanda baca dan karakter lain. Sandi alfanumerik yang sering digunakan adalah: - Sandi ASCII (American Standard Code for Informat Interchange) merupakan sandi 7 bit, misal 27 = 128 sandi - Sandi EBDIC (Extended Binary Codec Decimal Interchange Code) merupakan sandi 8 bit, dimana digunakan pada komputer untuk saling menukar informasi pada sistem komputer. - Bit Paritas
Word merupakan sekelompok bit yang diperlukan, disimpan dan dipindahkan sebagai suatu unit. Bit paritas ini biasanya muncul karena beberapa sebab diantaranya: - Terjadi error/ ralat pada saat dipindah atau disimpan karena derau (noise) dari luar, kegagalan sistem dan lain-lain. - Penyidikan ralat yang terjadi melalui bit paritas pada Word. - Bit paritas adalah suatu bit tambahan yang dicantumkan pada suatu kata / word sehinggga membuat banyaknya angka 1 dalam word tersebut menjadi genap / ganjil. Paritas genap dengan menambahkan bit tambahan ke suatu kelompok bit sehingga jumlah angka 1 menjadi genap. Paritas ganjil dengan menambahkan bit paritas sehingga jumlah angka 1 menjadi ganjil. Daftar Pustaka Tocci R.J., Digital Systems : Principles and Applications, sixth edition, 1995, Prentice Hall, Singapore Daniel D., Gajski, Principles of Digital Design, 1997, Prentice Hall, USA Almaini A.E.A., Electronic Logic Systems, third edition, 1986, Prentice Hall, UK Karalis E., Digital Design Principles and Computer Architecture, 1997, Prentice Hall, USA